高级投资学(陈守东) 7.跟踪误差下约束下的投资组合最优化

投资组合优化模型研究学生姓名:刘铭雪学号:20095031277数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师:韩建新职称:讲师摘要:本文在VaR方法约束的基础上,对Markwitz均值—方差模型进行深入研究,给出了一种几何求解方法,并分析了该组合的特性,研究了在VaR约束条件下的最优投资组合的确定问题．关键词:VaR;均值;方差;投资组合Research on Portfolio Optimization Modle underThe VaR ConstraintAbstract: The basic constraint in VaR(Value at Risk)method is used in the article, Markwitz mean-variance model is in-depth studied, a geometrical method is gave , and the characteristics of the portfolio is analyzed,Determination of optimal portfolio VaR constraint conditions are researched.Keywords: VaR(Value at Risk); mean value;variance;investment portfolio 前言在丰富的金融投资理论中,组合投资理论占有非常重要的地位,投资决策也是金融机构经营活动中最基本的决策之一.现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系,也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象,以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大.对金融机构和投资者来说,相对与资产向上波动,资产价格向下波动而使资产遭受损失是真正的风险.正是由于这一点,集中考虑资产价格向下波动风险的风险价值(VaR)作为对风险的度量获得广泛的认可,越来越多的金融机构使用它来度量和管理市场风险,因此投资者在作投资选择时,应考虑VaR约束.VaR约束下的投资组合优化模型是在Markwitz证券组合理论框架基础上发展起来的,是对现代投资组合理论的扩展.1. VaR约束下的投资组合优化模型1.1VaR的基本原理与分析1.1.1VaR的定义VaR,即风险价值(Value at Risk),是指市场正常波动下,在一定的概率水平下,某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失.由于VaR值可以用来简明地表示市场风险的大小,因此没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VaR值对金融风险进行评判.并且VaR 方法可以事前计算风险,它不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小.另外,VaR方法还可以衡量全部投资组合的整体风险,这也是传统金融风险管理所不能做到的.VaR方法的这些特点使得它逐渐成了度量金融风险的主流方法,越来越多的金融机构采用VaR测量市场风险,使用VaR 作为风险限额,特别是监管当局也在使用VaR确定风险资本金,这使得许多金融机构及其业务部门在投资选择时,往往需要满足VaR约束.为此,本文将研究一个在马柯维茨均值—方差模型的基础上加入VaR约束的投资组合优化模型.根据VaR的定义,可以表示为:其中,Prob表示概率,为证券组合在持有期内的损失,VaR为置信水平下处于风险中的价值.从上面的定义中我们可以看出,VaR有两个重要的参数:资产组合的持有期及置信水平.这两个参数对VaR的计算及应用都起着重要的作用.例如,假定某一资产某天置信度为的日VaR为600万元,根据VaR的含义可知:该资产以的可能性保证,这就意味着这一资产在24小时内发生大于600万人民币亏损的可能性为.1.1.2资产组合的持有期从投资者的角度来说,资产组合的持有期应由资产组合自身的特点来决定.资产的流动性越强,相应的持有期越短;反之,流动性越差,持有期则越长.国外商业银行由于其资产的高流动性,一般选择持有期为一个交易日;而各种养老基金所选择的持有期则较长,一般为一个月.在应用正态假设时,持有期选择得越短越好,因为资产组合的收益率不一定服从正态分布,但在持有期非常短的情形下,收益率渐进服从正态分布,这时的持有期一般选为一天.另外,持有期越短,得到大量样本数据的可能性越大.Basle 委员会选择10个交易日作为资产组合的持有期,这反映了其对监控成本及实际监管效果的一种折衷.持有期太短则监控成本过高;持有期太长则不利于及早发现潜在的风险.本文主要对股票投资组合进行分析,持有期选为一个交易日.1.1.3置信水平置信水平的选取反映了投资主体对风险的厌恶程度,置信水平越高,厌恶风险的程度越大.由前面所述VaR的定义我们可以看出,置信水平的选取对VaR值有很大影响.