一元二次方程的解法与应用

一元二次方程的应用

题型一：面积体积变换

例1、 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为28米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多3米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

类题突破：在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园，有求花园所占的面积为荒地面积的一半。如图（1）是小明的设计方案，其中花园的四周小路的宽度相等，通过解方程小明等到小路的宽为2m或12m。如图（2）是小颖的设计方案，荒地每个角上的扇形都想同。

（1）你认为小明的结果对吗？为什么？

（2）你帮助小颖求出图（2）中的x吗？（取3.14，精确到0.1）

（3）你还有其他设计方案吗？

题型二 增长率问题

例2、2011年度某公司汽车改装厂开发生产出A型农用车，其成本价为为每辆2万元，出产价为每辆2.4万元，年销售量为10000辆。2012年该厂注重企业发展，全面提高A型农用车的科技含量，每辆A型农用车的成本价增长率为x，出厂价增长率为0.75x，预计年销量增长率为0.6x，该厂要使2012年销售A型农用车的年利润达到4028万元，问：A型农用车的成本增长率x为多少？该年度A型农用车的销售量应该是多少辆？

类题突破：某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少，据统计，2008年和2009年的近视眼人数合计只占2007年人数的75%，这两年平均每年近视人数降低的百分率是多少？

题型三：其他问题

例3、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了。通车后,苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米。已知运输车速度不变，行驶时间将从原来的3小时20分缩短到2小时。

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程

（2）若货物若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少？

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

一元二次方程的解法及应用

一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。

一、因式分解法

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。具体步骤如下：

1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；

2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；

3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；

4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。

二、配方法

配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。其主要步骤如下：

1. 将方程转化为标准形式； 2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；

3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；

4. 将方程的两边开平方，解出方程。

例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。

三、求根公式法

求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。具体步骤如下：

1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；

2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。

例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。

四、一元二次方程的应用

一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，其中包括但不限于以下几个方面：

一、教学目标1.使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。2.通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。3.通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。二、重点难点疑点及解决办法1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。2.教学难点：根据数与数字关系找等量关系。3.教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。4.解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。三、教学过程1.复习提问(1)列方程解应用问题的步骤?①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。(2)两个连续奇数的表示方法是，(n表示整数)2.例题讲解例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数。分析：(1)两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，(2)设元(几种设法)a.设较小的奇数为x，则另一奇数为，b.设较小的奇数为，则另一奇数为;c.设较小的奇数为，则另一个奇数。以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。解法(一) 设较小奇数为x，另一个为，据题意，得整理后，得解这个方程，得。由得，由得，答：这两个奇数是17，19或者-19，-17。解法(二)

设较小的奇数为，则较大的奇数为。据题意，得整理后，得解这个方程，得。当时，当时，。答：两个奇数分别为17，19;或者-19，-17。解法(三) 设较小的奇数为，则另一个奇数为。据题意，得整理后，得解得，，或。当时，。当时，。答：两个奇数分别为17，19;-19，-17。引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：1.三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗?2.解题中的x出现了负值，为什么不舍去?答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。3.选出三种方法中最简单的一种。练习1.两个连续整数的积是210，求这两个数。2.三个连续奇数的和是321，求这三个数。3.已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。分析：数与数字的关系是：两位数十位数字个位数字。三位数百位数字十位数字个位数字。解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。据题意，得，整理，得，解这个方程，得(不合题意，舍去)当时，答：这个两位数是24。以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。(35)教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。四、布置作业教材P42A 1、2补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。五、板书设计探究活动将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个?参考答案：精析：此题属于经营问题.设商品单价为(50+)元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为(500)个，为赚得8000元利润，则应有(500).故有=8000当时，50+=60，500=400当时，50+=80，500=200所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.