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§2 含参量反常积分与函数项级数相同, 含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积分具有连续性, 可微性,可积性. 含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.返回一、含参量反常积分的一致收敛性二、含参量反常积分一致收敛性的判别三、含参量反常积分的性质四、含参量无界函数的反常积分一．含参量反常积分一致收敛性(,)f x y [,)R J c =´+¥设函数定义在无界区域上, 其中J ,x J "Î是任意区间. 若反常积分()(,)d (1)c I x f x y y +¥=ò都收敛都收敛，，则()I x J 是上的函数.称(1)为定义在J 上的含参量x 的无穷限反常积分, 或称含参量反常积分.e+¥òA eM+¥+¥+¥sin sin sin uu uA n®+¥®¥A¢¢反常积分在J上一致收敛.注由定理19.8, 含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法. 它它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿, 我们用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷判别法.阿贝耳判别法的证明留给读者.N(,)(,)d cf x yg x y y +¥òJ由一致收敛的柯西准则,在上一致收敛.阿贝耳判别法设(i)(,)d cf x y y J +¥ò在上一致收敛；,x J Î(,)g x y (ii) 对每一个函数为y 的单调函数, 且(,)g x y J 对参量x ,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y +¥ò在J 上一致收敛.故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d 上一致收敛.例5 证明: 若(,)[,][,)f x y a b c ´+¥在上连续, 又(,)d cf x y y+¥ò(,)d cf x y y+¥ò在[,)a b 上收敛, 但在处发散, 则x b =在[,)a b 上不一致收敛.三、含参量反常积分的性质定理19.9(含参量反常积分的连续性)设(,)[,)f x y J c ´+¥在上连续, 若含参量反常积分()(,)d (12)cI x f x y y +¥=ò+¥{}n A 证由定理19.8, 对任一递增且趋于的数列在J 上一致收敛, 则I (x ) 在J 上连续. 1(),A c =函数项级数111()(,)d ()(13)n nA n A n n I x f x y y u x +¥¥====ååòJ (,)[,)f x y J c ´+¥在在上一致收敛.又由于上连续,故每个()n u x J 都在上连续. 根据函数项级数的连续性连续性定理定理, 函数I (x ) 在J 上连续.这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换:0lim (,)d (,)d cc x x f x y y f x y y+¥+¥®=òòlim (,)d .(14)cx x f x y y +¥®=ò定理19.10(含参量反常积分的可微性)(,)(,)x f x y f x y 与[,)J c ´+¥设在区域上连续. 若()(,)d cI x f x y y +¥=òJ (,)d x cf x y y +¥òJ在上收敛, 在上一致收敛, 则I (x ) 在J 上可微, 且()(,)d (15)x cI x f x y y+¥¢=ò+¥1{}(),n A A c =证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d .n nA n A u x f x y y +=ò由定理19.3推得1()(,)d .n nA nx A u x f x y y +¢=ò+¥ò(,)d c f x y y 由在J 上一致收敛及定理19.8, 可得函数项级数111()(,)d n nA n x A n n u x f x y y+¥¥==¢=ååò在J 上一致收敛, 因此因此根据函数项级数的逐项求导根据函数项级数的逐项求导定理,即得¥¥+¥A[,][,)a b c ´+¥()(,)d cI x f x y y +¥=ò[,]a b 上连续,若在上一致收敛, 则I (x )在[,]a b 上可积, 且d (,)d d (,)d ,(16)bb accax f x y y y f x y x +¥+¥=òòòò[,]a b 上可积.又由定理19.9的证明中可以看到, 函数项级数(13)在[,]a b ()[,]n u x a b 在上一致收敛, 且各项上连续, 因此证由定理19.9知道在[,]a b 上连续, 从而I (x )在()I x 定理19.11(含参量反常积分的可积性)设在(,)f x y111()d ()d d (,)d n nbbbA n aaaA n n I x x u x x x f x y y+¥¥====ååòòòò11d (,)d ,(17)n nA bA an y f x y x +¥==åòò这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性. (17)式又可写作+¥=òòò()d d (,)d .bbacaI x x y f x y x 这就是(16)式.根据函数项级数逐项求积定理,有(,)f x y[,)[,)+¥´+¥a c+¥例6计算+¥pxb b p+¥+¥四、含参量无界函数的反常积分设(,)[,)f x y R J c d 在区域=´上有定义. 若对x 的某些值, y = d 为函数(,)f x y 的瑕点, 则称(,)d (25)dcf x y y ò为含参量x 的无界函数反常积分, 或简称为含参量反常积分. 若对每一个,x J Î积分(25)都收敛, 则其积x J 在上取值的函数. 含参量反常积分(25)积分值是在上一致收敛的定义是:J,e,d<-使得d c函数反常积分.。
§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、含参量正常积分的可积性五、例题返回一、含参量正常积分的定义(,)f x y [,][,]R a b c d =´设是定义在矩形区域上的定义在[,]c d 上以y 为自变量的一元函数. 倘若这时(,)f x y [,]c d 在上可积, 则其积分值()(,)d ,[,](1)d c I x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.一般地, 设(,)f x y 为定义在区域二元函数.当x 取[,]a b 上的定值时,函数是(,)f x yG数在闭区间[(),()]c x d x 上可积, 则其积分值()()()(,)d ,[,] (2)d x c x F x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.()I x ()F x 用积分形式(1) 和(2) 所定义的这函数与通称为定义在[,]a b 上的含参量x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性()I x 的连续性(,)f x y 定理19.1() 若二元函数在矩形区域[,][,]R a b c d =´上连续, 则函数=ò()(,)d dc I x f x y y 在[ a , b ]上连续.证设对充分小的[,],x a b Î,[,]x x x a b +Î有D D (若x 为区间的端点,则仅考虑00x x D D ><或), 于是()()[(,)(,)]d ,(3)dc I x x I x f x x y f x y y +-=+-òD D 由于(,)f x y 在有界闭区域R 上连续, 从而一致连续,0,e >0,d >即对任意总存在对R 内任意两点1122(,)(,)x y x y 与，只要1212||,||,x x y y d d -<-<就有-<1122|(,)(,)|. (4)f x y f x y e 所以由(3), (4)可得, ||,x d D 当时<+-£+-ò|()()||(,)(,)|d dc I x x I x f x x y f x y yD D d ().d c x d c e e <=-ò即I (x ) 在[,]a b 上连续.同理可证:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则含参量y 的积分=ò()(,)d (5)b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则对任何Î0[,],x a b 都有®®=òò00lim (,)d lim (,)d .d d c c x x x x f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],a b c d c d ´Á´上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f 在()F x 的连续性(,)f x y 定理19.2() 若二元函数在区域=££££{(,)|()(),}G x y c x y d x a x b 上连续, 其中c (x ), d (x )为[,]a b 上的连续函数, 则函数=ò()()()(,)d (6)d x c x F x f x y y在[,]a b 上连续.证对积分(6)用换元积分法, 令()(()()).y c x t d x c x =+-当y 在c (x )与d (x )之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且d (()())d .y d x c x t =-所以从(6)式可得=ò()()()(,)d d x c x F x f x y y 10(,()(()()))(()())d .f x c x t d x c x d x c x t =+--ò由于被积函数+--(,()(()()))(()())f x c x t d x c x d x c x 在矩形区域[,][0,1]a b ´上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F (x ) 在[a , b ]连续.Dx x a b +Î[,](,)(,),f x x y f x y q e D =+-<d d注由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件f 与[,][,][,],x f a b c d c d ´Á´在上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:()I x 的可积性(,)f x y 定理19.5() 若在矩形区域[,][,]R a b c d =´[,]a b 上连续,则I (x )与J (x )分别在和[,]c d 上可积.这就是说: 在(,)f x y 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分:éùêúëûòò(,)d d bda c f x y y x éùêúëûòò(,)d d .dbca f x y x y 与为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作òòd (,)d bdacx f x y yòòd (,)d .dbcay f x y x 与前者表示(,)f x y 先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.在(,)f x y 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)f x y =´[,][,]R a b c d 定理19.6若在矩形区域上连续, 则d (,)d d (,)d .(8)bddbaccax f x y y y f x y x =òòòò证记定理19.3,五、例题ln(1)xy +例3计算积分x x1a a+æö另一方面解由于(9)中被积函数1(,)()()n F x t x t f t -=-以及同理()()().n x f x j =()x j 于是附带说明:当x = 0 时,及复习思考题()(,)d ,dc I x f x y x =ò()I x [,)a +¥能否推得在上一致连续?。
