1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）
教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。
2掌握导数的四则运算法则；
3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。
教学重点难点
重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学安排：两课时 教学过程：
引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。
且
()()f x c f x ''+=⎡⎤⎣⎦
()()Af x Af x ''=⎡⎤⎣⎦
()()()()f x g x f x g x '''+=+⎡⎤⎣⎦
知识讲解：
一：基本初等函数的导数公式
为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：
关于表特别说明：
1 常数函数
()
y f x c
==
的导
数是0；即()0 c'=
2幂函数
()n
y f x x
==
的导数是以对应幂函数的指数为系数
和该幂函数降一次的幂的乘积。即：
()n y f x x ==
3正弦函数
()sin
y f x x
==
的导数是余弦函数。即：
()
sin cos
x x
'=
余弦函数
()cos
y f x x
==
的导数是正弦函数的相反数。
()
cos sin
x x
'=-
从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正，
和余弦函数在该区间的正负是一致的，
余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负，
和正弦函数在该区间的正负是相反的，故
有一个负号。
4 指数函数
()x
y f x a
==
的导数是指数函数
x
a
与
ln a
的乘积。特别的函
数
()x
y f x e
==
的导数是它自身。
5 对数函数
()log
a
y f x x
==
的导数是反比例函数
1
x与
1
ln a的乘积。特
别的函数
()ln y f x x
==的导数是反比例函数1
x 。
例1计算下列函数的导数
2y x = 2x y = 3x y = 3log y x =
lg y x =
y =
y =
3
1
y =-
强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的
位置是在底数上还是在指数上。
2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。 练习：求下列函数的导数。
y =
51y x =
5x y = 5
y e =
例2．（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，
物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系
0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 提出问题：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种
商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 二导数的计算法则
推论1：[]'
'()d ()f x f x +=（将一个函数加上或减去一个常数，函数的
导数不变）
2：[]'
'()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数
的导数）
3：()()
()2
1f x f x f x '⎡⎤'-=⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦
解决问题：当05p =时，()5(15%)t p t =+，
根据基本初等函数导数公式和求导法则，有
'()5 1.05ln1.05t p t =⨯
所以'10(10)5 1.05ln1.050.4p =⨯≈（元/年）
即：在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨． 例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的
导数，并注明定义域。 （1）323y x x =-+
解析：()()()332232332x x x x x '''-+=+-+=- 练习：4234x y x x =--（解析：383ln34x y x '=--） （2）sin y x x =⋅；
解析：()()sin sin sin sin cos y x x x x x x x x x ''''=⋅=⋅+⋅=+
2(251)x y x x e =-+⋅；
解析：()222(251)(251)(251)x x x y x x e x x e x x e ''''⎡⎤=-+⋅=-+⋅+-+⋅⎣⎦
2(25145)x x x x e =-++-⋅2(24)x x x e =--⋅
（3）4
x x
y =
； 解析：()()
222444222ln 24
24x x x x x
x x x x x
x y '''•-•-••⎛⎫
'=== ⎪⎝⎭
ln y x x =
2
1ln x
y x -'=
1cos x y x =
- ()
2
1cos sin 1cos x x x
y x --'=- 强调： 1 求导数是在定义域内实行的．
2 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例4（P15例3）日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净
度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为
5284
()(80100)100c x x x
=
<<-求净化到下列纯净度时，
所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
''
'
'2
52845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==--
20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=
-2
5284
(100)
x =- （1） 因为'2
5284
(90)52.84(10090)c =
=-，所以，纯净度为90%时，费
4
5
38
y x x =+-练习：()
()
32
4
54338x y x
x -+'=
+-
