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上册第三章第2节线段的比

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【本讲教育信息】一. 教学内容：§3.2 线段的比【教学目标】 1. 知识与技能结合现实情境了解线段的比和成比例线段的概念，理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；了解黄金分割的概念及其在生活中的应用；在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。

2. 过程与方法经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单问题；经历对黄金分割的探索过程，体会其中的文化价值，体验用所学的知识解决实际问题。

3. 情感、态度与价值观通过现实情境，发展从数学的角度提出问题、分析和解决问题的能力，培养应用意识，体会到数学与自然、社会的密切联系，感受数学美，并在学习活动中学会与他人交流合作。

二. 重点、难点： （一）教学重点1. 线段的比和成比例线段的概念。

2. 比例的基本性质、黄金分割的概念。

（二）教学难点1. 会判断四个数或四条线段成比例。

2. 利用比例的基本性质来解决各类问题。

【学法指导】1. 求两条线段的比时必须将线段的长度单位统一。

2. 理解四条线段成比例的意义及相关概念。

3. 利用等式性质和分式的基本性质得出比例的基本性质，遇到等比时，可设辅助未知数k 。

4. 通过黄金分割的学习，进一步增强线段的比，成比例线段等相关内容的理解，了解黄金分割是一种特殊分割。

记住黄金分割比：较长线段与原线段的比为。

512【主要内容】（一）线段的比和成比例线段1. 在同一单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。

强调几个注意的问题：（1）a ：b ＝k ，说明a 是b 的k 倍，这是线段的比的实质。

（2）由于线段a 、b 的长度都是正数，所以k 是正数且没有单位。

（3）比与所选线段的长度单位无关，求比时两条线段的长度单位要一致。

（）在比：（或）中，我们称为比的前项，为后项。

4a b aba b 2. 成比例线段： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

a b c d= 其中，a 、d 叫做外项，b 、c 叫做内项，d 称为a 、b 、c 的第四比例项。

若，则称叫做、的比例中项。

a b bcb ac = 注意：线段的比与成比例的线段是不同的两个概念。

（二）比例的基本性质、黄金分割 1. 比例的基本性质（）若，则1a b cdad bc == 若，则，……ad bc a b cd==（2）合分比性质若，则a b c d a b b c dd=+=+ a b b c dd -=- 此外，还有，……a a b c c d a b a b c dc d±=±+-=+-（3）等比性质： 若…，且…a b c d e f mn b d f n ====++++≠0 则……a c e m b d f n mn++++++++=2. 黄金分割：（1）若线段AB 被点C 分割成不相等的两部分，如果较长线段AC 是较短线段BC 和全线段AB 的比例中项。

即，则称线段被点黄金分割。

BC AC ACABAB C = 点C 叫做线段AB 的黄金分割点。

其中黄金分割比：ACAB=-≈5120618.或：AC AB AB =-≈5120618. （2）黄金分割点的画法 已知：线段AB求作点C ，使点C 是线段AB 的黄金分割点。

作法：①经过点作⊥，使；B BD AB BD AB =12②连接AD ，在AD 上取DE ＝DB ； ③在AB 上取AC ＝AE 。

则点C 是线段AB 的黄金分割点。

证明：由作图知：BD AB =12设，则BD a AB a ==2 ∵⊥于BD AB B ()∴AD a a a =+=2522()∴AE AD DE a a a =-=-=-551()∴AC AE a ==-51()∴ACABa=-=-5151∴点C【典型例题】例1. 已知：△ 分析： BD CD ==解：过A 作 ∵，∠AB AC BAC o==120 ∴∠∠，B C BD CD BC o====3012在中，设，则Rt ABD AD x AB x ∆==2 ()∴BD AB AD x x x =-=-=222223∴BC x =23∴：：AB BC x x =223 即：：AB BC =13例2. 利用比的性质解答下列各题。

