江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题2 Word版含答案

一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0A B = ，则实数a 的值为 ． 【命题意图】本题考查集合交集、集合元素互异性等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】1 【解析】试题分析：因为10a a+≠，所以10,1a a -== 2. 若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 ．【命题意图】本题考查复数的运算，复数概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】2- 【解析】3. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．【命题意图】本题考查频率分布直方图基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】9 【解析】试题分析：950)002.0004.0(30=⨯+⨯（第3题图）4. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．开始k >9输出k结束k 0k 2k +k 2Y N【命题意图】本题考查循环结构流程图基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力. 【答案】17 【解析】试题分析：第一次循环，1k =，第二次循环，3k =，第三次循环，179k =>，结束循环，输出17.k =5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是 ．【命题意图】本题考查概率基础知识，意在考查基本概念，以及基本运算能力．【答案】2.5【解析】6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知方程2242x y m m--+=1表示双曲线，则实数m 的取值范围为 ．【命题意图】本小题主要考查双曲线定义等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力． 【答案】(2,4)- 【解析】试题分析：由题意得(4)(2)0(4)(2)024m m m m m -+>⇒-+<⇒-<<7. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．【命题意图】本题考查三棱锥体积等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】38 【解析】8. 在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()x f x x += (x>0)的图象上任意一点，过M 点向直线y=x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅=▲ ．【命题意图】本题考查向量数量积、向量表示等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力． 【答案】2- 【解析】 试题分析：设(,),(,)M x y A m m ，则(0B y ，因此2(,)(,0)M A M B m x m y x x m x⋅=--⋅-=-，又224112MA y m x k y x m x m x mx x m x-+=-⇒=-⇒=-+⇒=-+⇒-=--，因此2.MA MB ⋅=-9. 若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【命题意图】本题考查等差数列性质、正弦定理、三角函数性质等基础知识，意在考查基本（第7题图）ABCA 1B 1FC 1E运算能力. 【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：设A 为钝角，C 为最小角，则120,(0,30)A C C +=∈ ，由正弦定理得sin sin(120)1sin sin 2a A C m c C C -====+ ，而10tan 2tan C m C<<⇒>⇒>10. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的[)0,x ∈+∞，满足()()2f x f x +=，若当[)0,2x ∈时，()21f x x x =--，则函数()1y f x =-在区间[]2,4-上的零点个数为 ▲ ．【命题意图】本题考查函数图像、偶函数性质、函数周期性等基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力． 【答案】7 【解析】11. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________．【命题意图】本题考查直线与圆位置关系基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力．【答案】[2+ 【解析】试题分析：由题意得：2=OP ，所以P 在以O 为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M 有公共点，因此有：2221211(4)922OM a a a -<<+⇒≤+-≤⇒≤≤+． 12. 已知函数224,04(),log (2)2,46x x x f x x x ⎧-+≤<=⎨-+≤≤⎩若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)=f (x 2)．则x 1f (x 2)的取值范围是 ▲ ．【命题意图】本题考查利用导数求函数值域、分段函数图像等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力． 【答案】256[3,]27【解析】13. 已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠ ，则11a b-的最大值是▲________． 【命题意图】本题考查函数与方程、二次函数与二次不等式、函数值域等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力． 【答案】1.2【解析】试题分析：由题意得b a f ≥-⇒≥-240)2(，241111--≤-a a b a ，令111,()422y a a a =->-，则221401(42)y a a a '=-+=⇒=-，当1a >时，0y '<；当112a <<时，0y '>；因此当1a =时，y 取最大值12；即11a b -的最大值是1.214. 若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．【命题意图】本题考查利用导数求函数值域、解分式不等式基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力． 【答案】10.a a e<≥或 【解析】试题分析：由题意得：1(2)ln (2)ln ,(0)y y ye t e t t a x x x-=-=-=>，令(2)ln ,(0)m t e t t =->，则2212ln ,0t e em t m t t t-'''=+=+>⇒当x e >时()0m m e ''>=；当0x e <<时()0m m e ''<=；因此()m m e e ≥=-；从而110.e a a a e-≥-⇒<≥或二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.【命题意图】本题考查二倍角公式、配角公式、三角函数最值等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()sin(2)3f x x π=+-. 因为,6x ππ-≤≤2所以0233x π4π≤+≤.则sin(2)13x π≤+≤.