同样的资产组合,由于选取的置信水平不同计算出的VaR值也不同.由于国外已将VaR值作为衡量风险的一个指标对外公布,因此各金融机构有选取不同的置信水平以影响VaR值的内在动力.例如,国外各银行选取的置信水平就不尽相同,美洲银行和J.P.Morgan银行选择95%,花旗银行选择95.4%,大通曼哈顿银行(Chemical and Chase)选择97.5%,信孚银行(Bankers Trust)选择99%.由VaR的定义可知,置信水平越高,资产组合的损失小于其VaR值的概率越大,也就是说,VaR模型对于极端事件的发生进行预测时失败的可能性越小.因此,Basle委员会要求采用99%的置信水平.1.1.4VaR的数学表达式为了更好地理解VaR的概念,下面我们将推导其数学表达式.设资产组合的初始价值为,持有期末的期望收益为,的数学期望和标准差分别为和,在给定的置信水平下,期末资产组合的最低值为,其中为相应的最低收益率(一般为负值),则:(1)VaR也可由资产组合值的概率分布推导而得.由VaR的定义,该式等价于:即组合价值低于的概率为.设资产组合的价值服从正态分布,为标准正态分布相应的分位数,则:其中为标准正态分布密度函数.又由可知:(2)将(2)式代入(1)式可得:(3)这就是正态分布假设下VaR的一般表达式.2.引入VaR约束的马柯维茨均值—方差模型2.1马柯维茨均值—方差模型经典马柯维茨均值—方差模型为:模型()其中,;是第种资产的预期回报率;是投资组合的权重向量;是种资产间的协方差矩阵;和分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差.该模型的解在空间是图1中的抛物线,即投资组合的有效前沿.马柯维茨均值-方差模型利用方差度量了资产组合的市场风险,但该方法主要存在两个缺点:①方差只描述了收益的偏离程度,却没有描述偏离的方向.而实际中最关心的是负偏离(损失);②方差并没反映证券组合的损失到底是多大.因此对于随机变量统计特征的完整描述需要引入概率分布,而不仅仅是方差.2.2引入VaR约束鉴于前述VaR方法在风险度量与管理领域中的主流地位,现在我们考虑在模型中加入VaR约束.假定置信水平为,由VaR的定义,有:(4)在模型()中考虑VaR约束后,经典均值-方差模型为:模型() (5)在正态分布下,(4)式可化为:(6)其中,是标准正态分布的分布函数.模型()的解在空间中是图1中的弧线,称其为基于VaR约束下的投资组合的有效前沿.VaR约束-VaRAB图1 基于VaR约束的投资组合的有效前沿O图1中VaR约束表现为一条斜率为,截距为-VaR的直线.在该直线或其以上的全部投资组合都具有的概率使其回报率超过最小值-VaR;而在直线以下的全部投资组合回报率在置信度下不超过-VaR.这样,VaR约束使投资组合选择仅仅限制在传统有效前沿和VaR约束直线间的阴影部分,即点和之间的弧线上.进一步地,根据有效集定理,最优投资组合选择应为抛物线顶点与点之间的弧线,即弧线段.2.3模型的几何求解方法由图1可知,VaR约束的最优投资组合确定时,只需求出点和处的权重即可.但由于该模型的约束条件比较复杂,用传统的Laganerge乘子法无法求解.因此在这里我们用几何方法来解决此问题.设种资产组合的权重是（其中）,则投资组合的期望回报率与方差分别可表示为:(7)(8)因为协方差矩阵是正定矩阵,所以在权重空间中,(8)式代表等方差超椭球面.取不同值可得到一族同心超椭球面,中心记为,表示所有的可能投资组合中风险最小的投资组合的权数;在权重空间中,(7)式代表等期望回报率超平面,取不同值可得到一族平行超平面.因而,种资产投资组合的最优权重应为等期望回报率超平面与等方差超椭球面的正切点.将这些正切点连接起来,就得到一条直线,称其为种资产投资组合的临界线.不难看出,临界线实际上就是图1中的有效前沿在权重空间中的表现形式.(7)式在点处的法向量为:(8) 式在点处的法向量为:令则(8)式在点处的法向量可简化为:由临界线定义,可得临界线方程为(9)由(9)式可得到个方程构成的线性方程组:(10)其中:进一步将(6)式化为如下形式:(11)根据均值和方差的表达式:,,将其代入上式:(12)因为线性方程组(10)的秩是,所以它的基础解系的个数是1,我们可以用分别表示.而由于,也可以用表示.将代入(12)式,就得到一个关于的一元二次方程,求出就可得到相应的值.因为有两个根,因此有两组解,它们分别是点和点处的权重.这样就求出了点和点处投资组合的预期回报率,和方差,.进一步地,根据方程,我们可求出抛物线顶点处的投资权重.该方程是常数项包含的关于一元二次方程,当其判别式为零时只有一个解,此时与重合为.利用判别式为零求出后,便可分别求出点的投资权重及投资回报率.于是可以得到VaR约束下投资组合的选择范围:针对这一范围内投资组合的一个回报率,联立(10)式和(7)式,就可在临界线上求得投资组合最优权重,该权重下的投资组合的方差为最小,并通过(8)式可算出这个最小方差;同理,给定了上述范围内投资组合的一个方差,联立(10)式和(8)式,就可在临界线上求得投资组合的最优权重,使得该权重下的投资组合的预期回报率最高,并且由(7)式可算出这个最高的预期回报率.