2020年全国中考数学压轴题全析全解(2)

2024年中考数学临考押题卷（成都卷）02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

A 卷（共100分）第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.1．（2024·江苏南京·一模）实数a 在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（）A ．2aB ．1aC ．1a -D ．2a +【答案】D【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．由数轴得出21a -<<-且12a <<，再根据有理数的加减运算法则逐一判断即可得．【详解】解：由数轴知21a -<<-且12a <<，则20a <是负数，1a是负数，1a -是负数，2a +是正数，故选：D ．2．（2024·海南省直辖县级单位·一模）今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：“尔滨，你让我感到陌生！”因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元且小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“5914000000”用科学记数法表示为（）A ．115.91410⨯B ．100.591410⨯C ．105.91410⨯D ．95.91410⨯【答案】D【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．【详解】解：95914000000 5.91410=⨯，故选：D ．3．（2024·河南·模拟预测）下列运算结果正确的是（）A ．230·x x x =B ．336235x x x +=C ．()32626x x =D ．()()2232349x x x+-=-【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式对各选项进行判断作答即可．【详解】解：选项A 中2350·x x x x =≠，故不符合要求；选项B 中33362355x x x x +=≠，故不符合要求；选项C 中()3266286x x x =≠，故不符合要求；选项D 中()()2232349x x x +-=-，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式．熟练掌握同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，平方差公式是解题的关键．4．（2024·广东潮州·一模）某校为了解学生的课外阅读情况，随机调查了10名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据结果（见图），根据此图可知这10名学生这一天各自课外阅读所用时间组成样本的众数和中位数分别是（）A ．0.5，0.5B ．0.5，0.75C ．1.0，0.5D ．1.0，0.75【答案】B【分析】本题考查了众数、中位数平均数、极差的定义，理解“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键．【详解】解：由统计图得中间两个数是0.5和1.0，∴中位数是()10.5 1.00.752+=；出现次数最多是数据是0.5，∴众数是0.5；故选：B ．5．（2024·河北石家庄·模拟预测）为测量一池塘两端A ，B 间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．甲：如图1，先过点B 作AB 的垂线BF ，再在射线BF 上取C ，D 两点，使BC CD =，接着过点D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于点E ．则测出DE 的长即为A ，B 间的距离；乙：如图2，先确定直线AB ，过点B 作射线BE ，在射线BE 上找可直接到达点A 的点D ，连接DA ，作DC DA =，交直线AB 于点C ，则测出BC 的长即为AB 间的距离，则下列判断正确的是（）A ．只有甲同学的方案可行B ．只有乙同学的方案可行C ．甲、乙同学的方案均可行D ．甲、乙同学的方案均不可行【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性．【详解】解：甲：由题意得，AB BC ⊥，DE CD ⊥，90ABC EDC ∴∠=∠=︒，在ABC 和EDC △中，ACB ECDBC DC ABC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(ASA)ABC EDC ∴≌△△，AB ED ∴=；∴测出DE 的长即为A ，B 间的距离；乙：已知DC DA =，BD BD =，不能判定ABD △和CBD △能全等，AB BC ∴≠；∴测出BC 的长不一定为A ，B 间的距离，∴只有甲同学的方案可行，故选：A ．6．（2023·贵州贵阳·模拟预测）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？小红是这样想的：设有x 人，物品价值y 元，她先列了一个方程83x y -=，请你帮她再列出另一个方程（）A ．47x y +=B ．47x y -=C ．74x y+=D ．74x y-=【答案】C【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意可得等量关系：人数×8−3＝物品价值；人数×7＋4＝物品价值，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设有x 人，物品价值y 元，由题意得：74x y +=故选：C ．7．（2024·四川广安·模拟预测）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O ，则:AD AB =（）A ．223B 23C 32D 322【答案】B【分析】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键；过点O 作OM BC ⊥，ON AD ⊥，设圆的半径为r ，根据垂径定理可得OBM 与ODN △是直角三角形，根据三角函数值计算求解即可．【详解】解：如图，过点O 作OM BC ⊥，ON AD ⊥，设圆的半径为r ，∴OBM 与ODN △是直角三角形，OD OB r ==，∵等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O ，∴30OBM ∠=︒，45ODN DON ∠=∠=︒，∴2tan452DN OD r =装=，3cos302BM OB r =装=，∴22AD DN r ==，23BC BM r ==，∴:2:32:3AD AB r r ==，故选：B ．8．（2024·广东·一模）二次函数()20y ax bx c a =++≠的y 与x 的部分对应值如下表：x 1-013y1.5-2-0根据表格中的信息，得到了如下的结论：①<0abc ；②二次函数²y ax bx c =++可改写为()212y a x =--的形式③关于x 的一元二次方程2 1.5ax bx c ++=-的根为120,2x x ==；④若0y >，则3x >⑤当2x ≥时，y 有最小值是 1.5-；其中所有正确结论的序号是（）A ．①②④B ．②③⑤C ．①③⑤D ．②③④⑤【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，开口方向与y 轴的交点坐标，判断①②，对称性以及抛物线与一元二次方程的关系，判断③，增减性，判断④⑤，解题的关键是确定抛物线的对称轴．【详解】解：由表格可知：=1x -和3x =的函数值相同，∴抛物线的对称轴为直线：1312x -+==，∴顶点坐标为：()1,2-；当0x =时， 1.50y c ==-<，在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小，在对称轴右边y 随着x 的增大而增大，∴抛物线的开口向上，∴0a >，∵对称轴为直线102bx a=-=>，∴0b <，∴0abc >，故①错误，∵顶点坐标为()1,2-，∴二次函数²y ax bx c =++可改写为()212y a x =--的形式；故②正确；∵当0x =时，15y =-.，对称轴为1x =，∴当2x =时，15y =-.，∴关于x 的一元二次方程2 1.5ax bx c ++=-的根为120,2x x ==；故③正确；∵=1x -时0y =，3x =时，0y =，在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随着x 的增大而增大，∴若0y >，则3x >或1x <-，故④错误；当2x ≥时，y 随着x 的增大而增大，∴当2x =时，y 有最小值是 1.5-；故⑤正确；故选B ．二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9．（2024·广东广州·一模）分解因式：22a a -=．【答案】()2a a -【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式a 即可求解．【详解】解：22a a -=()2a a -，故答案为：()2a a -．10．