当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值是1当233x π4π+=，即2x π=时，()f x 取得最小值是()f x在区间[,]62ππ-的最大值为1…………………14分16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .ANBPMC【命题意图】本题考查面面垂直性质定理、线面垂直性质与判定定理，线面平行性质定理等基础知识，意在考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、推理论证能力.17. (本小题满分14分)已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F . （Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【命题意图】本题考查圆方程、直线与椭圆位置关系、定点问题等基础知识，意在考查基本的运算能力、 分类讨论思想、分析问题和解决问题的能力．（第16题图）11(4)y k x =-，22(4)y k x =-.由1212120y y k k x m x m+=+=--，得 1221()()0,x m y x m y -+-=1221()(4)()(4)0x m k x x m k x --+--=,当0k ≠时，12122(4)()80x x m x x m -+++=，所以22324221k k -⨯+2216(4)8021k m m k -+⨯+=+，化简得，28(1)021m k -=+，所以1m =.当0k =时，也成立.所以存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒.……………………………14分 18. (本小题满分16分)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m 的围墙．现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB （90AEB ∠= ），如图1所示，其中30m AE EB +=； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB （AB EF >），如图2所示，其中10m AE EF BF ===． 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．图2图1【命题意图】本题考查函数应用题、利用导数求函数最值基础知识，意在考查学生转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，以及运算推理能力．因为(0,)πθ∈，所以πθ=，列表所以3θ=时，2S 最大值为2252>所以建苗圃时用方案②，且3BAE π∠=答：方案①、②中苗圃最大面积分别为22225.2m 建苗圃时用方案②，且3BAE π∠= 19. (本小题满分16分)已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）. （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设a ＞0，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围.【命题意图】本小题主要考查函数极值、函数零点、利用导数研究不等式基础知识，考查灵活运用导数工具进行探索求解、推理分析能力．（3）据题意有()10f x -=有3个不同的实根， ()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等.（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或； （ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1 当3aa >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； 2 当3aa =即0a =时，不符合题意，舍；3 当3a a <即0a >时，()f x 在3ax =处取得极大值，()132a f a >⇒>；所以2a >20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2=a 3，b 1b 2=b 3，且a 3，a 2+b 1，a 1+b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n}和数列{b n}中取项：第1次从数列{a n}中取a1，第2次从数列{b n}中取b1，b2，第3次从数列{a n}中取a2，a3，a4，第4次从数列{b n}中取b3，b4，b5，b6，…第2n﹣1次从数列{a n}中继续依次取2n﹣1个项，第2n次从数列{b n}中继续依次取2n个项，…由此构造数列{c n}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{c n}的前n项和为S n，求满足S n＜22014的最大正整数n．【命题意图】本题考查数列综合应用基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．附加题部分21.【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．【选修4—1几何证明选讲】如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,BC ．求证：BT 平分OBA ∠．【命题意图】本题主要考查弦切角定理等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力.B ．【选修4—2：矩阵与变换】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90 得到点B '，求点B '的坐标． 【命题意图】本题主要考查矩阵运算、旋转变换等基础知识，意在考查学生基本运算能力.【解析】解：设(,)B x y '，则由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得(1,2)A ' 则(2,2),(1,2),A B A B x y '''==--0121110224x x y y --=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，(1,4)B '- C.【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为sin()3πρθ-=椭圆C 的参数方程为2cosx ty t=⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数) ． （1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【命题意图】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，直线与椭圆位置关系等基本内容. 意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.D ．【选修4—5：不等式选讲】设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：x ＋4x 2－2xy ＋y 2≥y ＋3.【命题意图】本题考查利用均值不等式证明不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．【解析】证明：x －y ＋4x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )＋4（x －y ）2(3分) ＝x －y 2＋x －y 2＋4（x －y ）2，(5分) 因为x >y ，x －y >0， 所以x －y 2＋x －y 2＋4（x －y ）2≥33x －y 2×x －y 2×4（x －y ）2＝3，当且仅当x －y 2＝x －y 2＝4（x －y ）2取等号，此时x －y ＝2.