一元二次方程及其解法应用

近年来，一元二次方程类数学题在中考中越来越灵活、创新，对学生们的要求也越来越高，要想让学生创新解决一元二次方程的方法，首先就要让学生理解并熟练掌握一元二次方程的性质及特点，这就要求老师在课前明确本节课的教学内容及目标、教学重点及难点是什么，确定一元二次方程教学课程在总课程中的安排和规划，明确了这些之后，贯穿到课堂教学中去，学生们会对一元二次方程有了更清晰的认识，更好地掌握这部分知识。

一、一元二次方程教学内容

教学一元二次方程的主要内容是：让学生知道什么是一元二次方程，它的概念是什么，并在这个基础上熟练地掌握如何解决一个一元二次方程，以及解方程的主要方法。比如，配方法、分解因式法、开平方法、公式法等，其主要目的在于让学生熟练掌握方程中的根和系数的相互关系，并能够运用一元二次方程推理和解决数学问题。在一元二次方程一节课中，教学的主要任务是让学生能够学会分解方程式，化简为繁，解出其中的x，并运用化归的思想，把握住给未知数“降次”的基本解题策略，熟练掌握并运用解方程中常用的法则去解决一元二次方程的初中数学问题，在课后练习中体会和感受一元二次方程在实际数学中发挥的作用，加强初中生运用方程式去解决数学模型问题的思想和能力。通过对以往几年的中考试卷以及考试大纲的总结，发现一元二次方程部分的教学重点是，学生对一元二次方程及其相关概念的理解和掌握，并对方程中的四种主要解法的掌握与运用能力，还有对根与系数的关系的理解，及时能够运用一元二次方程解决有关数学问题能力的培养。通过以往对初中数学的教学过程中发现，一元二次方程课程在整个中学生教学中是学习难点，也说明它对于学生来说是比较抽象化的知识，学生难以理解，因此在教学中更要加强对本章节重难点部分的教学。弄明白了教学重难点之后对课程进行具有针对性的教学，比如，学生觉得一元二次方程的四种解法比较难，那就多分配一些课堂教学时间在这一部分上，给学生多一些理解与消化这些知识的时间，放慢教学步伐，让学生更深入地理解这部分知识。

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

一、教学目标1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。二、重点难点疑点及解决办法1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。2.教学难点：根据数与数字关系找等量关系。3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。三、教学过程1.复习提问(1)列方程解应用问题的步骤?①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。(2)两个连续奇数的表示方法是，(n表示整数)2.例题讲解例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。分析：(1)两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，(2)设元(几种设法)a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为;c.设较小的奇数为，则另一个奇数。以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。解法(一) 设较小奇数为x，另一个为，据题意，得整理后，得解这个方程，得。由得，由得，答：这两个奇数是17，19或者-19，-17。解法(二)

设较小的奇数为，则较大的奇数为。据题意，得整理后，得解这个方程，得。当时，当时，。答：两个奇数分别为17，19;或者-19，-17。解法(三) 设较小的奇数为，则另一个奇数为。据题意，得整理后，得解得，，或。当时，。当时，。答：两个奇数分别为17，19;-19，-17。引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗?2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去?答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。3.选出三种方法中最简单的一种。练习1.两个连续整数的积是210，求这两个数。2.三个连续奇数的和是321，求这三个数。3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。分析：数与数字的关系是：两位数十位数字个位数字。三位数百位数字十位数字个位数字。解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。据题意，得，整理，得，解这个方程，得(不合题意，舍去)当时，答：这个两位数是24。以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。(35)教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。四、布置作业教材P42A 1、2补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。五、板书设计探究活动将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个?参考答案：精析：此题属于经营问题.设商品单价为(50+)元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为(500)个，为赚得8000元利润，则应有(500).故有=8000当时，50+=60，500=400当时，50+=80，500=200所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.

一元二次方程的解法及应用

【解一元二次方程】

1一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

2. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

3. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

.acxxabxx)2(a2ac4bbx)1(212122,1，；

【巩固训练】

1. 用开方法解一元二次方程

1）(5x－1)2＝16 2）(3x－2)2＝(2x＋1)2

3）(x－2)2＝3 4）05.1532x

2. 用公式法解方程

1）4x2＋9x＝0 2）x2―x―6＝0 3）x (x＋5)＝24

4）5x2＋7x＝6 5）085472xx

3.用因式分解法解方程

1)8x2+6x－35=0； 2)18x2－21x+5=0；

3) 20－9y－20y2=0； 4)6x2－13x+6=0；

5）(x－5)(x＋3)＋(x－3)(x＋4)＝9

4. 用配方法

1）x2＋3x＋1＝0 2）6x2＋x＝3 3）2x2＋7x－3＝0

5.选择合适的方法解下列方程

1）. x²+2√3x=1 2）. x²-2x-2=0