2019-2020年高中数学必修5课时检测试题：数 列(苏教版) (2)

课时分层作业(五) 数列(建议用时：60分钟)[基础达标练］一、选择题1．若数列{a n}满足aｎ＝2n，则数列{ａn}是( ）Ａ.递增数列 B．递减数列C．常数列D．摆动数列A [ａn＋１-aｎ＝2n＋１－2n＝2n>0，∴a n+1＞a n,即｛ａn}是递增数列．]2.数列－错误!未定义书签。

,３，－3错误!未定义书签。

，9,…的一个通项公式是（)A.ａn＝(－１）n错误!未定义书签。

(n∈Ｎ＊)B.ａn=(－1）n错误!(ｎ∈N*)C.ａn＝(－1)n＋１错误!未定义书签。

（n∈N＊）Ｄ.a n＝（-1）n+1错误!未定义书签。

（n∈N*）Ｂ［把前四项统一形式为-错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

,－错误!未定义书签。

,＼r（81),可知它的一个通项公式为aｎ＝（-１）n错误!未定义书签。

.]3.已知数列－1,错误!，-错误!未定义书签。

，…，(-1)ｎ错误!未定义书签。

，…，则它的第５项为（)A.＼f(1,５)ﻩＢ.-错误!未定义书签。

C。

错误! D.-错误!未定义书签。

D［易知,数列的通项公式为a n=(-1)n·＼f(1,n2）,当n=5时,该项为（-1）5·＼f(１,52）=－1.]254.已知数列的通项公式为a n=错误!则a2a3等于( )A．2０ﻩ B.28C．0 Ｄ.１２A [a2=２×2－2=2,a３=3×3＋1=10，∴a2a3＝２×１0=２0。

］5.数列{ａn}中,a n=２n2-3,则12５是这个数列的第几项( )A.４B.8Ｃ．7D．１2Ｂ［令2ｎ2-3=1２5得n＝8或n=－8(舍）,故1２5是第8项.]二、填空题6．数列{a n｝的通项公式aｎ＝错误!未定义书签。

，则错误!未定义书签。

－３是此数列的第＿_____＿_项．9[令错误!=错误!未定义书签。

-３，即＼r（n+１)-错误!＝错误!－3,∴ｎ=9.]7．已知数列｛a n｝，ａｎ=a n＋m（a<0,n∈N＊),满足a1＝2,a2＝4,则a3＝_＿___＿__。

课时分层作业(二)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14等于( ) A ．45 B ．41 C ．39D ．37B [设公差为d ，则d ＝a 6－a 26－2＝17－54＝3，∴a 1＝a 2－d ＝2，∴a 14＝a 1＋13d ＝2＋13×3＝41.]2．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52D [∵a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －12，∴a 101＝2＋101－12＝52.]3．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28 C [设公差为d ，则a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10. ∴3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝20.] 二、填空题4．已知数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 017，则项的序号n 等于________．[解析] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 得2 017＝1＋(n －1)·3，解得n ＝673.[答案] 6735．已知数列{a n }为等差数列a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.[解析]法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34.∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ， 即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34.∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.[答案] －3146．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．[解析] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，37．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.[解析] 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝－2，b 1＋9d ＝12，解得b 1＝－6，d ＝2， 因为b n ＝a n ＋1－a n ，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ＋1－a 1，所以a 8＝b 1＋b 2＋…＋b 7＋3＝(－6＋6)×72＋3＝3.[答案] 38．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行每列都成等差数列，i ，j 4,5i ，j [解析] 根据图表和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1，j ＝4＋3(j －1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2，j ＝7＋5(j －1)， 第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此a i ，j ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j . 可得a 4,5＝2×4×5＋4＋5＝49.[答案] 49 2ij ＋i ＋j 三、解答题9．若等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .故数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 10．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2 ＝a n －22(a n －2)＝12，又∵b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)可知b n ＝12＋(n －1)×12＝n2，又由b n ＝1a n －2可知，a n ＝2＋1b n＝2＋2n .[能力提升练]1．数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n，a 1＝2，则a 4为( ) A.87 B.85 C.165D.219D [法一：a 1＝2，a 2＝21＋3×2＝27，a 3＝271＋67＝213，a 4＝2131＋613＝219.法二：取倒数得1a n ＋1＝1a n ＋3，∴1a n ＋1－1a n＝3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．∴1a n ＝12＋(n －1)·3＝3n －52＝6n －52，∴a n ＝26n －5，∴a 4＝219.]2．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.[解析] 由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.[答案] n 23．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.[解析] 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.[答案] 194．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n＝1a n，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)试问a 1a 2是不是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．[解] (1)证明：法一：∵a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，∴a n －1(1－2a n )＝a n (2a n －1＋1)， 即a n －1＝a n (4a n －1＋1)， ∴a n ＝a n －14a n －1＋1，∴b n ＝1a n ＝4a n －1＋1a n －1＝4＋1a n －1，∴b n －b n －1＝4＋1a n －1－1a n －1＝4，又∵b 1＝1a 1＝5，∴数列{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5. 法二：当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n－1a n－1＝4⇔b n－b n－1＝4，且b1＝1a1＝5，∴{b n}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)由(1)知b n＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.∴a n＝1b n＝14n＋1，n∈N*.∴a1＝15，a2＝19，∴a1a2＝145.令a n＝14n＋1＝145，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{a n}中的项，且是第11项．。