(10分)【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. 如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AACC ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅱ）是否存在点P ，使得直线1AC //平面AMP ？请说明理由．【命题意图】本题考查利用空间向量求二面角、利用空间向量研究线面平行等基础知识，意在考查运算求解能力，逻辑思维能力．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA AB AC =====，所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ． 易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,17⋅〈〉===⋅m n m n m n．所以二面角P AM B --的余弦值为17．………………………………5分所以在线段1BB 上存在点P ，且12BPPB =时，使得直线1AC //平面AMP ．…………10分23. 设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N ，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；（2）设b k ＝1k n k+-a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求1||mmn S C - 【命题意图】本题考查组合数性质、二项式定理基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力，运算求解能力，逻辑思维能力．。

2016年江苏南通市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 若复数满足，则的值为______．3. 若从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积是偶数的概率为______．4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．S←0I←0While S≤10S←S+I^2I←I+1End WhilePrint S5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的户家庭中，有______ 户的月消费额在元以下．6. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值为______．7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其一条渐近线的方程为，那么该双曲线的方程为______．8. 若正方体的棱长为，是棱的中点，则三棱锥的体积为______．9. 若函数为奇函数，则的值为______．10. 已知，那么的值为______．11. 在平面直角坐标系中，已知点，．若直线上存在点使得．则实数的取值范围是______．12. 在边长为的正三角形中，若，，与交于点，则的值为______．13. 在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和，则的值为______．14. 已知函数．若对于任意的，都有成立，则的最大值是______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点．（1）求证：；（2）求证： 平面．17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点（异于点），线段被轴平分，且，求直线的方程．18. 如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心、半径为的半圆面．公路经过点，且与直径垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路（点在直径的延长线上，点在公路上），为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设（单位：），将的面积表示为的函数；②设（单位：），将的面积表示为的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求的面积的最小值．19. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论．20. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称数列为“等比源数列”．（1）在数列中，已知，．①求数列的通项公式；②试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列为等差数列，且，，求证：数列为“等比源数列”．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）在中，由，得，即．因为，所以．（2）方法一：因为，由正弦定理，得．因为，所以，所以，即，即．又因为，所以，即，所以，所以的面积为．方法二：由及余弦定理，得，化简得．又，所以的面积为．16. （1）如图，在直四棱柱中，连接交于点，连接交于点．是菱形，所以．因为四棱柱为直棱柱，所以平面．又平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）连接，为直棱柱，所以四边形为矩形．又，分别是，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以 平面．17. （1）由题意知椭圆的离心率为，所以．又点在椭圆上，所以，解得所以椭圆的方程为．（2）将代入椭圆的方程，得，整理，得．由线段被轴平分，得．因为，所以．因为当时，点，关于原点对称，所以设点的坐标为，点的坐标为，由方程，得．又因为，点的坐标为，所以所以．因为当时，直线过点，故不符合题意，舍去，所以直线的方程为．18. （1）①由题意知，在中，，，所以．又所以．在中，，所以的面积为②由题意得；，，且，所以，即，化简，得，所以的面积为．（2）选用（1）中①的函数关系．由，得当变化时，，的变化情况如下表：所以当时，的面积极小值取得最小值，且最小值为．选用（1）中②的函数关系．．由，得．所以当时，的面积当变化时，，的变化如下表：极小值取得最小值，且最小值为．19. （1）由函数，得．令，得．当变化时，，的变化情况如下表：因此，函数的极小值单调增区间为，单调减区间为．（2）由（1）可知，．（i）当时，由，得函数的零点个数为．（ii）当时，因为在上单调递增，在上单调递减，故时，，所以函数的零点个数为．（iii）当时，．①当时，因为当时，，所以函数在区间上无零点．因为在上单调递增，且，又，且，所以函数在上有且只有一个零点．故当时，函数的零点个数为．②当时，因为在上单调递增，且，，所以函数在区间上有且只有个零点．因为在上单调递减，且，又，且（当时，成立），所以函数在上有且只有个零点．故当时，函数的零点个数为．综上所述，当时，函数的零点个数为；当或时，函数的零点个数为；当时，函数的零点个数为．20. （1）①由，得，且，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，故数列的通项公式为．②数列不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列是“等比源数列”，则存在三项，，按一定次序排列构成等比数列．因为，所以，所以，得，即．又，，所以，，，，所以为偶数，与矛盾，所以数列中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上，数列不是“等比源数列”．（2）不妨设等差数列的公差为．当时，等差数列为非零常数数列，数列为“等比源数列”．当时，因为，则，且，所以数列中必有一项．为了使得数列为“等比源数列”．只需要中存在第项、第项（），使得成立，即，即成立．当，时，上式成立，所以存在，，成等比数列，所以数列为“等比源数列”．。