（2024·湖南株洲·一模）反比例函数6y x=-的图象与直线()0y kx k =<相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则1221x y x y +的值是．【答案】12【分析】反比例函数6y x =-图象与正比例函数()0y kx k =<图象的两交点坐标关于原点对称，依此可得12x x =-，12y y =-，依此关系即可求解，本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，知道正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称是解题的关键．【详解】解：∵()11,A x y ，()22,B x y 两点关于原点对称，∴12x x =-，12y y =-，将()11,A x y ，()22,B x y 代入6y x=-，得：116x y =-，226x y =-，∴122111226612x y x y x y x y +=--=+=，故答案为：12．11．（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系中，点()3,0A 关于直线y x =对称的点A '的坐标为．【答案】()0,3【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的判定与性质，过A 作AB x ⊥轴，交直线y x =于B ，过B 作BC y ⊥轴于C ，证明四边形OABC 是正方形，可得出A 、C 关于直线y x =对称，即可求解．【详解】解：过A 作AB x ⊥轴，交直线y x =于B ，过B 作BC y ⊥轴于C ，∵()3,0A ，∴3AO =，把3x =代入y x =，得3y =，∴()3,3B ，∴3BC BA OC AO ====，∴四边形OABC 是菱形，()0,3C 又AB x ⊥轴，∴菱形OABC 是正方形，∴A 、C 关于OB 对称，即A 、C 关于直线y x =对称，∴点()3,0A 关于直线y x =对称的点A '的坐标为()0,3，故答案为：()0,3．12．（2024·陕西咸阳·二模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，连接BD ，EF 相交于点G ．若9cm AB =，且13BF AB =， 4.5cm BG =，则BD 的长为cm【答案】22.5【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理；延长FE 交DC 的延长线于点H ，由题意可证明 ≌BFE CHE ，即可得CH 的长；由平行线分线段成比例定理可求得DG ，进而求得BD ．构造辅助线得到全等三角形，进而利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．【详解】解：如图，延长FE 交DC 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，9cm CD AB ∴==，CD AB ∥，EBF ECH ∠∠∴=，BFE CHE ∠∠=．∵点E 是BC 的中点，BE CE ∴=．在BFE △和CHE 中，BFE CHEEBF ECH BE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BFE CHE ∴≌△△（AAS ），13cm 3CH BF AB ∴===，C D A B ∥ ，BG BF DG DH ∴=，即4.5393DG =+，18cm DG ∴=，22.5cm BD BG DG ∴=+=．13．（2023·四川成都·统考一模）如图，在ABC 中，AB 6=，按以下步骤作图，①以点C 为圆心，以适当的长为半径作弧，交CB 于点D ，交CA 于点E ，连接DE ；②以点B 为圆心，以CD 长为半径作弧，交BA 于点F ；③以点F 为圆心，以DE 的长为半径作弧，在ABC 内与前一条弧相交于点G ；④连接BG 并延长交AC 于点H ，若H 恰好为AC 的中点，则AC 的长为．【答案】23【分析】连接FG ，如图所示，先证明()SSS BFG CDE △≌△得到ABH ACB =∠∠，进一步证明ABH ACB ∽得到AH ABAB AC=，再由H 是AC 的中点，得到2AC AH =，由此即可得到答案．【详解】解：连接FG ，如图所示，由题意得BF BG CD CE FG DE ====，，∴()SSS BFG CDE △≌△，∴ABH ACB =∠∠，又∵A A ∠=∠，∴ABH ACB ∽，∴AH ABAB AC=，∵H 是AC 的中点，∴2AC AH =，∴222AH AB =，∴3AH =，∴223AC AH ==，故答案为：23．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，证明()SSS BFG CDE △≌△得到ABH ACB =∠∠，进一步证明ABH ACB ∽是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分.其中：14题12分，15-16题每题8分，17-18题每题10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）计算与化简：(1)()118sin 45212-⎛⎫⨯︒+-- ⎪⎝⎭；(2)解不等式组：()1123121xx x +⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩．【答案】(1)3(2)1x ≤【分析】（1）先分别求算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，然后进行乘法运算、最后进行加减运算即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集．【详解】（1）解：()118sin 45212-⎛⎫⨯︒+-- ⎪⎝⎭222212=⨯+-3=；（2）解：()1123121xx x +⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩，112x+≤，12x +≤，解得，1x ≤；()3121x x -<+，3321x x -<+，解得，4x <；∴不等式组的解集为1x ≤．【点睛】本题考查了算术平方根，特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，零指数幂，解一元一次不等式组．熟练掌握特殊角的三角形函数值，负整数指数幂，解一元一次不等式组是解题的关键．15．（2024.浙江中考模拟预测）立定跳远是一项有益身心的运动，它能够锻炼我们的各项身体素质，让我们的身体更加健康和灵活，初中生立定跳远也是中考体育中的一项．某校为了解初三学生立定跳远的情况，对初三学生进行立定跳远水平测试，并随机抽取了部分学生的测试成绩，将结果绘制成如下不完整的统计图表．学生立定跳远测试成绩分布表成绩x （m ）频数频率1.2 1.4x ≤<80.161.4 1.6x ≤<m0.241.6 1.8x ≤<160.321.8 2.0x ≤<100.22.0 2.2x ≤<40.08根据以上信息，解答下列问题：(1)抽取的学生人数为______名，补全频数分布直方图；(2)若以每组成绩的组中值（如1.2 1.4x ≤<的组中值为1.3）为该组成绩的平均成绩，求所抽取学生立定跳远的平均成绩；(3)若该校初三年级共有600名学生，请你估计该校初三学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的学生人数．【答案】(1)50，补全频数分布直方图见详解(2)1.66(3)360【分析】本题考查频数分布表，频数分布直方图，由样本估计总体，求平均数．（1）由分布表的第一组数的频数和频率可求所抽取的人数，由所抽取的人数算出m 的值即可补全频数分布直方图；（2）先找出每组数据的组中值，再计算即可；（3）先求出所抽取学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的占比，再估算即可．【详解】（1）解：由表格第一组数据得抽取的学生人数为80.1650÷=（名）500.2412m ∴=⨯=补全频数分布直方图如下：（2）根据题意，所抽取学生立定跳远的平均成绩为1(1.38 1.512 1.716 1.910 2.14) 1.6650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3） 所抽取学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的占比为16104100%60%50++⨯=∴估计该校初三学生中立定跳远成绩不低于1.6m 的学生人数为60060%360⨯=（名）．16．（2024·成都·模拟预测）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点D ，B ，O 在同一直线上，DO 可绕着点O 旋转，AB 为云梯的液压杆，点O ，A ，C 在同一水平线上，其中BD 可伸缩，套管OB 的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆3m AB =，53BAC ∠=︒，37DOC ∠=︒．(1)求BO 的长．