2019-2020学年新一线同步数学人教B版必修一练习：第三章测评 Word版含解析

第2课时　集合的表示方法课后篇巩固提升夯实基础1.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )A.{x|-3<x<11,x∈Q}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11,x=2k,k∈N+}D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}2.下列语句正确的是( )①0与{0}表示同一集合;②方程(x-1)2(x-2)=0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2};③集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.A.①③B.②③C.②D.都不对中0不是集合,②中方程(x-1)2(x-2)=0的所有解构成的集合可表示为{1,2},③中集合的元素不能一一列举出来,不能用列举法表示.3.集合{x|x为一条边长为2,一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.42为底边长时,30°角可以是顶角或底角两种情形;当2为腰长时,30°角也可以是顶角或底角两种情形.故集合中有4个元素.4.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{x|x=2 019}B.{y|(y-2 019)2=0}C.{x=2 019}D.{2 019}A,B,D 中都只有一个元素“2 019”,故它们都是相同的集合,而选项C 中虽然只有一个元素,但元素是等式x=2 019,而不是实数2 019,故此集合与其他三个集合不同.5.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是 .(用区间表示)A=,{x |x >-a 2}∵1∉A ,∴1≤-,即a ≤-2.a 2-∞,-2]6.用描述法表示集合为 . {-12,23,-34,45,…}x |x =(-1)n ·n n +1,n ∈N +}7.规定￿与￿是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数a ,b 有a ￿b=ab ,a ￿b=b (a 2+b 2+1).若-2<a<b<2,a ,b ∈Z ,则集合A=用列举法可表示为 . {x |x =2(a ⊗b )+a ⊕bb }-2<a<b<2,a ,b ∈Z ,得a=-1,b=0或a=0,b=1或a=-1,b=1.x=2(a ￿b )+=2ab+a 2+b 2+1=(a+b )2+1,(*)a ⊕b b 将a=-1,b=0代入(*)式,得x=2;将a=0,b=1代入(*)式,得x=2;将a=-1,b=1代入(*)式,得x=1,故A={1,2}.8.用适当的方法表示下列对象构成的集合:(1)绝对值不大于2的所有整数;(2)直线y=x+1与y 轴的交点坐标构成的集合;(3)函数y=图像上的所有点.1x由于|x|≤2,且x ∈Z ,所以x 的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合,用列举法可表示为{-2,-1,0,1,2},用描述法可表示为{x||x|≤2,x ∈Z }.(2)解方程组{x +y =1,x -y =-1,得{x =0,y =1.所以用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}.{x +y =1,x -y =-1(3)函数y=图像上的点可以用坐标(x ,y )表示,其满足的条件是y=,所以用描述法可表示为1x 1x .{(x ,y )|y =1x }10.已知A={x|x 2+px+q=x },B={x|(x-1)2+p (x-1)+q=x+1},当A={2}时,求集合B.A={2},得方程x 2+px+q=x 有两个相等的实根,且x=2.从而有解得{4+2p +q =2,(p -1)2-4q =0,{p =-3,q =4.从而B={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}.解方程(x-1)2-3(x-1)+4=x+1,得x=3±.2故B={3-,3+}.22能力提升{m|m=x|x|+y|y|+xy|xy|}1.(多选)已知x,y为非零实数,则集合M=中的元素可以为( )A.0B.-1C.1D.3x>0,y>0时,m=3;当x<0,y<0时,m=-1;当x>0,y<0时,m=-1;当x<0,y>0时,m=-1.故M中元素可以为-1,3.2.(多选)集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).关于元素与集合关系的判断不正确的是( )A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈BA中元素y是实数,不是点的坐标,故选项B,D不对.集合B中元素(x,y)是点的坐标,不是实数,所以选项A错.3.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )A.0B.2C.3D.6z=xy,x∈A,y∈B,所以z的取值有1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,故A*B={0,2,4},所以集合A*B的所有元素之和为0+2+4=6.。

2.2　不等式2.2.1　不等式及其性质课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)若x>1>y,则下列不等式成立的是( )A.x-1>1-yB.x-1>y-1C.x-y>1-yD.1-x>y-xx>1>y,∴x+(-1)>y+(-1),即B正确;x+(-y)>1+(-y),即C正确;1+(-x)>y+(-x),即D正确.2.设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论正确的是( )A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ac>bdD.ad >bc,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0,故A正确.3.要证成立,a,b应满足的条件是( )3a‒3b<3a-bA.ab<0且a>bB.ab>0且a>bC.ab<0有a<bD.ab>0且a>b或ab<0且a<b要证,只需证()3<()3,即证a-b-3+3<a-b ,即证3a ‒3b <3a -b 3a ‒3b 3a -b 3a 2b 3ab 23a b 2<,只需证ab 2<a 2b ,即证ab (b-a )<0.只需ab>0且b-a<0或ab<0,且b-a>0.故选D .3a 2b4.4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元,而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元.则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较,结果是( )A .2枝牡丹花贵B .3枝月季花贵C .相同D .不确定x ,y ,则4x+5y<22,6x+3y>24,而2枝牡丹花和3枝月季花的价格之差为2x-3y ,设2x-3y=m (4x+5y )+n (6x+3y )=(4m+6n )x+(5m+3n )y ,则4m+6n=2,5m+3n=-3,所以,m=-43,n=,即2x-3y=-(4x+5y )+(6x+3y )>-×22+×24=0,所以2x-3y>0,即2x>3y ,2枝牡丹花贵.11943119431195.下列四个不等式:①a<0<b ;②b<a<0;③b<0<a ;④0<b<a ;⑤b<a ,且ab>0;⑥a<b ,且ab<0.其中能使1a成立的是 .<1b 因为<0⇔b-a 与ab 异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都满足条件.1a <1b ⇔b -a ab6.已知三个不等式:①ab>0;②-<-;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成 c ad b 个正确命题.⇒bc>ad.{ab >0,-c a <-d b ∵-<-,∴.c ad b c a >d b 又ab>0,∴ab ·>ab ·,即bc>ad.c a db(2)⇒-<-.{ab >0,bc >ad c a d b ∵ab>0,∴>0.1ab 又bc>ad ,∴·bc>·ad ,即.1ab 1ab c a >d b ∴-<-.c ad b (3)⇒ab>0.{bc >ad ,-c a <-d b ∵-<-,c ad b ∴>0,即>0.c a ‒d b bc -ad ab 又bc>ad ,∴bc-ad>0.∴ab>0.7.已知a>b>0,比较的大小.a 3-b 3a 3+b 3与a -b a +ba>b>0,∴a-b>0.∵=(a-b )·,a 3-b 3a 3+b 3‒a -b a +b (a 2+ab +b 2a 3+b 3-a 2-ab +b 2a 3+b 3)=2ab (a -b )a 3+b 3∴>0.2ab (a -b )a 3+b 3∴>0,即.a 3-b 3a 3+b 3‒a -b a +b a 3-b 3a 3+b3>a -b a +b 能力提升1.如果[x ]表示不超过x 的最大整数,a=[-3.1],b=[m ],c=[7.1],且a ≤b ≤c ,那么实数m 的取值范围是 .,可知a=-4,c=7,所以-4≤b ≤7,再根据定义知,m 最小为-4,最大值不能达到8,因此m 的取值范围是-4≤m<8.4≤m<82.若a ,b ,c 满足b+c=3a 2-4a+6,b-c=a 2-4a+4,试比较a ,b ,c 三个实数的大小.b-c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0,∴b ≥c.由题意可得方程组{b +c =3a 2-4a +6,b -c =a 2-4a +4.解得b=2a 2-4a+5,c=a 2+1.∴c-a=a 2+1-a=>0,(a -12)2+34∴c>a ,故b ≥c>a.3.已知x>0,y>0,且x+y>2.求证:中至少有一个小于2.1+x y ,1+y x 假设都不小于2,1+x y ,1+y x 即≥2,≥2.1+x y 1+y x ∵x ,y>0,∴1+x ≥2y ,1+y ≥2x.∴2+x+y ≥2(x+y ),即x+y ≤2,与已知x+y>2矛盾.∴中至少有一个小于2.1+x y ,1+y x。