2019-2020学年高中数学 19 等比数列的通项公式试题苏教版必修5
【教学•建构】
回顾 等差数列的研究内容，提出等比数列的研究内容.
探究1 等差数列的每一项均可用等差数列的首项1a 和公差d 来表示
（1）是怎么推导的？
（2）等比数列的每一项是否可用等比数列的首项1a 和公比q 来表示？给出结论，并给
出推导过程.
例1 在等比数列{}n a 中，
（1）已知31=a ，2-=q ，则6a =___________；
（2）已知203=a ，1606=a ，则n a =___________.
思考 （1）等比数列中的m a 能否用n a 表示？如果可以，给出其形式；
（2）若已知等比数列中的m a 和n a ，如何求其公比？
例2 在1和9之间插入三个实数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和 为 ．
变式 将条件中的“插入三个实数”改为“插入四个数”，则四个数之和为___________.
例3 已知等比数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=，求首项1a 和公比q .
思考 （1）请你给出等比数列通项公式的函数意义
（2）如果一个数列{}n a 的通项公式为n n aq a =（0,≠q a ），那么这个数列是否一定是等比数列？
（3）试述正项等比数列的公比q 与数列单调性的关系？
（4）已知正项等比数列{}n a 各项均满足21<<n a ，求证：数列{}n a 为常数列.
【复习•思考】整理笔记，巩固记忆课堂教学内容.。

课时分层作业(十一) 等比数列的性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 3＝19，则a 5等于( )A ．±181B ．－181 C.181 D ．±12C [根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a 1＝181.] 2．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＋a 6＝4，则a 10＋a 11＋a 12等于( )A ．32B ．16C ．12D ．8B [a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝42＝2， ∴a 10＋a 11＋a 12＝(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝2·(2)3＝24＝16.]3．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 40a 50a 60的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±64B [由题意得，a 1a 99＝16，∴a 40a 60＝a 250＝a 1a 99＝16，又∵a 50>0，∴a 50＝4，∴a 40a 50a 60＝16×4＝64.]4．设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1，n ∈N *，若数列{b n }的连续四项在集合{－53，－23,17,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－32或－23D ．－34或－43C[即a n的连续四项在集合{－54，－24,16,36,81}中，由题意知，这四项可选择－54,36，－24,16，此时，q＝－23，若选择16，－24,36，－54，则q＝－32.]5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn等于()A.32 B.32或23C.23D．以上都不对B[不妨设12是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋12＝92，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1<x2)，则x1x2＝2，∴等比数列为12，x1，x2,4，∴q3＝412＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴mn＝92×3＝32.同理，若x＝12是方程x2－nx＋2＝0的根，计算得出mn＝23.]二、填空题6．在等比数列{a n}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．256[因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝a8q＝256.]7.在如图所示表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________．2 [∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124， ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.] 8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．11m －1 [由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用a 12a 1＝m ，所以月平均增长率为11m －1.] 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比．[解] 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3，(q ＝1舍去)， 故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．[解] a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23. 又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.[能力提升练]1．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]2．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．16B ．14C ．4D ．49A [∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝16.]3．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．－213 [由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137，∵a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213.]4．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. －1 [由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1.]5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1.∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∵首项c 1＝a 1－1， 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∴c 1＝－12，又c n ＝a n －1，∴q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12，代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .。