高二数学随机事件的概率详细知识点总结2022二数学知识点总结2021有哪些?马上要数学考试了，同学们复习好了吗?特别是上了高二的同学，高二数学难度大了不少，是不是觉得压力很大?一起来看看高二数学知识点总结2021，欢迎查阅!高二数学随机事件的概率知识点总结一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A 出现的频率.3.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)P(A)，P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件.P(AB)=1，P(A)=1-P(B).高二数学《导数》知识点总结导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作 .2. 导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t) 表示即时速度。
a=v/(t) 表示加速度。
3.常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧ 。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果 ,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数 ;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根; ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。
第04讲随机事件、频率与概率(精讲）第04讲随机事件、频率与概率（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：随机事件之间关系的判断题型二：随机事件的频率与概率题型三：互斥事件与对立事件的概率第四部分：高考真题感悟知识点一：概率与频率一般地，随着试验次数n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A 发生的频率()n f A 会逐渐稳定于事件A 发生的概率()P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率()n f A 来估计概率()P A .知识点二：事件的运算定义符号表示图示并事件事件A 与事件B 至少一个发生，称这个事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件）A B ⋃或者A B+交事件事件A 与事件B 同时发生，称这个事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件）A B ⋂或者AB知识点三：事件的关系定义符号表示图示包含关系一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ）B A Ê（或A B ⊆）互斥事件一般地，如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说A B ⋂是一个不可能事件，即A B ⋂=∅，则称事件A 与事件B 互斥（或互不相容）A B ⋂=∅对立事件一般地，如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A B =Ω ，且A B ⋂=∅，那么称事件A 与事件B 互为对立，事件A 的对立事件记为AA B =Ω ，且A B ⋂=∅.（2022·全国·高一课时练习）1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，“第二次摸得黑球”记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（）A ．A 与B ，A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）2．命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·全国·高一课时练习）3．给出下列说法：①若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A ，B 为对立事件；②把3张红桃J ，Q ，K 随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A =“甲得红桃J ”与事件B =“乙得红桃J ”是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．其中说法正确的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0（2022·全国·高一单元测试）4．已知A 与B 是互斥事件，且()0.4P A =，()0.2P B =，则()P A B = （）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.0（2022·全国·高一课时练习）5．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A 表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B 表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示A B ⋂，A B ⋃．题型一：随机事件之间关系的判断典型例题例题1．（2022·陕西渭南·高二期末（文））6．设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人射击一次，设事件A =“中靶”，事件B =“击中环数大于5”，事件C =“击中环数大于1且小于6”，事件D =“击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（）A ．B 与C 互斥B ．B 与C 互为对立C ．A 与D 互为对立D ．A 与D 互斥例题2．（2022·全国·高一课时练习）7．下列结论正确的是（）A ．若A ，B 互为对立事件，()1P A =，则()0P B =B ．若事件A ，B ，C 两两互斥，则事件A 与B C ⋃互斥C ．若事件A 与B 对立，则()1P A B ⋃=D ．若事件A 与B 互斥，则它们的对立事件也互斥例题3．（2022·全国·高一课时练习）8．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A ：恰有一件次品；事件B ：至少有两件次品；事件C ：至少有一件次品；事件D ：至多有一件次品．下列选项正确的是（）A ．ABC = B ．BD 是必然事件C ．A B C = D ．A D C= 同类题型归类练（2022·全国·高一单元测试）9．若随机事件A ，B 互斥，且()2P A a =-，()34P B a =-，则实数a 的取值范围为（）A ．43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,23⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022·河南安阳·高一期末）10．从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，事件D 为“第一件是次品”则下列结论正确的是（）A ．B 与D 相互独立B ．B 与C 相互对立C ．AD ⊆D ．A C ⋂=∅（2022·河北·高一阶段练习）11．从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设{A =三件产品全不是次品}，{B =三件产品全是次品},{C =三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是（）A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个都互斥D ．A 与B 对立题型二：随机事件的频率与概率典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）12．将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所示：组号12345678频数101314141513129第3组的频率和累积频率分别为（）A ．0.14，0.37B ．114，127C ．0.03，0.06D ．314，637例题2．（2022·河南·高三阶段练习（理））13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423A．157石B．164石C．170石D．280石例题3．（2022·全国·高一专题练习）14．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.例题4．（2022·全国·高一单元测试）15．某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表：射击次数102050100200500甲击中10环的次数9174492179450甲击中10环的频率乙击中10环的次数8194493177453乙击中10环的频率(1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；(2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率.同类题型归类练（2022·甘肃·兰州五十一中高一期末）16．