需要指出的是,VaR约束可能太严格以致关于的一元二次方程无解,即任何组合都被排除在外,这种情况体现在图1中便是VaR约束线和弧线没有交点.同样,VaR约束太宽松也将使计算结果变得没有意义.3.VaR约束下的投资组合优化模型的特性分析3.1Markwitz均值—方差模型的缺点Markwitz均值—方差模型存在2个明显的缺点:一是用方差或标准差从波动性角度来反映风险,只描述了收益偏离期望值的程度,并没有描述损失情况;二是用等效曲线函数来描述投资者的收益,风险特征,具有很大的额随意性,很难用一个准确的数学公式来表示.而VaR测量的是在一定的置信度下,在正常的市场环境下,某一资产或资组合在未来特定的一段时间内的预期最大的可能损失,是一种非常直观的风险测量方法,弥补了方差或标准差的不足.同时,VaR方法能够使投资者根据自身财务状况,市场环境和对投资损失的心理承受能力,比使用等效曲线函数更能客观,容易,准确地量化自己的收益和风险特征,而且VaR描述的是损失状况,因此它更接近投资者对风险的直接心理感受.因此,引进VaR方法,是对传统的均值—方差模型的补充和改进.3.2VaR组合模型有事先防范风险的作用在进行投资决策过程中,投资者首先要确定置信水平和VaR值,将自身对风险的承受能力与风险的大小加以比较,尽可能减少因投资失误带来的损失.VaR可以事前计算风险,在均值—方差模型中加入了VaR约束后,将投资者不能接受的投资组合排除在外,就是将投资可能发生最大损失降至投资者能承受的概率水平.VaR含义简洁,价值判断方式直观,使得资产组合的风险,能够具体化为一个可以与收益相配比的数字,从而有利于经营者管理目标的实现.3.3VaR组合模型体现了投资者的个人偏好在投资活动中,风险与期望收益率之间存在正比关系,如何在二者间做出选择,主要依赖于投资者对风险的个人偏好.在组合模型中,不同的置信水平对应于不同的VaR值,组合的VaR值会随置信度的提高而上升,投资者可以根据自身对风险的承受能力来决定投资策略,调整相应的获利能力.对于风险承受能力较低的投资者,应选择较高的置信水平,以降低风险;对于风险承受能力较强的投资者来说,可以设置较低的置信水平,以利于作出积极的投资策略.3.4VaR组合模型具有高效性由前面的模型介绍可知,VaR约束实际上缩小Markwitz均值—方差模型所确定的最优投资组合选择范围（主要由所确定的置信水平决定有效解的范围）,即投资者的选择范围在缩小,实质上排出了投资者所不能接受的投资组合,从而提高了投资决策的速度与效率.但应注意可能出现的两种极端情况:一是约束太严,即VaR约束线的斜率太大以至于过多投资选择被排除在外（如模型一有可能无解）;二是约束太松,即VaR约束线的斜率太小,以至于失去实质性的约束意义.3.5应用VaR组合模型应注意的问题应用VaR组合模型应注意的问题:(1)VaR描述的是市场正常波动下资产组合最大的可能损失,而不是处理发生剧烈波动的市场极端情况,如市场崩盘等;同时,从技术角度讲,VaR表明的是一定置信度内的最大损失,并不能绝对排除高于值的损失发生的可能性,这种情况一旦发生就会给投资者带来严重损失.所以,需要运用其它各种定性,定量分析方法作为辅助的风险测量工具.(2)由于我国证劵市场起步较晚,市场尚需规范,政府的干预和机构的坐庄行为在一定程度上导致收益率不能完全满足正态分布.事实上,在正发达国家较成熟证劵市场,也不能完全满足上述条件,因此,利用VaR模型组合时,在考虑资产收益率偏离正态分布程度的同时,只能做近似正态处理.结束语马柯维茨的证券组合理论是现代投资理论和投资实践的基础,他的均值-方差模型给出了投资决策的最基本也是最完整的框架.投资决策大都是在马柯维茨证券组合理论的框架或基本思想下展开的,不同的只是收益和风险的描述不同.由于当前VaR在风险测量,风险限额设定和绩效评估中的广泛应用,因此在马柯维茨证券组合理论的框架下,基于VaR的投资决策具有重要的实用价值.本文在马柯维茨的均值—方差模型的基础上,加入了VaR约束,给出了一个基于VaR的证券投资组合优化模型.VaR约束来寻求投资者的最优投资组合,体现了一种较为成熟的投资理念,即在投资组合管理中,应考虑如何控制风险,相应的调整获利目标,客观量化收益和风险特征.因此在马柯维茨证券组合理论的框架下,基于VaR的投资决策具有重要的实用价值.参考文献:[1]金道政,黄永兴,金融投资学[M].中国科学技术大学出版社,2002.[2]卢文莹.金融风险管理[M].复旦大学出版社,2006.[3]张尧庭.金融市场的统计方法[M].广西师范大学出版社,1998.[4]杜海涛.VaR模型在证券风险管理中的应用.证券市场导报.2000年(8):57-61.[5]王春峰.金融市场金融管理[M].天津:天津大学出版社.2001.[6]景乃权,陈姝.VaR模型及其在投资组合中的应用[J].财贸经济.2003.(2):68-71.[7]黄继平,黄良文.基于风险控制的证劵投资决策[J].统计研究.2004.(7(:44-48.[8]郑明川,吴晓良.VaR约束下的投资组合管理[J].技术经济与管理研究.2003.(6):34-35.[9]维普.K.班瑟尔,皮埃特罗.潘泽.用VaR度量市场风险[M].北京:机械工业出版社.2002.。

