具功能反应函数的食饵-捕食者模型平衡点的稳定性和极限环的存在性

第２８卷第１期　江西理工大学学报　ｖ。１．２８。Ｎ。．１　２　０　０　７年２月ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＡＮＧＸＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｆｅｂ．２　０　０　７　

文章编号：１００７—１２２９（２００７）Ｏ１—００５４—０４　

具功能反应函数的食饵一捕食者模型平衡点的　稳定性和极限环的存在性　

匡奕群。，邱梅青　（江西理工大学，ａ．理学院．ｂ组织部。江西赣州３４１０００）　

摘要：研究了一类具功能反应函数的食饵一捕食者模型．通过分析，获得了系统解的有界性，平　衡点的全局稳定性和极限环的存在性的一些充分条件，　关键词：功能反应函数；食饵一捕食者模型；全局稳定性；极限环　中图分类号：０１７５．１２　文献标识码：Ａ　

Ｔｈｅ　Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｌｉｍｉｔ　Ｃｙｃｌｅｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙ　Ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　

ＫＵＡＮＧ　Ｙｉ－ｑｕｎ＂，ＱｉＵ　Ｍｅｉ－ｑｉｎｇ　（ＪｉａＩＩ　ｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ａ．Ｆａｃｕｈｙ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ｈ．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＯｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎ。Ｇａｎｚｈｏｕ　３４１０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｍｏｄｅｌ，ｓｏｍｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｐｒｅｄａｔｏｒ－ｐｒｅｙ　ｓｙｓｔｅｍ；ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅｓ　

Ｏ　引　言　有关具功能性反应函数的食饵一捕食者模型　的特殊情形的定性分析，已有一些非常好的结果　（如文献［１－４】）．笔者研究更为一般的模型：　ｌ　（ｔ）ｇ（　（ｔ））－ｙ（ｔ）　（　（ｔ））；尸（　，），　｛　，、　（１）　Ｉ　－ｙ（ｃ）（　ｄ　））兰　，ｙ）．　

其中　（ｔ）为食饵种群的密度，ｙ（ｔ）为捕食者种群的　密度，ｇ（ｘ（ｔ））为食饵种群的相对增长率，　（　（ｔ））　是捕食者的功能性反应函数，它表示在单个捕食　者的情形下，食饵的种群密度关于时间的变化率，　ｄ＞０为捕食者的自然死亡率，ｅ＞０为转化系数．　基于模型（１）的生态意义，我们需作如下假　

收稿日期：２００６－－０６—０２　作者简介：匡奕群（１９６４一），男，副教授．　

设：设ｇ（ｘ），　（　）具有一阶连续导数并且满足如下　条件：　（Ａ１）ｇ（０）＝　＞０，ｇ　（　）＜０，且存在∞＞０，使得　∞）＝０；　（Ａ２）　（Ｏ）＝Ｏ，当　＞０，Ｏ＜　（　）＜＋∞，　（　）＞０，　通过简单的分析可以发现：模型（１）在　＝ｆ（　，　Ｙ）ｌ　Ｉ＞０，），≥０）上有两个平衡点：（０，０），（∞，０），或　三个平衡点：（０，０），（∞，０），（Ｘｏ，ｙｏ）．其中∞由方程　ｇ（ｏＪ）＝ｏ所确定，（Ｘｏ，ｙｏ）为模型（１）在Ｇ＝ｆ（　，Ｙ）ｌ　＞　０，），＞Ｏ）内的惟一正平衡点，且可由下列方程组：　ｘｏｇ（ｘｏ）－ｙ￣（ｘｏ）＝０，－ｄ＋ｅｑ￣（Ｘｏ）＝０　解得　

－ｌ（　ｅ），　Ｘｏ．　，　

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第１期　匡奕群等：具功能反应函数的食饵一捕食者模型平衡点的稳定性和极限环的存在性　５５　当ｘｏ＞￣ｔｏ，模型（１）在　＝｛（　，Ｙ）Ｉ　≥０，ｙ≥０ｌ上只有　两个平衡点：（０，０），（６０，０）；当Ｘｏ＜ｔＯ，模型（１）在Ｇ＝　ｆ（　，Ｙ）Ｉ　＞１０，Ｙ＞１０）上存在三个平衡点：（０，０），　（６０，０），（Ｘ，０，ｙｏ）．　１　平衡点的稳定性和解的有界性　由于线性化方法是研究非线性系统的平衡点　性态的有效方法，所以首先把模型（１）在平衡点　（　，＇，　）进行线性化得：　誓＝如　斛　（２）　

