最新-高二数学期未复习练习(2)命题人：段又然 贾广素

河北高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.给出下列三个命题：；或是“”的必要不充分条件，若，则.那么，下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．2.命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，3.用，，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图，若分别输入的10个值，则输出的的值为（）A．B．C．D．4.连接双曲线和（其中）的四个顶点的四边形面积为，连接四个焦点的四边形的面积为，则的最小值为（）A．B．2C．D．35.在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（）A．B．C．D．6.设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为（）A．B．C．D．7.已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定8.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．9.直线与抛物线相交于两点，抛物线的焦点为，设，则的值为（）A．B．C．D．10.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、填空题1.某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本.进行5次试验，收集到的数据如表：由最小二乘法得到回归方程，则__________．2.如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，则下列结论中正确结论的序号是__________．①；②直线与平面所成角的正弦值为定值；③当为定值，则三棱锥的体积为定值；④异面直线所成的角的余弦值为定值.3.已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线少垂直的切线，则实数的取值范围是__________．三、解答题1.某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率.2.已知；函数有两个零点．(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．3.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.4.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，.（1）求证：平面平面；（2）设，求二面角的余弦值.5.已知椭圆：（）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且，直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.河北高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.给出下列三个命题：；或是“”的必要不充分条件，若，则.那么，下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以命题为假命题。

河北省衡水市第二中学2023-2024学年高二下学期5月学科素养检测（二调）数学试题一、单选题1．若集合{A x y =∈=N ∣，{0,1}B =，则集合A B ⋂的真子集的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知0x =是函数()()2f x x x a =-的极小值点，则a 的取值范围为（ ）A ．(),0∞-B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 3．已知,a b ∈R ，且0,0a b >>，则1ab >是ln ln 0a b ⋅>的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,2]-∞ B ．(,2)-∞C ．(,3]-∞D ．(3),-∞ 5．若3a x <<是不等式12log 1x >-成立的一个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(],0-∞C ．[)0,2D ．()2,3 6．已知命题“[]21,4,e 0x x m x ∀∈--≥”为真命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],e 2-∞- B ．41,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．[)e 2,-+∞ D ．41e ,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 7．若正实数x 、y 满足(1)(4)4x y --=，且234y x a a +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|14a a -<<B ．{}|14a a -≤≤C ．{}|41a a -≤≤D ．{}|41a a -<<8．命题“对任意的[]1,1m ∈-，总存在唯一的[]0,3x ∈，使得2210x x am ---=”成立的充分必要条件是（ ）A ．22a -≤≤B ．11a -≤≤C ．01a <<D ．11a -<<二、多选题9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是{13}xx <<∣，则（ ） A ．0a <B ．0a b c ++=C ．420a b c ++<D ．不等式20cx bx a -+<的解集是{1x x <-∣或1}3x >- 10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（ ）A ．ab 有最大值14B ．122a b ->C ．14a b +的最小值是10D 11．已知定义在R 上的奇函数()f x 连续，函数()f x 的导函数为()f x '．当0x >时，()()()cos sin e f x x f x x f x '>+⋅'，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．()f x 在R 上为减函数B ．当0x >时，()0f x <C ．π3π22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在R 上有且只有1个零点三、填空题12．已知集合20x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，{}2|20B x x x =+-≤，则A B =I ． 13．设10,0,22x y y x>>+=，则1x y +的最小值为． 14．已知关于x 的不等式e 2ln 220x a x x x ---≥恒成立，a 的最小值为m ，则m =，并求()sin sin 2f x m x x =+的最小值为（其中e 为自然对数的底数）四、解答题15．已知函数()ln 2f x x ax =+()R a ∈．(1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若()()22g x f x x =-，不等式()1g x ≥-在[)1,+∞上存在实数解，求实数a 的取值范围．16．已知函数()211f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. (1)若不等式()0f x <的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值； (2)[]1,2a ∀∈时，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围.17．已知函数()()e x f x x a -=-．