(2)消防人员在云梯末端点D 高空作业时，将BD 伸长到最大长度6m ，云梯DO 绕着点O 按顺时针方向旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了3.2m ，求云梯OD 大约旋转了多少度．（参考数据：3sin 375︒≈，3tan 374︒≈，sin 5345︒≈，tan 5343︒≈，sin 670.92︒≈，cos670.39︒≈）【答案】(1)4m OB =(2)30︒【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；（2）求出旋转前点D 的高度DF ，进而求出旋转后点D ¢的高度D G '，再根据锐角三角函数的定义求出D OG '∠的大小即可解答．【详解】（1）解：如图，过点B作BE OC⊥于点E，在Rt ABE△中533mBAC AB∠=︒=，，，∴412sin3sin53355BE AB BAE=⋅∠=⨯︒≈⨯=，在Rt BOE中，37BOE∠=︒，125BE=，∵sin BEBOEOB∠=，∴12543sin5BEOBBOE===∠．答：4mOB=．（2）解：如图，过点D作DF OC⊥于点F，旋转后点D的对应点为D¢，过点D¢作D G OC'⊥于点G，过点D作DH D G'⊥于点H，在Rt FOD△中，461037OD OB BD DOF=+=+=∠=︒，，∴3sin37106m5DF OD=⋅︒≈⨯=，∴ 3.269.2mD G D H HG''=+=+=，在Rt D OG'中，10m,9.2mOD D G''==,∴9.2sin0.9210D GD OGD O''∠==='，∴67D OG'∠≈︒，∴673730D OD'∠=︒-︒=︒，即云梯OD大约旋转了30︒．17．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，已知ABC内接于O，若60BAC∠=︒，AD平分BAC∠交O于D，交BC于点E．(1)求证：2BD AD DE=⋅；(2)若43,63AB AC==AD、DE的长．【答案】(1)见解析(2)10, 2.8AD DE==【分析】（1）先证CBD BAD∠=∠，然后根据两角对应相等的两个三角形相似判定DBE DAB∽，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（2）设O的圆心为点O，连接OD交BC于H，过点B作BF AD∥交CA 的延长线于F，先证OD BC⊥及OBD为等边三角形，从而得,BD OD OH DH==，BH CH=，设OH DH k ==，则2BD k =，3BH k =，23BC k =，再证43AF AB ==，由BF AD ∥得:2:3BE CE =，于是可设2,3BE a CE a ==，则523BC a k ==，从而得235k a =，则435k BE =，635k CE =，然后由（1）得DBE DAB ∽，据此由相似三角形的性质得10AD =，最后设DE x =，则10AE x =-，由（1）的结论得2 2.5k x =，再证ACE BDE ∽△△，可得DE AE BE CE ⋅=⋅，据此即可求出x ，进而得DE 的长．【详解】（1）证明：∵AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，CBD CAD ∠=∠ ，CBD BAD ∴∠=∠，BDE ADB ∠=∠ ，DBE DAB ∴ ∽，::BD AD DE BD ∴=，2BD AD DE ∴=⋅；（2）解：设O 的圆心为点O ，连接OD 交BC 于H ，过点B 作BF AD ∥交CA 的延长线于F ，60BAC ∠=︒ ，AD 平分BAC ∠，30BAD CAD ∴∠=∠=︒，BDCD ∴=，260O BAD ∴∠=∠=︒，OD BC ⊥，,2BH CH BC BH ∴==，OB OD = ，OBD ∴△为等边三角形，,BD OD OH DH ∴==，设OH DH k ==，则2BD k =，由勾股定理得：223BH BD DH k =-=，223BC BH k ∴==，,30,BF AD BAD CAD ∠=∠=︒∥ 30,30,F CAD ABF BAD ∴∠=∠=︒∠=∠=︒30F ABF ∴∠=∠=︒，43AF AB ∴==，BF AD ∥ ，::AF AC BE CE ∴=，:43:632:3BE CE ∴==，∴可设2,3BE a CE a ==，5BC BE CE a ∴=+=，523a k ∴=，即235k a =，4325k BE a ∴==，6335k CE a ==，由（1）得：DBE DAB ∽，::BD AD BE AC ∴=，即432::435k k AD =，10AD ∴=，设DE x =，则10AE AD DE x =-=-，由（1）的结论得：2BD AD DE =⋅，即：()2210k x =，2 2.5k x ∴=，,DBC DAC C ADB ∠=∠∠=∠ ，ACE BDE ∴ ∽，AE CE BE DE∴=，DE AE BE CE ∴⋅=⋅，∴2436372(10)5525k k x x k -=⋅=，将2 2.5k x =代入上式得：72(10) 2.57.225x x x x -=⨯=，0x ≠ ，107.2x ∴-=， 2.8x ∴=， 2.8DE ∴=．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定及性质，圆周角与圆心角之间的关系；解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，垂径定理．18．（2024·江苏淮安·中考模拟预测）如图，点P 是y 轴正半轴上的一个动点，过点P 作y 轴的垂线l ，与反比例函数4y x=-的图象交于点A ．把直线l 上方的反比例函数图象沿着直线l 翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“4y x =-的l 镜像”．(1)当OP ＝3时：①点M 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭“4y x =-的l 镜像”；（填“在”或“不在”）②“4y x=-的l 镜像”与x 轴交点坐标是；(2)过y 轴上的点Q ()0,1-作y 轴垂线，与“4y x=-的l 镜像”交于点B 、C ，点B 在点C 左侧．若点Q 把线段BC 划分成2:1的两部分，求OP 的长．(3)如果改变翻折方式，将反比例函数()40y x x=-<的图象沿直线5y x =+翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线5y kx =+与此封闭图形有交点，则k 的范围是．【答案】(1)在；2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)12OP =(3)16252516k ≤≤【分析】（1）①当12x =-时，48y x =-=，该点为：1(2-，8)，则点1(2-，8)关于直线AP 的对称点坐标为：1(2-，2)-，即可求解；②当3y =时，关于OP 的对称点的y 值为6，则46x =-，则23x =-，即可求解；（2）当1y =-时，则41x -=-，解得：4x =，即点(4,1)C -，即4CQ =，则2BQ =，进而求解；（3）联立方程当△25160k =-=，则2516k =，此时两个函数只有一个交点M ，当直线5y kx =+过点M 关于直线5y x =+的对称点N 时，该直线和题目中的图形只有一个交点，即可求解．【详解】（1）解：①当3y =时，即43x -=，则43x =-，则点4(3A -，3)，当12x =-时，48y x =-=，该点为：1(2-，8)，则点1(2-，8)关于直线AP 的对称点坐标为：1(2-，2)-，故点M 在“4y x=-的l 镜像”，故答案为：在；②当3y =时，关于AP 的对称点的y 值为6，则46x =-，则23x =-，则“4y x=-的l 镜像”与x 轴交点坐标为：2(3-，0)；故答案为：2(3-，0)；（2）解：如图，当1y =-时，则41x -=-，解得：4x =，即点(4,1)C -，即4CQ =，点Q 把线段BC 划分成2:1的两部分，则2BQ =（8BQ =不成立，舍去），即点B 的横坐标为：2-，则点()2,1B --，当2x =-时，422y =-=-，即点B 关于AP 的对应点B '的纵坐标为：2，即(2,2)B '-，由点B 、B '的纵坐标得到()111222y =-+=，即12OP =；（3）联立4y x=-和5y kx =+并整理得：2540kx x ++=，当25160k ∆=-=，则2516k =，此时两个函数只有一个交点，设该点为点M ，把2516k =代入2540kx x ++=并解得：85x =-，则点8(5M -，5)2，如图，求点M 关于直线5y x =+的对称点N ，则当直线5y kx =+过点N 时，该直线和题目中的图形只有一个交点，由图形的对称性知，MNT 为等腰直角三角形，当552y x ==+，则52x =-，则点5(2T -，5)2，则910MT NT ==，则点N 的坐标为：5(2-，17)5，将点N 的坐标代入5y kx =+得：175552k ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭，解得：1625k =，故16252516k ≤≤符合题设条件，故答案为：16252516k ≤≤．【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到点的对称性、新定义、图形的翻折等，理解新定义是解题的关键．B 卷（共50分）一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）19．