案例十六. 金融公司支付基金的流动【模型准备】金融机构为保证现金充分支付, 设立一笔总额5400万的基金, 分开放置在位于A 城和B 城的两家公司, 基金在平时可以使用, 但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万. 经过相当长的一段时期的现金流动, 发现每过一周, 各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内, 而A 城公司有10%支付基金流动到B 城公司, B 城公司则有12%支付基金流动到A 城公司. 起初A 城公司基金为2600万, B 城公司基金为2800万. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势如何? 如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万, 那么是否需要在必要时调动基金?【模型建立】设第k +1周末结算时, A 城公司B 城公司的支付基金数分别为a k +1, b k +1 (单位:万元), 则有0a =2600, 0b =2800,⎩⎨⎧+=+=++k k k k k k b a b b a a 88.01.012.09.011. 原问题转化为:(1) 把a k +1, b k +1表示成k 的函数, 并确定lim k →+∞a k 和lim k →+∞b k . (2) 看lim k →+∞a k 和lim k →+∞b k 是否小于2200. 【模型求解】由⎩⎨⎧+=+=++k k k k k k b a b b a a 88.01.012.09.011可得 11k k a b ++⎛⎞⎜⎟⎝⎠=0.90.120.10.88k k a b ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=2110.90.120.10.88k k a b −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= … = 1000.90.120.10.88k a b +⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. 令A =0.90.120.10.88⎛⎞⎜⎟⎝⎠, 则11k k a b ++⎛⎞⎜⎟⎝⎠= A k +100a b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠= A k +126002800⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 为了计算A k +126002800⎛⎞⎜⎟⎝⎠, 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [0.9,0.12;0.1,0.88];>> [P,D] = eig(A)Matlab 执行后得P =0.7682 -0.70710.6402 0.7071D =1.0000 00 0.7800这意味着P −1AP = D =1000.78⎛⎞⎜⎟⎝⎠, 于是有 A = PDP −1,A k +1 = PD k +1P −1= P 11000.78k +⎛⎞⎜⎟⎝⎠P −1,11k k a b ++⎛⎞⎜⎟⎝⎠= A k +126002800⎛⎞⎜⎟⎝⎠= P 11000.78k +⎛⎞⎜⎟⎝⎠P −126002800⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> syms k %定义符号变量>> P*[1,0;0,0.78^(k+1)]*P^(-1)*[2600;2800]Matlab 执行后得ans =[ 32400/11-3800/11*(39/50)^(k+1)][ 27000/11+3800/11*(39/50)^(k+1)]这就是说, 11k k a b ++⎛⎞⎜⎟⎝⎠=113240038003911115027000380039111150k k ++⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠i i , 其中3950< 1. 可见{ a k }单调递增, { b k }单调递减, 而且lim k →+∞a k =3240011,lim k →+∞b k =2700011. 而3240011≈ 2945.5, 2700011≈ 2454.5, 两者都大于2200, 所以不需要调动基金. Matlab 实验题请同学们注意, 本题中的参数a 是你的学号后三位, b = 2a . 例如, 你的学号后三位是216, 则取a = 216, b = 432.金融机构为保证现金充分支付, 设立一笔基金, 分开放置在位于A 城和B 城的两家公司, 基金在平时可以使用, 但每周末结算时必须确保总额不变. 经过相当长的一段时期的现金流动, 发现每过一周, 各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内, 而A 城公司有10%支付基金流动到B 城公司, B 城公司则有12%支付基金流动到A 城公司. 起初A 城公司基金为a 万元, B 城公司基金为b 万元. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势如何?。