随机事件及其概率运算

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

第1章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布Ihl ttamitai'l例1.16设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为 至少有一张红桃”，B 为恰有2张红桃”，张方块”,求条件概率P( B| A), P( B| C) 解 P(A)1 P(A)P(BA)P(AB) P(A)1 c；3CTG ；c3；C 13 C52C52C39—C13一C 13 C 13C 52 C 39—血39P(AB)P(C)C 13C 39 c ；3P(BC)5 26C13C 13C 2652P(B C )P ( BC ) P(C)C13 C 13 C 2613 --------- C 52C 5 C 8C13 C 39C13~ —C 522 6C 13 C 26C 8C39C 为恰有5 C 23C 3113T -某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现 年为20岁的这种动物活到25岁的概率.解 设A 表示事件 活到20岁以上”，B 表示 事件活到25岁以上”， P(A) 0.7 P(B) 0.56P(B A)P(AB) P(A)显然P(AB) 0.56 0.7P(B) 0.560.81例 1.21例1.21 某工厂生产的产品以 超过 4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0概率 0.1 0.2现进行抽样检验，从每批中随机抽取 为该批产品不合格。

求一批产品通过检验的概率。

解设B 表示事件 “一批产品通过检验 品”100 1 2 0.4 0.2 件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 3 0.1 10件来检验，若发现其中有次品，则认 ”，A (=0,1,234) 表示 ，贝U A 0 ,A 1 , A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， C 10C99 C 10C100P(A) 0.1P(B|") 1P(A) 0.2,P (B |A )0.900 P(A)'一批产品含有 0.4,P(B A 2)i 件次P(A 3) 0.2, P(B A 3)c 10崗 0.727 C 100P(A 4)0.1 , P(B A 4)C 10C 96C 10 C0.652C 1098C 101000.8094P ( A k )P ( B |A k ) k 0 顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是类似可以计算顾客买到的一 批合格品中，含次品数为 1、2、 3、 4件的概率分别约 为 0.221 、0.398 、0.179 、 0.080贝叶斯公式(Bayes)P(B) P (A 。

随机事件概率计算随机事件的概率计算是概率论中的重要内容，通过计算可以得出不同事件发生的可能性大小。

在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种随机事件，并希望通过概率计算来提前了解事件发生的可能性，以便做出合理的决策。

本文将介绍随机事件概率计算的基本原理和常用方法。

一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围在0到1之间，其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

二、概率计算方法1. 经典概率法经典概率法是根据事件的样本空间进行计算的方法。

当事件的每个基本结果发生的可能性相等时，可以使用该方法计算概率。

概率的计算公式如下：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A中基本结果的数目，N(S)表示样本空间中基本结果的总数。

2. 相对频率法相对频率法是通过实际观察事件发生的频率来计算概率。

该方法要求多次观察或重复实验，计算事件发生的频率，从而逼近事件的概率。

概率的计算公式如下：P(A) = n(A) / n其中，n(A)表示事件A发生的次数，n表示实验或观察的总次数。

3. 主观概率法主观概率法是基于主观判断和经验估计的方法，根据个人对事件发生的主观认知来计算概率。

该方法常用于无法进行重复实验的情况，但其结果可能受到主观因素的影响。

三、概率计算的实例下面通过两个实例来说明概率计算的具体过程。

1. 掷骰子问题：假设有一个普通的六面骰子，如果我们想要计算投掷骰子时出现6的概率，可以使用经典概率法进行计算。

该事件的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，基本结果的数目为6，因此事件发生的概率为：P(出现6) =1/6。

2. 抽取扑克牌问题：假设有一副52张的扑克牌，其中有4张A牌。

如果我们想要计算从扑克牌中抽取一张A牌的概率，可以使用相对频率法进行计算。

进行多次实验，记录抽取到A牌的频率。

如果进行100次实验，抽取到A牌的次数为10次，则事件发生的概率为：P(抽取A) = 10/100 = 0.1。

实验设计与数据处理任何自然科学都离不开实验，大多数学科（化工、化学、轻工、材料、环境、医药、热工等）中的概念、原理和规律大多由实验推导和论证的。

如最佳的配方、工艺条件，产品性能的优化，对产品质量、环境质量作出评价等。

“实验设计与数据处理”是以概率论数理统计、专业技术知识和实践经验为基础，经济、科学地安排试验，并对试验数据进行计算分析，最终达到减少试验次数、缩短试验周期、迅速找到优化方案的一种科学计算方法。

它主要应用于工农业生产和科学研究过程中的科学试验，是产品设计、质量管理和科学研究的重要工具和方法。

这门课从以下十个章节给我们介绍了实验设计与数据处理：1）.随机事件及其概率运算2）.随机变量及其概率分布3）.抽样和估计4）.实验误差5）.假设检验6）.析因实验7）.实验数据的整理8）.建立实验数学模型的一般方法9）.实验数据的回归与相关分析10）.正交实验设计我就实验设计、数据处理和正交试验设计做简要陈述。