（2024·山东·九年级校考阶段练习）如果2320a a +-=，那么代数式2231393a a a a -⎛⎫+⋅ ⎪-+⎝⎭的值为．【答案】12/0.5【分析】先算括号里，再算括号外，然后把2a 3a +的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：22313()93a a a a -+⋅-+2333(3)(3)a a a a a +--=⋅+-23(3)(3)a a a a a -=⋅+-1(3)a a =+213a a=+，2320a a +-= ，232a a ∴+=，∴原式12=，故答案为：12．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．20．（2023·重庆·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程()24410a x x --+=有两个实数根，且关于x 的分式方程4433x a x x ++=--有正整数解，则满足条件的所有整数a 的和为．【答案】17【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及a 的取值范围，可得a 的所有值，再将其相加即可得出结论．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()24410a x x --+=有两个实数根，∴()()()24441164164320a a a ∆=--⨯+⨯-=++=+≥，且40a +≠，解得8a ≥-且4a ≠-．4433x a x x ++=--化为整式方程得：()()443x a x -+=-，解得165a x -=，∵分式方程有正整数解，∴a 可以取1，6，11，∵30x -≠，∴16305a --≠，即1a ≠，∴满足条件的a 的值为6，11，∴满足条件的所有整数a 的和为61117+=．故答案为：17．21．（2024.湖南.中考模拟预测）如图，点A 在⊙O 上，60BAC ∠=︒，以A 为圆心，AB 为半径的扇形ABC 内接于⊙O ．某人向⊙O 区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形ABC 内的概率为．【答案】12【分析】分别求得⊙O 的面积和扇形的面积即可求解．【详解】解：连接BC ，∵60BAC ∠=︒，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形，设⊙O 的半径为r ，如图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB ，则OA =r ，AB =2AD ，∠OAD =1302BAC ∠=︒，∴30cos AD AD OA r ︒==，解得32AD r =，∴23AB AD r ==，∴圆的面积为2r π，扇形的面积为()2260313602r r ππ⨯=，∴飞镖恰好落在扇形ABC 内的概率为221122r r ππ=，故答案为：12【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22．（2023·安徽·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于C 点．动点P 从点B 出发，沿x 轴负方向以每秒1个单位的速度运动．过点P 作PQ BC ⊥，垂足为Q ，再将PBQ 绕点P 按逆时针方向旋转90︒．设点P 的运动时间为t 秒．（1）若旋转后的点B 落在该抛物线上，则t 的值为．（2）若旋转后的PBQ 与该抛物线有两个公共点，则t 的取值范围是．【答案】32249t >>【分析】根据抛物线线与坐标轴的交点坐标的特点得、()3,0B ，()1,0-，()0,3C ，由3OC OB ==和PQ BC ⊥得PBQ 等腰直角三角形，根据勾股定理得22BQ PQ t ==，12PM QM t ==，可表示出()3,0P t -，33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()3,B t t -，（1）将()3,B t t -代入二次函数即可求解．（2）利用()3,B t t -，33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭结合二次函数解析式列不等式，求出边PQ 、PB 、BQ 与抛物线有交点的范围，进而可求解．【详解】解：223y x x =-++，当0x =时，解得：3y =，()0,3C ∴，3OC ∴=，当0y =时，2023x x =-++，解得：11x =-，23x =，()3,0B ∴，()1,0-，1OA ∴=，3OB =，3OC OB == ，可知：45OBC ∠=︒，PQ BC ^Q ，PBQ ∴ 是等腰直角三角形，PQ PB =，运动t 秒后，PB t =，运用勾股定理可求22BQ PQ t ==，将PBQ 绕点P 按逆时针方向旋转90︒后，PB x ⊥轴，过点Q 作QM x ⊥轴，垂足为M ，可求45QPM ∠=︒，由勾股定理可求：12PM QM t ==，所以()3,0P t -，33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()3,B t t -，（1）把点()3,B t t -坐标代入223y x x =-++得：()()23233t t t =--+-+，解得：3t =，或0=t （舍去）所以：3t =．故答案为：3．（2）若PB 与抛物线223y x x =-++有交点，由于点()3,B t t -，则有：当3x t =-时，y t <，且31t ->-，代入得：()()23233t t t --+-+≤，解得：43t >≥，或0t ≤（舍去），若PQ ，BQ 与抛物线223y x x =-++有两个不同交点，由于33,22t t Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有；当332t x =-时，2t y <，且31t -<-，代入得：2333233222t t t ⎛⎫⎛⎫--+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2249t >>，或0t ≤（舍去），所以：当43t >≥时，PB 与PQ 与抛物线有交点；当2239t ≥>时，PQ 和BQ 与抛物线有交点，综上所述：若旋转后的PBQ 与该抛物线有两个公共点，则t 的取值范围是：2249t >>，故答案为：2249t >>．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、二次函数与不等式、二次函数的综合，掌握基础知识，根据已知设点的坐标，结合题意列不等式是解题的关键．23.（2023·江苏宿迁·校考三模）如图：在矩形ABCD 中，3AB =，32AC =，点E 沿射线CD 以2个单位每秒的速度运动，同时点F 沿射线DB 以1个单位每秒的速度运动，连接AE 和CF 交点为M ，在AM 上取一点P 使得23AP AM =，把AP 绕A 点逆时针旋转45︒得到AQ ，连接BQ ，则BQ 的最小值为．【答案】172-/217-+【分析】如图所示，设AC 的中点为O ，首先根据题意证明出ACE CDF ∽ ，然后得到点M 在以点O 为圆心，半径为322的圆上运动，得到13222OM AC ==，过点P 作PN OM ∥，根据相似三角形的性质得到2AN NP ==，将AN 绕点A 逆时针旋转45︒得到AH ，证明出()SAS AHQ ANP ≌ ，得到2HQ NP ==，点Q 在以点H 为圆心，半径为2的圆上运动，连接BH 交H 于点Q '，进而得到当点Q 和点Q '重合时，BQ 有最小值，即BQ '的长度，过点H 作GH BA ⊥的延长线于点G ，得到GAH 是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，设AC 的中点为O ，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB ==，∴32232CD AC ==，∵点E 沿射线CD 以2个单位每秒的速度运动，同时点F 沿射线DB 以1个单位每秒的速度运动，∴1222DF CE ==，∴DF CD CE AC =，∵90D ACD ∠=∠=︒，∴ACE CDF ∽ ，∴CAE FCD ∠=∠，∵90ACF FCD ∠+∠=︒，∴90CAE ACF ∠+∠=︒，∴90AMC ∠=︒，∴点M 在以点O 为圆心，半径为322的圆上运动，∴13222OM AC ==，过点P 作PN OM ∥，∴APN AMO ∽，∴23AP AN NP AM AO OM ===，即23332222AN NP ==，∴2AN NP ==，将AN 绕点A 逆时针旋转45︒得到AH ，∴2AH AN ==，45NAH PAQ ∠=∠=︒，∴HAQ NAP ∠=∠，又∵AQ AP =，∴()SAS AHQ ANP ≌ ，∴2HQ NP ==，∴点Q 在以点H 为圆心，半径为2的圆上运动，∴连接BH 交H 于点Q '，∴当点Q 和点Q '重合时，BQ 有最小值，即BQ '的长度，过点H 作GH BA ⊥的延长线于点G ，∵45NAH ∠=︒，∴904545GAH ∠=︒-︒=︒，∴GAH 是等腰直角三角形，∴222AG GH AH +=，即()2222AG AG +=，∴1AG GH ==，∴4BG BA AG =+=，∴2217BH BG GH =+=，∴172BQ BH HQ ''=-=-．