2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.5 空间向量的数量积

[对应学生用书P72]一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．二、空间向量的数量积由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用该公式可求夹角、距离．还可由a·b＝0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈a，b〉的大小确定．三、空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决．利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有：(1)线线平行．证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直．证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行．用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来．(4)线面垂直．用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行．①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直．①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 四、空间向量与空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．(1)求两异面直线所成的角可利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2 ，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]． 故实质上应有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. (2)求线面角．求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.(3)求二面角．基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n 1，n 2，利用cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|结合图形求得．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 解析：a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5. 答案：52．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 的形状是________．解析：△BCD 中，BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AB 2＞0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形． 答案：锐角三角形3．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵平面α的法向量u ＝(1,3，z )，v 与平面α平行，∴u ⊥v ， ∴u·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0， ∴z ＝3. 答案：34．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB ，AC 垂直，则向量a 为__________．解析：设a ＝(x ，y ，z )，AB ＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－3,2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案：(1,1,1)或(－1，－1，－1)5．已知A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (x,3，y ＋2)，且A 、B 、C 三点共线，则实数x ，y 的值分别为________、________.解析：若A 、B 、C 三点共线，则AB ，BC 也共线．AB ＝(1，－1,3)，BC ＝(x －2，－1，y ＋1)，∴1x －2＝1＝3y ＋1.∴x ＝3，y ＝2. 答案：3 26．已知向量p 关于基底{a ，b ，c }的坐标为(3,2，－1)，则p 关于基底{2a ，－b ，12c }的坐标是________．解析：由已知得p ＝3a ＋2b －c ， 则p ＝32(2a )＋(－2)(－b )＋(－2)⎝⎛⎭⎫12c .故p 关于基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫32，－2，－2 7．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b .∴a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝4－2m ＝0. ∴m ＝2. 答案：28．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：90°9．已知向量a ＝(cos θ，sin θ，1)，b ＝(3，－1,2)，则|2a －b |的最大值是________． 解析：因为2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1,0)， 所以|2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8sin (θ－π3)≤4.答案：410．平面α的法向量为u ＝(－1，－2，－1)，平面β的法向量为v ＝(2,4,2)，则不重合的平面α与平面β的位置关系为________．解析：∵v ＝－2(－1，－2，－1)＝－2u ， ∴v ∥u ，∴α∥β. 答案：平行11．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝ 13，则二面角A －CD －B 的大小为________．解析：如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA ，FB 〉为二面角的平面角， 由AB 2＝(AE ＋EF ＋FB )2得 13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE ，FB 〉， ∴cos 〈EA ，FB 〉＝－12，∴〈EA ，FB 〉＝120°. 即所求的二面角为120°. 答案：120°12.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB ，AC ，AD }为基底，则GE ＝________.解析：GE ＝AE －AG ＝AD ＋DE －23AM＝AD ＋14DB －13(AB ＋AC )＝AD ＋14AB －14AD －13AB －13AC＝－112AB －13AC ＋34AD .答案：－112AB －13AC ＋34AD13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为1，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，则1BB ＝(0,0,1)．∵B 1D ⊥平面ACD 1，∴1DB ＝(1,1,1)为平面ACD 1的法向量． 设BB 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝|1BB ·DB 1||1BB ||1B D |＝13＝33，∴cos θ＝63. 答案：6314．