[基础达标]一、选择题1．(2014·武汉市调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3，故选C. 2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 5＝15，且a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：选B.设数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 2＋a 3＝15，得a 2＝5，由a 1a 2a 3＝80，得a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，故25－d 2＝16，d ＝3，则a 1＝2，a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝6＋99＝105.故选B.3．(2014·安徽望江中学模拟)设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7解析：选C.由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a n n}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.因为d >0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3nd ＝4d >0，所以p 4是真命题．5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝( )A ．638B ．639C ．640D ．641解析：选C.由已知S n S n －1－S n －1 S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640，故选C.二、填空题6．(2013·高考广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20.法二：a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20.答案：207．南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则每一等人比下一等人多得________斤金．(不作近似计算)解析：设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金．由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＋a 9＋a 10＝4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋24d ＝4，4a 1＋6d ＝3，解得d ＝778.所以每一等人比下一等人多得778斤金．答案：7788．(2014·河南三市调研)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n <5时，a n <0，当n ≥5时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130三、解答题9．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，即d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝(2＋2n )·n 2＋4·(1－4n )1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.[能力提升]一、选择题1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}解析：选C.在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10(a 1＋a 10)2>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11(a 1＋a 11)2＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6，故选C.2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1，(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1，则( )A ．S 2 013＝2 013，a 1 008＞a 1 006B ．S 2 013＝2 013，a 1 008＜a 1 006C ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＞a 1 006D ．S 2 013＝－2 013，a 1 008＜a 1 006解析：选B.由(a 1 006－1)3＋2 013(a 1 006－1)＝1①，得(a 1 006－1)·[(a 1 006－1)2＋2 013]＝1，所以a 1 006－1＞0，即a 1 006＞1.由(a 1 008－1)3＋2 013(a 1 008－1)＝－1②.得(a 1 008－1)．[(a 1 008－1)2＋2 013]＝－1，所以a 1 008－1＜0，即a 1 008＜1，故a 1 008＜a 1 006.①＋②得(a 1 006－1＋a 1 008－1)[(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2]＝0， 因为a 1 006－1＞0，a 1 008－1＜0，所以(a 1 006－1)2－(a 1 006－1)(a 1 008－1)＋(a 1 008－1)2＞0. 故a 1 006－1＋a 1 008－1＝0，故a 1 006＋a 1 008＝2.故S 2 013＝2 0132(a 1＋a 2 013)＝2 0132(a 1 006＋a 1 008) ＝2 013.故选B.二、填空题3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n (a 1＋a n )2，∴210＝70n 2，∴n ＝6. 答案：64．(2014·福建龙岩质检)已知数列{a n }的首项为2，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 2＝－2，b 7＝8，则a 8＝________.解析：∵{b n }为等差数列，且b 2＝－2，b 7＝8，设其公差为d ，∴b 7－b 2＝5d ，即8＋2＝5d .∴d ＝2.∴b n ＝－2＋(n －2)×2＝2n －6.∴a n ＋1－a n ＝2n －6.由a 2－a 1＝2×1－6，a 3－a 2＝2×2－6，…，a n －a n －1＝2×(n －1)－6，累加得：a n －a 1＝2×(1＋2＋…＋n －1)－6(n －1)＝n 2－7n ＋6，∴a n ＝n 2－7n ＋8.∴a 8＝16.答案：16三、解答题5．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ；(2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n . (2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1＜0， 得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①. 而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝⎛⎭⎫n －922＋814(n ∈N *)， 则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n－1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2a n＋2，m)与向量b＝(－a n＋5,3＋a n)垂直？说明理由．解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a2n＝4S n－2a n－1，①a2n＋1＝4S n＋1－2a n＋1－1.②②－①得：a2n＋1－a2n＝4a n＋1－2a n＋1＋2a n＝2(a n＋1＋a n)，即(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)＝2(a n＋1＋a n)．∵数列{a n}各项均为正数，∴a n＋1＋a n>0，a n＋1－a n＝2，∴数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n＝2n－1.(3)∵a n＝2n－1，∴a＝(2a n＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－a n＋5,3＋a n)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋7n＋1. ∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.。