故答案为：172-．【点睛】此题考查了矩形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明出点M 在以点O 为圆心，半径为322的圆上运动．说明、证明过程或演算步骤.）24．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m 元/支，肉串的成本为n 元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：次数数量（支）总成本（元）海鲜串肉串第一次3000400017000第二次4000300018000针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．(1)求m 、n 的值；(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x 支，店主获得海鲜串的总利润为y 元，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a （01a <<）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a 的最大值．【答案】(1)m 的值为3，n 的值为2(2)()()20200200200400x x y x x ⎧≤⎪=⎨+≤⎪⎩＜＜(3)0.5【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出m 、n 的值；（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润=每支利润⨯数量”分别列出代数式即可求出y 与x 的函数关系式，注意写出自变量x 的取值范围；（3）设降价后获得肉串的总利润为z 元，令W z y =-，先根据题意列出z 关于x 的关系式，再写出W 关于x 的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．【详解】（1）解：根据表格可得：30004000170004000300018000m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：32m n =⎧⎨=⎩，∴m 的值为3，n 的值为2；（2）当0200x <≤时，店主获得海鲜串的总利润()532y x x =-=；当200400x <≤时，店主获得海鲜串的总利润()()()5320050.83200200y x x =-⨯+⨯--=+；∴()()20200200200400x x y x x ⎧≤⎪=⎨+≤⎪⎩＜＜；（3）设降价后获得肉串的总利润为z 元，令W z y =-，∵200400x <≤，∴()()()3.521000 1.515001000z a x a x a =---=-+-，∴()2.513001000W z y a x a =-=-+-，∵01a <<，∴ 2.50a -<，∴W 随x 的增大而减小，当400x =时，W 的值最小，由题意可得：z y ≥，∴0W ≥，即()2.5400130010000a a -⨯+-≥，解得：0.5a ≤，∴a 的最大值是0.5．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键．25．（2024·湖南长沙·中考模拟预测）在平面直角坐标系中，设直线l 的解析式为：y kx m =+(k m 、为常数且．0k ≠)，当直线l 与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l 与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．(1)求直线l ：6y x =-+与双曲线9y x=的切点坐标；(2)已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点()32-，，使得直线12y x =与22231y x y ax bx c =+=++，都相切于同一点?若存在，求出3y 的解析式；若不存在，请说明理由；(3)已知直线()1111:0l y k x m k =+≠，直线()22222:0l y k x m k =+≠是抛物线222y x x =-++的两条切线，当1l 与2l 的交点P 的纵坐标为4时，试判断12k k ⋅是否为定值，并说明理由．。

几何综合结论1. （2020深圳）如图，矩形纸片個8中,AB=6. 5（7=12.将纸片折叠，使点3落在边"的延长线上的点 G 处，折痕为肪 点E 、尸分别在边血和边證上.连接％,交CD 于点、K, FG 交CD 于点、H.给出以下结 论： ① EF1BG ；② GE=GF ：③ 冰和2X00的而积相等；④ 当点尸与点Q 重合时，Z/?£F=75° ,其中正确的结论共有（ ）【解答】解：如图，连接宓设EFG BG 交于点0,•••将纸片折叠，使点〃落在边〃的延长线上的点G 处,B. 2个 C. 3个D. 4个:.EFIBG, BO=GO. BE=EG, BF= FG,故①正确,AD//BC.:・ZEGO= ZFBO、又T ZEOG= ZBOF,:.、BOZ'GOE (ASA\:・BF=EG,:・BF=EG=GF、故②正确，•: BE=EG=BF=FG、・••四边形购沪是菱形，:•乙BEF= ZGEF,当点尸与点Q重介时，则BF=BC=BE=\2,TsinZ 遊「，•••ZM5=30° ,:・ZDEF=W,故④正确，由题意无法证明△宓和△GAZf的而积相等，故③错误：故选：C.2.（2020贵州铜仁）如图，正方形個力的边长为4,点厅在边曲上，BE=\,ZQLW=45°，点尸在射线刖上，且过点尸作“的平行线交BA的延长线于点H, 67■与初相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论：①尸的而积为S②△庇G的周长为&③必=亦+血：其中正确的是（）A.①(D ③B. @@C.①②【解答】解：如图，在正方形個8中，AD//BC. AB=BC=AD=49AZZ£W=90° ,HF//AD.AZ J ^=90° ,VZ2£4F=90° - ZMQ45° >AAFH=AHAF.:.AH=HF=\=BE.:.EH=AE^AH=AB- BE ・AH=4 = BC 、:AEHFg'CBE (SAS'、:・EF=EC, ZHEF= ZBCE,•:乙BCE+乙BEC=9$ ,:・HEHZBEC=9y »:.ZFEC=9Q° ,:■ \ CEF 是等腰直角三角形, 在 R 仏CBE 中，BE=1. BC=A. H 刀D.②③ ZB=ZBAD=9Q Q ,:.EC=BE+BC = 17.=i=g =兰：£g云EF・EC 2EC 2\故①正确；过点尸作FQLBC于0,交.AD于P,•••Z 时=90° = ZH= ZHAD.・••四边形北明是矩形，•: AH=HF,.•・矩形册叨是正方形，:.AP=PH=AH=\,同理：四边形测是矩形，:.PQ=AB=\y BQ=AP1、FQ=FP-PQ=z. CQ=BO BQ=3、•: AD〃BC,•••△/TVs △磁，FP _况. 五一&在RtAEAG 中，根据勾股宦理得，EG°V/i^=4,=空 Is t 2旳工空 Is 产云 :・E C 羊D C+B E,故③错误，・•・正确的有①故选：C.:.AG=AP^PG'AEG 的周长为 AG-E&rAEI r 3=8,敬②正确; 25:.DG^BE 1£7•: EC= ( 3:.DG=AD- AG3. （2020黑龙江鹤岗）如图，正方形 馭7?的边长为⑦ 点&在边月万上运动（不与点川3重合），ADAM= 45°，点尸在射线凡『上，且AF ^^BE,仔■与血相交于点G,连接应'、EF 、EG.则下列结论： ① ZECF= 45° :② △近的周长为（1 <3：③ B »D C=E C ；④△轩的而积的最大值是肚其中正确的结论是（ ）•:BE=BH, Z 翊=90° ,:・AF=EH,⑤当BE 二;a 时，G 是线段初的中点.A.①②③B.②④⑤C.①®®D.①④⑤ 【解答】解：如图1中, 任BC 上截取BH=庞,连接筋•: ZDAM=ZEHB=45° , Z馳?=90° ,:・ZFAE=ZEHC=\35° ,•: BA=BC, BE= BH,:.AE=HC.:仏FAE^HEHC (SAS)、:・EF=EC, ZAEF= ZECH,•:乙EC出乙CEB=90° ,:.AAEF^ACEB=W y•••Z亦*90° ,:•乙ECF= ZEFC='M ,故①正确，如图2中.延长初到/ 使得BE,则厶CBMHCDH ISAS). :・ZECB= ZDCH、：.2LECH= ABCD=W ,:.ZECG=ZGCH=45° ,•: CG=CG、CE=CH.:.HGCE^HGCH (SAS),:・EG=GH,V GH=D&rDH. DH=BE、:・EG=BE+DG.故③错误，'AEG的周长=AE^EG-AG= AE-AH= AD-DH^AE= AE^E&vAD= A&rAD= 2a.故②错误,二屈 设殆F 贝^AE=a-x. AF 阳=—- 十一■ ■£> 2 W.Y ax解得-Y •:.AG=GD.故⑤正确,故选:D.4. （2020黑龙江绥化）如图，在Rt △磁中，G9为斜边初的中线，过点。

2020中考数学几何探究压轴题解析本省中考数学压轴题，这看着比二次函数压轴题有点难度，虽然第一小题可以蒙出来，但是不会证明的话后面基本无解。

分析：条件很简单，正方形，AB=AB'，DE⊥BE，就这三个条件。

