2014年秋高一数学课后强化练习：2.1.2 第1课时 函数的表示方法(人教B版必修1)]

2.1.2 函数的表示方法知识点一：函数的表示方法1．下图所给的四个图象中，可以作为函数y ＝f(x)的图象的有A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(3)(4) 2．下列表格中的x 与y 能构成函数的是 A.B.C.D.3．以半径为R 的半圆上任一点P 为顶点，以直径AB 为底边的△PAB 的面积S 与高PD ＝x 的函数关系为A ．S ＝RxB ．S ＝2Rx(x>0)C ．S ＝Rx(0<x≤R)D ．S ＝πx 2(0<x≤R)4．已知f(x)＝ax 3＋cx ＋5，满足f(－1)＝－3，则f(1)的值为A ．13B ．10C ．7D ．3 5．已知函数f(x)满足f(a)＋f(b)＝f(ab)，且f(2)＝p ，f(3)＝q ，则f(72)＝__________. 6．已知f(x)＝x ＋2，则f(x)＝__________. 知识点二：分段函数7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x>0，－π，x ＝0，x 2＋1，x<0，则f{f[f(－1)]}的值等于A ．x 2＋1 B ．π2＋1 C ．－π D ．08．函数y ＝|x －3|－|x －1|有A ．最小值0，最大值4B ．最小值－4，最大值0C ．最小值－2，最大值2D ．最小值和最大值都不存在9．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为f(x)＝__________.10．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x>1，则f[1f 2]＝__________.11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x<0，x 2，0≤x<1，x ，1≤x≤2.(1)求下列各值：f(－8)、f(12)、f(32)、f(－23)；(2)作出函数的简图；(3)求函数的值域．12．某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km 时，前2 km 依然按5元收费，超过2 km 部分，每千米收1.5元．你能写出打车费用关于路程的函数解析式吗？又规定：若遇堵车，每等待5分钟(不足5分钟按5分钟计时)乘客需交费1元．某乘客打车共跑了20 km ，中途遇到了两次堵车，第一次等待7分钟，第二次等待13分钟，该乘客到达目的地时，该付多少车钱？能力点一：函数解析式的求法13．已知f(1－x 1＋x )＝1－x21＋x 2，则f(x)的解析式可以是A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x2 14．已知f(x)－2f(1x )＝3x ，则函数f(x)的解析式为__________．15．如果f(x －1x )＝(x ＋1x )2，则f(x ＋1)＝__________.能力点二：函数图象的有关问题 16．函数y ＝x|x|的图象大致是17．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如下图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为__________．18．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是__________．19．作出下列函数的图象，并求出其值域： (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，0<x<1，x ，x≥1.(2)y ＝x 2＋2x ，x∈[－2,2]．能力点三：分段函数的综合应用 20．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x≤－1，2x ＋1，－1<x<1，1x －1，x≥1，已知f(a)>1，则实数a 的取值范围是A ．(－∞，－2)∪(－12，＋∞)B ．(－12，12)C ．(－∞，－2)∪(－12，1)D ．(－12，12)∪(1，＋∞)21．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x≤－1，x 2，－1<x<2，2x ，x≥2，若f(x)＝3，则x ＝__________.22．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x≥0，x ，x<0，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x 2，x<0，则当x<0时，f[g(x)]＝__________.23．作出函数y ＝|x ＋2|－|x －1|的图象，并求函数的值域．24．如图所示，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形边界运动一周，再回到A 点，若点P 运动的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，求A 、P 两点间的距离y 与点P 运动的路程x 之间的函数关系式．25．如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2，BC ＝1，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域．答案与解析基础巩固1．D 2.C3．C S ＝12·2R·x＝Rx ，由题意知0<x≤R.4．A f(－1)＝－a －c ＋5， ∴a＋c ＝5－f(－1)＝8. 又∵f (1)＝a ＋c ＋5， ∴f(1)＝8＋5＝13.5．3p ＋2q f(72)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p ＋2q.6．x 2＋2(x≥0) 令t ＝x ≥0，∴x＝t 2.∴f(t)＝t 2＋2(t≥0)．∴f(x)＝x 2＋2(x≥0)．7．