(1)当e a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；(2)方程()ln f x a x =-有两个不同的实数解，求a 的取值范围．18．已知函数()()()22ln f x ax x a =-∈R ．(1)当1a =时，讨论函数()f x 的单调性．(2)若()f x 有两个极值点12,x x ．①求实数a 的取值范围；②求证：12e x x >．19．牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r 是()0f x =的根，首先选取0x 作为r 的初始近似值，若()f x 在点00(,())x f x 处的切线与x 轴相交于点1(,0)x ，称1x 是r 的一次近似值；用1x 替代0x 重复上面的过程，得到2x ，称2x 是r 的二次近似值；一直重复，可得到一列数：012,,,,,n x x x x L L ．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当()*1,N n n x x n -∈近似值相等时，该值即作为函数()f x 的一个零点r ．(1)若32()33f x x x x =++-，当00x =时，求方程()0f x =的二次近似值（保留到小数点后两位）；(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数()e 3x g x =-在点(2,(2))g 处的切线，并证明：23ln31e <+； (3)若()(1ln )h x x x =-，若关于x 的方程()h x a =的两个根分别为1212,()x x x x <，证明：21e e x x a ->-．。

2023-2024学年河北省衡水中学高二下学期第二次综合素养评价数学试题1.若函数，则（）A ．0B ．C ．D ．2.设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A ．B ．C ．D ．3.函数在上是（）A ．偶函数、增函数B ．奇函数、减函数C ．偶函数、减函数D ．奇函数、增函数4.如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（）A ．在处取得极大值B ．是函数的极值点C ．是函数的极小值点D ．函数在区间上单调递减5.函数在区间的极大值、极小值分别为（）A ．，B ．，C ．，D ．，6.已知直线与抛物线：（）交于，两点，为坐标原点，且，交于点，点的坐标为，则抛物线的焦点坐标为（）A ．B ．C ．D ．7.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（）A ．2B ．C ．3D ．8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记表示第n 天生命体M 的个数，表示第n 天生命体N 的个数，则，，则下列结论中正确的是（）A ．B ．数列为递增数列C．D．若为等比数列，则9.设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（）A．5B．4C．3D．210.已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（）A．B．是一个等差数列C．D．11.已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（）A．当为双曲线上一点时，的面积为4B．当点坐标为时，C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为12.设，且，则下列关系式可能成立的是（）A．B．C．D．13.若函数的导函数为，且满足，则__________．14.已知等差数列中，，则数列的前8项和等于______.15.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为____________.16.已知函数，关于的不等式有且只有四个整数解，则实数的取值范围是______．17.已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18.已知函数在和处取得极值．(1)求的值.(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．19.已知函数，其中参数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．20.已知椭圆的右焦点为，且过点.(1)求C的方程；(2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.21.已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.22.已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论在区间上的零点个数．。

2022届河北省石家庄市高二第二学期数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知i 为虚数单位，z 41ii=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣2i B ．2iC ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得22z i =+，即可得到复数的虚部，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()41422111i i i i z i i i ⋅-==+++-=，所以复数z 的虚部为2，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．求值：4cos 50°－tan 40°＝( ) ABC．D ．1【答案】C 【解析】 【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【详解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=440404040sin cos sin cos ︒︒-︒︒=()280301040sin sin cos ︒-︒+︒︒=121010102240cos cos cos ︒-︒-︒︒=310102240cos sin cos ︒-︒︒=()301040cos ︒+︒︒故选C ． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 3．复数1i i-+等于（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i【答案】A 【解析】 【分析】直接化简得到答案. 【详解】12z i i i i i=-+=--=-.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.4．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）.附表：A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A【解析】 【分析】对照表格，看2K 在0k 中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论． 【详解】由2K ≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A ． 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题．5．已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A ．(,)e -+∞B ．(,)e -∞C ．(,]e -∞D ．1(,]e-∞【答案】C 【解析】 【分析】由2()()(1),(0,)x kx e f x x x x -∈'=-+∞，令()0f x '=，解得1x =或x e k x =，令()xeg x x=，利用导数研究其单调性、极值，得出结论. 