已知OA ＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA ·QB 取得最小值时，点Q 的坐标为________．解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )， 则QA ＝(1－x,2－x,3－2x )，QB ＝(2－x,1－x,2－2x )． ∴QA ·QB ＝6x 2－16x ＋10， ∴x ＝43时，QA ·QB 最小，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：⎝⎛⎭⎫43，43，83二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA '＋BC ＋23AB ，并在图中标出其结果；(2)设M 是BD 的中点，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN ＝αAB ＋βAD ＋γAA '，试求α、β、γ的值．解：(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ， 使GH ＝23DC ，连接AH ，则AH ＝12AA '＋BC ＋23AB .AH 如图所示．(2)MN ＝MB ＋BN ＝12DB ＋34BC ' ＝12(AB －AD )＋34(AA '＋AD ) ＝12AB ＋14AD ＋34AA '. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.16．(本小题满分14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB ，b ＝AC .(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解：a ＝AB ＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC ＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.17．(本小题满分14分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1；(2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明：如图所示，以C 1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于1BC ＝(0，－2，－2)，1AB ＝(－2,2，－2)， ∴1BC ·1AB ＝0－4＋4＝0， 即1BC ⊥1AB ，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED ＝(0,1,1)，又1BC ＝(0，－2，－2)， ∴ED ＝－121BC ，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .18．(本小题满分16分)正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点， 得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， ∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)， 设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E －DF －C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t,0)，则AP ·DE ＝3t －2＝0， ∴t ＝233，又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,23－t,0)， ∵BP ∥PC ，∴(s －2)(23－t )＝－st ， ∴3s ＋t ＝2 3.把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13·BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时BP BC ＝13.19．(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． 解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C .又因为A 1C ⊥CD ，且CD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图，以C 为坐标原点， CB 、CD 、CA 1为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系C －xyz ， 则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)， M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·1A B ＝0，n ·BE ＝0.又1A B ＝(3，0，－23)，BE ＝(－1,2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3.所以n ＝(2,1，3)． 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. 因为CM ＝(0,1，3)所以sin θ＝|cos 〈n ，CM 〉|＝|n ·CM |n ||CM ||＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. (3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0.又1A D ＝(0，2，－23)，DP ＝(p ，－2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0. 令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3.所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．20．(山东高考)(本小题满分16分) 如图所示，在三棱锥P －ABQ中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ ＝(0,2，－1)， DP ＝(－1，－1，2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ ＝0，m ·FQ ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0， 取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP ＝0，n ·CP ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45. 因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.。