C f(－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f[f(－1)]＝f(2)＝0.∴f{f[f(－1)]}＝f(0)＝－π.8．C y ＝|x －3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x≥3，4－2x ，1≤x<3，2，x<1，∴－2≤y≤2.9．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x≤1，2，1<x<2，3，x≥210.1516 f(2)＝22＋2－2＝4，1f 2＝14，f(14)＝1－(14)2＝1516. 11．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]． (1)又－8[－1,2]， ∴f(－8)无意义．又∵－1≤x<0时，f(x)＝－x ，∴f(－23)＝－(－23)＝23.∵0≤x<1时，f(x)＝x 2， ∴f(12)＝(12)2＝14.又∵1≤x≤2时，f(x)＝x ， ∴f(32)＝32.(2)在同一坐标系中，分段画出函数图象，如图所示．(3)由图象可知，函数的值域为[0,2]． 12．解：设乘车x km ，乘客需付费y 元， 则当0<x≤2时，y ＝5； 当x>2时，y ＝5＋(x －2)×1.5＝1.5x ＋2.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x≤2，1.5x ＋2，x>2为所求函数解析式．当x ＝20 km 时，应付费y ＝1.5×20＋2＝32(元)．另外，第一次堵车等待：7分钟＝5分钟＋2分钟，故需付费2元． 第二次堵车等待：13分钟＝(2×5)分钟＋3分钟，需付费3元． 所以，该乘客到达目的地后应付费32＋2＋3＝37(元)．能力提升13．C 令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t .∴f(t)＝1－1－t 1＋t21＋1－t 1＋t 2＝2t 1＋t2. 故f(x)＝2x 1＋x2. 14．f(x)＝－x －2x 用1x 代替x ，则有f(1x )－2f(x)＝3x ，可得f(1x )＝2f(x)＋3x ，代入f(x)－2f(1x )＝3x ，可解得f(x)＝－x －2x.15．(x ＋1)2＋4 ∵f(x－1x )＝(x ＋1x )2＝(x －1x)2＋4，∴f(x)＝x 2＋4.故f(x ＋1)＝(x ＋1)2＋4.16．A17．19 kg 由题图知函数图象是直线，可用一次函数表示，设为y ＝kx ＋b ，将已知点(30,330)，(40,630)代入求得k ＝30，b ＝－570，∴y＝30x －570，再令y ＝0，得x ＝19.18．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－x ，0≤x≤1∵f(x)的图象是由两条线段构成的，∴由一次函数解析式的求法可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x<0，－x ，0≤x≤1.19.解：(1)x…1412123…y… 4 2 1 2 3 …图象如下图：当0<x<1时，是双曲线y ＝1x 的一部分；当x≥1时，是直线y ＝x 的一部分． 由图象知，函数的值域为[1，＋∞)．(2)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x∈[－2,2]． 列表：x －2 －1 0 1 2 y－138图象如下图．图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x≤2之间的部分． 由图象可得，函数的值域是[－1,8]． 20．C∵f(x )＝∴f(a)>或a<－2或－12<a<1，即所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－12，1)．21. 3 ∵x＋2≤1(x≤－1)，0<x 2<4(－1<x<2)，2x≥4(x≥2)，∴f(x)＝3，即x 2＝3.∴x＝± 3. 又－1<x<2，∴x＝ 3.22．－x 2 当x<0时，g(x)＝－x 2<0，∴f[g(x)]＝f(－x 2)＝－x 2.23．解：图象如图所示，所求函数的值域为[－3,3]．拓展探究24．解：(1)当点P 在AB 上，即0≤x≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x. (2)当点P 在BC 上，即1<x≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2，∴y＝AP ＝1＋x －12＝x 2－2x ＋2.(3)当点P 在DC 上，即2<x≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x.根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2，∴y＝AP ＝1＋3－x 2＝x 2－6x ＋10.(4)当点P 在AD 上，即3<x≤4时，有y ＝AP ＝4－x.∴所求函数关系式为y=25．解：过B 、C 分别作AD 的垂线，垂足分别为H 、G ，则AH ＝12，AG ＝32.(1)当M 位于H 左侧时，AM ＝x ，MN ＝x ，∴y＝S △AMN ＝12x 2(0≤x<12)．(2)当M 位于H 、G 之间时，y ＝12AH·BH＋HM·MN ＝12×12×12＋(x －12)×12 ＝12x －18(12≤x<32)． (3)当M 位于G 、D 之间时，y ＝S 梯形ABCD －S △MND ＝12×12×(2＋1)－12×(2－x)(2－x)＝－12x2＋2x －54(32≤x≤2)．∴所求函数的关系式为∴函数的定义域为[0,2]，值域为[0，34]．。