章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1 D ．⎝⎛⎭⎫2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B ．22C.3 D ．32【解析】 两平面间的距离d ＝|OA →·n||n|＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC1→＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A→，则abc 的值等于( ) 【导学号：15460084】A.16 B ．56C.76 D ．－16【解析】 ∵AC1→＝AB →＋AD →－A1A →＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB→＝－C1D1→B ．AB →·BC →＝0C.AA1→·B1D1→＝0 D ．AC1→·A1C→＝0 【解析】 如图，AB→∥C1D1→，AB →⊥BC →，AA1→⊥B1D1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 设BC 的中点为D ，则D (2,1,4)， ∴AD→＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝错误!＝3，即BC 边上的中线长为3. 【答案】 B8．若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A ．3B ．－3C ．－11D ．3或－11【解析】 因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B ．255C.155D ．105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC1→，AC →〉＝BC1→·AC →|BC1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105.【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B ．33C.23 D ．13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n·DC →|n||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋m AB →－n AA1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD1→)＝AD →＋12AB →＋12AA1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，0，－453，BD→＝(－3,4,0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n·PB →＝0，n·BD→＝0，得错误!即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，34，543. 又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n1·n|n1||n|＝32，∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【导学号：15460085】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】16－3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，2，C (－1,0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC→＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC→＝0，其中正确结论的序号是________． 【解析】 容易推出：SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD→，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC→＝0， 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA→为平面BAQ 的一个法向量． 又因为PC →＝(0，－2,1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ . 18.(本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA1→＝BA →＋AA1→＝BA→＋BB1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB1→·BA → ＝BB1→·BC→＝0， 所以BA1→·AC →＝(BA →＋BB1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB1→·BC →－BB1→·BA → ＝－1. 又|AC →|＝2，|BA1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19.(本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故CB→＝(3，0,0)，CP→＝(0,1,1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧CB →·n1＝0，CP→·n1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x1＝0，y1＋z1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为AP→＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧AP →·n2＝0，AB→·n2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z2＝0，3x2－y2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1,3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.20.(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥P A ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面P AB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面P AC ；(2)若直线PE 与平面P AC 所成的角的正弦值为55，求二面角A -PC -D 的余弦值．【解】 (1)证明：∵平面P AB ⊥平面ABCD ， 平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0,2,0)，E (2,1,0)，C (2,4,0)，P (0,0，λ)， ∴AC→＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，λ)，DE →＝(2，－1,0)， ∴DE →·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP→＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面P AC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面P AC .(2)由(1)知，平面P AC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2,1，－λ)，设直线PE 与平面P AC 所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0,0,2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2,2,0)，DP →＝(0，－2,2)，由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A -PC -D 的平面角是锐角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为155.21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面P AD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E -BD -C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，P A ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ， 即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b22＝0，则b ＝2a .①PD→＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a222a·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a,0)，BC →＝(a,2a,0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E -BD -C 的余弦值为66.22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE→＝(1,1,0)． (1)当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC1→＝(－2,0,2)． 所以BC1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ， 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧FE →·n＝0，FP→·n＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2 2，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．。