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.48，0.48B．0.5，0.5C．0.48，0.5D．0.5，0.48（2022·全国·高三专题练习）17．某同学做立定投篮训练，共3场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示．第一场第二场第三场投篮次数252030投中次数161318C ．0635．D ．0648．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期末）18．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________.（2022·全国·高二课时练习）19．为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如下表．批次12345678每批粒数5101307001500200030005000发芽粒数491166371370178627094490(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？（2022·湖南·高一课时练习）20．某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？题型三：互斥事件与对立事件的概率典型例题例题1．（2022·河北唐山·高一期末）21．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能独立破译的概率分别是0.3，0.4，则密码被成功破译的概率为（）A ．0.18B ．0.7C ．0.12D ．0.58例题2．（2022·江西·高三阶段练习（理））22．甲、乙两人打台球，每局甲胜的概率为34，若采取三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则比赛三局结束的概率为（）A ．38B ．427C ．49D ．29例题3．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）23．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为21,32，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（）A ．318B ．518C ．13D ．19例题4．（2022·全国·高一课时练习）24．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字0,3,2,5，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是（）A ．124B ．2324C ．116D ．1516同类题型归类练（2022·河南商丘·高一期末）25．已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A ，取出黑球为事件B ，随机事件C 与B 对立.若()0.5P A B +=，则()P C =（）A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8（2022·河南安阳·高一期末）26．银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超过2次就按对密码的概率为（）A．9100B．320C．19100D．15（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）27．甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26B．0.72C．0.74D．0.98（2022·山东聊城·高一期末）28．甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为（）A．0.94B．0.90C．0.56D．0.38（2020·海南·高考真题）29．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%（2020·天津·高考真题）30．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．参考答案：1．A【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A 与B ，A 与C 均相互独立．而A 与B ，A 与C 均能同时发生，从而不互斥．方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为()()()()()()()()()(){()()()()()121314152324253435452131415132，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()}4252435354，，，，，用古典概型概率计算公式易得12312382(),(),()205205205P A P B P C ======．而事件AB 表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以339()()()5525P AB P A P B =⨯==，所以A 与B 相互独立：同理，事件AC 表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，326()()()5525P AC P A P C =⨯==，所以A 与C 相互独立．故选:A ．2．A【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.【详解】解：若事件A 与事件B 是对立事件，则事件A 与事件B 一定是互斥事件；若事件A 与事件B 是互斥事件，不一定得到事件A 与事件B 对立，故命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件；故选：A 3．C【分析】根据对立事件的知识对3个说法进行分析，从而确定正确答案.【详解】①A ，B 为对立事件，需满足()()1P A P B +=和A B ⋂=∅，故①错误；②事件A =“甲得红桃J ”的对立事件为“甲未得红桃J ”，即“乙或丙得红桃J ”，故②错误；③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“两次都中靶”，则其对立事件为“两次都不中靶”，故③正确．所以说法正确的个数为1个.故选：C4．C【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式结合题意求解即可【详解】由题意知A ，B 是互斥事件，所以()()()P A B P A P B =+ ，且()()110.40.6P A P A =-=-=，则()0.60.20.8P A B ⋃=+=.故选：C.5．A B = {(黄,绿)}，A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．【分析】先列举出事件A ，B 的样本点，再利用事件间运算的定义求解．【详解】由题可得：转盘①转出的颜色红黄蓝转盘②转出的颜色蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）红（红，红）（黄，红）（蓝，红）绿（红，绿）（黄，绿）（蓝，绿）紫（红，紫）（黄，紫）（蓝，紫）由表可知，共有15种等可能的结果，其中A ={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫)}，B ={(红,绿),(黄,绿),(蓝,绿)}，所以A B = {(黄,绿)}，A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}．6．A【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可【详解】对于AB ，事件B 和C 不可能同时发生，但一次射击中有可能击中环数为1，所以B与C 互斥，不对立，所以A 正确，B 错误，对于CD ，事件A 与D 有可能同时发生，所以A 与D 既不互斥，也不对立，所以CD 错误，故选：A 7．ABC【分析】根据对立事件的概念，可判断AC 正确；根据互斥事件的特征，可判断B 正确，D 错误；【详解】若A ，B 互为对立事件，()1P A =，则A 为必然事件，故B 为不可能事件，则()0P B =，故A 正确；若事件A ，B ，C 两两互斥，则事件A ，B ，C 不能同时发生，则事件A 与B C ⋃也不可能同时发生，则事件A 与B C ⋃互斥，故B 正确；若事件A 与B 对立，则()()()1P A B P A P B =+= ，故C 正确；若事件A ，B 互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D 错误．故选：ABC ．8．AB【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.【详解】对于A 选项，事件A B ⋃指至少有一件次品，即事件C ，故A 正确；对于B 选项，事件B D 指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B 正确；对于C 选项，事件A 和B 不可能同时发生，即事件A B ⋂=∅，故C 错误；对于D 选项，事件A D 指恰有一件次品，即事件A ，而事件A 和C 不同，故D 错误．故选：AB ．9．