§3.1　空间向量及其运算3.1.1　空间向量及其线性运算学习目标　1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一　空间向量的概念思考　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案　在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理　(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作，其模记为|a |或||.AB → AB→ (2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二　空间向量及其线性运算1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作＝a ，＝b ，＝c ，与平面向量的运算OA → OB → AB→一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：＝＋＝a ＋c ；OB→ OA → AB → ＝－＝a －b ＝－c .BA→ OA → OB → 若P 在直线OA 上，则＝λa (λ∈R )．OP→ 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．知识点三　共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线．2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√)3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一　空间向量的概念及应用例1　如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与相等的所有向量；AB→ (2)试写出的相反向量；AA 1—→ (3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量的模．AC 1—→ 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．AB→ A 1B 1—→ DC → D 1C 1—→(2)向量的相反向量有，，，，共4个．AA 1—→ A 1A —→ B 1B —→ C 1C —→ D 1D—→ (3)||＝AC 1—→ |AB →|2＋|AD → |2＋|AA 1—→ |2 ＝＝＝3.22＋22＋129引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量．5解　(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，AA ′—→ A ′A —→ BB ′—→ B ′B—→，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位CC ′—→ C ′C ——→ DD ′—→ D ′D——→ 向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有，55AD ′—→ ，，，，，，.D ′A ——→ A ′D ——→ DA ′—→ BC ′—→ C ′B ——→ B ′C ——→ CB ′—→ 反思与感悟　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1　给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有＝；AC → A 1C 1→ ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的命题的序号为________．答案　①②解析　两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有＝成立，故③正确；④显然正确．AC→ A 1C 1—→类型二　空间向量的线性运算例2　如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)－；AA ′—→ CB → (2)＋＋.AA ′—→ AB → B ′C ′——→ 解　(1)－＝－＝＋＝.AA ′—→ CB → AA ′—→ DA → AA ′—→ AD → AD ′—→(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.AA ′—→ AB → B ′C ′——→ AA ′—→ AB → B ′C ′——→ AB ′—→ B ′C ′——→ AC ′—→ 向量，如图所示．AD ′—→ AC ′—→引申探究利用本例题图，化简＋＋＋.AA ′—→ A ′B ′——→ B ′C ′——→ C ′A—→ 解　结合加法运算，得＋＝，＋＝，＋＝0.AA ′—→ A ′B ′——→ AB ′—→ AB ′—→ B ′C ′——→ AC ′—→ AC ′—→ C ′A—→ 故＋＋＋＝0.AA ′—→ A ′B ′——→ B ′C ′——→ C ′A—→ 反思与感悟　1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2　在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.AC→ AB ′—→ AD ′—→ AC ′—→证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴＝＋，＝＋，＝＋，AC→ AB → AD → AB ′—→ AB → AA ′—→ AD ′—→ AD → AA ′—→ ∴＋＋AC→ AB ′—→ AD ′—→＝(＋)＋(＋)＋(＋)AB → AD → AB → AA ′—→ AD→ AA ′—→ ＝2(＋＋)．AB→ AD → AA ′—→ 又∵＝，＝，AA ′—→ CC ′—→ AD → BC → ∴＋＋＝＋＋＝＋＝.AB → AD → AA ′—→ AB → BC → CC ′—→ AC → CC ′—→ AC ′—→ ∴＋＋＝2.AC→ AB ′—→ AD ′—→ AC ′—→ 类型三　向量共线定理的理解与应用例3　如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且＝2，F 在对角A 1E —→ ED 1—→ 线A 1C 上，且＝.A 1F —→ 23FC—→求证：E ，F ，B 三点共线．证明　设＝a ，＝b ，＝c ，AB → AD→ AA 1—→ 因为＝2，＝，A 1E —→ ED 1—→ A 1F —→ 23FC → 所以＝，＝，A 1E —→ 23A 1D 1—→ A 1F —→ 25A 1C —→ 所以＝＝b ，A 1E —→ 23AD→ 23＝(－)＝(＋－)A 1F —→ 25AC → AA 1—→ 25AB → AD → AA 1—→ ＝a ＋b －c .252525所以＝－＝a ＋b －c －b ＝a －b －c ＝.EF → A 1F —→ A 1E —→ 25252523254152525(a －23b －c )又＝＋＋＝－b －c ＋a ＝a －b －c ，EB → EA 1—→ A 1A —→ AB→ 2323所以＝，EF → 25EB → 又因为与有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．EF→ EB → 反思与感悟　1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )．3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线(1)是否存在实数λ，使＝λ.PA → PB→ (2)对空间任意一点O ，是否有＝＋t .OP→ OA → AB → (3)对空间任意一点O ，是否有＝x ＋y (x ＋y ＝1)．OP → OA → OB→ 跟踪训练3　如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用，表AB→ CD → 示向量.EF→解　＝－EF→ AF → AE → ＝(＋)－12AB → AC → 12AD →＝－(－)＝－.12AB → 12AD → AC → 12AB → 12CD →1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是＋＝.AB→ AD → AC → 答案　②解析　若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有＋＝，故④不正确．AB→ AD → AC → 2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量相等的向A ′B ′→ 量有________个．答案　33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋AB → BC → CC 1—→ AA 1—→ A 1D 1—→ D 1C 1—→ AB→ BB 1—→ B 1C 1—→ AA 1—→ A 1B 1—→ .其中运算的结果为的有________个．