下载文档原格式
平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标认知学习目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.难点：用向量的方法解决几何、物理等问题.二、知识要点梳理知识点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.知识点二：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或4.5.知识点三：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc a=c.但是；2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.知识点四：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量，，2.设，则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).三、规律方法指导1.向量在几何中的应用：(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件(3)求夹角问题，利用(4)求线段的长度，可以利用或2.向量在物理中的应用：(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；(2)向量在速度分解与合成中的作用.经典例题透析类型一：数量积的运算1．已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题序号是___________.思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.解析：②、④ .2．已知； (2) ；(3) 的夹角为30°，分别求.解析：(1)当时，或.(2)当时，.(3)当的夹角为30°时，.举一反三：【变式1】已知，求.解析：总结升华：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.类型二：模的问题3．已知向量满足，且的夹角为60°，求.解析：，且的夹角为60°；总结升华：要根据实际问题选取恰当的公式举一反三：【变式1】已知的夹角为，，，则等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解析：，，解得，故选B.总结升华：涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.类型三：夹角问题4．①已知，求向量与向量的夹角.②已知，夹角为，则___________.解析：①，故夹角为60°.②题意得.总结升华：求两个向量的夹角，需求得，及，或得出它们的关系，在求解过程中要注意夹角的范围，同时要正确理解公式.5．已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角.解析：由条件知且∴①②由①-②得，代入①∴∴即所求向量的夹角为.举一反三：【变式1】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.解析：法一：将两边平方得，则，故的夹角为30°.法二：数形结合总结升华：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角.解析：设为等腰三角形，，AD、BE为两直角边BC、AC的中线，以两直角边BC、AC所在的直线分别为，轴，建立直角坐标系，如图所示，并设，，则，.∴，，∴，又，，设AD与BE所成的钝角为角，则为与的夹角.∴，故所求的角为.类型四：综合应用问题6．已知向量.(1) 若； (2)求的最大值 .解析：(1)若，则.(2)==，的最大值为.7．设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，如图所示，求证：.思路点拨：由向量的数量积的定义可知：两向量、的数量积(其中是、的夹角)，它可以看成与在的方向上的投影之积，因此要证明等式可转化成：，而对该等式我们采用向量方法不难得证.解析：在中，，在中，∴，∴又∵在平行四边形ABCD中，，∴原等式左边右边.举一反三：【变式1】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.思路点拨：如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证.解析：以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，，则，，，，于是，，∵∴.学习成果测评基础达标：1.若·=0，，且则A. B. C. D．12.若=(1，1)，=2，，则=( )A．B．5 C．1 D．3.已知，是非零向量且满足，则与的夹角是( )A. B. C. D.4.在边长为1的正三角形ABC中，，则=________.5.设均为非零向量，则下面结论：①；②；③；④.正确的是_________.6.已知平面向量，=(3，-4)，=(2，x)，=(2，y)且//，，求以及和的夹角.7.已知(1)求与的夹角(2)求和(3)若作三角形ABC，求的面积.答案与解析：1.A2.A3.B4.5.①，③6.解：，解之，又与的夹角为90°.7.解：①解得：，又②③能力提升：1.已知向量=(x-5，3)，=(2，x)且则由x的值构成的集合是( )A. B. C. D.2.已知为非零的平面向量，甲:；乙:；则( )A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件.C．甲是乙的充要条件D．既不充分也不必要条件.3.已知向量且则向量等于A．B．C．D．4.若且，则向量与的夹角为( )A. B. C. D.5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的( )A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点6.设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为( )A．B． C． D．7.已知且与的夹角为，k的值是_________.8.若两个向量与的夹角为，则称向量为“向量积”，其长度，令已知，则=_____.9.设向量满足及(1)求所成角的大小；(2)求的值.10.已知，且存在实数k和t，使得且，试求的最小值.答案与解析：1.C2.B3.解：设联立解得选D.4.C5.D6.B7.-58.39.(1)而则，故与所成的角为(2)10.由题意可得，，，故有由知：，即可得，故即当t=-2时，有最小值为综合探究：1.△ABC中，点O为BC的中点，过点O作直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若，则m+n=( )A．2 B．1 C．4 D．2.设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为( )A． B． C．D．3.△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D为边BC上一点，，则 =( )A． B．C． D．44.F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若，=( )A．9 B．6 C．4 D．35.若向量不共线，，且，则向量的夹角为( )A．0 B．C．D．6.已知，且.(1)求的最值.(2)是否存在k的值，使.答案与解析：1.A2.A 解：由与在方向上的投影相同，可得：，即，.选A.3.A4.B5.D6.解：(1)，又θ∈，∴令令，则则∴m在[，1]上为增函数∴(2)由条件知：又，∴由得，即故存在满足题意.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