2019-2020学年人教B 版（2019）高中数学必修第一册同步学典（1）集合及其表示方法1、给出下列表述:①联合国常任理事国;③方程210x x +-=的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是( )A.①③B.①②C.①③④D.①②③④2、下列各组对象中不能够成集合的是（ ）A.大通学校的全体学生B.2009年全国经济百强县C.2010年考入北京大学的全体学生D.美国NBA 的篮球明星3、给出以下五个对象,其中能构成集合的有( )①你所在班中身高超过1.75m 的同学;②所有平行四边形;③某数学教辅书中的所有习题;④所有有理数;⑤2016年高考试卷中的所有难题.A.1个B.2个C.3个D.4个4、设,a b 都是非零实数,由||||||a b ab y a b ab =++的可能取值组成的集合为( ) A. {}3B. {}3,2,1C. {}3,1,1-D. {}3,1-5、方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不能表示为( ) A.3(,)|1x y x y x y ⎧+=⎫⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎪⎪⎩⎩⎭ B.1(,)|2x x y y ⎧=⎫⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭C.{}1,2D.{}(,)|1,2x y x y ==6、下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A.{}||1|0x x +=B.{}2|(1)0y y +=C.{}1x =-D.{}1-7、已知集合Ω中的三个元素,,l m n 分别是ABC △的三边长，则ABC △一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 8、集合{}(,)|21x y y x =-表示( )A.方程21y x =-B.点(,)x yC.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.一次函数21y x =-图象上的所有点组成的集合9、已知集合{}{}|3,Z ,|31,Z M x x n n N x x n n ==∈==+∈,{}|31,Z P x x n n ==-∈，且,,a M b N c P ∈∈∈，若d a b c =-+，则( )A.d M ∈B.d N ∈C.d P ∈D.d M ∈且d N ∈10、已知,x y 为非零实数，则集合|x y xy M m m x y xy ⎧⎫⎪⎪==++⎨⎬⎪⎪⎩⎭为( ) A.{}0,3 B.{}1,3 C.{}1,3- D.{}1,3-11、由下列对象组成的总体属于集合的是__________(填序号).① 不超过3的正整数:② 高一数学课本中所有的难题;③ 中国的大城市;④ 平方后等于自身的数;⑤ 某校高一(2)班中考数学成绩在90分以上的学生.12、设集合{}52,n M m m n n *==+∈N，且100m <，则集合M 中所有元素的和为 .13、若{}20,2,m m m ∈-则实数m 的值为__________14、以方程2230x x --=和方程220x x --=的解为元素的集合中共有__________个元素.15已知集合,求的值.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：②④中元素不能确定.2答案及解析：答案：D解析：3答案及解析：答案：D解析：①②③④能构成集合.4答案及解析：答案：D解析：①当,a b 同正时, 1113y =++=;②当,a b 同负时, 1111y =--+=-;③当,a b 一正一负时, 1y =-,故D 正确.5答案及解析：答案：C解析：原方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩，其解集中只含有一个元素，可表示为A,B,D,C 不符合，故选C.6答案及解析：答案：C解析：由集合的含义知{}{}{}2||1|0|(1)01x x y y +==+==-，而集合{}1x =-表示由方程1x =-组成的集合.故选C.7答案及解析：答案：D解析：因为集合中的元素是互异的，所以,,l m n 互不相等，即ABC △不可能是等腰三角形.故选D.8答案及解析：答案：D解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数21y x =-图象上的所有点组成的集合.故选D.9答案及解析：答案：B解析：由题意，设3,Z,31,Z,31,Z a k k b y y c m m =∈=+∈=-∈,则3(31)313()2d k y m k y m =-++-=-+-，令t k y m =-+，则Z t ∈，则323313(1)1,Z d t t t t =-=-+=-+∈，则d N ∈，故选B.10答案及解析：答案：C解析：当0,0x y >>时，3m =；当0,0x y <<时，1111m =--+=-；若,x y 异号，不妨设0,0x y ><，则1(1)(1)1m =+-+-=-.综上，3m =或-1，即{}1,3M =-.11答案及解析：答案：①④⑤解析：②中“难题”标准不明确,不满足确定性; ③中“大城市”标准不明确,不满足确定性.12答案及解析：答案：231解析：1n =时，15127m =⨯+=，2n =时，252214m =⨯+=，3n =时，353223m =⨯+=,4n =时，454236m =⨯+=,5n =时，555257m =⨯+=，6n =时，656294m =⨯+=，当7n >时，100m ≥不合要求.故M 中所有元素的和为71423365794231+++++=.13答案及解析：答案：∵{}20,2,m m m ∈-∴0m =或220m m -=当0m =时, 220m m -=,这与集合元素的互异性矛盾, 当220m m -=时, 0m =或(舍去)或2m = 故答案为: 2解析：14答案及解析：答案：3解析：因为方程2230x x --=的解是121,3x x =-=,方程220x x --=的解是,x x 3412=-=所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为1,2,3,-共有3个元素.15答案及解析：答案： 由有意义,得, 所以, 所以由得,故,于是有, ∴或. (1)当时,结合,知. 经检验,不符合题意.(2)当时,有或. 经检验,符合题意. 综上,知故。

阶段质量检测（三） 概 率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，两次都出现2点； ②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉； ③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生，故是随机事件；对于②，在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下，水加热到90 °C 会沸腾，是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310 D.710解析：选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A ，B )，(B ，C )，(C ，D )，(D ，E )4种，故P ＝410＝25.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中随机取一点，则点落在四棱锥O -ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13B.16解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O -ABCD 的体积为V6，所求概率为V6V ＝16.5．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：选B 该试验属于几何概型，所求事件构成的区域长度为2 m ，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m ，故灯与两端距离都大于2 m 的概率为26＝13.6．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 的子集的概率是( ) A.35 B.25 C.14D.18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19B.29C.13D.49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种，故概率为29.8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，列举可得，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中矩形有3个，所以所求的概率为315＝15.故选D.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为：甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有：甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3，共3个基本事件．因此P (A )＝39＝13.11．在2,0,1,6这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：选C 分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,6)，(1,2,6)，(0,1,6)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.12．