【详解】221(1)()()(1)(1),(0,)x x e x kx e f x k x x x x x--=--=-∈+∞'， 令()0f x '=，解得1x =或xek x=，令()x e g x x =，可得2(1)()x e x g x x'-=， 当1x =时，函数()g x 取得极小值，(1)g e =，所以当k e <时，令()0f x '=，解得1x =，此时函数()f x 只有一个极值点， 当k e =时，此时函数()f x 只有一个极值点1，满足题意， 当k e >时不满足条件，舍去.综上可得实数k 的取值范围是(,]e -∞，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.6．复数5(12ii i-是虚数单位)的虚部是( ) A ．2- B ．1C ．2i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得答案． 【详解】()()()512510*********i i i i i i i i +-+==-+--+Q， ∴复数512ii-的虚部是1． 故选B ． 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 7．已知直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直，则,m n 的关系为（ ） A ．0m n += B ．10++=m nC ．0-=m nD ．10-+=m n【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，列出等量关系，化简即可得出结果. 【详解】因为直线20mx y --=与直线30++=x ny 垂直， 所以110⨯-⨯=m n ， 即0-=m n 选C 【点睛】根据两直线垂直求出参数的问题，熟记直线垂直的充要条件即可，属于常考题型.8．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π【答案】C 【解析】由题意得PC 为球O 的直径,而222425PC =+=,即球O 的半径5R =;所以球O 的表面积24π20πS R ==.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.9．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A =种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A =种取法，∴36312010P == 考点：古典概型及其概率计算公式10．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班化学B 层2班生物B 层2班历史B 层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 11．已知8位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是( )A．众数为7B．极差为19C．中位数为64.5D．平均数为64【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数． 【详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A 错误； 极差是75﹣57＝18，B 错误；中位数是62672+=64.5，C 正确； 平均数为6018+（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题． 12．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是（） A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 无最大值，最小值75【答案】A 【解析】 【分析】先化简函数()f x ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法 【详解】 因为函数()()2132132111x x f x x x x -++===+---，所以()f x 在[)8,4--上单调递减，则()f x 在8x =-处取得最大值，最大值为53，4x =-取不到函数值，即最小值取不到.故选A. 【点睛】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 【答案】2； 【解析】 【分析】先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差.【详解】 因为1325415355x ++++===，方差222222(13)(33)(23)(53)(43)25s -+-+-+-+-==.【点睛】本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力.14．给出定义 ：对于三次函数32()(0),f x ax bx cx d a =+++≠设'()f x 是函数()y f x =的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点0,0((())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数3232115()32,()33212h x x x x g x x x x =-++=-+-.设1234037()()()......(),2019201920192019h h h h n ++++=1232018()()()......()2019201920192019g g g g m +++=.若2()(1),t x mx nxt '=+则(0)t '=__________． 【答案】-4037 【解析】 【分析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有()(1)2g x g x +-=,()(2)2h x h x +-=,借助倒序相加的方法,可得,m n 进而可求2()(1)t x mx nxt '=+的解析式,求导,当1x =代入导函数解得(1)t ',计算求解即可得出结果. 【详解】 函数32115()33212g x x x x =-+-函数的导数2()3,()21g x x x g x x '''=-+=-由()0g x ''=得0210x -=解得012x =,而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()(1)2g x g x ∴+-=故1232018()()()...+()2019201920192019g g g g m +++=，201820171201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L两式相加得220182m ⨯=，则2018m =.同理32()32h x x x x =-++,2()361h x x x '=-+,()66h x x ''=-,令()0h x ''=,则1x =,(1)1h =,故函数()h x 关于点()1,1对称,()(2)2h x h x ∴+-=,1234037()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=4037403640351()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=两式相加得240372n ⨯=,则4037n =. 所以2()20184037(1),t x x xt '=+()40364037(1),t x x t ''=+当1x =时, (1)40364037(1),t t ''=+解得:(1)=1t '-,所以()40364037,t x x '=-则(0)4037t =-'.故答案为: -4037. 【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难. 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为______． 【答案】32【解析】 【分析】 【详解】分析：由正弦定理可把其中一边化为角，从而由6abc =及公式in 12s S ab C =求得面积. 详解：由题意得22sin c R C ==，即sin 2cC =， ∴1sin 2ABC S ab c ∆==1113622442c ab abc ⨯==⨯=，故答案为32.