几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化是金融领域研究的热点之一，它旨在通过合理的资产配置，最大化投资回报并控制风险。

在过去的几十年里，学者们提出了许多不同的模型和算法来解决这个问题。

本文将介绍几类常见的投资组合优化模型及其算法，并讨论它们在实际应用中的优缺点。

一、均值-方差模型及其算法均值-方差模型是最早也是最常见的投资组合优化模型之一。

它假设市场上所有证券的收益率服从正态分布，并通过计算每个证券预期收益率和方差来构建一个有效前沿。

然后，通过调整不同证券之间的权重来选择最佳投资组合。

常用于求解均值-方差模型问题的算法包括马尔科夫蒙特卡洛方法、梯度下降法和遗传算法等。

马尔科夫蒙特卡洛方法通过随机生成大量投资组合并计算它们对应收益和风险来找到有效前沿上最佳点。

梯度下降法则通过迭代调整权重，使得投资组合的风险最小化，同时收益最大化。

遗传算法则通过模拟生物进化的过程，不断迭代生成新的投资组合，直到找到最优解。

然而，均值-方差模型存在一些缺点。

首先，它假设收益率服从正态分布，在实际市场中往往不成立。

其次，它忽略了投资者的风险偏好和预期收益率的不确定性。

因此，在实际应用中需要对模型进行改进。

二、风险价值模型及其算法风险价值模型是一种基于风险度量和损失分布函数的投资组合优化模型。

它通过将损失分布函数与预期收益率进行权衡来选择最佳投资组合。

常用于求解风险价值模型问题的算法包括蒙特卡洛模拟、条件值-at- risk方法和极大似然估计等。

蒙特卡洛方法通过随机生成大量损失分布并计算对应的条件值-at- risk来找到最佳点。

条件值-at-risk方法则是直接计算给定置信水平下对应的损失阈值，并选择使得风险最小化的投资组合。

极大似然估计则是通过对损失分布的参数进行估计，找到最符合实际数据的投资组合。

风险价值模型相比均值-方差模型具有更好的鲁棒性，能够更好地应对极端事件。

然而，它也存在一些问题。

首先，它需要对损失分布进行假设，而实际中往往很难准确估计。

最优投资组合公式
【原创实用版】
目录
1.引言：投资组合的重要性
2.投资组合的构成
3.最优投资组合公式的推导
4.最优投资组合公式的应用
5.总结
正文
1.引言：投资组合的重要性
在现代投资领域，投资组合的管理和优化成为了投资者成功的关键。

一个科学合理的投资组合可以在控制风险的同时，实现资产的最大化增值。

构建投资组合的过程实际上就是对投资品种、比例和策略的一种选择和权衡。

2.投资组合的构成
投资组合通常由多种资产构成，例如股票、债券、现金等。

每种资产都有其特有的风险和收益特性。

投资组合的目标是在各种资产之间寻求最佳的配置，以实现风险和收益的平衡。

3.最优投资组合公式的推导
关于最优投资组合的理论研究，马科维茨投资组合理论是最具影响力的。

该理论提出了一个最优投资组合公式，用于描述在给定风险下，如何选择最优的资产组合。

该公式基于投资者的期望收益和风险厌恶程度，通过权衡资产之间的协方差来实现最优的投资组合。

4.最优投资组合公式的应用
在实际应用中，投资者可以根据自己的风险承受能力和收益期望，利用最优投资组合公式来选择最佳的资产配置。

此外，投资者还可以通过调整投资组合中各种资产的比例，来应对市场的变化和风险。

5.总结
投资组合的管理和优化对于投资者来说是至关重要的。

通过构建科学合理的投资组合，投资者可以在控制风险的同时，实现资产的最大化增值。

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投资组合优化模型摘要长期以来，金融资产固有的风险和由此产生的收益一直是金融投资界十分关注的课题。

随着经济的快速发展，市场上的新兴资产也是不断涌现，越来越多的企业、机构和个人等都用一部分资金用来投资，而投资方式的多样性决定了人们在投资过程中投资组合的多样性。

而每一项投资在有其收益效果的同时也伴随着风险性，所以不同的投资组合方式将带来不同的效果。

对于不同类型的投资者必然有不同的要求，从而适合不同的投资方式，所以意在建立在不同投资者的不同要求下应采用哪种投资方式的模型，使投资者能做出正确的选择。

本文研究的主要是在没有风险的条件下，找出投资各类资产与收益之间的函数关系，合理规划有限的资金进行投资，以获得最高的回报。

对于问题一，根据收益表中所给的数据，我们首先建立二元线性回归模型来模拟收益U与x,y之间的关系，对于模型中的各项自变量前的系数估计量，利用spss软件来进行逐步回归分析。

发现DW值为0.395，所以原模型的随机误差项违背了互相独立的基本假设的情况，即存在自相关性。

为了处理数据间的自相关问题，运用了迭代法，先通过Excel进行数据的处理和修正，达到预定精度时停止迭代，再一次用spss软件来进行检验，发现DW值变为2.572，此时DW值落入无自相关性区域。

在进一步对模型进行了改进后，拟合度为进行了残差分析和检验预测，这样预测出的结果更加准确、有效，希望能为投资者实践提供某种程度的科学依据。

对于问题二，根据问题一建立的模型和问题二中所给出的条件，确定目标函数，进行线性规划，用MATLAB软件来求得在资金固定的情况下，选择哪种投资方式能使达到利益最大化。

最后，对模型的优缺点进行评价，指出了总收益与购买A 类资产x份数和B 类资产y份数之间的关系模型的优点与不足之处，并对模型做出了适度的推广和优化。

关键字：经济效益回归模型自相关迭代法线性规划有效投资方法一、问题重述某金融机构选定了A，B两种投资品种,购买A类资产x份和B类资产y份的(1)确定U与x,y的关系；(2)若A的价格是每份120元，B的价格是每份80元，现有资金960万元，选定有效的投资方案以使收益最大。

数学建模进行投资最优化资产最优组合摘要本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。

问题一：基于模糊评价模型。

本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。

首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城内需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST中华A（ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为[]0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。

问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。

其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。

根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。

同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。

但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。

本文运用EXCEL统计了大量数据，利用SPSS软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。

关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价，线性规划一、问题重述我国现有多种多样投资产品，例如银行理财产品，国债，基金，房产，实物黄金，股票，外汇，期货等等。

