东南大学传热学课件第四章导热问题数值解法2

∴ x = 0.6 × = 0.88 m 4aτ = 0.6 × 4 × 1.38 × 10 − 7 × 45 × 24 × 3600 m
一维非稳态导热
Bi≤0.1
集中参数法
0.06<Fo<0.2
一维非稳态导热完 全级数解
Bi>0.1
物体形状比 较简单
正规状况阶段的简化 解法 物体形状比较 Fo<0.06 复杂？ 复杂？ 半无限大物体
λ 43 .3 a = = m 2 / s = 1.18 × 10 − 5 m 2 / s ρc 7790 × 470
τ =
Fo(V / A )2
a
27 .51 × (0.039 )2 = s = 0.98h −5 1.18 × 10
例题3 例题 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。 地面下的埋管是常见的工程与生活设施。考虑埋管 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下， 深度的一个重要因素是在当地的气候条件下，埋管 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 处的温度不会导致管内流体冻结或者凝固。 以输送工业及民用水的埋管为例， 以输送工业及民用水的埋管为例，埋管处的温度不 能低于0° 。设某地冬天的地表温度为10° ， 能低于 °C。设某地冬天的地表温度为 °C，后 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到-15° ， 突然受冷空气侵袭，地表温度下降到 °C，并维 天不变， 持45天不变，试确定此种条件下，45天后地面下温 天不变 试确定此种条件下， 天后地面下温 度为0° 的位置 土壤的物性取c=1840J/(kg·k), 的位置。 度为 °C的位置。土壤的物性取 λ=0.52 W/(m·K), ρ=2050kg/m3. 解： 采用第一类边界条件下半无限大物体的非稳态 导热模型，物性参数为常数。 导热模型，物性参数为常数。

2
（3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络 线的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区 域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域 的温度； （4）建立节点温度代数方程组； （5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温 度值； （6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则 修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。 目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元 法、边界元法等。其中有限差分法比较成熟，应用广 泛。下面主要介绍有限差分法的基本原理。
2 t t 2 t t m 1 , n m 1 , n m , n 2 2 xm ( Δ) x , n
中心差分格式
5
同样可得y方向得二阶偏导数
ห้องสมุดไป่ตู้
对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为
t t 2 t t m ,n 1 m ,n 1 m ,n 2 2 ym ( Δ) y , n
取x = y，得
2) 热平衡法 根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来 建立节点温度差分方程。 (1) 内部节点温度差分方程 对于无内热源的二维稳态导热， 内部节点( m,n )所代表的元体在导 热过程中的热平衡
0 w e s n
t t t t m 1 , n m , n m 1 , n m , n y y x x t t t t m , n 1 m , n m , n 1 m , n 选择x=y x x 0 y y 7
传热学第4章
数值解法：
有限差分法（finite-difference）
有限元法(finite-element) 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD）

B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则

tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
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不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
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3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j

显式差分格式稳定性分析
由内部节点差分方程可见，在节点n上，i+1时刻 的温度是在该点i 时刻温度的基础上考虑了左右相 邻两点温度的影响后得出的。现在，假设相邻两 点的温度不变，那么合理的情况是:i时刻节点n的 温度越高，则其相继时刻（i+1时刻）的温度也越 高；反之，i时刻节点n的温度越低，则其相继时 刻的温度也越低。所以，在差分方程中要满足这 i 1 i t 种合理性的条件，则差分方程中 n 与 tn 前面的系 i 1 数必须保持同方向变化。由于 tn 的系数大于零， i 因此 tn 前面的系数也必须大于零 。
h, t f
h, t f
2
x
控制方程
解：由于问题的对称性，只要研究一半即可，此时，该问 题的控制方程为
t 2t a 2 0 x , 0 x t x,0 t0 0 x t x, 0 x x 0 t x, h t x , t x x
ydy
m,n+1

m+1,n
y y x x
左侧面导入元体的热量 右侧面导入元体的热量
i i tm t 1, n m,n
i i tm t 1, n m,n
m-1,n
m,n
x
m,n-1
区域离散化
• 将所研究平板的一半N等分， 共有N+1个节点，其中节 点1在平板中心截面上，节 点N在平板右侧面上，如图 所示 • 两个节点之间的距离为 x • 节点-1与节点2换热情况对 称，固有相同的温度 • 时间步长取
-1
n=1 2
3
N-1
N