1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 1xA.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________． 三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410] D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100. ∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x ，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14， ∴f (12)＝1－142142＝15.]6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．] 7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12. 8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，① 111由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3， 即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)． 9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－8. 10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝c ，f 4＝16a ＋4b ＋c ，f 0＝f 4，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a ＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3. 11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B. 方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)， 即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

1 x (4)y＝ ＝1 ＋ ，列表、描点，作图可得其图象，可 x－1 x－1 1 以由 y＝x 的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得 到[如图 D8(4)]．
图 D8
先观察函数的定义域，在定义域内化简函数式， 转化为熟悉的函数，然后利用列表描点法或利用基本函数图象 去作复杂函数的图象．
故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
题型 3 换元法求函数的解析式 【例 3】 已知 f(x＋1)＝x2－1，求 f(x)的解析式． 解：方法一：f(x＋1)＝x2－1 ＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1)， 令 t＝x＋1，则有 f(t)＝t2－2t， 故 f(x)＝x2－2x. 方法二：令 x＋1＝t，则 x＝t－1. 代入原式，有 f(t)＝(t－1)2－1＝t D8(1)]．
(2)∵0≤x≤3，∴这个函数的图象是抛物线 y＝x2－2x－2 在 0≤x≤3 之间的一段曲线[如图 D8(2)]．
(3) 所给函数即 射线[如图 D8(3)]．
x－1 y＝ 1－x
x≥1， 是端点为 (1,0) 的两条 x<1
f(x)的解析式．
解：已知
①
1 1 1 将①中变量 x 换成x ，得 2f x ＋f(x)＝x ， ②
2．图象法 横坐标 ，对应的函数值y为_______ 纵坐标 ， 以自变量x的取值为_______ 在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的 图象 表示两个变量之间的对应关系的方法叫 图象，这种用________ 做图象法．
【问题探究】
x2＋x＋1 1．已知 f(x)＝x2－x＋1，则 f(x＋1)＝____________.
3 2 ；f[f(2)] 练习 2：已知 f(x)＝x2＋x＋1，则 f( 2)＝________

对点讲练
知识点一 认识函数的三种表示法
例 1 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ ax＋
bx，当 x＝ 2 时， t ＝100；当 x＝ 14 时， t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过
20 人．
(1)写出函数 t 的解析式；
(2)用列表法表示此函数；
2.1.2 函数的表示方法 ( 一 )
自主学习 学习目标 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的特点． 2．掌握函数图象的画法及解析式的求法 .
自学导引 表示函数的方法常用的有： (1)解析法 —— 用 ________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法 —— 用 ________表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法 —— 列出 ________来表示两个变量之间的对应关系．
二、填空题
6．一水池有 2 个进水口， 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天 该水池的蓄水量如图丙所示． (至少打开一个水口 )
0 点到 6 点，
给出以下 3 个论断：① 0 点到 3 点只进水不出水；② 3 点到 4 点不进水只出水；③ 4 点
到 6 点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是
y
1
0
－1
1－ x2
1
3．若 f(1－ 2x)＝ x2 (x≠0)，那么 f 2 等于 (
)
A．1
B． 3
C． 15
D． 30
4．已知 f(x)是一次函数， 2f(2) － 3f(1)＝ 5,2f(0) － f(－ 1)＝ 1，则 ( )
A ． f(x)＝ 3x＋ 2
B ． f(x)＝ 3x－ 2