设一元二次方程x 2＋Bx ＋C ＝0，若B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为( )A.112 B.736 C.1336 D.1936 解析：选D 因为B ，C 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，所以一共有36种情况．由方程有实数根知，Δ＝B 2－4C ≥0，显然B ≠1.当B ＝2时，C ＝1(1种)；当B ＝3时，C ＝1,2(2种)；当B ＝4时，C ＝1,2,3,4(4种)；当B ＝5时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)；当B ＝6时，C ＝1,2,3,4,5,6(6种)．故方程有实数根共有19种情况，所以方程有实数根的概率是1936.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是________．解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S 内切圆S 正方形≈7761 000，即π×1222≈7761 000，解得π≈3.104.答案：3.10414．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为________．解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1, 知该校共有教师120÷410＝300(人)．采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P ＝30300＝110. 答案：11015．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是________．解析：连接AC 交弧DE 于点F ，∠BAC ＝30°，P ＝弧EF 的长弧DE 的长＝13.答案：1316．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图所示，圆周上使的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧长为2，点B 落在优弧上就能使劣弧的长度小于1，所以劣弧的长度小于1的概率为23.答案：23三、解答题(本大题共6题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A ，求P (A )；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？ 解：(1)次品率依次为：0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)当n 充分大时，出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P (A )≈0.05.(3)设进货衬衣x 件，为保证1 000件衬衣为正品，则(1－0.05)x ≥1 000，得x ≥1 053. ∴至少需进货1 053件衬衣．18．(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．(1)用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝8 15.19．(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．解：(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝1－0.2－0.45－0.1－0.15＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求的概率P(A)＝410＝0.4.20．(本小题满分12分)投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．解：(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)共9种，其中落在区域C：x2＋y2≤10上的点P的坐标有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)共4种，故点P落在区域C：x2＋y2≤10上的概率为4 9 .(2)区域M 为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C 的面积为10π，则豆子落在区域M 上的概率为25π.21．(本小题满分12分)从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A ＝ 错误!.因为事件A 由4个基本事件组成， 所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝错误!.事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.22.(本小题满分12此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样本中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个数数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记“抽取的这2件商品来自相同地区”为事件D ，则事件D 包含的基本事件有 {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P(D)＝4 15，即这2件商品来自相同地区的概率为415.。

湖南武冈二中2021-2022学年高一上学期数学第三章函数的概念与性质单元测试人教版（2019）必修第一册考试范围：第三章函数的概念与性质；考试时间：100分钟；命题人：邓 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共40分)1．(本题4分)已知()f x 是一次函数，()()()()22315,2011f f f f -=--=，则()f x =（ ） A ．32x +B ．32x -C ．23x +D ．23x -2．(本题4分)函数221y x x =++，[]2,2x ∈-，则（ ） A ．函数有最小值0，最大值9 B ．函数有最小值2，最大值5 C ．函数有最小值2，最大值9D ．函数有最小值0，最大值53．(本题4分)下列各组函数()f x 与()g x 的图象相同的是（ ） A ．()()2,f x x g x ==B ．()()()22,1f x x g x x ==+C ．()()01,f x g x x ==D ．()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩4．(本题4分)已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足()1,=0,M x Mf x x M ∈⎧⎨∉⎩（M 是R的非空子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A B =∅，则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++的值域为（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．{}1C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．(本题4分)已知函数()y f x =的定义域为[)1,2-，则函数(2)y f x =+的定义域为（ ） A ．[]3,0-B ．(3,0)-C ．[)3,0-D ．(]3,0-6．(本题4分)若()232a =，233b =，231c ⎛⎫= ⎪，231()d =，则a ，b ，c ，a 的大小关系是（ ） A ．a b c d >>>B ．b a d c >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>7．(本题4分)已知()()22327m f x m m x-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则满足()11f a ->的实数a 的范国为（ ） A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞8．(本题4分)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+.若(1)1f =，则(1)(2)(3)(4)(2020)(2021)f f f f f f ++++++=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．20219．(本题4分)若函数2()2(1)2f x x a x =+-+，在(],5-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(],5-∞-B ．[)5,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-10．(本题4分)若不等式243x px x p +>+-，当04p ≤≤时恒成立，则x 的取值范围是（ ） A ．[]1,3- B ．(],1-∞- C ．[)3,+∞ D ．()(),13,-∞-+∞第II 卷（非选择题）二、填空题(共40分)11．(本题4分)已知函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则实数a 的取值范围是______．12．(本题4分)已知函数2(1)22f x x x -=++，则(2)f =___________.13．(本题4分)已知二次函数()f x 满足(0)2f =，()(1)21f x f x x --=+，则函数2(1)f x +的最小值为__________．14．(本题4分)已知函数21()2x f x x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，若()5f a =则a =___________.15．