（）已知：，求，的值；1453y x x y y y x x=+- （）已知：，求的值；2253m n n m nn-=+ （）已知：，求，的值。

32352323x y z x y z x x y z x y z==+++-++ 分析：略解：（1）法一：由得：y x y x ==4545∴x y y x xx +=+=454594334575y x x x xx -=⨯-= 法二：由得：y x x y ==4554∴x y y x y +=+=+=154194331345175y x x y x -=-=⨯-=· 法三：∵，设，y x y k x k ===4545∴x y y k k k +=+=544943345575y x x k k k -=⨯-= （2）法一：由得：m n n m n -=-=253253即：m n =113∴m n n +=+=1133143法二：∵，∴m n n m n nk -=-==253253∴，n k m k ==311∴m n n k k k +=+=1133143法三：∵m n n -=253∴，即m n n n m n n -+=+⨯=+=235333143143（3）解：令t zy x ===532则t t y t x 532===，， 所以52532=++=++ttt t x z y x 238156********=++-+=++-+t t t t t t z y x z y x例 3. 已知在△ABC 中，AB ＝12cm ，如图D 、E 分别在AB 、AC 上，AE ＝6cm ，EC 4cm ＝，且。

AD AE= （1）求 （2分析：根据（1）中结论和已知线段长度可判断（2）结论是否成立。

解：（1）设AD ＝xcm ，∵AB ＝12cm ()∴BD x cm =-12 ∵，∴AD DB AE EC x x =-=1264()∴4612x x =- 解得：x =72.即AD ＝7.2cm（2）法一：∵AB ＝12cm ，AD ＝7.2cm ∴BD ＝4.8cm又AE ＝6cm ，EC ＝4cm ，∴AC ＝10cm∴DBAB ECAC ====481225410. ∴DBABECAC=法二：∵AD DB AEEC =∴，即AD DB DB AE EC EC AB DB ACEC +=+=∴DB AB ECAC=22（2）∵点C 为AB 的黄金分割点且AC ＞BC ∴·AC AB BC 2=∴BC AC ACAB ==-512 ∴ACBC=-=+251512思考：已知线段AB ＝6，C 为黄金分割点。

求： （1）AC －BC ； （2）AC ·BC 。

例5.解：∵四边形为正方形，且ABEF AB =-51∴BE =-51又BC ＝AD ＝2 ()∴EC =--=-25135∴BE BC =-512()()()()EC BE =--=-+-+=-355135515151512∴BE BC ECBE=∴线段BC 被点E 黄金分割，点E 是线段BC 的黄金分割点例6. 如果有两边长分别为1、a （其中a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每面彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同的裁剪方法的示意图，并求出相应的a 值。

分析：这是一道考察同学们动手能力和解决实际问题能力的题目，首先应理解题意，从条件可知每面剪出的矩形彩旗的长与宽之比应为a ：1。

解： ∴1312a = ∴（负值舍之）a =3∴AE 又DE 2又，∴AE DE a a aa +=+=12解得：（负值舍去）a =2【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题。

1. 下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A. 3cm 4cm 5cm 6cm B. 4cm 8cm 3cm 5cm C. 5cm 15cm 2cm 6cm D. 8cm 4cm 2cm 2cm2. 在Rt ABC ∆中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则c ：b ：a ＝（ ） A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 132：：D. 231：：3. 在比例尺1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ，宽2cm 的矩形工业园区，则该园区的实际面积是（ ）A. n1002米B. n 221000米C. 102n 米D. 1022n 米4. 已知：a b a -=35，则ab =（ ） A. 25 B. 52 C. -25D. -525.（1 （3 A. （1）（2）（4） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）二. 填空题。

6. 小明的身高是1.6米，他的影长是2米，同一时刻古塔的影长是18米，则古塔的高是__________米。

7. 已知：线段AB ＝10cm ，点C 是AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝________cm ，BC ＝________cm 。

8. 若线段a cm b cm c cm ===236，，，则a 、b 、c 的第四比例项d =_______。

9. 若线段MN 、AB 、CD 满足AB MN MNCD=，且MN cm AB cm ==34，，则CD ＝__________。

10. 若x y z ：：：：=347，且218x y z -+=，则x y z +-=2__________。

数应该是多少？15. 人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618，越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美，某女士身高1.68m ，下半身1.02m ，她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽？16. 以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图： （1）求AM 、DM 的长； （2）求证：AM AD DM 2=·；（3）由（2）的结论，你能找出图中的黄金分割吗？【试题答案】一. 选择题。