投资学中的投资组合理论投资组合理论是投资学中的基本理论之一，它是投资者在投资时进行资产配置的基础。

投资组合理论的核心思想是：通过不同资产的组合，降低投资风险，提高投资收益。

本文将从投资组合理论的基本概念、投资组合的优化、投资组合的风险管理等方面来讨论投资组合理论。

一、投资组合理论的基本概念1. 资产和资产组合投资组合理论的基本概念是资产和资产组合。

资产是指可以带来投资收益的任何财富，如股票、债券、房地产等。

而资产组合是指不同资产在一定比例下的组合。

资产组合是投资者进行投资决策时非常重要的考虑因素，在构建投资组合时，需要考虑不同资产之间的相关性、风险收益比等因素，以期达到最佳的资产配置方案。

2. 投资组合的效用函数和边界为了评估投资组合的效果，投资者需要构建一个效用函数，并通过效用函数来计算投资组合的效果。

同时，投资者还需要构造一个投资组合的边界线，以便确定最优投资组合。

投资组合效用函数的计算需要考虑多种因素，包括风险、收益、负债等，而投资组合的边界线则是由不同资产的风险收益关系所构成的。

二、投资组合的优化投资组合的优化是指通过适当的方法和技巧，选取最优的投资组合配置方案，以期获取最大的收益和最小的风险。

下面是投资组合优化的基本步骤：1. 收集信息投资组合优化的第一步是要收集尽可能多的信息，以了解市场的变化和不同资产的特点，为构建投资组合提供依据。

2. 确定投资目标确定投资目标是指投资者要明确自己投资的目的和目标，例如获取高收益、短期或长期投资等。

3. 确定约束条件约束条件是指在投资组合优化中，投资者需要遵守的约束条件，例如预算限制、风险承担能力等。

4. 构建投资组合构建投资组合是根据收集的信息和投资目标，以及约束条件和风险收益关系等因素，选取最优的资产组合方案。

5. 监控和调整监控和调整是不断的评估和调整投资组合的偏差，以保持投资组合的最优配置状态。

三、投资组合的风险管理投资组合的风险管理是在优化投资组合的基础上，采取一定的措施降低风险，以保证投资组合的稳健性。

线性代数在投资组合优化中的应用案例研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们总是在寻求一种最优的投资策略，以实现风险最小化和收益最大化的目标。

而线性代数作为数学领域的一个重要分支，为投资组合的优化提供了强大的理论支持和实用工具。

本文将通过具体的案例研究，深入探讨线性代数在投资组合优化中的应用。

首先，让我们来了解一下线性代数中的一些关键概念在投资领域的对应关系。

在投资组合中，每一种资产都可以看作是一个向量的分量，例如股票 A、债券 B、基金 C 等。

这些资产的收益率则构成了另一个向量。

而投资组合的权重，即投资于每种资产的比例，形成了一个系数向量。

通过这些向量和系数的运算，可以构建投资组合的数学模型。

以一个简单的投资组合为例，假设有三种资产：股票 X、债券 Y 和基金Z。

它们在过去一段时间内的平均收益率分别为10%、5%和8%。

投资者希望构建一个总投资为 100 万元的组合，并且对风险有一定的限制。

我们可以用线性代数的方法来解决这个问题。

设投资于股票 X 的比例为 x，投资于债券 Y 的比例为 y，投资于基金 Z 的比例为 z。

由于总投资为 100 万元，所以有 x ＋ y ＋ z ＝ 1。

同时，为了控制风险，我们可以设定一些约束条件，比如投资于股票的比例不超过 50%，即x ≤ 05。

接下来，我们的目标是使投资组合的预期收益最大化。

预期收益可以表示为 01x ＋ 005y ＋ 008z。

这就构成了一个线性规划问题，可以使用线性代数中的求解方法，如单纯形法，来找到最优的投资比例。

再来看一个更复杂的案例。

假设有 10 种不同的资产，它们之间存在着一定的相关性。

我们可以用协方差矩阵来表示这些资产收益率之间的相关性。

协方差矩阵是一个对称矩阵，其中的元素表示两两资产收益率之间的协方差。

通过对协方差矩阵的分析，我们可以了解资产之间的关系，进而更好地优化投资组合。

例如，如果两种资产的协方差为正，说明它们的收益率往往同时上升或下降，具有较强的正相关性；如果协方差为负，则它们的收益率往往反向变动，具有一定的风险对冲作用。

投资组合优化的多目标决策算法研究一、引言投资组合优化是金融领域中的一个重要问题，它涉及到如何选择适当的投资标的以实现最佳的风险收益平衡。

多目标决策算法在解决投资组合优化问题中具有较强的适用性。

本文将探讨多目标决策算法在投资组合优化中的应用和研究。

二、单目标和多目标优化在传统的投资组合优化中，通常采用单目标优化方法，即选取一个主要目标，如最大化收益或最小化风险，将其他目标视为约束条件。

然而，在实际投资中，不同的投资者在风险偏好、投资目标和资金规模上存在差异，因此单目标优化不能满足不同投资者的需求。

多目标优化的目标是平衡不同目标之间的关系，寻求一组最优解，称为帕累托最优解集。

多目标优化可以更好地考虑风险和收益之间的权衡，并提供给投资者选择最适合自己需求的解决方案。

三、经典多目标优化算法1. 线性规划线性规划是一种常见的多目标优化方法，通过线性模型来解决问题。

在投资组合优化中，线性规划可以根据用户的权重设置，在保证约束条件下最小化或最大化目标函数。

然而，线性规划算法在处理非线性问题时效果较差。

2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它在变量上增加了整数约束，即解必须是整数。

在投资组合优化中，整数规划可以用于限制投资组合的选择范围，以获得更加可行和稳定的解决方案。

3. 遗传算法遗传算法是一种基于自然进化过程的优化算法。

它通过模拟自然选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。

在投资组合优化中，遗传算法可以随机生成一组初始解，并通过交叉和变异操作不断改进解的质量，最终找到最优解。

四、基于多目标优化的投资组合优化算法在多目标优化算法中，常用的方法有多目标粒子群算法、多目标蚁群算法和多目标模糊规划算法。

这些算法都可以应用于投资组合优化中。

1. 多目标粒子群算法多目标粒子群算法是一种模拟鸟群或鱼群行为的优化算法。

它通过模拟个体的位置和速度变化来更新解，并根据目标函数的优劣对解进行选择。

在投资组合优化中，多目标粒子群算法可以用于根据不同投资者的需求生成最佳的投资组合解。

实验报告(文经管艺体类)课程名称:投资学原理及应用课程代码: 1207949 学院（直属系）：工商管理学院年级/专业/班:2013级财务管理学生姓名:学号:实验总成绩:任课教师:开课学院:工商管理学院证券组合投资分析实验报告班级: 财务管理1班（一）、宏观经济分析2015年，制造业在结构调整的状态下继续出清过剩产能，工业生产总值的增幅将继续维持下行趋势，GDP等经济总量指标的增速也会相应放缓。

