2016届高考数学一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法(Ⅱ)-求空间角课件 理

1 【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法（Ⅱ）-求空间角课后限时自测 理 苏教版

[A级 基础达标练]

一、填空题

1．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则BC1与截面BB1D1D所成的角为________．

图7­7­10

[解析] 显然A1C1→是面BB1D1D的法向量．

易知〈A1C1→，BC1→〉＝60°(△A1C1B为正三角形)，

故所求角为90°－60°＝30°.

[答案] 30°

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1如图7­7­11所示，则直线B1D和CD1所成的角为________．

图7­7­11

[解析] 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则射线CD1，B1D的方向向量分别是CD1→＝(－1,0,1)，B1D→＝(－1,1，－1)，cos〈CD1→，B1D→〉＝1＋0－12×3＝0，∴两直线所成的角为90°.

[答案] 90°

3．如图7­7­12，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线BD1和AB1所成的角的余弦值等于________；直线BD1和平面ACC1A1所成角的余弦值等于________． 2

图7­7­12

[解析] (1)建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，B1(2,2,1)，D1(0,0,1)．

所以BD1→＝(－2，－2,1)，AB1→＝(0,2,1)，

从而cos〈BD1→，AB1→〉＝0－4＋19·5＝－55.

故BD1和AB1所成的角的余弦值为55.

(2)易知：DB⊥平面ACC1A1，

所以平面ACC1A1的一条法向量为DB→＝(2,2,0)．

∴cos〈BD1→，DB→〉＝－4－4＋09·8＝－223.

设θ为BD1和平面ACC1A1所成的角，则sin θ＝223，因此，cos

2020年高三数学一轮复习 7.7.2立体几何中的向量方法(2)导学案 理

【学习目标】

1. 掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法。

2．会利用向量方法对距离进行转化。

【重点难点】

重点 ：空间角的定义、范围，求空间角的向量方法。

难点 ：求空间角的向量方法。

【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成

预习案

一、知识梳理

1． 空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.

(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足

sin θ＝|cos〈m，n〉|.

(3)求二面角的大小

1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB→，CD→〉．

2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．

2. 点面距的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝|AB→·n||n|.

二、基础自测

1．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为___________．

2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．

3．从空间一点P向二面角α—l—β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角α—l—β的大小为60°，则∠EPF的大小为__________．

4．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．

第一部分 一 13(文)

一、选择题

1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案] B

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足A的条件，故A错误；对于C，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足C的条件，但l与m不平行，故C错误；对于D，设平面α∥β，在β内取两条相交的直线l、m，满足D的条件，故D错误；对于B，由线面垂直的性质定理知B正确．

2．已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] C

[解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.

3．(2015·重庆文，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)

A.13＋2π B.13π6

C.7π3 D.5π2

[答案] B

[解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2；半圆锥的底面半径为1，高也为1，故其体积为π×12×2＋16×π×12×1＝13π6；故选B.

4.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下列四个结论不成立的是( )

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

2012届高考数学二轮复习资料

专题七 立体几何（理）（教师版）

【考纲解读】

1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。

4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。

5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.

6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.

7.空间平行与垂直关系的论证.

8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.

9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离.

【考点预测】

在2012年高考中立体几何命题有如下特点：

1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系．

2.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

3.多面体及简单多面体的概念、性质、三视图多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点．

此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【要点梳理】