(本题4分)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f (2 019)＝___．16．(本题4分)已知函数()12,1x x f x -⎧≥=⎨，则满足不等式(1)((2))f a f f +≥的实数a 的取值范围为______.17．(本题4分)函数2()21x xf x ax =+-是偶函数，则实数a =__________． 18．(本题4分)已知函数()22f x x +=，则()f x =______．19．(本题4分)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2020f =，则(2019)(2020)f f +=___________.20．(本题4分)已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f -=_________．三、解答题(共70分)21．(本题8分)已知幂函数223()m m f x x --=(m ∈Z )为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数()f x ； （2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性. 22．(本题10分)已知函数f (x )＝2x 2＋1． （1）用定义证明f (x )是偶函数； （2）用定义证明f (x )在(－∞，0]上是减函数．23．(本题12分)设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数； （1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值． 24．(本题12分)已知函数2()|1||1|f x x m x a =-+++有最小值(2)4f =-， （1）作出函数()y f x =的图象， （2）写出函数(12)f x -的递增区间.25．(本题12分)已知函数f （x ）=()()1,01,1?x x x x ⎧<≤⎪⎨⎪>⎩（1）画出函数f （x ）的图像； （2）求函数f （x ）的值域；（3）求函数f （x ）的单调递增区间，单调递减区间. 26．(本题16分)已知函数11,1()11,01x xf x x x⎧-⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值； (2)是否存在实数a 、b （a b <），使得函数()y f x =的定义域、值域都是[,]a b .若存在，则求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由；(3)若存在实数a 、b （a b <）使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为[,]ma mb （0m ≠），求m 的取值范围.参考答案1．B 【分析】设函数()(0)f x kx b k =+≠，根据题意列出方程组，求得,k b 的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数()(0)f x kx b k =+≠，因为()()()()22315,2011f f f f -=--=，可得51k b k b -=⎧⎨+=⎩，解得3,2k b ==-，所以()32f x x =-. 故选：B. 2．A 【分析】求出二次函数的对称轴，判断在区间[]22-,上的单调性，进而可得最值. 【详解】()22211y x x x =++=+对称轴为1x =-，开口向上，所以221y x x =++在[]2,1--上单调递减，在[]1,2-上单调递增，所以当1x =-时，min 1210y =-+=，当2x =时，2max 22219y =+⨯+=，所以函数有最小值0，最大值9， 故选：A. 3．D 【分析】分别看每个选项中两个函数的定义域和解析式是否相同即得. 【详解】对于A ，()f x 的定义域是R ，()g x 的定义域是[)0+，∞，故不满足； 对于B ，()f x 与()g x 的解析式不同，故不满足；对于C ，()f x 的定义域是R ，()g x 的定义域是{}0x x ≠，故不满足；对于D ，()()f x g x =，满足 故选：D 4．B 【分析】讨论x 的取值，根据函数的新定义求出()F x 即可求解. 【详解】 当()Rx A B ∈⋃时，()0A B f x ⋃=，()0A f x =，()0B f x =，()1F x ∴=同理得：当x B ∈时，()1F x =； 当x A ∈时，()1F x =；故()()R 1,1,1,x A F x x B x A B ⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⋃⎩，即值域为{1}．故选：B 5．C 【分析】根据函数()y f x =的定义域为[)1,2-，则[)21,2x +∈-，从而可得出答案. 【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-， 所以122x -≤+<，解得-<3≤0x ， 所以函数函数(2)y f x =+的定义域为[)3,0-. 故选：C. 6．C 【分析】根据幂函数的概念，利用幂函数的性质即可求解. 【详解】203> ∴幂函数23y x =在()0,∞+上单调递增，又1132023>>>>， 22223333113223⎛⎫⎛⎫∴>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b acd ∴>>>故选：C. 7．D 【分析】由幂函数的定义求得m 的可能取值，再由单调性确定m 的值，得函数解析式，结合奇偶性求解. 【详解】由题意2271m m --=，解得4m =或2m =-， 又()f x 在()0,∞+上单调递增，所以203m ->，2m >， 所以4m =，23()f x x =，易知()f x 是偶函数， 所以由()11f a ->得11a ->，解得0a <或2a >. 故选：D. 8．B 【分析】先由奇函数的定义得到()00f =且()()f x f x -=-，再结合()()11f x f x -=+得到函数()f x 的周期性，进而利用()00f =，()11f =化简求解.【详解】因为()f x 是定义域为()∞∞-+，的奇函数， 所以()00f =且()()f x f x -=-， 又因为函数()f x 满足()()11f x f x -=+， 所以()()()111f x f x f x +=-=--， 令1x t +=，则()()2f t f t =--， 即()()2f x f x =--，则()()()24f x f x f x =--=-， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数， 因为()00f =，()11f =，所以()()420f f =-=，()()311f f =-=-， 则()()()()()()123420202021f f f f f f ++++⋯++ ()()()()()50012342021f f f f f ⎡⎤=++++⎣⎦()050041f =+⨯+ ()11f ==.故选：B. 9．D 【分析】根据二次函数的开口方向以及对称轴确定出a 满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()f x 的对称轴为1x a =-且开口向上，且在(],5-∞上是减函数， 所以15a -≥，所以4a ≤-， 故选：D. 10．D 【分析】由已知可得()2min [143]0x p x x -+-+>，结合一次函数的性质求x 的范围.【详解】不等式243x px x p +>+-可化为()21430x p x x -+-+>， 由已知可得()21430min x p x x ⎡⎤-+-+>⎣⎦令()()2143x p x f x p +--+=，可得()()()220430441430f x x f x x x ⎧=-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩∈ 1x <-或3x >， 故选D. 11．2a ≤ 【分析】求出二次函数的对称轴，即可得()f x 的单增区间，即可求解. 【详解】函数()223f x x ax =-+的对称轴是x a =，开口向上，若函数()223f x x ax =-+在区间[]28,是单调递增函数，则2a ≤， 故答案为：2a ≤． 12．17 【分析】先令12x -=，得3x =，再把3x =代入函数中可求得答案 【详解】解：令12x -=，得3x =， 所以2(2)323217f =+⨯+=， 故答案为：17 13．5． 【分析】根据()f x 为二次函数可设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)2f =可得2c =，再根据()(1)21f x f x x --=+，比较对应项系数即可求出,a b ，再根据二次函数的性质即可得到函数2(1)f x +的最小值． 【详解】()f x 为二次函数，∴可设2()(0)f x ax bx c a =++≠，∴(0)2f c ==，因为()(1)21f x f x x --=+∴22(1)(1)21ax bx c a x b x c x ++-----=+，即221ax a b x -+=+，∴221a b a =⎧⎨-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，∴2()22f x x x =++，令21t x =+，则1t ≥，函数2(1)f x +即为()f t =2222(1)1t t t ++=++．()f t 的图象开口向上，图象的对称轴为直线1t =-，()f t ∴在[)1,+∞上单调递增，∴min ()(1)5f t f ==，即2(1)f x +的最小值为5． 故答案为：5． 14．2-． 【分析】根据分段函数的定义分类讨论求解． 【详解】若0a >，则()25f a a =-=，502a =-<，不合题意，舍去．若0a ≤，则2()15f a a =+=，2a =-（正的舍去）． 故答案为：2-． 15．338 【分析】首先判断函数的周期，并计算一个周期内的函数值的和，即可求解. 