B 1C 1—→ AC 1—→ 答案　4解析　根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(＋)AB→ BC → ＋＝＋＝；CC 1—→ AC → CC 1—→ AC 1—→ ②(＋)＋＝＋＝；AA 1—→ A 1D 1—→ D 1C 1—→ AD 1—→ D 1C 1—→ AC 1—→ ③(＋)＋＝＋＝；AB→ BB 1—→ B 1C 1—→ AB 1—→ B 1C 1—→ AC 1—→ ④(＋)＋＝＋＝.AA 1—→ A 1B 1—→ B 1C 1—→ AB 1—→ B 1C 1—→ AC 1—→ 所以4个式子的运算结果都是.AC 1—→ 4．化简2＋2＋3＋3＋＝________.AB → BC → CD → DA→ AC → 答案　0解析　2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0.AB → BC → CD → DA → AC → AB → BC → CD → DA→ CD → DA → AC → 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________.考点　空间向量的数乘运算题点　空间共线向量定理及应用答案　±1解析　由k e1＋e2与e1＋k e2共线，得k e1＋e2＝λ(e1＋k e2)，即Error!故k＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号)①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律；③只有零向量的模等于0；④共线的单位向量都相等．答案　④解析　容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，＝c ，则＝________.(用a ，b ，c 表AB → BC → AD → CD→ 示)答案　c －a －b 解析　如图，∵＋＋＋＝0，AB→ BC → CD → DA → 即a ＋b ＋－c ＝0，CD→ ∴＝c －a －b .CD→ 3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，－＋－＝________.AB→ CD → BC → DA → 答案　2AC→解析　－＋－＝(＋)－(＋)AB → CD → BC → DA → AB → BC → CD→ DA → ＝－＝2.AC → CA → AC → 4．对于空间中的非零向量，，，有下列各式：AB→ BC → AC → ①AB ＋＝；②－＝；③|A |＋|B |＝|A |；④|A |－|A |＝|B |.其中一定BC → AC → AB → AC → BC → B → C → C → B → C → C→ 不成立的是____________．(填序号)答案　②解析　根据空间向量的加减法运算，对于①：A ＋B ＝A 恒成立；对于③：当B → C → C→ A ，B ，A 方向相同时，有|A |＋|B |＝|A |；对于④：当B ，A ，A 在一条直B → C → C → B → C → C → C → B → C→ 线上且B 与A ，A 方向相反时，有|A |－|A |＝|B |.C → B → C → B → C → C→ 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则＋－－化AB → 12BC → 32DE→ AD → 简的结果为________．答案　0解析　延长DE 交边BC 于点F ，则＋＝，＋＝＋AB → 12BC → AF → 32DE→ AD → DF → AD → ＝＋＝，AD→ DF → AF → 故＋－－＝－＝0.AB → 12BC → 32DE→ AD → AF → AF →6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，＋＋＝________，－＋＝________.AB → AD → AA 1→ DD1→ AB → BC →答案 AC 1—→ BD 1—→解析　＋＋＝＋＋＝，AB → AD → AA 1—→ AB → BC → CC 1—→ AC 1—→ －＋＝－(－)DD 1—→ AB → BC → DD 1—→ AB → AD → ＝－＝.DD 1—→ DB → BD 1—→ 7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C ＝a ，C ＝b ，C 1＝c ，则＝________.A → B → C→ A 1B —→ 答案　－a ＋b －c解析　如图，＝＋＝＋(－)A 1B —→ A 1A —→ AB →C 1C —→ CB → CA → ＝－＋－＝－c ＋b －a .CC 1—→ CB → CA → 8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，＝，＝x ＋y (＋)，则A 1E —→ 14A 1C 1—→ AE → AA 1—→ AB → AD → x ＝________，y ＝________.答案　1　14解析　∵＝＋＝＋AE → AA 1—→ A 1E —→ AA 1—→ 14A 1C 1—→＝＋＝＋(＋)，AA 1—→ 14AC → AA 1—→ 14AB → AD → ∴x ＝1，y ＝.149．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且＝＋m －nAF → AD → AB → ，则m ，n 的值分别是________．AA 1—→ 答案　，－1212解析　由于＝＋＝＋(＋)AF → AD → DF → AD → 12DC → DD 1—→ ＝＋＋，AD → 12AB → 12AA 1—→ 所以m ＝，n ＝－.121210．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号)①＋＋＋＝0；EB → BF → EH → GH → ②＋＋＋＝0；EB → FC → EH → GE →③＋＋＋＝0；EF → FG → EH → GH → ④－＋＋＝0.EF → FB → CG → GH → 答案　②解析　易知四边形EFGH 为平行四边形，所以＋＋＋＝＋＋＋EB → FC → EH → GE → EB → BF → GE → EH →＝＋＝0.EF → GH → 11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，＝a －2c ，＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的AB → CD → 中点分别为E ，F ，则＝________.(用向量a ，b ，c 表示)EF →答案　3a ＋3b －5c解析　设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则＝＋EF → EG → GF →＝＋12AB → 12CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )1212＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)＋；AB → BC → (2)＋＋；AB → AD → AA ′—→ (3)＋＋；AB → CB → AA ′—→ (4)＋－.AC ′—→ D ′B —→ DC → 解　(1)＋＝.AB → BC → AC → (2)＋＋＝＋AB → AD → AA ′—→ AC → AA ′—→＝.AC ′—→ (3)＋＋＝＋＋＝＋＋＝.AB → CB → AA ′—→ AB → DA → BB ′—→ DA → AB → BB ′—→ DB ′—→ (4)＋－＝(＋＋)＋(＋＋)－＝.AC ′—→ D ′B —→ DC → AB → BC → CC ′—→ DA → DC → C ′C —→ DC → DC → 13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若＝＋x ＋y ，求x ，y 的值．