于此同时，服务业尤其是信息产业和智能技术相关的生产性服务业在国民经济中的比重将继续上升，产业结构将有所优化。

从增长动力来看，随着房地产增速的放缓和政府部门淡化直接投资者的角色，投资对国民经济增长的贡献度会有所下降，而随着劳动力供不应求状况的持续、产业工人工资收入的增长以及政府民生支出的增加，消费将保持较为稳定的增长，成为2015年经济增长的主要动力。

1.增长动力切换消费成为中国经济的引擎2015年是经济结构调整和改革全面深化的转型期。

随着房地产市场进入下行周期，投资拉动的增长时代终结，就业繁荣和居民收入增加构成经济增长的基础。

从人口结构数据来看，40－50岁这个收入和消费能力最强的年龄段人口占比达到18.5％，达到巅峰水平，收入所支持的社会消费水平将因此有所上升，此外，随着社会保障机制的改革，政府在民生支出上的增加，居民的预防性储蓄比率会相应降低，由预期所支撑的当前消费支出也会相应有所提高。

2.货币政策依然保持稳健和弹性从政策的制定基础来看，2015下调准备金率存在较大可能性。

随着人民币汇率双向波动的特征逐步确立，人民银行逐渐减轻对人民币汇率的干预力度，外汇占款不再是我国基础货币供应的基础，适度降低准备金率的环境也趋于成熟。

为了改善中小企业融资难融资贵的问题，2014年11月下旬，国务院出台的新融十条将其他金融机构的同业存款纳入一般存款统计口径以放松贷比考核，根据不同银行的存贷比现状，该项政策在理论上可释放近2-3万亿的信贷规模，但同业存款成本较高，该政策只能放松信贷规模的约束，对于降低融资成本并无直接助益。

毕业论文题目：证券投资组合最优化模型学院：数理学院专业：数学与应用数学（金融方向）姓名：申圣学号： 131412135指导老师：赵许培完成时间： 2016.5.10摘要随着改革开放的进一步加深，中国人民的生活水平进一步的提高，1984年中国发行第一只股票以来中国人民才开始逐步有了投资意识。

中国股市用了不到30年的时间走完了西方国家的200年的历史，中国股市虽然发展如此迅速但是伴随着种种问题的出现。

投资者理性分析投资市场的少，很多人盲目投资，单单依靠所谓内幕小道的消息等方法已经不能满足对投资的需要，人们渐渐意识到了组合化的投资是未来投资的方向。

所以在和数学有关的金融学当中，建立数学模型是研究最优组合投资方法当中的一个很好的策略，数学模型应运而生。

数学模型可以通俗的说成是数学在其他领域当中的应用，所以说证券投资最优化的模型就是在进行股票基金债券进行商业投资过程中所建立的一个使投资收益最大化的数学模型，本文首先简单介绍马柯威茨（markowitz）模型，并且研究了此模型的不足之处，引入偏好系数建立了自己的投资组合最优化数学模型。

运用自己所学的《最优化方法》上面的外点罚函数法对此模型进行求解。

最后进行实证性分析，得出组合最优化数学模型具有解决实际问题的可行性。

关键词：马柯维茨模型；组合最优化数学模型；共轭梯度；外点惩罚函数；AbstractWith the further deepening of reform and opening up, Chinese people's living standards further improved, in 1984 China issued the first stock since the Chinese people began to gradually have the consciousness of the investment. China's stock market has taken less than 30 years covered 200 years of history in the west, China's stock market although such rapid development with the advent of the problems. Investors less rational analysis of the investment market, a lot of people blind investment, only rely on methods such as the so-called insider gossip news already cannot satisfy the need for investment, people gradually realized the combination of the investment will be the future direction. So in finance related to mathematics, mathematical model is to study the optimal portfolio investment methods of a good strategy, mathematical model arises at the historic moment.Mathematical model can be popular as the application of mathematics in other areas, so that securities investment optimization model is in stock fund, bond business investment in the process of the established a mathematical model to maximize return on investment, this paper introduces the Ma Kewei, markowitz model, and the deficiency of this model is studied, and the introduction of preference coefficient of his portfolio optimization mathematical model is established. Used his knowledge of the optimization method of above point penalty function method for solving of this model. Through the empirical analysis, the final combination optimization mathematical model with the feasibility of solving practical problems.Key words:Markowitz model;Combinatorial optimization mathematical model; Conjugate gradient method;Penalty function method;目录引言 (1)1 马柯威茨模型简介 (3)1.1 数学描述马柯威茨模型 (3)1.2 组合最优化数学模型 (4)2 求解组合最优化模型 (6)2.1 惩罚函数简介 (6)2.2 运用外点罚函数求解 (6)2.3 共轭梯度法简介及步骤 (7)2.4 参考共轭梯度求解模型 (11)3 实证分析 (14)致谢 (18)参考文献 (19)附录 (20)引言现如今中国的经济高速发展，全国各族人民的生活水平大大提高，特别是中国加入WTO世界经济贸易组织后，无论是金融还是经济都在向全球化发展，中国的经济水平人均GDP翻了好几番，一个个五年计划的完成，越来越多的中国人生活水平奔上了小康，家里都有了自己的积蓄，人们有了闲余资金就会去投资，其中投资股票等证券是占投资比例的大多数，投资的目的是为了获得比在银行无风险投资状态下的更高的收益，我们都知道，投资的都是有风险的，在高收益的同时也伴随着高风险，如何降低投资的风险并提高我们的收益是每一位投资者都在追求的目标，在1952年，非常著名的美国经济学家马柯威茨首次提出了《投资组合选择》，第一次将在投资过程中的风险和收益这两项进行数学化，并用数量化表示和描述出来，也就是运用统计的方法和数学方法与金融经济相结合起来，《投资组合选择》的提出也象征着当今证券组合这种理论的开端。