一ｄ　ｙ一：　（　｝，），　）斛　（　｝，），　）），　其中：Ｐｌ（　，），）＝ｇ（　）帆　（　）一　（　），，，　（　，，，）＝　—　（　），Ｑｘ（　，ｙ）＝ｅｙ￣ｐ　（　），　（　，），）＝一ｄ＋ｅ　（　）．　由式（２）易得如下引理［５１．　引理１关于模型（１）的三个平衡点，有下列　结论　（１）（０，０）为鞍点；　（２）一ｄ＋ｅ￣ｐ（ｔｏ）＞０，（ｃ￡Ｊ，０）为鞍点；一ｄ＋ｅ￣ｐ（ｗ）＜　０，（ｃ￡Ｊ，０），为稳定的结点；　（３）当ｇ（ｘ０）＋　（Ｘｏ）－￣　（ｘｏ）ｙｏ＜０时，（Ｘ０，ｙｏ）　为稳定的焦（结）点；　当ｇ（ｘ０）帆　（　）一　（　）ｙｏ＞０时，（ＩＯ，ｙｏ）为不　稳定的焦（结）点．　利用Ｌｉａｐｕｎｏｖ第二方法，还可得到如下关于　正平衡点（　），０）是渐近稳定的充分条件．　定理１模型（１）满足条件（Ａ。）和（Ａ：）以及　

（Ｘ－－Ｘ。）（　）≤０，则正平衡点（　，　）是渐近　‘ｐ＼　，　稳定的．　证明显然，ｘ－－Ｏ和ｙ＝Ｏ是模型（１）的轨线，这　样，对于初值（　（０），ｙ（０））∈Ｇ＝｛（　，Ｙ）Ｉ　ｘ＞０，ｙ＞０）　的轨线（　（￡），’，（￡）），由系统（１）的解的惟一性可知　（　（ｆ），＇，（ｆ））∈Ｇ．为了研究模型（１）的正平衡点（　，　’，０）的稳定性，构造Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数：　

Ｖ（　）＝』　ｄｘ＋』　ｄｙ，其中　

（　，Ｙ）∈｛（　，Ｙ）Ｉ　ｘ＞０，），＞０）．　可以证明ｖ（ｘ，＇，）在Ｇ内是定正的．　‘　事实上，　ｅ　（　）一ｄ＞ｅ￣ｐ（ｘｏ）一ｄ＝０，当　＞　ｏ时成立，　

ｅ￣ｐ（ｘ）一ｄ＜ｅ￣ｐ（ｘ０）一ｄ＝０，当　＜　０时成立．　因而　』　等ｄｘ＞０，对　＞０且　≠‰成立．　

同时注意到　Ｉ　二垃ｄｙ＞０，对Ｙ＞０且ｙ＃ｙｏ成立．　所以　Ｖ（ｘ，Ｙ）＞０，其中（　，Ｙ）∈　｛（　，ｙｏ）），Ｖ（ｘｏ，ｙｏ）－Ｏ．　沿模型（１）的轨线求导数　Ｉ（１）得　

誓Ｊ（１）＝　・誓＋　・誓＝　棚・【　。】．　注意到事实　（　０，（　）．【　－Ｙｏ】　

所以　誓ｌ（１）≤０，且仅当　。时取等号．　

这说明模型（１）的正平衡点（　）是渐近稳定的．　定理２在条件（Ａ。）和（Ａ：）下，模型（１）满足　

初值（　（０），ｙ（０））∈Ｇ＝｛（　，Ｙ）Ｉ　ｘ＞０，ｙ＞０）的解是　有界的．　证明因为直线ｘ＝０和ｙ＝０是模型（１）的解，　由解的惟一性知：模型（１）的所有满足正初始条件　的解不超出Ｇ＝｛（　，Ｙ）Ｉ　ｘ＞０，），＞０１．　首先，证明　（ｆ）的有界性，分两种情形加以讨　论：　情形（ｉ）：当ｘ（ｏ）＜６０时，对于任意的ｔ＞１０，总　有　（ｔ）＜ｃ￡Ｊ　事实上，如果结论不成立，则存在ｔ。＞０，使得　（　）＝∞．即当ｔ∈【０，ｔ０）时有ｘ（ｔ）＜ｃ￡Ｊ．由模型（１）的　第一个方程有：　誓Ｊ　（ｔｏ）出（ｔｏ）】　（ｔｏ）　（ｔｏ）】＝　（　（ｃ￡Ｊ）＜０　