【详解】由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，∈f (－3)＝f （3）＝－1，f (－2)＝f （4）＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f （1）＝1，f （2）＝2，∈在一个周期内有f （1）＋f （2）＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∈f （1）＋f （2）＋…＋f (2 019)＝f （1）＋f （2）＋f （3）＋336×1＝1＋2＋(－1)＋336＝338. 故答案为：33816．1(,][1,)2-∞-⋃+∞.【分析】根据函数的解析式，求得(2)2f =，把不等式(1)((2))f a f f +≥转化为(1)2f a +≥，得出等价不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()12,132,1x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，可得()()()22,22,f f f ==，所以由不等式(1)((2))f a f f +≥，可得(1)2f a +≥，则1122a a +≥⎧⎨≥⎩或1132(1)2a a +<⎧⎨-+≥⎩，解得1a ≥或12a ≤-，即实数a 的取值范围为1(,][1,)2-∞-⋃+∞.故答案为：1(,][1,)2-∞-⋃+∞.17．1 【分析】由已知奇偶性可得()()f x f x -=，结合已知解析式可求出22a =，即可求出a . 【详解】 因为2()(0)21xxf x ax x =+≠-，且()f x 是偶函数，则()()f x f x -=， 2222222,,20212121212121xx x x x x x x x ax ax a a a --⨯--=+--=++-=------，即22a =，所以实数1a =． 故答案为: 1. 18．244x x -+ 【分析】采用换元法即可求出函数解析式. 【详解】令2x t +=，则2x t =-，所以()()22244t t f t t =--+=，因此()244f x x x =-+，故答案为：244x x -+. 19．2020- 【分析】由题设可得(4)()f x f x +=，即()f x 的周期为4，利用周期性、奇偶性求(2019)(2020)f f +的值即可. 【详解】由题设，知：()(2)()f x f x f x -=+=-，∈(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4，∈()f x 是定义在R 上的奇函数，即(0)0f =，又(1)2020f =，∈(2019)(2020)(50541)(5054)(1)(0)(0)(1)2020f f f f f f f f +=⨯-+⨯=-+=-=-. 故答案为：2020- 20．3 【分析】根据题意，分析可得()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，解可得t 的值，即可得函数的解析式，将2x =-代入计算可得答案. 【详解】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有()()21f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =-+， 则有()21f t t t =-+=，解可得1t =-，则()21f x x =--， 故()2413f -=-=， 故答案为：3.21．（1）4()f x x -=；（2）答案见解析. 【分析】（1）由()f x 是偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，可得m 的值；（2）求出()F x -，分0a ≠且0b ≠，0a ≠且0b =，0a =且0b ≠和0a =且0b =四种情况，分别得出函数的奇偶性． 【详解】（1）∈()f x 是偶函数，∈223m m --应为偶数.又∈()f x 在（0，+∞）上是单调减函数，∈223m m --<0，-1<m <3.又m ∈Z ，∈m =0，1，2.当m =0或2时，223m m --=-3不是偶数，舍去；当m =1时，223m m --=-4；∈m =1，即4()f x x -=.（2）32()a F x bx x =-，∈32()aF x bx x-=+ ∈当0a ≠且0b ≠时，函数()F x 为非奇非偶函数； ∈当0a ≠且0b =时，函数()F x 为偶函数； ∈当0a =且0b ≠时，函数()F x 为奇函数；∈当0a =且0b =时，函数()F x 既是奇函数，又是偶函数. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求得函数f (x )的定义域为R ，再对于任意的x ∈R ，都有 f (－x )＝f (x )，由此可得证； （2）任取x 1，x 2∈(－∞，0]，且x 1 < x 2，作差 f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，判断差的符号，可得证. 【详解】解：（1）函数f (x )的定义域为R ，对于任意的x ∈R ，都有 f (－x )＝2(－x )2＋1＝2x 2＋1＝f (x )， ∈f (x )是偶函数．（2）任取x 1，x 2∈(－∞，0]，且x 1 < x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝(2x 12＋1)－(2x 22＋1)＝2(x 12－x 22)＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， ∈x 1，x 2∈(－∞，0]，∈x 1＋x 2 < 0， ∈x 1 < x 2，∈x 1－x 2 < 0， ∈f (x 1)－f (x 2) > 0，∈f (x 1) > f (x 2)，∈f (x )在(－∞，0]上是减函数． 23．（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-． 【分析】（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；（2）由（1）和()312f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x xg x -----+=，令22x x t -=-，得到()2342,2g t t t t =-+≥，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为函数()(0x xf x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，可得(0)0f =，从而得10k -=，即1k =当1k =时，函数()x xf x a a -=-，满足()()()x x x xf x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =，由()10f >，可得10a a->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数， 又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-， 所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞． （2）由（1）知，()x x f x a a -=-， 因为()312f =，即132a a -=，解得2a =， 故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x xx x g x -----=---+-+=，令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222t -≥+=， 即()2342,2g t t t t =-+≥， 此时函数()g t 的对称轴为322t =>，且开口向上， 所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，即函数()g x 的最小值为2-．24．（1）答案见解析；（2）1[2-，1]，3[2，)+∞. 【分析】（1）由函数最小值(2)4f =-，可求出函数2()|1|4|1|5f x x x =--++，即得； （2）利用图象可得函数()f x 的单调性，利用复合函数的单调性即得. 【详解】（1）当1x >时，2()1f x x mx a m =+++-又函数2()|1||1|f x x m x a =-+++有最小值f （2）4=-， 故22m-=，即4m =- 则2()45f x x x a =-+-则(2)4854f a =-+-=-，故5a = 则2()|1|4|1|5f x x x =--++ 则22248,1()42,114,1x x x f x x x x x x x ⎧++<-⎪=--+-⎨⎪->⎩其函数的图象如图：（2）由（1）我们可得函数()y f x =在区间(-∞，2]-，[1-，2]上单调递减， 在区间[2-，1]-，[1，)+∞上单调递增， 又函数(12)f x -的内函数为减函数，()y f x =在区间(-∞，2]-，[1-，2]上单调递减，故令12(x -∈-∞，2]-或12[1x -∈-，2]，得1[2x ∈-，1]或3[2x ∈，)+∞，故函数(12)f x -的递增区间为1[2-，1]，3[2，)+∞.25．（1）图象见详解 （2）[1,)+∞ （3）单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1]【分析】（1）分段画出函数图象即可；（2）结合反比例函数和一次函数的性质分段求出y 的取值范围，再取并集即可； （3）结合反比例函数和一次函数的单调性，即得解 【详解】（1）由题意，画出分段函数图象如下图：（2）当01x <≤，11[1,)y y x=≥∴∈+∞； 当1x >，1(1,)y x y =>∴∈+∞ 综上，函数f （x ）的值域为[1,)+∞（3）根据反比例函数的单调性，可知函数f （x ）在(0,1]单调递减； 由一次函数的单调性，可知f （x ）在(1,)+∞单调递增； 故函数f （x ）的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1]. 26．(1)2；(2)不存在，理由见解析；(3)104m <<. 【分析】(1)结合函数单调性化简()()f a f b =，由此可求11a b+，(2)根据函数单调性，求函数()y f x =在[,]a b 上的值域，由此可确定实数a 、b 的值是否存在，(3)讨论实数a 、b 的取值，求函数()y f x =在[,]a b 上的值域，由此求m 的值. 