A【分析】根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，知0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+≤⎩，即0210341221a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，解得4332a <≤，所以实数a 的取值范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.10．B【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.【详解】A为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，B为三件全是次品，C为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，D为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.由此可知A与B是互斥事件，A与C是包含，不是互斥，B与C对立故选:B.11．ABC【分析】根据已知条件，根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解．【详解】解：由题意可知，{C=三件产品有次品，但不全是次品}，包括1件次品、2件次正品，2件次品、1件次正品两个事件，{A=三件产品全不是次品}，即3件产品全是正品，{B=三件产品全是次品}，由此知，A与C互斥，B与C互斥，故A，B正确，A与B互斥，由于总事件中还包含“1件次品，2件次正品”，“2件次品，1件次正品”两个事件，故A与B不对立，故C正确，D错误，故选：ABC．12．A【分析】根据频数分布表和频率概念求解即可。
第四节 随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意 义，了解频率与概率的区别． 了解两个互斥事件的概率加法公式． 知识点一 概率与频率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记作P (A )．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0.易误提醒 易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．[自测练习]1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：35知识点二 互斥事件和对立事件 事件定义性质互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，(事件A ，B是互斥事件)；P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(事件A 1，A 2，…，A n 任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A 和A 称为对立事件P (A )＝1－P (A )易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[自测练习]3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．答案：A4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.答案：A考点一 事件的关系|1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥也不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω，故事件B ，C 是对立事件．答案：D2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．答案：A3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日123456789101112131415 期天晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴气日161718192021222324252627282930 期天晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨气．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．[解](1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案：32 0.437 5考点三 互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ， 所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. 31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．[解] (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[思想点评] (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义． (2)正确判定事件间的关系，善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．(3)需准确理解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：CA 组 考点能力演练1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件． 答案：B2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：A3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.答案：D4．(2016·云南一检)在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34 B.58 C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.答案：C5．(2015·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.答案：A6．(2016·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：297．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6， 又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35， ∴P (B )＝0.25. 答案：0.258．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19289．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则 G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.2．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。
第四节随机事件的概率☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；2了解两个互斥事件的概率加法公式。
2021，全国卷Ⅱ，18,12分随机事件的概率2021，北京卷，17,13分用频率估计概率2021，陕西卷，19,12分用频率估计概率2021，福建卷，20212分用频率估计概率1多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查；2互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。
微知识小题练自|主|排|查1．事件1在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。
2在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。
3在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。
2．概率和频率1在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否发生，称n次实验中事件A发生的次数n A为事件A 发生的频数，称事件A发生的比例f n A＝错误!为事件A发生的频率。
2对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n A随着试验次数的增加稳定于概率123A。
当n很大时，的关系是A．B．C．D．【解析】事件A发生的概率近似等于该频率的稳定值。
故选A。
【答案】 A2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球【解析】A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D中的两个互斥而不对立。
故选D。
【答案】 D3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上。
则下列结果正确的是A．＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!包含：正、反、反、正。