1. C2. D3. B4. B5. D 二. 填空题。

6. 14.47. ()551-；()1555- 8. 322cm 9. 94cm 10. 14 三. 解答题。

11. 解：∵AD ：DB ＝11：1，可设AD ＝11x ，DB ＝x则AB x =12又AC ：CB ＝1：5∴，AC AB x CB AB x ====1625610 又AB ＝120，即1212010x x ==，∴∴，∴AD x AC x CD AD AC =====-=-=111102201102090∴小汽车速度()v km h ==9034120/ 答：略12. 解：∵AB AD AC AE BC DE ===32由等比性质得：AB AC BC AD AE DE ++++=32 又AB ＋AC ＋BC ＝36cm∴AD AE DE cm ++=⨯=23362413. 14. （（2）515·x =⨯，得x =5，比例式为……（3）515x =⨯，得x =55，比例式为…… 15. 解：设她的高跟鞋高为x m则1021680618...++≈x x得x m ≈0048.() 16. 解：（1）∵正方形ABCD 的边长为2，P 为AB 的中点 ∴，，AP AD PD ===125 又PF PD AF ===-551，∴又AMEF 为正方形()∴，AM AF DM ==-=--=-5125135 （2）由（1）计算：()AM 2251625=-=- ()AD DM ·=-=-235625∴·AM AD DM 2=（3）由（2）知：图中点M 是线段AD 的黄金分割点。

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最新人教版七年级数学上册《第2课时 线段的比较与度量》优质教案