点睛：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C ===，利用它把三角形的边角与外接圆半径建立联系，这样可得三角形面积为4abcS R=22sin sin sin R A B C =.16．已知数据12n x ,x ,,x L 的方差为1，则数据i 3x 1(i 1,2,,n)+=L 的方差为____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据方差的线性变化公式计算：i x 方差为m ，则i ax b +的方差为2a m . 【详解】因为()1,2,3...i x i n =方差为1，则()1311,2,3...x i n +=的方差为2319⨯=, 【点睛】本题考查方差的线性变化，难度较易.如果已知i x 方差为m ，则i ax b +的方差为2a m ，这可用于简便计算方差.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-. （1）m 为何值时，z 是纯虚数？ （2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.【答案】（1）2-；（2）[,5【解析】 【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m 的值； （2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案 【详解】（1）()()()()12212z m i i m m i =+-=++-．当20120m m +=⎧⎨-≠⎩时，即2m =-时，z 是纯虚数； （1）()()212z m m i =++-Q∴可设复数z 对应的点为(,)P x y ，则由212x m y m=+⎧⎨=-⎩，得250x y +-=，即点P 在直线250x y +-=上， 又5z ≤Q ，∴点P 的轨迹为直线250x y +-=与圆2225x y +=相交的弦AB ，则z i -表示线段AB 上的点到(0,1)M 的距离PM ，由图象可知，当PM AB ⊥时，距离最小，即点M 到直线的距离，则min ()5PM ==由2225025x y x y +-=⎧⎨+=⎩得05x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩(0,5)A ∴，(4,3)B -max ()PM BM ===，||z i ∴-的取值范围是45[,42]5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题． 18．已知函数()21()2ln x f x a x x x -=-+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】 (1) 当a≤0，()f x 在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当104a <<，()f x 在（0，2）和,a a +∞）上单调递增，在（2aa）递减；当a=14，()f x 在（0，+∞）递增；当a ＞14，()f x 在（0a 2，+a 2）递减；(2) ()1,081ln2a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪-⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞，又()10f a =<，取01max ,5x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<，()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，可证明，当14a =时与当0a >且14a ≠时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2332122'1x ax x f x a x x x ---⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，（i ）当0a ≤时，210ax -<恒成立，()0,2x ∈时，()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增； ()2,x ∈+∞时，()()'0,f x f x <在()2,+∞上单调递减.（ii ）当0a >时，由()'0f x =得，1232,x x x ===（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x ≥恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当12x x >，即14a >时，x ⎛∈ ⎝或()2,x ∈+∞， ()'0f x >恒成立，()f x 在(),2,⎛+∞ ⎝上单调递增；x⎫∈⎪⎭时，()'0f x <恒成立，()f x 在⎫⎪⎭上单调递减.③当12x x <，即104a <<时，x ⎫∈+∞⎪⎭或()0,2x ∈时，()'0f x >恒成立， ()f x 在()0,2,⎫+∞⎪⎭单调递增， x⎛∈ ⎝时，()'0f x <恒成立，()f x 在⎛ ⎝上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞； 当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间为； 当14a >时，()f x 单调递增区间为(),2,⎛+∞ ⎝，单调递减区间为⎫⎪⎭.（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+∞， 又()10f a =<Q ，取01max ,5x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，令()()1212ln ,f x x x f x x =-=，则()12'10f x x=->在()2,+∞成立，故()12ln f x x x =-单调递增， ()()1052ln5122ln51f x ≥-=+->，()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-≤+-≤-<， ()f x ∴有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--， 1088ln 2a ∴>>--，当0a =时，()21x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当0a >且14a ≠时，()f x 有两个极值， ()()1222ln 20,ln 4f a f a a a =-+>=-， 记()ln g x x x x =-，()()'1ln 1ln g x x x =++-=， 令()ln h x x =+，则()3322111'22h x x x x =-+=， 当14x >时，()()'0,'h x g x >在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当104x <<时，()()'0,'h x g x <在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 故()()1''=22ln 20,4g x g g x ⎛⎫>->⎪⎝⎭在()0,∞+单调递增， 0x →时，()0g x →，故ln 0f a a a =+->，又()()1222ln 204f a =-+>， 由（1）知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2⎛⎫- ⎪-⎝⎭.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19．已知函数()2sin cos f x x x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值，并说明取最大值时对应的x 的值. 【答案】（1）()f x 的最小正周期为T π=（2）3x π=时，()f x 取得最大值32【解析】 【分析】降次化为()sin()f x A ωx φB =++的形式再通过2T πω=求出最小正周期。