【详解】解：(1)∈11,1()11,01x xf x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，∈()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，由0a b <<且()()f a f b =，可得01a b <<<且1111a b-=-，故112a b +=.(2)不存在满足条件的实数a 、b .若存在满足条件的实数a 、b ，则0a b <<.∈当a ，(0,1)b ∈时，1()1f x x=-在(0,1)上为减函数 故()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即1111b aa b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得a b =，故此时不存在符合条件的实数a 、b .∈当a ，[1,)b ∈+∞时，1(1)f x x=-在[1,)+∞上是增函数.故()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即1111a abb⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时，a 、b 是方程210x x -+=的根.此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a 、b . ∈当(0,1)∈a ，[1,)b ∈+∞时，由于1[,]a b ∈，而(1)0[,]f a b =∉，故此时不存在符合条件的实数a 、b . 综上可知，不存在符合条件的实数a 、b .(3)若存在实数a 、b （a b <），使得函数()y f x =的定义域为[,]a b 时，值域为[,]ma mb ，且0a >，0m >.∈当a ，(0,1)b ∈时，由于()f x 在(0,1)上是减函数，故1111mb ama b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.此时得11a bm ab ab--==，得a b =与条件矛盾，所以a 、b 不存在 ∈当(0,1)∈a ，[1,)b ∈+∞时，易知0在值域内，值域不可能是[,]ma mb ，所以a 、b 不存在. ∈故只有a ，[1,)b ∈+∞.∈()f x 在[1,)+∞上是增函数，∈()()f a ma f b mb =⎧⎨=⎩，即1111ma amb b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，a 、b 是方程210mx x -+=的两个根.即关于x 的方程210mx x -+=有两个大于1的实根. 设这两个根为1x 、2x ，则121x x m +=，121x x m⋅=. ∈∈>0，1-4m >0，∈12120(1)(1)0(1)(1)0x x x x ∆>⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩，即140120m m ->⎧⎪⎨->⎪⎩，解得104m <<.故m 的取值范围是104m <<.。

2.2.4　均值不等式及其应用课后篇巩固提升夯实基础1.在区间上,函数f (x )=x 2+bx+c (b ,c ∈R )与g (x )=在同一点取得相同的最小值,则f (x )在区[12,2]x 2+x +1x 间上的最大值是( )[12,2]A. B.4 C.8 D.13454(x )==x++1≥3,当且仅当x=1时,等号成立,即当x=1时取最小值3,所以f (x )的对称轴x 2+x +1x1x 是直线x=1,所以b=-2.再把(1,3)代入即得c=4.所以f (x )=x 2-2x+4,易得在区间上的最大值是[12,2]f (2)=4-4+4=4.2.若已知x ,y ,z 为正实数,则的最大值为( )xy +yz x 2+y 2+z 2A .1B .2C .D .222x 2+y 2+z 2=(xy+yz ),当且仅当x=y=z 时取等号.(x 2+12y 2)+(12y 2+z 2)≥212∴.xy +yz x 2+y 2+z 2≤xy +yz 2(xy +yz )=223.设a>0,b>0.若是3a 与32b 的等比中项,则的最小值为( )32a +1bA .8B .4C .1D .143=3a 32b =3a+2b ,即a+2b=1.因为a>0,b>0,所以(a+2b )=+4≥22a +1b =(2a +1b )a b +4ba +4=8,当且仅当,即a=2b=时取“=”.ab ·4b a a b =4b a 124.若a ,b ,c>0,且a (a+b+c )+bc=4-2,则2a+b+c 的最小值为( )3A.-1B.+133C.2+2D.2-233a ,b ,c>0,且a (a+b+c )+bc=4-2,所以a 2+ab+ac+bc=4-2,所以4-2=a 2+ab+ac+bc=33314(4a 2+4ab+4ac+2bc+2bc )≤(4a 2+4ab+4ac+2bc+b 2+c 2).当且仅当b=c 时,等号成立.所以(2-1432)2≤(2a+b+c )2,则2a+b+c ≥2-2.35.若正数a ,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .令=t (t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t 2≥2t+3.又t>0,所以,可得t ≥3,即≥3,所以ab ≥9.ab ab ab≥96.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 .4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即600x (x +900x )900900x x=30时等号成立.7.设a ,b>0,a+b=5,则的最大值为 . a +1+b +32ab ≤a 2+b 2两边同时加上a 2+b 2,得(a+b )2≤2(a 2+b 2),两边同时开方即得a+b ≤2(a 2+b 2)(a>0,b>0,当且仅当a=b 时取等号),从而有=3当且a +1+b +3≤2(a +1+b +3)=2×92( 仅当a+1=b+3,即a=,b=时,取等号.7232 )328.求函数y=的最值.(x +4)(x +9)x当x>0时,y=13+x+≥13+2=25,当且仅当x=,即x=6时取等号.36x x ·36x 36x 所以当x=6时,y min =25.(2)当x<0时,-x>0,->0,(-x )+≥2=12.36x (-36x )(-x )(-36x )所以y=13-≤13-12=1.[(-x )+(-36x)]当且仅当-x=-,即x=-6时取等号,36x 所以当x=-6时,y max =13-12=1.能力提升1.若正数a ,b ,c 满足,则= .1a +4b +9c ≤36a +b +c 2b +3c a +b +c 由,得(a+b+c )≤36,即1++4++9+≤36,1a +4b +9c ≤36a +b +c (1a +4b +9c )b a +c a 4a b +4c b 9a c +9b c 即≤22.b a +c a +4a b +4c b +9a c +9b c 又因为≥22,当且仅当b=2a ,c=3a 时b a +c a +4a b +4c b +9a c +9b c =(b a +4a b )+(4c b +9b c )+(c a +9a c )取等号.所以=22,得b=2a ,c=3a.所以.b a +c a +4a b +4c b +9a c +9b c 2b +3c a +b +c =4a +9a a +2a +3a =1362.已知不等式(x+y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,求正实数a 的最小值.(1x +a y )(x+y )=1+a+,(1x +a y )y x +ax y 又x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,y x +ax y y x ·ax y a ∴1+a+≥1+a+2,y x +ax y a ∴要使(x+y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.(1x +a y )a ∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a ≥4,a a ∴正实数a 的最小值为4.3.记F (x ,y )=x+y-a (x+2),x ,y ∈R +.若对任意的x ,y ∈R +,恒有F (x ,y )≥0,求a 的取值范围.2xyF (x ,y )≥0,得x+y ≥a (x+2).2xy ∵x>0,y>0,∴a ≤恒成立.x +y x +22xy ∴a 的最大值为的最小值.x +y x +22xy∵2≤x+2y ,2xy ∴,x +y x +22xy ≥x +y x +(x +2y )=12当且仅当x=2y>0时,等号成立,即a 的最大值为,12∴a ∈.(-∞,12]。