2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，2}，B={x|x=2n﹣1，n∈Z}，则A∩B=．2．（5.00分）设1，2是平面内两个不共线的向量，=x1﹣32（x∈R），=2+2．若∥，则x的值为．13．（5.00分）从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b，则a≤b的概率为．4．（5.00分）如图，是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c（单位：元）与行李重量w（单位：千克）之间的流程图．假定某旅客的托运费为10元，则该旅客托运的行李重量为千克．5．（5.00分）函数f（x）=的零点个数为．6．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=xlnx在x=e处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是．7．（5.00分）如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为．8．（5.00分）若函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．9．（5.00分）关于定义在R上的函数f（x），给出下列三个命题①若f（1）=f（﹣1），则f（x）不是奇函数；②若f（1）＞f（﹣1），则f（x）在R上不是单调减函数；③若f（1+x）=f（x﹣1）对任意的x∈R恒成立，则f（x）是周期函数．其中所有正确的命题序号是．10．（5.00分）已知数列{a n}的前n项和S n=k n﹣1（k∈R），且{a n}既不是等差数列，也不是等比数列，则k的取值集合是．11．（5.00分）如果将直线l：x+2y+c=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线l′与圆C：x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数c的值构成的集合为．12．（5.00分）已知正数x，y满足xy=，则y的最大值为．13．（5.00分）考察下列等式：cos+isin=a1+b1i，（cos+isin）2=a2+b2i，（cos+isin）3=a3+b3i，…（cos+isin）n=a n+b n i，其中i为虚数单位，a n，b n（n∈N*）均为实数，由归纳可得，a2015+b2015的值为．14．（5.00分）在△ABC中，=，=．设BF，CE交于点P，且=λ，=μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）=2，（1）求角C（2）求△ABC面积的最大值．16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：AD∥平面PBC．17．（14.00分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB=xm，且x≥80．（1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为m2，则x取何值时，内圈周长最小？18．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上横坐标大于2的一点，过点P作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线分别与y轴交于点A，B，试确定点P的坐标，使得△PAB的面积最大．19．（16.00分）已知函数f（x）=alnx+．a∈R．（1）若f（x）有极值，求a的取值范围．（2）若f（x）有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．20．（16.00分）已知数列{a n}的通项公式a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．设a n1，a n2，…，a nt（其中n1＜n2＜…＜n t，t∈N*）成等差数列．（1）若t=3．①当n1，n2，n3为连续正整数时，求n1的值；②当n1=1时，求证：n3﹣n2为定值；（2）求t的最大值．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第21-A题）A．[几何证明选讲]21．（10.00分）如果△ABC的∠A的平分线交BC于D，交它的外接圆于E，求证AB?AC=AD?AE．B．[矩阵与变换]22．（10.00分）求矩阵M=的特征值和特征向量．C．[极坐标与参数方程]23．在极坐标系中，已知A（1，），B（9，），线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C，求l的极坐标方程及△ABC的面积．D．（不等式选讲）24．已知x，y＞0，求证：≥．[必做题]第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10.00分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AA1=h．（1）若h=2，求AC1与平面A1BD所成角的正弦值；（2）若二面角A1﹣BD﹣C的大小为π，求h的值．26．（10.00分）设n为给定的不小于3的正整数，数集P={x|x≤n，x∈N*}，记数集P的所有k（1≤k≤n，k∈N*）元子集的所有元素的和为P k．（1）求P1，P2；（2）求P1+P2+…+P n．2016年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，2}，B={x|x=2n﹣1，n∈Z}，则A∩B={﹣1} ．【分析】观察发现集合B为所有的奇数集，所以找出集合A解集中的奇数解即为两集合的交集．【解答】解：由集合A={﹣1，0，2}，根据集合A中的关系式x=2n﹣1，n∈Z，得到集合B为所有的奇数集，则集合A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．【点评】此题属于以不等式解集中的奇数解为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．也是高考中常考的题型．2．（5.00分）设1，2是平面内两个不共线的向量，=x1﹣32（x∈R），=21+2．若∥，则x的值为﹣6．【分析】利用向量共线定理、向量共面定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数λ使得=．∴x1﹣32=λ（21+2），∴，解得x=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5.00分）从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b，则a≤b的概率为．【分析】先确定的所有的基本事件，共有9种，再求出a＞b的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，共有3×3=9种，因为a＞b的取法只有一种：a=3，b=2，所以a＞b的概率是，所以a≤b的概率是1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题，属于基础题．4．（5.00分）如图，是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运行李的费用c（单位：元）与行李重量w（单位：千克）之间的流程图．假定某旅客的托运费为10元，则该旅客托运的行李重量为20千克．【分析】模拟执行框图，可得程序框图的功能是计算并输出c=的值，由或，即可解得该旅客托运的行李重量．