[基础达标]一、选择题 1．(2014·武汉市部分学校高三联考)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为( )A.13 B.14 C.16D.112解析：选C.(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ，若其为纯虚数，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝0，2mn ≠0，所以m ＝n ≠0.投掷两颗骰子的所有结果有36种，而满足m ＝n ≠0的结果有6种，故复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为P ＝636＝16.故选C.2．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.67解析：选B.因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.3．(2014·武汉市调研测试)已知等比数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝－2a n (n ∈N *)．若从数列{a n }的前10项中随机抽取一项，则该项不小于8的概率是( )A.310B.25C.35D.710解析：选B.依题意可知a n ＝2·(－2)n －1，由计算可知，前10项中，不小于8的只有8，32，128，512，4个数，故所求概率是410＝25.4．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16解析：选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为412＝13.5．(2014·北京西城区质检)将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是( )A.221B.463C.121D.263解析：选B.将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则有C 17＋C 27＋C 37＋C 47＋C 57＋C 67＝27－2＝126(种)．因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，所以要使两组中各数之和相等，则有各组数之和为14.则有7＋6＋1＝5＋4＋3＋2；7＋5＋2＝6＋4＋3＋1；7＋4＋3＝6＋5＋2＋1；7＋4＋2＋1＝6＋5＋3；5＋4＋3＋2＝7＋6＋1；6＋4＋3＋1＝7＋5＋2；6＋5＋2＋1＝7＋4＋3；6＋5＋3＝7＋4＋2＋1共8种，所以两组中各数之和相等的概率是8126＝463.二、填空题 6．(2013·高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析：甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23.答案：237．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.解析：由题意知n >4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1，4和2，3，所以P ＝2C 2n＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8. 答案：8 8．(2014·浙江省名校联盟)一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P ＝1036＝518.答案：518三、解答题 9．(2014·河南洛阳质检)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．解：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．∴P (A )＝412＝13.10．(2012·高考山东卷)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1，2，3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1，2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F 是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.[能力提升]一、选择题 1．(2013·高考安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析：选D.由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙、丁、戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.2．(2014·黄冈市高三年级质量检测)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )A.12B.23C.34D.56解析：选D.记将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n 的结果为(m ，n )，其取值情况共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，…，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)等36种情况；若函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数，等价于导数y ′＝2mx 2－n 在[1，＋∞)上大于或等于0恒成立．即x 2≥n2m 在[1，＋∞)上恒成立．即n 2m ≤1.满足n2m ≤1的共有：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)共30种情况；故所求概率为P ＝3036＝56.故选D.二、填空题 3．(2012·高考重庆卷)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：法一：6节课的全排列为A 66种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33)种，由古典概型概率公式得P (A )＝A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33A 66＝15. 法二：6节课的全排列为A 66种，先排三节艺术课有A 33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法，故由古典概型概率公式得P (A )＝A 33A 34A 66＝15.答案：154. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．解析：基本事件的总数是4×4＝16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34. 答案：34三、解答题 5．(2012·高考江西卷) 如图，从A 1(1，0，0)，A 2(2，0，0)，B 1(0，1，0)，B 2(0，2，0)，C 1(0，0，1)，C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.6．(选做题)(2014·江西九江调研)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A ＝“恰有一个红球”，事件B ＝“第3个是红球”．求：(1)不放回时，事件A ，B 的概率； (2)每次取后放回时，A ，B 的概率．解：(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中取一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共有6×5×4＝120(个)．又事件A 中含有基本事件3×2×4×3＝72(个)(第1个是红球，则第2、3个是黄球，取法有2×4×3种，第2个是红球和第3个是红球跟第1个是红球的取法一样多)，∴P (A )＝72120＝35.第3次抽取红球对前两次没有什么要求，因为红球数占总球数的13，在每一次取到都是随机的等可能事件，∴P (B )＝13.(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中任取一个，有取法63＝216(种)，事件A 包含基本事件3×2×4×4＝96(种)．∴P (A )＝96216＝49.第三次取到红球包括B 1＝{红，黄，红}，B 2＝{黄，黄，红}，B 3＝{黄，红，红}，B 4＝{红，红，红}四种互斥的情形，P (B 1)＝2×4×2216＝227，P (B 2)＝4×4×2216＝427，P (B 3)＝4×2×2216＝227，P (B 4)＝2×2×2216＝127， ∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＋P (B 4) ＝227＋427＋227＋127＝13.。