1.实验设计实验设计是指为节省人力、财力、迅速找到最佳条件，揭示事物内在规律，根据实验中不同问题，在实验前利用数学原理科学编排实验的过程。

以概率论与数理统计学为理论基础，为获得可靠试验结果和有用信息，科学安排试验的一种方法论，亦是研究如何高效而经济地获取所需要的数据与信息的方法。

正确的实验设计不仅节省人力，物力和时间，并且是得到可信的实验结果的重要保证。

即经过设计的实验，效果大大提高，与不经过设计的实验相比，情况大不相同。

广义上说，实验设计包括明确实验目的，确定测定参数，确定需要控制或改变的条件，选择实验方法和测试仪器，确定实测精度要求，实验方案设计和数据处理步骤等。

1.1实验设计的发展过程20世纪初，英国生物统计学家费歇尔（1890-1962）首次提出了“试验设计”术语。

20世纪40年代，英美两国开始在工业生产中应用。

50、60年代，日本田口玄—博士创造了正交试验设计法。

50年代，我国中科院数学研究所在正交实验设计的观点、理论和方法上有了新的创见，编制了一套较为适用的正交表，简化了实验程序和实验结果分析方法。

第一章随机事件及其概率概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.第一节随机事件及其运算内容分布图示★随机现象★随机现象的统计规律性★样本空间★随机事件★事件的集合表示★事件的关系与运算★事件的运算规律★例1 ★例2 ★例3★例4 ★例5★内容小结★课堂练习★习题1-1内容要点：一. 随机现象从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.二. 随机现象的统计规律性由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.随机试验具有下列特点:1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.三. 样本空间尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为e （或ω）；它们的全体称为样本空间, 记为S (或Ω).基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件.四. 事件的集合表示按定义, 样本空间S 是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素. 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于S 中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是S 的一个子集. 于是, 任何一个事件都可以用S 的某一子集来表示,常用字母 ,,B A 等表示.五. 事件的关系与运算因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.六. 事件的运算规律事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,例题选讲：例1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件A 表示选出的是男生, 事件B 表示选出的是三年级学生, 事件C 表示该生是运动员.(1)叙述事件C AB 的意义;(2)在什么条件下C ABC =成立? (3)什么条件下B C ⊂?(4)什么条件下B A =成立?解 (1) C AB 是指当选的学生是三年级男生, 但不是运动员.(2)只有在,AB C ⊂ 即B C A C ⊂⊂,同时成立的条件下才有C ABC =成立, 即只有在全部运动员都是男生, 且全部运动员都有是三年级学生的条件下才有C ABC =.(3) B C ⊂表示全部运动员都是三年级学生, 也就是说, 若当选的学生是运动员, 那么一定是三年级学生, 即在除三年级学生之外其它年级没有运动员当选的条件下才有.B ⊂C(4) B A ⊂表示当选的女生一定是三年级学生, 且A B ⊂表示当选的三年级学生一定是女生. 换句话说, 若选女生, 只能在三年级学生中选举, 同时若选三年级学生只有女生中选举. 在这样的条件下, A B ⊂成立.例2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用A , B , C , D , P , F 表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):]),100,90([优秀--A )),90,80([良好--B )),80,70([中等--C )),70,60([及格--D ]),100,60([通过--P )),60,0([未通过--F 则F D C B A ,,,,是两两不相容事件P 与F 是互为对立事件，即有;F P = D C B A ,,,均为P 的子事件，且有.D C B A P =例3（讲义例1）甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC (7)“三人中恰有兩人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少兩人中靶”： ;BC AC AB (9)“三人均未中靶”： ;C B A (10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A (11)“三人中至多兩人中靶”： ;ABC 或;C B A注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.例4 指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由: (1) B B A B A )(=;(2) B A B A =; (3) C AB C B A = ; (4) ∅=))((B A AB . 解(1) 成立.B B A )()()(B B B A =(分配律)S B A )(=.B A =(2) 不成立.若A 发生, 则必有B A 发生, A 发生, 必有A 不发生, 从而B A 不发生, 故BA B A =不成立.(3) 不成立.若C B A 发生, 即C 发生且B A 发生, 即必然有C 发生. 由于C 发生, 故C 必然不发生, 从而C B A 不发生, 故(3)不成立. (4)成立.))((B A AB ))((A B AB =A B B A )(=A A )(∅=A ∅=.∅=例5化簡下列事件：(1) );)((B A B A (2) .B A B A B A 解(1) ))((B A B A )]([)]([B A B B A A =(分配律))()(B B A B B A A A =)()](∅= A B B A A (因A B A ⊂)A B A =.A =(2) B A B A B A B A B A B A B A =B A B A B A B A =(交换律))()(B A B A B A B A =(结合律))()(B B A B A A =.AB A B == (对偶律)课堂练习1. 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ).(A) B A 是C 的子事件; (B);ABC 或;C B A(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.。