【人教A版】数学必修一第四章 4.5.1函数的零点与方程的解

无实数根
函数的图象 与x轴的交点
(－1，0)、(3，0)
(1，0)
无交点
上述关系对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）及其相应 的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）也成立。
判别式 △=b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根
两个不相等的 实数根x1、x2
一、函数的零点
1.函数零点的定义：对于函数y=f(x)，我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
2.等价关系：
已知f(x)=x2－6x-7， 作出函数f(x)的图象，如下：
y
方程f(x)=0有实数解
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
－1 o
x 7
一、函数的零点
x
7
判断一个函数是否有零点、有几个零点，就是判断方程f(x)=0 是否有实数解、有几个实数解；也就是判断函数y=f(x)的图象 与x轴是否有交点、有几个交点。
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
(x1,0),(x2,0) (x1,0)
2
1
0
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图
. . . . .
4
由于函数f(x)在定义域(0，+∞)内 2
..
是增函数，所以它只有一个零点，即相
0 －2
应方程lnx+2x－6=0只有一个实数解。
－4 －6
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

由图知f(x)与g(x)有3个交点．
达标检测
1．函数 f(x)＝2x2－3x＋1 的零点是( B )
A．－12，－1
B.12，1
C.12，－1
方程 2x2－3x＋1＝0 的两根为 x1＝1，x2＝12， ∴函数 f(x)＝2x2－3x＋1 的零点是12，1.
D．－12，1
达标检测
2．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有交点，则该函数的所有零点之和是( A )
由f(x)＝g(x)－h(x)＝0得g(x)＝h(x)，作y1＝g(x)和y2＝h(x)的图 象，根据两图象交点的个数来判定零点个数．
y＝f(x)的图象在 [a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜ 0可判断y＝f(x)在 (a，b)内至少有一个零点．若y＝f(x)在 (a，b) 上是单调函数，则f(x)在 (a，b)内只有一个零点．
活学活用
1．已知函数 f(x)＝21x＋－lo1g，2xx，≤x1＞，1， 则函数 f(x)的零点为( D )
A. 12，0
B．－2,0
C.
1 2
D．0
当 x≤1 时，令 2x－1＝0，得 x＝0. 当 x＞1 时，令 1＋log2x＝0，得 x＝12，此时无解． 综上所述，函数零点为 0.
题型探究
题 型 二
判 断 函 数 零 点 所 在 的 区 间
[例 2] 函数 f(x)＝ln x－2x的零点所在的大致区间是( B )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(e，＋∞)
∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0， ∴在(1,2)内f(x)无零点；
又 f(3)＝ln 3－23＞0， ∴f(2)·f(3)＜0， ∴f(x)在(2,3)内有零点．

方程f (x) 0的实根
函数y f (x)的零点
说明： 根据函数零点的定义可知，函数f(x)的
零点就是f(x)＝0的根．因此判断一个函数是 否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x) ＝0是否有实根，有几个实根．
变式1. 求函数 f x xlnx 1 的零点个数
（易错，你注意了吗）
启示
找函数零点的方法
（1）图象在区间 a,b上是连续不断的一条曲线
（2） f (a) f (b) 0 那么，函数 y f (x) 在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c (a,b) 使得 f (c) 0 ，这个 c 就是方程 f (x) 0 的根.
例1. 判断正误
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则
3、三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
4、掌握零点的三种求法技能：方程法，零点存在性 定理（结合单调性），数形结合
课后作业 P144练习T1，T2， P155习题4.5 T2 ，T3， T7
◆方程 ln x 2x 6 0
有实数根吗? 如果有，能确定根的个数吗？
能求出根的近似值吗?
即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数， 即求y=lnx和y=－2x＋6=0图象交点个数. 画图可知这两个函数图象只有1个交点. ∴函数f(x)＝lnx＋2x－6零点只有一个.
反思
1、一个概念、一个定理 （1）函数零点的概念 （2）函数零点的等价说法 （3）零点存在性定理及推论
2、两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
视察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： y
在区间[-2，1]上有零点_－__1___；
f(-2)=___5____，f(1)=__－__4___，

这一章学习了什么？
上一节课我们得出了三个函数模型的增长差 异，请用数学语言表述出来？
4.5.1 函数的零点与方程的解
请你给出函数零点的等价表述？
通过探究，你发现零点附近有什么规律？
你能由此给出函数零点存在性定理吗？
此定理适合判断怎样的零点？什么样的零点无法判 断？
你还有更好的方 法吗？
例2
由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a. 故 g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). 令 g(x)＝0，即 ax(3x＋1)＝0， 解得 x＝0 或 x＝－31. 所以函数 g(x)＝bx2＋ax 的零点为 0 和－13.
例3
(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
角度1 判断函数零点个数
例4
求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.
法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0， ∴f(x)在(0，1)上必定存在零点. 又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数. 故函数f(x)有且只有一个零点. 法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1) 的草图. 由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点， 故f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
x
－3 －2 －1
0
1
2
34
y
6
m
－4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是
√A.(－3，－1)和(2，4)
B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2)