【解答】解：由题意可得，程序框图的功能是计算并输出c=的值，由c=10，可得：或，解得：w=20．故答案为：20．【点评】此题考查了列代数式和代数式求值的知识，找到托运费和行李重量的等量关系是解决本题的关键，属于基础题．5．（5.00分）函数f（x）=的零点个数为3．【分析】利用函数的零点的定义，求得函数的零点，可得结论．【解答】解：根据函数f（x）=，可得当x=0时，f（x）=0．令f（x）=x﹣=0，求得x=1，或x=﹣1，故函数f（x）的零点有3个，即x=0，x=±1，故答案为：3．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的零点的定义，求函数的零点，属于基础题．6．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=xlnx在x=e处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是．【分析】求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0，可得y轴、x轴的截距，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：y=xlnx的导数为y′=1+lnx，即有函数在x=e处的切线斜率为1+lne=2，切点为（e，e），可得在x=e处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），令x=0，即有y=﹣e；y=0，可得x=e．则切线与两坐标轴围成的三角形的面积是S=?e?e=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及三角形的面积的计算，正确求导和运用点斜式的直线方程是解题的关键，属于基础题．7．（5.00分）如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为62．【分析】由频数分布直方图求出总人数，再由平均数公式求出利用组中值的估计平均分．【解答】解：由频数分布直方图得，总人数是2+4+6+8+10=30人，利用组中值可估计其的平均分为：=62，故答案为：62．【点评】本题考查频数分布直方图，以及读图能力，属于基础题．8．（5.00分）若函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x）在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω？=，∴ω＝，∴函数f （x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，属于基础题．9．（5.00分）关于定义在R上的函数f（x），给出下列三个命题①若f（1）=f（﹣1），则f（x）不是奇函数；②若f（1）＞f（﹣1），则f（x）在R上不是单调减函数；③若f（1+x）=f（x﹣1）对任意的x∈R恒成立，则f（x）是周期函数．其中所有正确的命题序号是②③．【分析】结合函数的奇偶性，函数的单调性，函数的周期性的定义，逐一分析三个结论的真假，可得答案．【解答】解：定义在R上的函数f（x），①若f（1）=f（﹣1）=0，则f（x）可能是奇函数，故错误；②若f（1）＞f（﹣1），则f（x）在R上不是单调减函数，故正确；③若f（1+x）=f（x﹣1）对任意的x∈R恒成立，则f（x+2）=f（x），则f（x）是周期函数，故正确．故正确的命题为：②③，故答案为：②③【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，函数的单调性，函数的周期性，难度中档．10．（5.00分）已知数列{a n}的前n项和S n=k n﹣1（k∈R），且{a n}既不是等差数列，也不是等比数列，则k的取值集合是{0} ．【分析】利用递推关系可得：a1=S1=k﹣1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=k n﹣1（k﹣1）．对k分类讨论，利用等差数列与等比数列的通项公式及其定义即可得出结论．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=k n﹣1（k∈R），∴a1=S1=k﹣1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=k n﹣1﹣（k n﹣1﹣1）=k n﹣1（k﹣1）．k=1时，a n=0，此时数列{a n}是等差数列．k≠1，0时，此时数列{a n}是等比数列，首项为k﹣1，公比为k．k=0时，a1=﹣1，n≥2时，a n=0．此时{a n}既不是等差数列，也不是等比数列．∴k的取值集合是{0}．故答案为：{0}．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5.00分）如果将直线l：x+2y+c=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线l′与圆C：x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数c的值构成的集合为{﹣3，﹣13} ．【分析】由图象平移可得直线l′的方程，化圆的方程为标准方程可得圆心和半径，由点到直线的距离公式可得c的方程，解方程可得．【解答】解：直线l：x+2y+c=0可化为y=﹣x﹣c，向左平移1个单位得到y=﹣（x+1）﹣c，再向下平移2个单位得到y=﹣（x+1）﹣c﹣2，整理可得直线l′的方程为x+2y+c+5=0，又圆C：x2+y2+2x﹣4y=0可化为（x+1）2+（y﹣2）2=5，故圆心为（﹣1，2），半径为由直线和相切可得=，解方程可得c=﹣3或c=﹣13故答案为：{﹣3，﹣13}【点评】本题考查直线和圆的位置关系，涉及图象平移和点到直线的距离公式，属中档题．12．（5.00分）已知正数x，y满足xy=，则y的最大值为．【分析】化简可得yx2+（3y2﹣1）x+y=0，从而由题意知，从而解得．【解答】解：∵xy=，∴x2y+3xy2=x﹣y，∴yx2+（3y2﹣1）x+y=0，∵y＞0，方程yx2+（3y2﹣1）x+y=0的根有正值，∴，解得，0＜y≤，故y的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及判别式法的应用，属于中档题．13．（5.00分）考察下列等式：cos+isin=a1+b1i，（cos+isin）2=a2+b2i，（cos+isin）3=a3+b3i，…（cos+isin）n=a n+b n i，其中i为虚数单位，a n，b n（n∈N*）均为实数，由归纳可得，a2015+b2015的值为0．【分析】先求出将原式修改为，再分别求出a2015、b2015，再求和．【解答】解：由=i====，∴，∴a2015+b2015=0，故答案为：0．【点评】本题考查，复数的性质和归纳推理的内容，属于中档题．14．（5.00分）在△ABC中，=，=．设BF，CE交于点P，且=λ，=μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．【分析】由已知可得E为线段AB上靠近A的三等分点，F为线段AC上靠近C 的三等分点，进而根据=λ，=μ，可得=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+λ=μ+（1﹣μ）=μ+（1﹣μ），进而由平面向量的基本定理可得关于λ和μ的方程组，解方程组可得λ+μ的值．【解答】解：∵在△ABC中，=，=．