AE → 12OD → OB → OA →解　∵＝＋＋AE → AB → BC → CE →＝－＋－－OB → OA → OC → OB → 12OC →＝－＋＝－＋(＋)OA → 12OC → OA → 12OD → DC → ＝－＋(＋)OA → 12OD → AB → ＝－＋＋(－)OA → 12OD → 12OB → OA →＝－＋＋，32OA → 12OD → 12OB → ∴x ＝，y ＝－.1232三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知＝2e 1＋k e 2，＝e 1＋3e 2，＝2e 1－e 2，AB → CB → CD → 且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案　－8解析　∵＝＋＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，BD → BC → CD → 又∵A ，B ，D 三点共线，∴＝λ，AB → BD → 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴Error!∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：＝(＋＋)．AG → 13AB → AC → AD →证明　连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知＝.BG → 23BE → ∵E 为CD 的中点，∴＝＋.BE → 12BC → 12BD → ∴＝＋＝＋AG → AB → BG → AB → 23BE →＝＋(＋)AB → 13BC → BD → ＝＋[(－)＋(－)]AB → 13AC → AB → AD → AB → ＝(＋＋)．13AB → AC → AD →。

[对应学生用书]一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．二、空间向量的数量积由·＝〈，〉可知，利用该公式可求夹角、距离．还可由·＝来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈，〉的大小确定．三、空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决．利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有：()线线平行．证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．()线线垂直．证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且⊥⇔·＝.()线面平行．用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来．()线面垂直．用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．()面面平行．①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．()面面垂直．①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．四、空间向量与空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．()求两异面直线所成的角可利用公式〈，〉＝，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是))，而两向量之间的夹角的范围是[，π]．故实质上应有θ＝〈，〉.()求线面角．求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是θ＝φ.()求二面角．基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，，利用〈，〉＝结合图形求得．见开试卷)))(时间分钟，满分分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．将答案填在题中的横线上)．已知＝(－)，＝(，，－)，且·＝，则的值是．解析：·＝－＋－＝，∴＝.答案：．设、、、是空间不共面的四点，且满足·＝，·＝，·＝，则△的形状是．解析：△中，·＝(－)·(－)＝＞，∴∠为锐角，同理，∠，∠均为锐角，∴△为锐角三角形．答案：锐角三角形．已知直线与平面α垂直，直线的一个方向向量为＝(，)，向量＝(，－)与平面α平行，则＝.解析：∵平面α的法向量＝(，)，与平面α平行，∴⊥，。

[对应学生用书P72]一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．二、空间向量的数量积由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用该公式可求夹角、距离．还可由a·b＝0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈a，b〉的大小确定．三、空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决．利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有：(1)线线平行．证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直．证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行．用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来．(4)线面垂直．用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行．①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直．①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．四、空间向量与空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．(1)求两异面直线所成的角可利用公式cos 〈a ，b 〉＝，但务必注意两异面直线所a·b|a |·|b |成角θ的范围是，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．(0，π2]故实质上应有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.(2)求线面角．求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.(3)求二面角．基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n 1，n 2，利用cos 〈n 1，n 2〉＝结合图形求得．n 1·n 2|n 1||n 2|[对应阶段质量检测(三)见8开试卷](时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________．解析：a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5.答案：52．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD＝0，则△BCD 的形状是________．AB 解析：△BCD 中，BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AB2＞0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：锐角三角形3．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵平面α的法向量u ＝(1,3，z )，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，∴u·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0，∴z ＝3.