最新人教版七年级数学上册《第2课时 线段的比较与度量》优质教案

4.2 直线、射线、线段第2课时线段的比较与度量一、新课导入1.导入课题上节课我们学习了直线、射线、线段的概念和表示方法，这节课来学习线段的大小比较，线段的和、差、倍、分.2.三维目标：（1）过程与方法①掌握线段的大小比较方法，会比较线段的大小.②理解线段的和、差、倍、分的意义，并会用几何语言描述它们.③掌握画一条线段等已知线段的画图方法，并能完成其他相关线段的画图.（2）情感态度通过实际情景，让学生体会线段大小的比较与度量，并能初步应用于实际问题.（3）情感态度初步学习几何知识，并能解决简单问题.3.学习重、难点：重点：线段的大小比较方法，线段的中点的概念.难点：线段的和、差、倍、分的几何语言表述和画图.二、分层学习1.自学指导:（1）自学范围：教材第126页最后一自然段至第127页图4.2-9下面一自然段的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学要求：按课本上指示的方法动手画图，弄清楚“作线段等于已知线段”的尺规作图方法和比较线段大小的方法.（4）自学参考提纲：①“作一条线段等于已知线段”常用方法有两种：第一是度量法：即是量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.第二是“尺规作图”法：即是用直尺画射线，再用圆规在射线上截取线段.②比较两条线段的大小（即长短）也有两种方法：第一是度量法：即用刻度尺分别量出它们的长度，然后比较它们的长度的大小.第二是叠合法：即把两条线段叠合在一起，使它们的一个端点重合，另一个端点落在同一侧来比较，如下图.则AB＞CD AB=CD AB＜CD③你能再举出一些比较线段长短的实例吗？与同学交流一下.2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，了解学生的自学情况.②差异指导：对学习有困难的学生进行点拨和指导.（2）生助生：小组内同学间相互交流、纠错.4.强化：（1）用尺规“作一条线段等于已知线段”的作图方法.（2）线段的大小比较方法.（3）练习：做教材第128页练习第1题.解：（1）AC＜AB;（2）AC＞AB；（3）AC=AB.1.自学指导:（1）自学范围：教材第127页倒数第二自然段至教材第128页的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：认真阅读课文，对照图形认识两条线段的和、差、倍、分，注意相交的几何语言描述.（4）自学参考提纲：①如图，已知线段a和b，且a＞b.a.作射线AM，在射线AM上截取线段AB=a,再在AB的延长线上（即射线BM上）截取线段BC=b，由线段AC就是a与b的和，记作：AC=a+b.b.作射线AM，在射线AM上截取线段AB=a，再在线段AB上截取线段BD=b，由线段AD就是a与b的差，记作：AD=a-b.c.仿照上面的方法，作一条线段，使它等于2a-b.②a.什么叫做线段的中点？你能利用折纸的方法得到线段的中点吗？动手试一试.b.如图，若已知点M是线段AB的中点，则AM=BM，或AM=12AB，或BM=12AM,或AB=2AM,AB=2BM;反过来也成立，即若AM=BM（或AM=12AB,或BM=12AB,AB=2AM,或AB=2BM），则点M是线段AB的中点.③与②类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.a.如图，若点M、N是线段AB的三等分点，则AM=MN=MB=13AB,反过来也成立.b.如图，若点M、N、P是线段AB的四等分点，则AM=MN=NP=PB=14AB,反过来也成立.2.自学：同学们可结合自学指导进行学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师巡视课堂，充分了解学生的自学情况.②差异指导：根据学情有针对性地进行点拨和指导，并提醒学生注意图形语言、文字语言和符号语言的相互转换.（2）生助生：小组内同学之间互相交流、纠错.4.强化（1）线段中点的意义：其文字语言、符合语言，图形语言要能正确转换.（2）练习：做教材第128页练习第3题.三、评价1.学生的自我评价：让学生交流学习目标的达成情况及学习的感受等.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：教师对学生在本节课学习中的整体表现进行总结和点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本节教学应通过问题启发、做、想、试等方式，让学生主动探索来认识知识，在学生自己动手实践、小组合作的基础上，在实践中体验线段的大小比较.从比较身高的具体活动中抽象出线段比较的方法，这样的教学，可使学生得到探索发现的成功感，自然获取知识形成应用能力.一、基础巩固1.（10分）比较下图中线段的大小：（1）DC＜AC，（2）AD+DC＞AD，(3)AC-AD=DC.2.（20分）延长线段AB是指按从端点A到B的方向延长；延长线段BA是指按从端点B到A的方向延长，这时也可以说反向延长线段AB.读下列语句，并分别画出图形：（1）如图，延长AB到C，使BC=AB.（2）如图，反向延长AB到D，使AD=AB.3.（10分）如图，AD=76 mm，BD=70 mm,CD=19 mm，则AB=6 mm,BC=51 mm4.（10分）已知线段AB=10,点C在线段AB上，那么线段AC、BC的中点间的距离是5.5.（10分）下列说法正确的是（D）A.若AP=12AB，则点P为AB中点B.若AP=BP，则点P为AB中点C.若AB=2BP，则点P为AB中点D.若AP=BP=12AB,则点P为AB的中点二、综合应用6.（15分）如图，已知线段a、b、c，用圆规和直尺作线段，使它等于a+2b-c.解：作射线AB，在射线AB上截取线段AC=a+2b，在线段CA上截取线段CE=c,则线段AE 为求作的线段.7.（15分）点A、B、C在同一条直线上，AB=3 cm,BC=1 cm.求AC的长.① C在B的右边，AC=AB+BC=4 cm，② C在BA中间，AC=AB-BC=2 cm.三、拓展延伸8.（10分）两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？解：三条直线相交最多有1+2=3个交点，四条直线相交最多有1+2+3=6个交点，我们可以发现，n条直线相交最多有（1+2+3+4+……+n-1）个交点，也就是n（n-1）2个交点，此处n≥3且n为自然数.教师寄语同学们，生活让人快乐，学习让人更快乐。

小升初数学总复习经典课件-第三章第二课比、比例和比例尺人教新课标

小升初数学总复习经典课件-第三章第二课比、比例和比例尺人教新课标

9
甲、乙两班人数的比是( C )
A. 7∶9
B. 9∶8
C. 9∶7
6.某班男生人数是女生人数的 3 ，女生人数与男生人数
4
的比是( 4∶3 )，男生人数和女生人数的比是(3∶4)。
女生人数与总人数的比是( 4∶7 )。 7.甲数等于乙数的 3 ，甲数与乙数的比是( 3∶5 )。
5
题型三
【例3】在一张比例尺是1∶30000的地图上量得甲、乙两 地的图上距离为6厘米，则甲、乙两地的实地距离是
第二课时 比、比例和比例尺
知识要点梳理
1. 比的意义和性质 (1)比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 ①“ ∶”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比
的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以 后项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相 当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。根据 分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项 相当于分母，比值相当于分数值。
9.在盐水中，盐占盐水的 1 ，盐和水的比是( B)。
10
A. 1∶8 B. 1∶9 C. 1∶10 D. 1∶11
10. 在一幅地图上，量得A、B两城市距离是7厘米，而A、
B两城市之间的实际距离是350千米，这幅地图的比例尺
是( D)。
A. 1∶50
B. 1∶5000
C. 1∶50000
D. 1∶5000000
答：画在图上的足球场面积是40.5 cm2。
差错类型及归纳
类型1 对比的意义理解不透彻。 【例1】两个正方体的棱长的比是1∶3，这两个正 方体的表面积的比是( )；体积比是( )。 错解：1∶3 1∶9 分析：这道题目是考查学生根据正方体的棱长比求表 面积的比和体积比。正方体的表面积和体积的计算公 式是解题的关键。此题出错的原因是对比的意义不理 解，认为表面积的比和棱长的比相等，而导致错误。 正解：1∶9 1∶27
湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿1

湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿1

湘教版数学九年级上册3.2《平行线分线段成比例》说课稿1一. 教材分析《平行线分线段成比例》是湘教版数学九年级上册第三章第二节的内容。

本节课主要介绍平行线分线段成比例的定理及其应用。

通过学习，学生能够理解平行线分线段成比例的原理，并能运用该定理解决实际问题。

教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探究平行线分线段成比例的规律。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对图形的变换有一定的了解。

但是，对于平行线分线段成比例的定理，他们可能初次接触，需要通过实例和推理来加深理解。

因此，在教学过程中，我要关注学生的认知基础，引导他们积极参与，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握平行线分线段成比例的定理，能运用该定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、合作交流的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.重点：平行线分线段成比例的定理及应用。

2.难点：理解平行线分线段成比例的原理，并能运用该定理解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作交流、启发引导等教学方法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示平行线分线段成比例的原理，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 说教学过程1.导入：通过展示实际生活中的平行线分线段成比例的例子，如桥梁、楼梯等，引发学生对平行线分线段成比例的好奇心，激发学习兴趣。

2.新课导入：介绍平行线分线段成比例的定理，引导学生通过观察、操作、推理等过程，理解并证明该定理。

3.实例分析：分析生活中常见的平行线分线段成比例的实例，让学生体会定理的应用价值。

4.巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生运用定理解决问题，提高他们的实际应用能力。

5.拓展提高：引导学生探讨平行线分线段成比例在实际工程中的应用，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

九年级上册数学教案 第3章图形的相似 3.2线段的比1

九年级上册数学教案 第3章图形的相似 3.2线段的比1

1.线段的比课型：新授课一、教学目标1．通过测量、计算、理解线段的比的概念．2．通过现实情境，进一步体验线段的比的意义。

3．通过线段的比的有关计算，培养学习的计算能力．二、重点及难点1．教学重点： 两条线段比的概念．2．教学难点 ： 正确理解两条线段的比及应用．三、教学方法：引导探究四、教学过程：（一） 诊断补偿:1. 回答问题：小学学过的比、比的前项和后项的概念．2. 指出a:b 的前项与后项，73的前项与后项。

（ 二）探究释疑：问题1、你能求出你的数学课本长与宽的比吗？请分别用厘米、毫米为单位测量并求出长与宽的比。

你会得到什么结论呢？两线段的比与所选用的长度单位有关吗？把学生分成二组，分别以厘米、毫米作为长度单位，量一下数学教材的长与宽（令长为a ，宽为b ）．再求出长与宽的比．然后找二名同学把结果写在黑板上．如：91130182260,182,260)2(911302.18262.18,26)1(========b a mm b mm a b a cm b cm a 则则问题2、P25做一做通过上述两题我们可以看出，在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比．两线段的比：在使用同一个长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比一般地：若a 、b 的长度分别是m 、n （单位相同），那么就说这两条线段的比是（或写成n m b a ）和数的比一样，a 叫比的前项，b 叫比的后项．就刚才二组学生做过的练习及问题回答，在教师启发和点拨下，让学生讨论两条线段的比应注意的问题，最后归纳出：（l ）两条线段的比就是它们的长度的比．（2）比与所选线段的长度单位无关，求比时，两条线段的长度单位要一致．（3）两条线段的比值总是正数．（三）精讲提炼例1 一个等腰三角形形状的梁架，腰AB =5米，底边BC =8米，AD 是底边BC 上的高，求AB AD AB BD 和点拨：本例利用我们学过的等腰三角形的知识及利用勾股定理可得出结论。