第一小题既然问了本来就是直角三角形的形状，那么肯定得是特殊的等腰直角三角形；连接BD之后一下就能发现相似三角形的存在，即△BB'D∽△CED，所以BB'/CE=BD/CD；第二小题又分成了两问，第一问还是让证明上一小题的结论，所以先不管；第二问是组成平行四边形，第二个图看着是看不出来，但是第一个图的四个点如果连起来看着还比较像，所以要考虑第一个图中的位置关系也就是CD作为对角线的时候，而CD作为边的时候，B'E肯定要和CD平行，那么B'就只能在A的正上方了，那就更简单了。

好像这道题也并不算难。

解析：（1）等腰直角三角形√2方法：首先△ABB'是等边可得，那么∠BAB'是60°，则∠DAB'=30°，又AB'=AD所以可得∠AB'D=75°而∠AB'E=120°所以∠DB'E=45°，而DE⊥BE所以可得△DB'E是等腰直角三角形连接BD后，BD：CD=DB'：DE∠BDB'=∠B'ED=45°-∠B'DC所以△BB'D∽△CED∴BB':CE=√2（2）①一般这种题，结论基本上都是仍然成立，当然也有几个别专门坑人的题。

而这一道是不是目前还不清楚。

咱们来试一试就知道了，刚才是∠BAB'为60°，但是现在为α，∴∠B'AD=90°-α∠AB'D=45°+0.5α而∠AB'B=90°-0.5α∠AB'E=90+0.5α如此一来∠DB'E=180°-∠AB'D-∠AB'B=45°同样DE⊥BE仍然存在那么△DB'E是等腰直角三角形成立；既然这个都成立了，那么线段比例也不用多说了吧？②既然刚才分析了有两种情况考虑，那么我们先来计算最简单的一种，也就是B'E//CD，这样的话点E就和A重合了，那么BB'=2AB，BE=BA，B'E=BA，所以比值为1；再来分析第一种情况，CD为对角线时有同学可能会考虑到B'和E都不是固定的，我们没法判定它们的位置，怎么寻找对边平行呢？这个时候一定要记得平行四边形判定的所有方法，那么你就能想到对角线互相平分，所以如果平行四边形成立，则BE肯定经过CD中点，我们将正方形的边长AB设为2，那么普通的思路就是搞定BE和B'E 的长度求比值，怎么搞定它们呢？我们假设CD中点为M，同时做AN⊥BE，可得BN=B'N，CM=1，则BM可得√5，而△BCM和△ABN可得相似，所以BN可得，则BB'可得，那么B'M可得，则EM一样，如此一来还需要验证平行四边形成立的时候DE和BE垂直是否成立，如果不成立就无法说明我们刚才所得是正确的，既然平行四边形已经成立，那么只需要CB'⊥BE能够成立也就说明DE⊥BE，连接CB'，同时做B'F⊥BC于F，那么B'F可得，CF也可得，求出CB'，验证∠BB'C是否为90°，如果成立，则说明我们刚才的过程都是正确的，那么再用BE和B'E的长度求出比值即可；当然，这个过程是比较麻烦的，所以老师第一反应是这个思路方法，但是懒得去算啊，所以只能思考另一种方法。

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（）A．B．C．D．2．如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次二、填空题3．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．第3题第4题4．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC＝60°．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B →A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t的值为．三、解答题5．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，∠OAC＝30°，点D是BC的中点，（1）OC＝：点D的坐标为（2）若点E在线段0A上，直线DE把矩形OABC面积分成为2：1，求点E坐标；（3）如图2，点P为线段AB上一动点（与A、B重合），连接DP；①将△DBP沿DP所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BP的长；②以线段DP为边，在DP所在直线的右上方作等边△DPQ，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，请直接写出点Q运动路径的长．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；②请直接写出使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】可证△ABF≌△AC′E（AAS）、△CDE≌△B′DF（AAS），则B′D+DE＝CD+ED＝x，y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高，即可求解．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，∴△ABF≌△AC′E（AAS），∴BF＝C′E，AE＝AF，同理△CDE≌△B′DF（AAS），∴B′D＝CD，∴B′D+DE＝CD+ED＝x，AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，BC＝2＝B′C′，y＝EC′×△AEC′的EC′边上的高＝（2）＝﹣x+，故选：B．2．【分析】根据⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，求出PM＝4，得出圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，即可得到答案．【解答】解：∵⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB于P点，设O1O2交圆O于M，∴PM＝8﹣3﹣1＝4，圆O1与以P为圆心，以4为半径的圆相外切，∴根据图形得出有5次．故选：B．二、填空题3．【分析】利用菱形的面积公式：•AC•BD＝BC•AE，即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴AB＝BC＝5，∵•AC•BD＝BC•AE，∴AE＝，故答案为：，4．【分析】应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；②当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．【解答】解：∵AB是直径，∴∠C＝90°，又∵BC＝2cm，∠ABC＝60°，∴AB＝2BC＝4，AC＝2，则AP＝（4﹣2t）cm，AQ＝t，∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，∴0＜t≤2，①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴，∴，解得t＝3﹣，②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则，故，解得t＝，故答案为：3﹣，．三、解答题5．【分析】（1）在Rt△AOC中，解直角三角形求出OC即可解决问题．（2）设E（m，0）．由题意，分两种情形：S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC或S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC，分别构建方程即可解决问题．（3）①如图1﹣1中，在Rt△DPB中，解直角三角形求出PB即可．②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ′，连接QQ′．证明△Q′DQ≌△BDP（SAS），推出QQ′＝PB，∠DQ′Q＝∠DBP＝90°，推出点Q的运动轨迹是线段QQ′，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵OA＝3，∠OAC＝30°，∴OC＝OA•tan30°＝，故答案为，（，）．（2）设E（m，0）．由题意，S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC或S四边形OEDC＝•（CD+OE）•OC＝•S矩形OABC，∴•（CD+OE）•OC＝×3×或•（CD+OE）•OC＝×3×，∴•（+m）•＝×3×或•（+m）•OC＝×3×，解得，m＝4﹣或2﹣．（3）①如图1﹣1中，∵tan∠OAC＝，∴∠OAC＝30°，∴∠ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBP沿DP所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，∴∠DB'C＝∠ACB＝30°∴∠BDB'＝60°，∴∠BDP＝∠B'DF＝30°，∴BP＝BD•tan30°＝，②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ′，连接QQ′．∵∠Q′DB＝∠QDP＝60°，∴∠Q′DQ＝∠BDP，∵Q′D＝BD，QD＝PD，∴△Q′DQ≌△BDP（SAS），∴QQ′＝PB，∠DQ′Q＝∠DBP＝90°，∴点Q的运动轨迹是线段QQ′，当动点P从点B运动到点A时，QQ′＝AB＝，∴点Q运动路径的长为．6．