∴E为线段AB上靠近A的三等分点，F为线段AC上靠近C的三等分点，如下图所示：∴=+=﹣，=+=﹣+，∵=λ，=μ∴=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+λ，且=μ+（1﹣μ）=μ+（1﹣μ），根据平面向量的基本定理可得：，解得：，∴λ+μ＝，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，其中根据已知得到=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+λ=μ+（1﹣μ）=μ+（1﹣μ），是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14.00分）已知△ABC内接于单位圆，且（1+tanA）（1+tanB）=2，（1）求角C（2）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）变形已知条件可得tanA+tanB=1﹣tanA?tanB，代入可得tanC=﹣tan （A+B）=﹣=﹣1，可得C值；（2）由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab得取值范围，进而可得面积的最值．【解答】解：（1）∵（1+tanA）（1+tanB）=2∴tanA+tanB=1﹣tanA?tanB，∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1，∴C=（2）∵△ABC得外接圆为单位圆，∴其半径R=1由正弦定理可得c=2RsinC=，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据可得2=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，∴ab≤，∴△ABC得面积S=absinC≤=，∴△ABC面积的最大值为：【点评】本题考查两角和与差得正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直，∠PBC=∠BAD=90°．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求证：AD∥平面PBC．【分析】（1）在平面PAB内过点P作PH⊥AB于H，由面面垂直的性质可得PH ⊥平面ABCD，进而可得PH⊥BC，又可得PB⊥BC，由线面垂直的判定定理可得；（2）结合题意和（1）的结论易得AD∥BC，由线面平行的判定定理可得．【解答】证明：（1）在平面PAB内过点P作PH⊥AB于H，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PH?平面PAB，∴PH⊥平面ABCD，又∵BC?平面ABCD，∴PH⊥BC，由∠PBC=90°可得PB⊥BC，又PH∩PB=P，PH，PB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB；（2）∵AB?平面PAB，∴BC⊥AB，由∠BAD=90°可得AD⊥AB，故在平面ABCD中，AD∥BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD∥平面PBC【点评】本题考查直线和平面平行和垂直的判定，作出辅助线并熟练利用定理是解决问题的关键，属中档题．17．（14.00分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条平行线段（图中的AB，DC）和两个半圆构成，设AB=xm，且x≥80．（1）若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？（2）若景观带的内圈所围成区域的面积为m2，则x取何值时，内圈周长最小？【分析】（1）设半圆的半径为r，可得x+πr=200，矩形ABCD的面积为S=2xr= x?πｒ，运用基本不等式即可得到所求最小值及x的值；（2）设半圆的半径为r，由题意可得2x=﹣πｒ，即有内圈周长c=2x+2πr= +πｒ，由x≥80，求得r的范围，设出f（r）=+πｒ，求得导数，判断单调性，即可得到所求最小值及x的值．【解答】解：（1）设半圆的半径为r，可得2x+2πr=400，即x+πr=200，矩形ABCD的面积为S=2xr=x?πｒ≤?（）2=，当且仅当x=πr=100m时，矩形的面积取得最大值m2；（2）设半圆的半径为r，由题意可得πｒ2+2xr=，可得2x=﹣πｒ，即有内圈周长c=2x+2πr=+πｒ，由x≥80，可得﹣πｒ≥160，解得0＜πｒ≤90，可得f（r）=+πｒ，f′（r）=π﹣，即有f（r）在（0，]上递减，即有πr=90，即x=80m时，周长c取得最小值340m．【点评】本题考查函数的应用题的解法，考查最值的求法，注意运用基本不等式和函数的单调性，正确理解题意和点到函数式是解题的关键．18．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上横坐标大于2的一点，过点P作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线分别与y轴交于点A，B，试确定点P的坐标，使得△PAB的面积最大．【分析】（1）由题意可得2c=2，点（，）代入椭圆方程，以及a，b，c 的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点P（x0，y0），其中，又设A（0，m），B（0，n），不妨m＞n，求得直线PA，PB的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，构造二次方程运用韦达定理，由三角形的面积公式，化简构造函数，运用导数判断单调性，即可得到所求最大值时P的坐标．【解答】解：（1）由题意得，，代入点（，），可得，又c2=a2﹣b2，解得a2=12，b2=6，所以椭圆C的方程为；（2）设点P（x0，y0），其中，且，又设A（0，m），B（0，n），不妨m＞n，则直线PA的方程为：（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0，则圆心（1，0）到直线PA的距离为，化简得，同理可得，，所以m，n为方程的两根，则，又△PAB的面积为S=，所以=，令，记，则在恒成立，所以f（t）在上单调递增，故，即时，此时P的坐标为（2，0），f（t）最大，此时△PAB的面积最大．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意椭圆的焦距和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（16.00分）已知函数f（x）=alnx+．a∈R．（1）若f（x）有极值，求a的取值范围．（2）若f（x）有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的范围，结合单调性，即可得到所求a的范围；（2）设切线的切点为（m，n），求出导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，可得m（1﹣lnm）=，m＞0，由g（m）=m（1﹣lnm），求出导数和单调区间，极值、最值，对a讨论，解不等式即可得到a的范围和切线的条数．【解答】解：（1）函数f（x）=alnx+（x＞0），即有f（x）的导数为f′（x）=﹣=，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）递减，无极值；当a＞0时，x＞时，f′（x）＞0；当0＜x＜时，f′（x）＜0．x=处，f（x）取得极小值．则a的范围是（0，+∞）；（2）设切线的切点为（m，n），由f′（x）=﹣=，可得切线的斜率为==，化为m（1﹣lnm）=，m＞0，由g（m）=m（1﹣lnm），可得g′（m）=1﹣lnm﹣1=﹣lnm，当m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减；当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增．可得m=1处g（m）取得极大值，且为最大值1．当=1或＜0，即a=2或a＜0，y=g（m）与y=有一个交点，即有一条切线；当0＜＜1，即为a＞2时，y=g（m）与y=有两个交点，即有两条切线；当＞1，即为a＜2时，y=g（m）与y=没有交点，即不存在切线．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20．