2024年3月第27卷第5期中国管理信息化China Management InformationizationMar.,2024Vol.27,No.5［10］张志成，张艳.中心极限定理在实际中的应用［J］.河南工学院学报，2020，28（4）：28-30.［11］李广平.基于价值观的人力资源管理：GE人力资源管理体系剖析［D］.郑州：郑州大学，2004.基于强化学习PPO算法的上市公司投资组合管理代一方（南京财经大学　经济学院，南京　210000）［摘 要］传统的投资组合管理方法往往依赖于经验规则或数学模型，难以充分利用市场信息和动态调整投资策略。

为了解决这一问题，文章提出一种基于强化学习PPO（Proximal Policy Optimization）算法的新方法。

使用上市公司的历史数据进行训练和测试，与传统投资策略和其他强化学习算法进行比较，实验结果表明，基于强化学习PPO算法的投资组合管理方法在投资回报率和风险控制方面取得了显著的改进。

［关键词］强化学习；PPO算法；投资组合管理；上市公司doi：10.3969/j.issn.1673-0194.2024.05.042［中图分类号］F830.9 ［文献标识码］A ［文章编号］1673-0194（2024）05-0140-041 文献综述上市公司投资组合管理是金融领域的重要问题之一，它涉及如何有效地分配投资资金以取得最大化回报并控制风险。

随着金融市场越来越复杂，传统的投资组合管理方法难以适应快速变化的市场环境。

因此，寻求新的投资策略和方法变得至关重要。

强化学习作为一种基于智能体与环境交互学习的方法，在解决复杂决策问题方面展现出巨大潜力。

近年来，强化学习在金融领域的应用引起了广泛关注，并取得了令人瞩目的成果。

齐岳等（2018）利用深度强化学习中确定性策略梯度DDPG算法构建投资组合管理模型，通过控制每个股票的投资比例，降低整体的风险，此外，还采用Dropout的方法，有效地避免出现过拟合的情况［1］。

7一般地最优投资组合模型计算1多种风险资产的最优投资组合以上分析表明，在投资组合的期望收益率pR与投资组合标准差pσ之间的关系曲线上，存在一个最低风险（标准差）的投资组合（即最优投资组合），该投资组合的各项资产投资比重矩阵的计算公式为：11**1112T12(0)(,,,)n I=111P PPP PT TTnC R A B ARW Q R Q ID DAR Q ICB R Q RC I Q ID BC A DR R R Rσσ*-------==+=====->=T而在此投资组合下的期望收益率和标准差分别为：其中A=R表示种风险资产的期望收益率，（，，，）。

2无风险资产与多种风险资产的最优投资组合当无风险资产与多种风险资产的构成投资组合时，首先可以计算出多种风险资产的最优投资组合，即资本配置线与风险资产的有效边界相切的那一点。

切点所代表的最有投资组合的期望收益率pR和标准差pσ的计算公式分别为：**1****A B C D()W,C A L,.FP PFFFFP PF PP PB A RRA C RRQ R R IA C RD DRC R A C R Aσσσσ--==--=-=+--*P式中为无风险资产的收益率。

参数、、、的计算同上。

在多种风险资产的最有投资组合中各种风险资产的投资比重为：无风险资产与多种风险资产构成的最优投资组合其风险和收益落在资本配置线()上,计算公式为: R为该直线的斜率3不允许卖空的最优投资组合的电子表格计算在有些情形下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。

这时在约束条件中需要加入x i大于0，i=1,…,n。

相应的模型为)21min(VX X T，⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥==∑=0)(11X r E e X x X Tni i 这一模型不能被简化为一种线性方程式的求解问题。

由于该模型的求解目标为二次的而限制条件为线性的（一次的）等式与不等式，因此，它称为二次规划，解决这类问题需要专门的计算机程序，对于中等规模的模型可以应用表格加以解决。

案例分析1 线性优化广州某财务分析公司是为许多客户管理股票资产组合的投资公司。

一名新客户要求该公司处理80000元的投资组合。

作为个人投资战略，该客户希望限制他的资产组合在下面两个股票的混合中：决策变量，目标函数，约束条件。

设x=西北石油的股份数；y=西南石油的股份数。

a假设客户希望最大化总的年收益，则目标函数是什么？b写出在下面3个条件下的每一个的数学表达式：(1)总的投资基金是80000元。

(2)对西北石油的最大投资是50000元。

(3)对西南石油的最大投资是45000元。

A目标函数：ym ax+6=z4xx+y3050=8000050≤x50000y30≤45000x≥y,0≥案例分析2：线性优化某投资公司的财务顾问得知有两家公司很可能有并购计划。

