2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.4.2抛物线方程及性质的应用(2)》课件

l
y∈R
(0,0) y≥0 x∈R y轴 y≤0
y
O
F
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2 x2
l
x∈R
例1. 求顶点在原点,焦点为F(5,0)的抛物线的方程. 解 顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上的抛物线 可设为 2
y 2 px( p 0)
2
因为焦点为F(5,0),所以p=10. 因此,所求抛物线的方程为
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、
离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
§2.4.2抛物线的几何 性质
学习目标:
掌握抛物线的简单几何性质。 能根据抛物线方程解决简单的应用问题。
自学指导:
2
根据抛物线的标准方程 y 2 px( p 0)你能得出 抛物线的哪些几何性质？ 什么叫做抛物线的轴？由方程如何确定抛物线的轴 什么叫做抛物线的通径？长为多少？ 抛物线是双曲线的一支吗？若不是从几何性质上看 它们有何区别与联系？ 自主检测: P47 练习 1
F
p , p) 2
x
与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
M2(
p , p ) 2
通径的长度： 2P
图 形
y
l O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 ( ,0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0) x 2 x（p>0） 2 x2 = 2py p p F (0, ) y 2 2 x （p>0）

一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
相异点
开口方向、 焦点位置、 准线方程、 一次项
问题8：知道抛物线的标准方程，焦点坐
四标与、准练线一方练程的相互关系，我们来比一比，
看谁做得又好又快？
口算填表
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 6 x x2 8 y y2 4x x2 12 y
F (3 ,0) 2
x3 2
F(0,2) F(1,0) F (0, 3)
二、抛物线的标准方程 x p 2 问题4：根据以上的计算， N
y
·M p
· 请我描们述把抛方物程线的标准方程。
y2 = 2px（p＞0）

它所表示的抛物线焦点坐标是F（ p 0），
准线方程是 x p 。
2
其中 p 为正常数2 ，它的几何意义是:
焦点到准线的距离.（简称：焦准距）
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.2抛物线方程及性质的应用课堂达标效果检测新人教A版选修2-1 "1.设抛物线y2=2x与过焦点F的直线交于A,B两点,则·的值是( )A. B.- C.3 D.-3【解析】选B.特例法,F(,0),取A,B的横坐标x=,则不妨令A(,1),B(,-1),所以·=-1=-.2.若动圆的圆心在抛物线x2=12y上,且与直线y+3=0相切,则此圆恒过定点( ) A.(0,2) B.(0,-3)C.(0,3)D.(0,6)【解析】选C.直线y+3=0为抛物线的准线,由抛物线定义知圆心到直线y=-3的距离与到点F(0,3)的距离相等,因此此圆恒过定点(0,3).3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为( )A.4B.8C.16D.32【解析】选B.因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0),设A(x0,y0),如图所示,过点A向准线作垂线,垂足为B,则B(-2,y0).因为|AK|=|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,所以由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,y0=±4,所以△AFK的面积为|KF|·|y0|=×4×4=8.4.若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线得方程组整理得x2-8x+4=0,所以x1+x2=8,y1+y2=x1+x2-4=4,所以中点坐标为(4,2).答案:(4,2)5.(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值.(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标. 【解析】(1)由得4x2+(4k-4)x+k2=0,设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点.当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0,即k<时,x1+x2=1-k,x1·x2=,所以|AB|====.因为|AB|=3,所以=3,即k=-4.(2)因为三角形的面积为9,底边长为3,所以三角形高h==.因为点P在x轴上,所以设P点坐标是(x0,0),则点P到直线y=2x-4的距离就等于h,即=,解得x0=-1或x0=5, 即所求P点坐标是(-1,0)或(5,0).。

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。