答案：34．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝，且a 分别与AB，3AC垂直，则向量a 为__________．解析：设a ＝(x ，y ，z )，AB＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－3,2)．则Error!解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案：(1,1,1)或(－1，－1，－1)5．已知A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (x,3，y ＋2)，且A 、B 、C 三点共线，则实数x ，y 的值分别为________、________.解析：若A 、B 、C 三点共线，则AB ，BC也共线．AB＝(1，－1,3)，BC ＝(x －2，－1，y ＋1)，∴＝1＝.∴x ＝3，y ＝2.1x －23y ＋1答案：3　26．已知向量p 关于基底{a ，b ，c }的坐标为(3,2，－1)，则p 关于基底{2a ，－b ，c }12的坐标是________．解析：由已知得p ＝3a ＋2b －c ，则p ＝(2a )＋(－2)(－b )＋(－2).32(12c)故p 关于基底的坐标为.{2a ，－b ，12c }(32，－2，－2)答案：(32，－2，－2)7．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为________．解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b.∴a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝4－2m＝0.∴m＝2.答案：28．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________．解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：90°39．已知向量a＝(cos θ，sin θ，1)，b＝(，－1,2)，则|2a－b|的最大值是________．3解析：因为2a－b＝(2cos θ－，2sin θ＋1,0)，所以|2a－b|＝(2cos θ－\r(3))2＋(2sin θ＋1)2＝≤4.8＋8sin(θ－\f(π,3))答案：410．平面α的法向量为u＝(－1，－2，－1)，平面β的法向量为v＝(2,4,2)，则不重合的平面α与平面β的位置关系为________．解析：∵v＝－2(－1，－2，－1)＝－2u，∴v∥u，∴α∥β.答案：平行11．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将13△ACD折起使得AB＝，则二面角A－CD－B的大小为________．解析：如图，取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.据题意知AE⊥CD，313AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.且〈EA ，FB〉为二面角的平面角，由AB 2＝(AE ＋EF ＋FB)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE ，FB〉，∴cos 〈EA ，FB〉＝－，12∴〈EA ，FB〉＝120°.即所求的二面角为120°.答案：120°12.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD上一点，BE ＝3ED ，若以{AB ，AC ，AD}为基底，则GE ＝________.解析：GE ＝AE －AG＝AD ＋DE －AM23＝AD ＋DB －(AB ＋AC )1413＝AD ＋AB －AD －AB －AC 14141313＝－AB －AC ＋AD .1121334答案：－AB －AC ＋AD112133413．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为1，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，则1BB＝(0,0,1)．∵B 1D ⊥平面ACD 1，∴1DB＝(1,1,1)为平面ACD 1的法向量．设BB 1与平面ACD 1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，|·1|||| |1333∴cos θ＝.63答案：6314．已知OA ＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA ·QB取得最小值时，点Q 的坐标为________．解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA＝(1－x,2－x,3－2x )，QB＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA ·QB＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝时，QA ·QB 最小，这时Q .43(43，43，83)答案：(43，43，83)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)如图，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简AA ' ＋BC ＋AB，并在图中标出其结果；1223(2)设M 是BD 的中点，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的分点，设34MN ＝αAB ＋βAD ＋γAA '，试求α、β、γ的值．解：(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ，使GH ＝DC ，连接AH ，23则AH ＝AA ' ＋BC ＋AB.1223AH如图所示．(2)MN ＝MB ＋BN＝DB＋BC '1234＝(AB －AD )＋(AA ' ＋AD )1234＝AB ＋AD ＋AA ' .121434∴α＝，β＝，γ＝.12143416．(本小题满分14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB，b ＝AC .(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝AB＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝＝＝－，a ·b|a ||b |－1＋0＋02×51010∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－.1010(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0.即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－或k ＝2.5217．(本小题满分14分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1；(2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明：如图所示，以C 1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于1BC ＝(0，－2，－2)，1AB＝(－2,2，－2)，∴1BC ·1AB＝0－4＋4＝0，即1BC ⊥1AB，故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，连结DE .由于E (1,0,1)，∴ED ＝(0,1,1)，又1BC＝(0，－2，－2)，∴ED ＝－1BC，且ED 与BC 1不共线，12∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ，∴BC 1∥平面CA 1D .18．