第三章测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数f (x )=的定义域为( )x +1+12-x A.[-1,2)∪(2,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,2)D.[-1,+∞)解得x ≥-1,且x ≠2.{x +1≥0,2-x ≠0,2.如图,给出了奇函数f (x )的局部图象,那么f (1)等于( )A.-4B.-2C.2D.43.函数y=的图象大致是( )x 53y=的定义域为R ,是奇函数,排除A 、C;函数在第一象限内单调递增,且增长越来越x 53=3x 5快,在第一象限图象下凸,故选B .4.已知一根蜡烛长为20 cm,若点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h (单位:cm)与燃烧时间t (单位:小时)的函数关系用图象表示为( ).由题意得h=20-5t (0≤t ≤4),故选B .5.偶函数f (x )在[0,+∞)单调递增,若f (-2)=1,则f (x-2)≤1的x 的取值范围是( )A.[0,2]B.[-2,2]C.[0,4]D.[-4,4]f (x )是偶函数,f (-2)=1,所以f (2)=1.因为f (x-2)≤1,所以-2≤x-2≤2,解之得0≤x ≤4.故选C .6.下列选项中,两个函数表示同一个函数的是( )A.y=,y=1x x B.y=()2,y=|x|x C.f (x )=|x|,g (x )=x 2D.y=,y=(x -1)23(x -1)3y=的定义域为{x|x ≠0},y=1的定义域为R ,定义域不同,不是同一个函数;B.y=()2的定义域xx x 为[0,+∞),y=|x|的定义域为R ,不是同一个函数;C.f (x )=|x|与g (x )=定义域和对应关系相同,故是同x 2一个函数;D.y==|x-1|,y==x-1,解析式不同,不是同一个函数.(x -1)23(x -1)37.已知某市生产总值连续两年持续增加,若第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.p +q 2(p +1)(q +1)-12C. D.-1pq (p +1)(q +1)1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生产总值的年平均增长率为x ,则(1+x )2=(p+1)(q+1),解得x=-1,故选D .(p +1)(q +1)8.若函数f (x )=满足f (f (x ))=x ,则常数c 等于( )cx 2x +3(x ≠0,且x ≠-32)A.3B.-3C.3或-3D.5或-3(f (x ))==x ,即x [(2c+6)x+9-c 2]=0,所以c (cx 2x +3)2(cx 2x +3)+3=c 2x 2cx +6x +9{2c +6=0,9-c 2=0,解得c=-3.故选B.9.已知函数f (x )=ax 3+bx+7(其中a ,b 为常数),若f (-7)=-17,则f (7)的值为( )A.31B.17C.-17D.15g (x )=ax 3+bx ,则g (x )为奇函数.因为f (-7)=g (-7)+7=-17,所以g (-7)=-17-7=-24,g (7)=24,f (7)=g (7)+7=31.10.若f (x )=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a 的取值范围是( ){(3a -1)x +4a ,x <1,-ax ,x ≥1A. B.[18,13)(18,13]C. D.(0,13)(-∞,13]解得≤a<,故选A .{3a -1<0,-a <0,-a ≤3a -1+4a ,181311.定义运算a ￿b=则函数f (x )=x 2￿|x|的图象是( ){b ,a ≤b ,a ,a >b ,a ￿b={b ,a ≤b ,a ,a >b ,得f (x )=x 2￿|x|={x 2,x <-1或x >1,|x |,-1≤x ≤1,由此可得图象如图所示.12.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2-x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0.则当n ∈N *时,有( )A.f (-n )<f (n-1)<f (n+1)B.f (n-1)<f (-n )<f (n+1)C.f (n+1)<f (-n )<f (n-1)D.f (n+1)<f (n-1)<f (-n )。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是()【解析】在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值．【答案】 D2．函数f(x)＝2x＋1x，x∈(0,5]的最小值为( )A．2 B．3C.174D．22＋12【解析】由f′(x)＝1x－1x2＝x32－1x2＝0，得x＝1，且x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.【答案】 B3．函数f(x)＝13ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( )A．a＞1或a≤0 B．a＞1C．0＜a＜1 D．a＞1或a＜0【解析】f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.【答案】 D4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )A ．0≤a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜12【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0得x 2＝a . ∴x ＝±a .又∵f (x )在(0,1)内有最小值， ∴0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.故选B.【答案】 B5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( ) 【导学号：25650131】A ．1B ．4C ．－1D ．0【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2. 当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2＞0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4. 【答案】 B 二、填空题6．函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋3x 的极值点为x 1＝1，x 2＝2，则a ＝________，b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝ax ＋2bx ＋3＝2bx2＋3x ＋ax ，∵函数的极值点为x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＝1，x 2＝2是方程f ′(x )＝2bx2＋3x ＋ax＝0的两根，也即2bx 2＋3x ＋a ＝0的两根．∴由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－32b ＝1＋2，a2b ＝1×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－12.【答案】 －2 －127．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图3-3-7所示，则函数的极小值是________．图3-3-7【解析】 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，故x ＝0时，函数f (x )取到极小值f (0)＝c . 【答案】 c8．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x∈R )，若对任意的x∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵x ∈(0,1]， ∴f (x )≥0可化为a ≥3x2－1x3. 设g (x )＝3x2－1x3，则g ′(x )＝错误!. 令g ′(x )＝0，得x ＝12.当 0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. ∴g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝4，它也是最大值，故a ≥4. 【答案】 [4，＋∞) 三、解答题9．已知函数f (x )＝1－xx ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2上的最大值和最小值．【解】 f ′(x )＝错误!＋错误!＝错误!. 由f ′(x )＝0，得x ＝1.∴在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递 减单调递 增∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－f (2)＝32－2ln 2＝12(ln e 3－ln 16)，而e 3＞16，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＞f (2)＞0.∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝1－ln 2，最小值为0.10．已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围. 【导学号：25650132】【解】 f ′(x )＝x ＋1x＋ln x －1＝ln x＋1x，xf′(x)＝x ln x＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，所以g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是[－1，＋∞)．[能力提升]1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点．故D正确．【答案】 D2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)【解析】令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上为减函数，∴u(x)在[a，b]上的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则极大值与极小值之差为________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a×2＋3b ＝0，3×12＋6a×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 【答案】 44．设a 为实数，f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 【导学号：25650133】 (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1.【解】 (1)由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.。