椭圆性质4

由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)

变式1:已知直线 过点 变式 已知直线l过点 已知直线 M(1,0.5), 且与椭圆 相交 且与椭圆C相交 两点， 于E,F两点，若EF的中点 两点 的中点 的方程. 为M，求直线 的方程 ，求直线l的方程
l F
O
y
M
x
E
变式2:已知直线 过点 且与椭圆C相交于 变式 已知直线l过点 已知直线 过点M(1,0.5),且与椭圆 相交于 且与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程 变式3:已知直线 与椭圆C相交于 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，求弦 的中点的轨迹方程 两点， 的中点的轨迹方程. 两点 求弦EF的中点的轨迹方程
y
点差法步骤： 点差法步骤： 1.设点 设点A(x1,y1),B(x2,y2); 设点 2.代入圆锥曲线方程作差 代入圆锥曲线方程作差; 代入圆锥曲线方程作差
A
O
M
x
B
3.利用平方差公式变形，把中点坐标与直线 利用平方差公式变形， 利用平方差公式变形 斜率代入得到式子. 斜率代入得到式子 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题 点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题.
2 2
1 = (1 + 2 )[( y1 + y2 ) 2 − 4 y1 ⋅ y2 ] k
中心在原点、一个焦点为F( 3 ,0)的椭圆被 例 中心在原点、一个焦点为 的椭圆被 直线x-2y-2=0截得的弦的中点的横坐标为 ，求 截得的弦的中点的横坐标为1， 直线 截得的弦的中点的横坐标为 此椭圆的方程. 此椭 变式 已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭圆 相交于 已知直线 ∈ 与椭圆 E,F两点，且OE⊥OF,求直线 的方程 两点， 求直线l的方程 两点 ⊥ 求直线 的方程.

椭圆的相关知识点第一篇：椭圆的基本概念和性质1.椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长（长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。

2.椭圆的方程椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为长半轴和短半轴的长度。

椭圆的一般方程为$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为常数。

3.椭圆的对称性椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分别为横向和纵向）。

椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于圆心对称。

4.椭圆的几何性质椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\piab$。

其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。

椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。

椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。

5.椭圆的应用椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。

例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。

第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程1.椭圆的参数方程对于椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程：$$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$\theta$ 为参数，表示$\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。

2.椭圆的焦点坐标椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。

2 2
144
80
(3)离心率 e
3 5
, 一条准线的方程是 x
x
2
50 3
的椭圆的标准方程是_________ 100 64

y
2
1
4 如 图 : 点 A 1, 2 在 椭 圆 3 x
小 , 求 P的 坐 标 及 最 小 值
2
4 y 4 8内 ，
2
F 2, 0 , 在 椭 圆 求 一 点 P , 使 P A 2 P F 最
a c 0 ,求
l
y
M
F
l
M x
F’ o
x a
2
x
a
2
c
c
练习１求焦点坐标和准线方程
1
x
2

y
2
1
x
100
36
22x
25 2
2
y 8
2
练习２ 8, 0
椭圆
x m
2 2
0, 2 y 4

y
2 2
( m 1)
1
的准线平行于 x轴，则( C) (B) m>1/2 且 m 1
25 6
,
C.
9 2
,
D.
15 8
练习４
(1)若椭圆
x
2
y
2
1
4
上一点P到右焦点F
5 3 3
的距离为3/2，则P 到左准线的距离是
(2)椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上, 准线为 y 1 8 ,椭圆上一点到两焦点的距离 14 和 10 ,则椭圆的方程是 y x 1 分别为