二元一次方程的解法与应用

二元一次方程组解法及运用

一、知识点回顾

知识点一：二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

注：1.①方程中有且只有一个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。③方程为整式方程。（三个条件完全满足的就是二元一次方程）

2. ①含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。

即若axm+byn=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1

例1：下列方程中是二元一次方程的是（ ）

A．3x-y2=0 B．2x+1y=1 C．3x-52y=6 D．4xy=3

例2 ：已知关于x,y的二元一次方程（2m-4)x -3 +(n+3)y|n|-2 =6,求m,n的值

知识点二：二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组（不必记）

注：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。

例1．下列方程组中，是二元一次方程是 ( )

A228423119...23754624xyxyabxBCDxybcyxxy

知识点三：方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。

方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。

例1已知12xy是关于x,y的二元一次方程组2635axyxby的解，求２a+b的值．

例２已知方程组44axy，(1)2x+by=14，(2)由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 m2 26xy，， 乙看错了方程②中的b得到方程组的解为44.xy，若按正确的a、b计算，求原方程组的解．

知识点四：求二元一次方程的特殊解

例２：求二元一次方程2x+5y=30的①正整数解．②非负整数解

高中数学课堂教学优秀案例分析 ——解二元一次方程组的方法与应用

解二元一次方程组的方法与应用

在高中数学课堂中，解二元一次方程组是一个重要的内容，掌握解题方法和应用技巧对学生的数学能力提升具有重要作用。本文将分析一个优秀的高中数学课堂教学案例，探讨解二元一次方程组的方法与应用。

教学目标：

1. 理解二元一次方程组的概念和解的几何意义；

2. 掌握解二元一次方程组的代入消元和加减消元法；

3. 运用所学知识解决实际问题。

教学案例分析：

一、导入：

教师通过提问，引导学生回顾一元一次方程的求解方法，并通过图示“两直线相交于一点”引入二元一次方程组的概念。通过这种方式，激发学生的学习兴趣，为后续的学习做好铺垫。

二、解法讲解：

1. 代入消元法：

教师以一个简单的例子展示代入消元法的基本思想和步骤。通过将其中一个方程表达式代入到另一个方程中，消去其中一个变量，然后求解得到另一个变量的值。通过具体的示例，教师让学生理解代入消元法的原理和应用。 2. 加减消元法：

教师以另一个例子讲解加减消元法的基本思想和步骤。通过对方程组进行适当的加减运算，使得其中一个变量的系数相等或相反，从而相消掉。最后利用解得的变量值回代到方程中，求解另一个变量。通过实际的例子，让学生掌握加减消元法的原理和应用。

三、技巧总结：

在讲解完解法后，教师总结出代入消元法和加减消元法的应用场景和注意事项。比如，对于系数较小的方程组可以选择代入消元法，而对于系数较大的方程组则可以选择加减消元法。此外，要特别注意方程组的形式和变量系数的选择，以便简化计算过程。

四、应用实例：

为了提高学生对解二元一次方程组应用的理解和能力，教师给出一些实际问题，如两人一起搬砖完成工作、商品打折优惠等，要求学生利用所学知识建立方程组，并求解出变量的解释。通过解决实际问题，让学生感受到解二元一次方程组的实际应用价值，培养他们解决问题的能力。

五、拓展应用：

一元二次方程的应用

题型一：面积体积变换

例1、 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为28米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多3米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

类题突破：在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园，有求花园所占的面积为荒地面积的一半。如图（1）是小明的设计方案，其中花园的四周小路的宽度相等，通过解方程小明等到小路的宽为2m或12m。如图（2）是小颖的设计方案，荒地每个角上的扇形都想同。

（1）你认为小明的结果对吗？为什么？

（2）你帮助小颖求出图（2）中的x吗？（取3.14，精确到0.1）

（3）你还有其他设计方案吗？

题型二 增长率问题

例2、2011年度某公司汽车改装厂开发生产出A型农用车，其成本价为为每辆2万元，出产价为每辆2.4万元，年销售量为10000辆。2012年该厂注重企业发展，全面提高A型农用车的科技含量，每辆A型农用车的成本价增长率为x，出厂价增长率为0.75x，预计年销量增长率为0.6x，该厂要使2012年销售A型农用车的年利润达到4028万元，问：A型农用车的成本增长率x为多少？该年度A型农用车的销售量应该是多少辆？

类题突破：某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少，据统计，2008年和2009年的近视眼人数合计只占2007年人数的75%，这两年平均每年近视人数降低的百分率是多少？

题型三：其他问题

例3、2008年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了。通车后,苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米。已知运输车速度不变，行驶时间将从原来的3小时20分缩短到2小时。

（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程

（2）若货物若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少？

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）