习题课——平面向量数量积的综合应用课后篇巩固探究1.已知a =(3,-2),b =(1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ).-B .C .-D .16161717λa +b 与a -2b 垂直,则(λa +b )·(a -2b )=0,又因为a =(3,-2),b =(1,0),故(3λ+1,-2λ)·(1,-2)=0,即4λ=0,解得λ=-.172.若△ABC 满足∠A=,AB=2,则下列三个式子:①,②,③中为定值的式子的个数为( )π2AB ·AC BA ·BC CA ·CB B .1C .2D .3因为=||||cos =0,AB ·AC AB AC π2所以为定值;AB ·AC 因为=||||cos B=||2=4,BA ·BC BA BC BA 所以为定值.BA ·BC 同理=||2,CA ·CB AC ||不是定值,故③不满足.故选C .ACABCD 中,AC 为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( )AB AC AD ·BD B .-6C .6D .8·()=()·(-2)=[(1,3)-(2,4)]·[(1,3)-2(2,4)]=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.·BD =BC AD ‒AB AC ‒AB AC AB 4.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角的余弦值为sin ,则b ·(2a -b )等于( )317π3B .-1C .-6D .-18|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根,则a 与b 夹角的取值范围是( )A .B .[0,π6][π3,π]D .[π3,23π][π6,π]a ,b 的夹角为θ,由题意得Δ≥0,即|a |2≥4a ·b ,∴cos θ=,∴θ≥.a ·b|a ||b |≤|a |24|a ||b |=12π3θ∈[0,π],∴θ∈.[π3,π]6.已知△ABC 中,||=10,=-16,D 为BC 边的中点,则||等于( )B AB ·AC AD B .5C .4D .3D 为BC 边的中点,∴).AD =12(AB +AC ∴||=|.AD 12|AB +AC 又∵||=10,且,BC BC =AC ‒AB ∴||=10,即()2=100,AC ‒AB AC ‒AB 即||2+||2-2=100.AC AB AC ·AB ∵=-16,∴||2+||2=68,AC ·AB AC AB 故()2=68-32=36.AC +AB ∴||=6,即||=3.故选D .AB +AC ADa =(2,4),b =(1,-2),若c =a -(a ·b )b ,则|c |=.a ·b =2×1+4×(-2)=-6,∴c =a -(a ·b )b =a +6b =(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),∴|c |==8.82+(-8)22828.已知向量a =(2,1),b =(-1,2),若a ,b 在向量c上的投影相等,且(c -a )·(c -b )=-,则向量c 的坐标为 .52c =(x ,y ),c 与a 的夹角为α,c 与b 的夹角为β.由已知有|a |cos α=|b |cos β,即,即(a -b )·c =0,即a ·c|c |=b ·c|c |0①,由已知(c -a )·(c -b )=-,即x 2+y 2-x-3y+=0②,①②联立得x=,x=,即c =.52521232(12,32)(12,32)如图,A 是半径为5的圆O 上的一个定点,单位向量在A 点处与圆O 相切,点P 是圆O 上的一个动AB 点,且点P 与点A 不重合,则的取值范围是 .AP ·AB如图所示,以AB 所在直线为x 轴,AO 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),B (1,0),(0,0),则=(1,0),=(x ,y ),所以=(x ,y )·(1,0)=x.因为点P 在圆x 2+(y-5)2=25上,所以-5≤x ≤5,AB AP AP ·AB ≤5.所以应填[-5,5].AP ·AB 答案[-5,5]导学号93774081已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m ,-(3+m )).OA OB OC (1)若点A ,B ,C 不能构成三角形,求实数m 应满足的条件;△ABC 为直角三角形,求实数m 的值.∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-m ,-(3+m )),若点A ,B ,C 不能构成三角形,则这三点共线.∵=(3,1),OA OB OC AB (2-m ,1-m ),∴,即3(1-m )=2-m ,∴m=.AB ∥AC 12(2)若△ABC 为直角三角形,且①A 为直角,则,∴3(2-m )+(1-m )=0,解得m=.②B 为直角,AB ⊥AC 74=(-1-m ,-m ),则,BC AB ⊥BC ∴3(-1-m )+(-m )=0,解得m=-.③C 为直角,则,∴(2-m )(-1-m )+(1-m )(-m )=0,解得m=.34BC ⊥AC 1±52综上所述,m=或m=-或m=74341±5导学号93774082已知AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条高,求证:△ABC 的三条高交于一点.,设BE ,CF 交于点H ,=b ,=c ,=h ,AB AC AH则=h -b ,=h -c ,=c -b .BH CH BC ∵,BH ⊥AC ,CH ⊥AB ∴{(ℎ-b )·c =0,(ℎ-c )·b =0,即{ℎ·c -b ·c =0,①ℎ·b -c·b =0,②由①-②,得h ·(c -b )=0,即=0,∴,∴AH 的延长线过点D ,从而AD ,BE ,CF 相交于一点H.AH ·BC AH ⊥BC 12.导学号93774083已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C 是直线OP 上的一点(其中OP OA OB O 为坐标原点).(1)求使取到最小值时的;CA ·CB OC (1)中求出的点C ,求cos ∠ACB.因为点C 是直线OP 上的一点,所以向量共线.设=t ,OC 与OP OC OP 则=t (2,1)=(2t ,t ),OC =(1-2t ,7-t ),CA =OA ‒OC =(5-2t ,1-t ),CB =OB ‒OC =(1-2t )(5-2t )+(7-t )(1-t )=5t 2-20t+12=5(t-2)2-8,CA ·CB 当t=2时,取得最小值,此时=(4,2).CA ·CB OC (2)当t=2时,=(-3,5),=(1,-.CA CB 所以||=,||==-3-5=-8.CA 34CB 2,CA ·CBcos ∠ACB==-.CA CB |CA ||CB |-834×241717。