【分析】（1）用待定系数法进行解答便可；（2）①设出P点的横坐标为m，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程便可；②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，设OM＝x，根据勾股定理求出x值，求得M点坐标，进而求出直线BM与抛物线的交点坐标便可得出其中一个满足条件的P点坐标；再取M关于x轴的对称点K的坐标，进而求得BK与抛物线的交点坐标，便可得另一个满足条件的P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令x＝0，得＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为：y＝，设P（m，），则D（m，），∴DP＝，DE＝m，∴，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∴当△PDE和△BOC相似时，有两种情况：当△PDE∽△BOC时，则，即＝，解得，m＝，∴P（，）；当△PDE∽△COB时，则，即＝，解得，m＝2，∴P（2，4）．综上，当△PDE和△BOC相似时，点P的坐标（，）或（2，4）；②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，如图1，则∠PBA＝∠ABC，OM＝MN，在Rt△BOM和Rt△BNM中，，∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL），∴BN＝BO＝3，设OM＝t，则MN＝MO＝t，CM＝4﹣t，CN＝BC﹣BN＝﹣3＝2，∵MN2+CN2＝MC2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，∴M（0，），设BM的解析式为：y＝mx+（m≠0），代入B（3，0）得，m＝，∴直线BM的解析式为：y＝﹣，解方程组得，，，∴p（，），取M（0，）关于x轴的对称点，K（0，﹣），连接BK，延长BK，交抛物线于点P'，如图2所示，则∠ABP＝∠ABC，设直线BK的解析式为y＝px（p≠0），代入B（3，0）得，p＝，∴直线BK的解析式为：y﹣，解方程组得，，∴P'（，），综上，使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标为（，）或（，）．2020年中考数学压轴题每日一练（5.4）一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的个数有（）①AE＝CF；②EC+CF＝AD；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP 折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP的长为．第3题第4题4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是．三、解答题5．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB的度数为，线段AE、BE、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．6．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB＝×5＝，＝＝，∴OP＝，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝+1＝，∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．2．【分析】①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE＝CF；②由①知，EC+CF＝EC+AE＝AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB＝8，由勾股定理可求出AC＝BC＝4；③由①知DE＝DF；④△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，又EC+CF＝4，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值．【解答】解：①连接CD．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF．说法正确；②∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8，∴AC＝BC＝4．由①知AE＝CF，∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．说法正确；③由①知△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．说法正确；④∵△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，又∵EC+CF＝4，∴可唯一确定EC与EF的值，再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．故选：D．二、填空题3．【分析】①当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，③当BC＝BM＝3时，由折叠的性质得，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：①如图1，当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，∴点M落在CD边上，如图1，DN＝AD＝3，∴四边形APMD是正方形，∴AP＝3，∵AB＝CD＝6，∴BP＝3；②如图2，当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，∴点M落在BC的垂直平分线上，如图2，过M作BC的垂直平分线交AD于H交BC于G，∴AH＝DH＝AD，∵将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，∴AD＝DM，∴DH＝DM，∴∠ADM＝60°，∴∠ADP＝∠PDM＝30°，∴AP＝AD＝，∴PB＝6﹣；③当BC＝BM＝3时，由折叠的性质得，DM＝AD＝3，∴DM+BM＝6，而BD＝＝3，∴DM+BM＜BD，故这种情况不存在，综上所述，BP的长为3或6﹣，故答案为：3或6﹣．4．【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD＝PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD＝PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD＝BC•AC÷AB＝4.8．【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ是⊙F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．∴FC+FD＝PQ，∴CF+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．故答案为4.8．三、解答题5．【分析】（1）证明△ACE≌△ABD，得出CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，即可得出结论；（2）证明△ACE∽△ABD，得出∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，即可得出结论；（3）先判断出BD＝CE，再求出AB＝2，①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝4，进而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，同理：AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，∵点B、D、E在同一直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AEB＝60°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE，故答案为60°，BE＝AE+CE；（2）在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝AC，∠CAB＝45°，同理，AD＝AE，∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴，∠DAE＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴，∴∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，∵点B、D、E在同一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠AEC＝135°，∴∠EBC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝CE，在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝AC＝2，①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四边形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝＝6，∴BD＝BP﹣AP＝4，∴CE＝BD＝2；②当点E在点D下方时，如图④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝4，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝BD＝4，即：CE的长为2或4．