【高中数学】第2章 2.4 曲线与方程【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第一册讲义

2.4 曲线与方程

学 习 目 标 核 心 素 养

1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．

2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)

3．学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法．

4．掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤．

5．掌握求轨迹方程的几种常用方法．(重点、难点)

6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质． 1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养．

2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养．

3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养．

4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养．

我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程．对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用．

1．曲线与方程的概念

一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．

一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是关于

x，y的解析式．

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：

①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；

②以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

那么，方程F(x，y)＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．

思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明．

[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．

思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？

[提示] 若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0．

2．两条曲线的交点坐标

曲线C1：F(x，y)＝0和曲线C2：G(x，y)＝0的交点坐标为方程组 Fx，y＝0，Gx，y＝0的实数解．

3．解析几何研究的主要问题

(1)由曲线求它的方程．

(2)利用方程研究曲线的性质．

4．求曲线的方程的步骤

5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法

(1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性

设曲线C的方程为：f(x，y)＝0，一般有如下规律：

①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；

②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；

③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．

另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上．因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

(2)根据曲线的方程画曲线

①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形．

②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符．

③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f(x，y)＝0，即为曲线C的方程． ( )

(2)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．

( )

(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样． ( )

(4)求轨迹方程就是求轨迹． ( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

[提示] (1)× 曲线的方程必须满足两个条件．

(2)× 以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(－4,6)就不在线段

AB上．

(3)√ 对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样．

(4)× 求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形．

2．点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值为( )

A．1或－5

B．－1或－5

C．－2或3 D．2或－3

B [由点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，得a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0得a＝－1或a＝－5．]

3．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称

C [将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C．]

4．平面上有三点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为 ．

y2＝8x(x≠0) [AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，由AB→⊥BC→得2x－y24＝0，即y2＝8x(x≠0)．]

曲线与方程关系的应用

【例1】 已知方程x2＋(y－1)2＝10．

(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；

(2)若点Mm2，－m在此方程表示的曲线上，求m的值．

[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，

(2)2＋(3－1)2＝6≠10，

∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，

点Q(2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．

(2)∵点Mm2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝m2，y＝－m适合上述方程，

即m22＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－185，

∴m的值为2或－185．

1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．

2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．

[跟进训练]

1．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是 ．

－12，＋∞ [由曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，

所以(－a)2＝a×(－a)＋2×a＋k，

即k＝2a2－2a＝2a－122－12，

所以k≥－12．]

由方程研究曲线的性质

【例2】 已知曲线C的方程是x4＋y2＝1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：

①曲线C关于原点对称；

②曲线C关于直线y＝x对称；

③曲线C所围成的区域的面积大于π．

其中，所有正确结论的序号是 ．

[思路探究] 分析关于原点对称的两个点(x，y)，(－x，－y)，是否都在曲线 上，可判断①；分析关于直线y＝x对称的两个点(x，y)，点(y，x)，是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．

①③ [将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；

将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误；

在曲线C上任取一点M(x0，y0)，x40＋y20＝1，∵|x0|≤1，

∴x40≤x20，

∴x20＋y20≥x40＋y20＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，

故③正确．

故正确的结论的序号是①③．]

讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面：

(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；

(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；

(3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)；

(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；

(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．

[跟进训练]

2．画出方程y＝x2－2|x|＋1的曲线．

[解] ∵y＝x2－2|x|＋1＝|x|－12＝||x|－1|，易知x∈R，y≥0．

用－x代替x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y，所以曲线关于y轴对称．

当x≥0时，y＝|x－1|＝ x－1x＞1，1－x0≤x≤1，

分段画出该方程的图像，即为y轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y＝x2－2|x|＋1的图像，如图所示．

直接法求曲线方程

【例3】 一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．

[思路探究] 利用动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍列等式，化简即可求出动点的轨迹方程．

[解] 设动点P(x，y)，

由题意，|x－8|＝2x－22＋y2，

两边平方可得：x2－16x＋64＝4x2－16x＋16＋4y2．

整理得：x216＋y212＝1．

所以动点的轨迹方程为：x216＋y212＝1．

直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．

(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．

提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．

[跟进训练]

3．如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．