(本小题满分16分)正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出的值；如果不存在，BPBC 请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,2，0)，E (0，，1)，F (1，，0)，DF＝(1，，0)，3333DE ＝(0，，1)，DA＝(0,0,2)．3平面CDF 的法向量为DA＝(0,0,2)，设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!即Error!取n ＝(3，－，3)，3cos 〈DA，n 〉＝＝，·n | ||n |217所以二面角E －DF －C 的余弦值为.217(3)存在．设P (s ，t,0)，则AP ·DE＝t －2＝0，3∴t ＝，233又BP＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,2－t,0)，3∵BP ∥PC，∴(s －2)(2－t )＝－st ，3∴s ＋t ＝2.33把t ＝代入上式得s ＝，∴BP＝·BC ，2334313∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .此时＝.BPBC 1319．(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC .所以DE ⊥A 1C .又因为A 1C ⊥CD ，且CD ∩DE ＝D ，所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图，以C 为坐标原点，CB 、CD 、CA 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,2)，D (0,2,0)，3M (0,1，)，B (3,0,0)，3E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·1A B ＝0，n ·BE ＝0.又1A B＝(3，0，－2)，BE ＝(－1,2,0)，3所以Error!令y ＝1，则x ＝2，z ＝.所以n ＝(2,1，)．33设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM ＝(0,1，)3所以sin θ＝|cos 〈n ，CM 〉|＝||＝＝.n ·|n |||48×422所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为.π4(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0.又1A D ＝(0，2，－2)，DP ＝(p ，－2,0)，3所以Error!令x ＝2，则y ＝p ，z ＝.所以m ＝.p3(2，p ，p3)平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．20．(山东高考)(本小题满分16分) 如图所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ ＝(0,2，－1)，DP ＝(－1，－1，2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ ＝0，m ·FQ ＝0，得Error!取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP ＝0，n ·CP ＝0，得Error!取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝＝.m·n |m ||n |45因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－.45。

.3.1.3空间向量基本定理[对应学生用书P53]某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m，再往东600 m处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m”、“东600 m”、“5楼”这三个量确定，设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p表示出来．提示：p＝1 000e1＋600e2＋14e3.1．空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝x e1＋y e2＋z e3.2．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得OP＝x OA＋y OB＋z OC.空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e1，e2，e3不共面时，空间任何一向量才可以用e1，e2，e3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底． 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54][例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．[思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．[一点通] 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a ，b ，c }下，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }． 其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA ，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝1AC .由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC }能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD ＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA 、OB 、OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA ＝x OB ＋y OC 成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA ＝x OB ＋y OC ， ∴OA ，OB ，OC 不共面．故{OA ，OB ，OC }能作为空间的一个基底， 设OD ＝p OA ＋q OB ＋z OC ，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3) ＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30.∴OD ＝17OA －5OB －30OC .[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，试用向量a、b 、c 表示向量GH.[思路点拨][精解详析] GH ＝OH －OG ，∵OH ＝23OD ，∴OH ＝23×12(OB ＋OC )＝13(b ＋c )，OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋23AD＝OA ＋23(OD －OA )＝13OA ＋23×12(OB ＋OC )＝13a ＋13(b ＋c )， ∴GH ＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ，即GH ＝－13a .[一点通]用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD '＝x AD ＋y AB ＋z AA '； (2)AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA '. 