（16.00分）已知数列{a n}的通项公式a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．设a n1，a n2，…，a nt（其中n1＜n2＜…＜n t，t∈N*）成等差数列．（1）若t=3．①当n1，n2，n3为连续正整数时，求n1的值；②当n1=1时，求证：n3﹣n2为定值；（2）求t的最大值．【分析】（1）t=3，①依题意，，，成等差数列，根据等差数列等差中项及通项公式，分类讨论当n1为奇数或偶数时，分别求得n1的值；②a1，a n2，a n3成等差数列，根据等差中项可知：，分别当n2，n3为奇数或偶数时，即可求得n3﹣n2=1，因此n3﹣n2为定值；（2）设a s，a r，a t（s＜r＜t）成等差数列，根据数列等差中项定义，2s+2t﹣2r+1=（﹣1）s+（﹣1）t﹣2（﹣1）r，分类讨论t=r+1，求得s的值，当t≥r+2，求得s的值，最后求得a1，a r，a r+1成等差数列或a2，a r，a r+1成等差数列，其中r为奇数，即可求得t的最大值．【解答】解：（1）①依题意，，，成等差数列，即2=+，从而，当n1为奇数时，解得，不存在这样的正整数n1；当n1为偶数时，解得，所以n1=2．（3分）②依题意，a1，a n2，a n3成等差数列，即2a n2=a1+a n3，。

（第4题）2016年数学全真模拟试卷六试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =Uð ▲ ． 【答案】{5}2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ▲ ．3. 已知函数()a f x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】24. 右图是某算法的流程图，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】75. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ ． 【答案】356. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10 % 的工人进行调查．首先 在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为 000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007， 则样本中的最大编号是 ▲ ． 【答案】6177.在平面直角坐标系xOy 中，已知角()π4α+的终边经过点(1P ，则t a n α的值为 ▲ ．【答案】28. 已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ▲ ． 【答案】19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为3 ()n n S k k =-∈*N ，则2k a 的值为 ▲ ． 【答案】610. 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为▲ ．【答案】（0，1）【解析】易得2()0f x x -<，即20x x -<，解得x ∈（0，1）．11. 设向量a ()cos25sin 25=，，b ()sin 20cos20=，，若t 是实数，且t =+u a b ，则u 的最小值为 ▲ ．【解析】因为()22222221212sin 4512t t t t t t =+=++⋅=++=+≥u a b a b a b ，所以u 的最小．12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B ()222122 1212k k k k-++，，D ()5 03-，，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示） 【答案】2324k k +【解析】将点B ()222122 1212k k k k -++，用2k 代替得点C 的坐标()22284 88k k k k -++，，从而直线CD 的斜率 为2324k k +．13．使“a b <”成立的必要不充分条件是“ ▲ ”．（填上所有满足题意的序号）①0x ∀>，a b x +≤；APBPCPMDP（第16题）②0x ∃≥，a x b +<； ③0x ∀≥，a b x <+； ④0x ∃>，a x b +≤． 【答案】①【解析】①⇔0x ∀>，a b x -≤，从而0a b -≤，即a b ≤； ②⇔0x ∃≥，b a x ->，从而0b a ->，即a b <； ③⇔0x ∀≥，a b x -<，从而0a b -<，即a b <； ④⇔0x ∃>，b a x -≥，从而0b a ->，即a b <．14. 在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ▲ ．【答案】196【解析】依题意cos A -sin A ＝13cos B cos C -13sin B sin C ，即cos A -sin A ＝13cos ()B C +， 即cos A -sin A ＝-13cos A ，所以tan A 14=，又易得tan A ＝tan B tan C ， 而tan A ＋tan B ＋tan C =tan A tan B tan C ，所以tan A ＋tan B ＋tan C =tan 2A 196=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD // BC ，且AD =2BC ，AD ⊥CD ，PA =PD ，M 为棱AD 的中点．（1）求证：CD //平面PBM ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBM ．证明：（1）因为AD // BC ，且AD =2BC ， 所以四边形BCDM 为平行四边形， 故CD // BM ，又CD ⊄平面PBM ，BM ⊂平面PBM ， 所以CD //平面PBM ；（6分） （2）因为PA =PD ，点M 为棱AD 的中点， 所以PM ⊥AD ，又AD ⊥CD ，CD // BM ， 故AD ⊥BM ， 而PMBM M =，PM 、BM ⊂平面PBM ，所以AD ⊥平面PBM ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBM ．（14分）16．（本题满分14分）在△ABC中，BC 2AB AC ⋅=．（1）求证：△ABC 三边的平方和为定值； （2）当△ABC 的面积最大时，求cos B 的值．证明：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=．(3分)在△ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， 故22210616AB BC AC ++=+=为定值．(6分) 解：（2）由（1）知2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +⋅=≤，当且仅当AB AC =时取“=”号．(8分) 因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC=⋅，从而sin A (10分) △ABC的面积11sin S AB AC A AB AC =⋅⋅=⋅=(12分) 当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC =，故2cos BCB AB ===(14分)17．（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T =4v -，即200T =，4v >；（4分）（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．（14分）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，记线段AB 的中点为M ．