[基础达标]一、选择题1．(2014·山西临沂质检)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．118元B．105元C．106元D．108元解析：选D.设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.2．(2014·武汉市武昌区调研)某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的变化情况的图是()解析：选C.由题意，小明这一天清晨0点－12点温度偏高(高于37 ℃)，到12点体温基本正常(37 ℃左右)，下午12－18点他的体温又开始上升(高于37 ℃)，直到大约24点才感觉身上不那么发烫了(37 ℃左右)，观察各选项图象，发现只有C项符合题意．3．(2013·高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()---------------------------------------------------------精品文档---------------------------------------------------------------------A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 解析：选C.设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x . ∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．5. (2014·郑州市高中毕业年级质量检测)图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )解析：选B.由图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.二、填空题6．(2014·河南焦作调研)某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为________．解析：设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a 4x (x ∈N *)． 答案：y ＝a 4x (x ∈N *) 7．(2014·黑龙江哈尔滨测试)现有含盐7%的食盐水为200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________．解析：根据已知条件设y ＝200×7%＋x ·4%200＋x×100%，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )·5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )·6%，解得100＜x ＜400.答案：(100,400)8．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)解析：设至少经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x ≤0.3，x ≥log 0.750.3≈5.答案：5三、解答题9．(2014·福建宁德调研)有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x －1(0≤x ≤4)，7－12x (4＜x ≤14).若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3(克/升)，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？解：(1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3， ∴k ＝1.(2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧ 968－x －4(0≤x ≤4)，28－2x (4＜x ≤14)，则当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得x ≥－4，所以此时0≤x ≤4. 当4＜x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以此时4＜x ≤12.综上可知0≤x ≤12，若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达12分钟．10．(2014·山东德州质检)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品为16万元，投资股票类产品为4万元时，能使投资获得最大收益3万元．[能力提升]一、选择题1．(2014·江门模拟)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10解析：选A.由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100，令104·(100－10x )·70·x 100≥112×104，解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2. 2. 某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00 解析：选C.当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b . 把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400. ∴y ＝400－20x . ∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ， 0≤x ≤4，400－20x ， 4＜x ≤20.由y ≥240， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤480x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4＜x ≤20，400－20x ≥240. 解得3≤x ≤4或4＜x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.二、填空题3．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20160－x ， x ＞20(x ∈N *)． 当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20160－x ， x ＞20(x ∈N *) 16 4．某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．解析：设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ K ＝2.5M ，N ＝60M ， 代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求．答案：4三、解答题5．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(x －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约2万件．(1)试确定k ，b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x ，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解：(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧1＝2(1－0.75k )(5－b )22＝2(1－0.75k )(7－b )2⇒⎩⎪⎨⎪⎧(1－0.75k )(5－b )2＝0(1－0.75k )(7－b )2＝1. 解得b ＝5，k ＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x ，∴(1－t )(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋x (x －5)2＝1＋1x ＋25x－10， 而f (x )＝x ＋25x在(0,4]上单调递减， ∴当x ＝4时，f (x )有最小值414， 故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%.6．(选做题)某商场预计从2014年1月份起的前x 个月，顾客对某商品的需求总量p (x )(单位：件)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(其中x ∈N *，且x ≤12)，该商品第x 个月的进货单价q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 150＋2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，185－160x (x ∈N *，且7≤x ≤12). (1)写出2014年第x 个月的需求量f (x )(单位：件)与x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2014年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x . 验证x ＝1符合，故f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)预计该商场第x 个月销售该商品的月利润为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－3x 2＋40x )·(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)， 即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). 当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)． 当1≤x ≤5时，g ′(x )≥0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，故当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(元)．当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，故g (x )max ＝g (7)＝3 040(元)． 综上，该商场2014年第5个月的月利润最大，最大月利润为3 125元．。