解：(1)∵BD '＝BD ＋DD ' ＝BA ＋BC ＋DD ' ＝－AB ＋AD ＋AA '， 又BD '＝x AD ＋y AB ＋z AA '， ∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA '＋A E '＝AA '＋12A C ''＝AA '＋12(A B ''＋A D '')＝AA '＋12A B ''＋12A D ''＝12AD ＋12AB ＋AA ' 又AE ＝x AD ＋y AB ＋z AA ' ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.4．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF ，BE ，AE ，EF .解：连接BO ，则BF ＝12BP ＝12(BO ＋OP )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋12CP ＝－a ＋12(CO ＋OP )＝－a －12b ＋12c .AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋12(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF ＝12CB ＝12OA ＝12a.[例3] 证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨] 利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O 是AC 1的中点，则AO ＝121AC＝12(AB ＋BC ＋1CC ) ＝12(AB ＋AD ＋1AA )， 设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点， 则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋121BD＝AB ＋12(BA ＋AD ＋1DD )＝AB ＋12(－AB ＋AD ＋1AA )＝12(AB ＋AD ＋AA 1)，同理可证：AM ＝12(AB ＋AD ＋1AA )，AN ＝12(AB ＋AD ＋1AA )．由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．[一点通]用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤： (1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底； (3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＋1AB ＋1AD ＝21AC .证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC ＝AB ＋AD ，1AB ＝AB ＋1AA ，1AD ＝AD ＋1AA ，∴AC ＋1AB ＋1AD＝(AB ＋AD )＋(AB ＋1AA )＋(1AD ＋1AA ) ＝2(AB ＋AD ＋1AA )， 又1AA ＝1CC ，AD ＝BC ，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋1CC ＝1AC ， ∴AC ＋1AB ＋1AD ＝21AC .6．如图，M 、N 分别是四面体O -ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ .解：OP ＝OM ＋MP ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM )＝12OA ＋23(ON －12OA ) ＝16OA ＋23×12(OB ＋OC )＝16OA ＋13OB ＋13OC . OQ ＝OM ＋MQ ＝12OA ＋13MN＝12OA ＋13(ON －OM )＝12OA ＋13(ON －12OA ) ＝13OA ＋13×12(OB ＋OC )＝13OA ＋16OB ＋16OC .1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组． 答案：42.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE ＝12OD ＋x OB ＋y OA ，则x ＝________，y ＝________.解析：∵AE ＝OE －OA ＝12OC －OA ＝12(OD ＋DC )－OA ＝12OD ＋12AB －OA ＝12OD ＋12(OB －OA )－OA ＝12OD ＋12OB －32OA ， ∴x ＝12，y ＝－32.答案：12 －323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 是MN 的中点，取{OA ，OB ，OC }为基底，则OG ＝________.解析： 如图，OG ＝12(OM ＋ON )＝12OM ＋12×12(OB ＋OC ) ＝14OA ＋14OB ＋14OC ＝14(OA ＋OB ＋OC )． 答案：14(OA ＋OB ＋OC )4．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC '＝x AB ＋2y BC －3z CC '，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC '＝AB ＋BC ＋CC '＝x AB ＋2y BC －3z CC '， ∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1， 即x ＝1，y ＝12，z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面， ∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底． 答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3. 又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC和A 1D 的一个三等分点，且AM MC ＝12，A 1NND ＝2，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .解：如图所示，连接AN ，则MN ＝MA ＋AN 由ABCD 是平行四边形， 可知AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，MA ＝－13AC ＝－13(a ＋b )． ND ＝131A D ＝13(b －c )，AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝b －13(b －c )＝13(c ＋2b )，所以MN ＝MA ＋AN ＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )． 8．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝a ，OC ＝b ，OO '＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB '、O B '、AC '；(2)GH (G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB ′＝OB ＋BB '＝OA ＋OC ＋OO '＝a ＋b ＋c ，O B '＝O O '＋OB ＝O O '＋OA ＋OC ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC '＝AC ＋CC ′＝AB ＋AO ＋AA '＝OC ＋AA '－OA ＝b ＋c －a .(2)GH ＝GO ＋OH ＝－OG ＋OH＝－12(OB ′＋OC )＋12(OB '＋OO ') ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．。