所以存在　＞０，当ｆ∈　（　，　）时有　ｄｘ＜０，取　充　

分小，则当０＜￣ｔｏ－ｅ＜ｔ＜ｔ０时有　（ｔ）　（ｔｏ）＝∞，　矛盾！　情形（ｉｉ）：若　（０）≥　，由条件（　。）、（Ａ　２）知：当　

（ｆ）≥　时，有粤＜０，　（￡）是单调递减的，所以　Ｏｔ　

维普资讯 http://www.cqvip.com ５６　江西理工大学学报　２００７年２月　ｘ（ｔ）＜　（０）对任意的ｔ＞１０成立，因而ｘ（ｔ）有界．　其次证明ｙ（ｔ）的有界性，令ｈ（ｔ）＝ｅｘ（ｔ）＋＇，（ｆ），　则对ｔ＞１０有　

＋　＝ｅｘｇ（　ｄ￡　ｄ￡　ｄ￡　。　

（一ｄｙ＋ｅｙ￣（ｘ））＝ｅｘｇ（ｘ）－ｄｙ＝ｅｘｇ（ｘ）＋ｄｅｘ—ｄ（ｙ＋ｅｘ）≤　

￣－ｄ（ｙ＋ｅｘ）＝ｒｌ－ｄｈ（ｔ）．　所以　

（￡）≤［ｅ　（０）＋ｙ（０）】ｅｘｐ（一ａｔ）一手（ｅｘｐ（一ａｔ）一１）≤　

Ｉ　（０）　（０）＿予Ｉ＋予＝　由此知：ｙ（ｔ）有界．因此系统（１）的所有满足（　（０），　ｙ（０））∈Ｇ的解是有界的．　由引理１、定理２，则有如下结果．　定理３当一ｄ＋ｅ￣ｐ（ｔｏ）＜０时，（∞，０）为全局稳　定的结点．　附注１定理３表明，捕食者的捕获能力较弱　时，捕食者种群将灭绝，而食饵种群的密度最终将　达到一个稳定的水平．　由定理１、定理２，不难得到下列结果．　定理４假设条件（Ａ　）、（　）成立，并且　（　。）（　＿ｙ０）≤０，则模型（１）的惟一正平衡点　‘Ｄ　Ｊ　（　ｙ０）是全局渐近稳定的平衡点．　附注２定理４表明，在定理条件下，食饵和捕　食者种群长期稳定共存，最终分别趋近于各自的平　衡位置‰，ｙｏ，都不会灭绝．　２极限环的存在性　为了研究方便，把模型（１）改写成如下形式　誓＝　）　（　）　（３）　誓＝ｅ　（　ｍ］　其中　（　）＝　，ｍ＝生且有ｙ０：　（　。）．　‘ｐ　ｅ　定理５当ｙｏ＞０，　（‰）＞０，且条件（，４　）、　（Ａ　）成立，则系统（３）在ｆ（　，Ｙ）ｆ　ｘ＞０，ｙ＞０Ｊ内围绕　（Ｘｏ，ｙ０）至少存在一个稳定的极限环．　证明为了对正平衡点（‰，ｙｏ）的稳定性进行　分析，取（‰，ｙ０）的某个邻域ＵＣＧ，使得　（　）＞０　对（　，Ｙ）∈Ｕ成立．构造Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数　Ｖ（ｘ，ｙ）＝ｅ　）　显然　』．　堑　＞０，对Ｙ＞０且Ｙ￣Ｙｏ成立，　Ｊ　Ｖ　同时注意到　（　～‰）（　（　）一￣ｐ（Ｘｏ））＞０，对　≠绚成立．　因此对（　，Ｙ）∈Ｕ＼｛（　。，ｙｏ）），有ｖ（ｘ，Ｙ）＞０，且　Ｖ（ｘ０，ｙｏ）＝０．　对于（　，），）∈　，下面沿系统（３）求　Ｉ（３】，得　．．　一　Ｉ（３）＝　。　＋　ｅ【　（　）一　（‰）】・【　（　）一　（　。）】＝　ｅｃｐ　（　）　（　）（　）　由　（　）在Ｕ内满足　（　）＞０可知：警ｌ（３】≥０．　

不难发现警ｌ（３】＝０的集合上除了（‰，ｙ０）ｆｉＦ￣　轨线，由克拉索夫斯基不稳定定理知：（‰，ｙｏ）为不　稳定点，所以（ＸＯ，ｙ０）可作为Ｐｏｉｎｃａｒｅ—Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ环　域的内境界线．　现构造Ｐｏｉｎｃａｒｅ—Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ环域的外境界线　￡，并讨论系统（３）穿过边界的轨线的走向．　Ｐｏｉｎｃａｒｅ—Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ环域的外境界线￡由如下　线段构成：　￡，－￣ｘ＝０，Ｌ　；　０，均为系统（３）的轨线；　Ｌ３三　＝０，０＜ｙ≤　，其中Ａ＝ｍａｘ　（　），　Ｅｈｍ　】