西部电缆公司是制造建筑光缆方面的优秀公司，而康木交换公司是一家数字交换系统方面的新公司。

西部电缆公司股票的现在每股交易价是40元，而康木交换公司的每股交易价是25元。

如果并购发生了，财务顾问预测西部电缆公司每股价格将上涨到55元，康木交换公司每股价格将上涨到43元。

财务顾问确认投资康木交换公司的风险比较高。

假设投资在这两种股票上的资金的最大值50000元，财务顾问希望至少在西部电缆公司上投资15000元，至少在康木交换公司投资10000元。

有因为康木交换公司的风险比较高，所有财务顾问建议对康木交换公司的最大投资不能超过25000元。

A建立线性规划模型，决定对西部电缆公司和康木交换公司应该各投资多少才能使总投资回报最大？B画出可行域。

C确定每个极点的坐标。

D找出最优解。

设x=西部电缆公司的比例；y=康木交换公司的比例15=m ax+z18yxx+y2540=5000040≤x15000y25≥10000y25≤25000x≥y,0≥(375,400)；（1000,400）；（625,1000）；（375,1000）X=625;y=1000,总回报=27375案例分析3：线性优化广州某创业投资基金公司为计算机软件和互联网的应用发展提供创业基金。

最优投资组合公式摘要：一、最优投资组合公式的概念1.投资组合的定义2.最优投资组合的概念二、最优投资组合公式的发展历程1.马科维茨投资组合理论2.夏普比率3.风险平价模型三、最优投资组合公式的应用1.资产配置2.风险管理3.投资策略制定四、最优投资组合公式的局限性与挑战1.假设条件的局限性2.计算复杂度3.投资者行为影响五、最优投资组合公式在我国的实践1.我国投资市场的特点2.最优投资组合在我国的应用3.我国投资者如何利用最优投资组合公式进行投资正文：一、最优投资组合公式的概念投资组合是指将多种资产按照一定比例组合起来进行投资的方式。

最优投资组合是指在给定风险条件下，收益最高或者在给定收益条件下，风险最低的投资组合。

二、最优投资组合公式的发展历程1.马科维茨投资组合理论：1952 年，哈里·马科维茨提出了投资组合理论，通过分散投资降低风险，同时最大化收益。

这一理论为后来的投资组合研究奠定了基础。

2.夏普比率：1964 年，威廉·夏普提出了夏普比率，用于衡量投资组合的风险调整收益。

这一指标使得投资者能够更加直观地比较不同投资组合的优劣。

3.风险平价模型：2005 年，诺奖得主罗伯特·默顿提出了风险平价模型，该模型通过等风险贡献原则来实现风险分散，提高了投资组合的风险调整收益。

三、最优投资组合公式的应用1.资产配置：投资者通过最优投资组合公式，可以确定不同资产在投资组合中的比例，以实现既定风险条件下的最优收益或者既定收益条件下的最小风险。

2.风险管理：金融机构和投资者利用最优投资组合公式，对投资组合进行风险评估和监控，有效控制潜在损失。

3.投资策略制定：通过最优投资组合公式，投资者可以制定适合自己风险承受能力和收益期望的投资策略。

四、最优投资组合公式的局限性与挑战1.假设条件的局限性：最优投资组合公式基于许多假设，如资产收益和风险的相关性、投资者风险厌恶程度等。

实际投资市场中，这些假设可能并不完全成立，从而影响最优投资组合公式的准确性。

2023-11-08contents •引言•Markowitz投资组合理论•最优投资组合选择•最优投资消费决策•实证分析•结论与展望目录01引言金融市场的不确定性投资者需要在不确定的金融市场中做出明智的投资决策，以最大化其投资收益。

研究背景与意义最优投资组合选择与最优投资消费决策的重要性选择合适的投资组合和消费决策可以最大化投资者的长期财富和消费效用。

研究目的研究如何基于金融市场的不确定性和投资者偏好，构建最优投资组合选择和最优投资消费决策模型，为投资者提供理论指导。

研究内容包括最优投资组合选择、最优投资消费决策以及二者的综合优化。

研究内容研究方法包括数学建模、最优化理论、金融市场分析等。

研究方法本文将分为三部分，分别介绍最优投资组合选择、最优投资消费决策以及二者的综合优化的研究内容和成果。

论文结构010203研究内容与方法02 Markowitz投资组合理论是指投资组合的平均收益率，通常用年度化收益率来衡量。

投资者需要根据自己的风险承受能力和投资目标来选择合适的投资组合。

投资组合收益率是指投资组合的波动性，通常用收益率的方差来衡量。

投资者需要根据自己的风险承受能力和投资目标来选择合适的投资组合。

投资组合风险投资组合收益率与风险均值-方差最优投资组合是指通过最小化投资组合的风险（方差）来最大化投资组合的收益（均值）。

这种最优投资组合的选择需要权衡风险和收益之间的关系。

在Markowitz理论中，最优投资组合的选择是通过构建有效前沿（efficient frontier）来实现的。

有效前沿是指一组最优投资组合的集合，它们在给定风险水平下最大化收益，或者在给定收益水平下最小化风险。

有效前沿是指由所有可能的投资组合构成的曲线，其中每个投资组合都对应一个特定的收益率和风险水平。

在有效前沿上，投资者可以找到在给定风险水平下最大化收益的投资组合，或者在给定收益水平下最小化风险的投资组合。

最优投资组合是指位于有效前沿上的一个特定投资组合，它具有最高的夏普比率（Sharpe ratio），即单位风险所获得的超额收益。