（1）求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若直线l 过点()3m m ，，延长OM 与椭圆C 交于点P ．问：四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求直线l 的斜率；若不能，说明理由． （1）证明：设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．则222112222299x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，，两式相减得()()()()1212121290x x x x y y y y -++-+=， 整理得()()()()121212129y y y y x x x x -+=--+，即k OM ⋅k ＝－9，得证．(6分)（2）四边形OAPB 能为平行四边形．(8分)因为直线l 过点()3m m ，，且l 不过原点且与椭圆C 有两个交点，则k >0，k ≠3，由(1)得直线OM 的方程为9y x k=-，设点P 的横坐标为x P ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，P x (10分)将点()3m m ，的坐标代入l 的方程y =kx +b 得(3)3k mb -=， 因此()2(3)39M k k mx k -=+， (12分)四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即x P ＝2x M()2(3)239k k m k -=⨯+，解得14k =，24k =所以当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．(16分)19．（本题满分16分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x + e x =，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x ，()g x 的表达式；（2）设0a ≤，1b ≥，0x >，证明：()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()()f x g x +e x =得，()()f x g x -+-e x -=， 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x g x -+e x -=，从而e e ()2x x f x --=，e +e ()2x xg x -=(4分) （2）当0x >时，e 10e 1x x -><<，，所以()0f x >，e +e ()12x xg x -=.(6分) 由（1）得，e +e ()()2x x f x g x -'==，e e ()()2x x g x f x --'==，(8分) 当0x >时，()()(1)()()(1)f x ag x a f x axg x a x x>+-⇔>+-，()()(1)()()(1)f x bg x b f x bxg x b x <+-⇔<+-， 设函数()()()(1)P x f x cxg x c x =-+-，(10分)则[][]()()()()(1)(1)()1()P x f x c g x xg x c c g x cxf x '''=-++-=---，(12分) 若0c ≤，0x >，则()0P x '>，故()P x 为[)0+∞，上增函数， 所以()(0)0P x P >=，若1c ≥，0x >，则()0P x '<，故()P x 为[)0+∞，上减函数， 所以()(0)0P x P <=， 综上知，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.（16分） 20．（本题满分16分）设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时 1()1f n n =+．（9分）(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．（14分）综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ． 证明：因为△ACD ∽△BCF ， 所以∠ACD =∠BCF ，故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠， 即∠DCF =∠BCE ， 又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．（10分）B（第21题A ）B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设x 为实数．若矩阵M 152x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为不可逆矩阵，求2M ． 解：依题意，10x =-，（4分）所以2M 15159452102101890---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（10分）C ．选修4—4：极坐标与参数方程 （本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线()πsin 4ρθ+=交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；（4分）()πs i n 2ρθ+=同样可化为2x y +=，（8分） 联立方程组，解得A (1，1)， B (－2，4)，所以AB ．（10分）D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥ 证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=， 所以123111a a a ++()123123111()a a a aa a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1231a a a ===时等号成立）（8分）所以1239111a a a ++≥.（10分）ABCD1A 1B 11D P（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P AC λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）若直线1AC ⊥平面PBD ，求实数λ的值． 解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)， C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，（1）由12λ=得()111 222P ，，， 所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，所以11114cos PB PD --+⋅=-，所以，直线PB 与PD ．（5分）（2）易得()11 1 1AC =--，，， 由11(1 1 1)A P AC λλ==--，，得，(1 1)P λλλ--，，， 此时( 1 1)BP λλλ=---，，，因为1AC PBD ⊥平面，所以1BP A C ⊥， 从而10AC BP ⋅=，即 110λλλ+-+-=，解得23λ=．（10分）23．（本小题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（5分） （2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnr r r n n r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x x x x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．（10分）。