6．【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°．∴使∠APB＝30°的点P有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA＝1，OB＝5．∴AB＝4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝2．∴OG＝OA+AG＝3．∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．∴CG＝＝＝2．∴点C的坐标为（3，2）．过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，∵点C的坐标为（3，2），∴CD＝3，OD＝2．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°．∵CP2＝CA＝4，CD＝3，∴DP2＝＝．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D＝P2D＝．∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH＝得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3．∴EA＝3．∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，∴EH＝＝＝∴OP＝∴P（0，）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣）．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．2020年中考数学压轴题每日一练（5.9）一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．第3题第4题4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC ＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．三、解答题5．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．6．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接PA，点P在运动过程中，PA﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．2．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2，可得BF ＝2﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值．【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为＝2﹣故选：D．二、填空题3．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD ＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，∴B′H＝OE＝2.5，∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，∴CG＝B′E＝OH＝＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故答案为：4．4．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO 的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，三、解答题5．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；（2）分A′B＝BC、A′B＝A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形APA′D为平行四边形，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ABC，∵AP＝5x，∴A′P＝AD＝4x，PC＝4﹣5x，∵∠A′PD＝∠ADP，∴A′P∥AB，∴△A′PC∽△ABC，∴，即＝，解得：x＝，∴当点A′落在边BC上时，x＝；（2）当A′B＝BC时，（5﹣8x）2+（3x）2＝32，解得：．∵x≤，∴；当A′B＝A′C时，x＝．（3）Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，∴DH＝PA'＝AD，HE＝B′Q＝EB，∵AB＝2AD+2EB＝2×4x+2×3x＝5，∴x＝，∴A′B′＝QE﹣PD＝x＝；Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，∴B′E＝5x，DE＝5﹣7x，∴cos B＝，∴x＝，∴A′B′＝B′D﹣A′D＝；Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，由（1）有，x＝，∴A′B′＝PA′sin A＝；当A′B′⊥AB时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥BC时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥AC时，x＝，A′B′＝．6．【分析】（1）①由∠ABO＝90°和DB⊥PB可得∠DBA＝∠PBO，结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论．②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，由AD∥OB平行可得∠DAB＝90°，而△ADB∽△OPB可知∠POB＝90°，由已知可求出AD．由Rt△DHO即可计算OD的长，③由△ADB∽△OPB可知，可求AD＝，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大．求出OA即可得到答案．（2）在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，构造△BOP～△POB′，可得＝PA﹣PB′≤AB'，求出AB’即可求出最大值．【解答】解：（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°，∴∠ADB＝∠CDP，又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4，即：，∴△ADB∽△OPB；②如解图（2），过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，∵AD∥OB，∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°，又∵△ADB∽△OPB，∴，∴AD＝，∵四边形ADHB为矩形，∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝，∴OH＝OB+HB＝在Rt△DHO中，OD＝＝＝．③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，∴OA＝5．由②得AD＝，∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，∴OD的最大值为OD过A点时最大，即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝．（2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，∵∠BOP＝∠POB′，＝，∴△BOP～△POB′，∴，∴＝PA﹣PB′≤AB'，∴∴有最大值为AB′，在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝＝，∴AB′＝＝＝，即：点P在运动过程中，PA﹣有最大值为，2020年中考数学压轴题每日一练（5.8）一、选择题1．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°2．如图，P是半圆O上一点，Q是半径OA延长线上一点，AQ＝OA＝1，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR，连接OR．则线段OR的最大值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题3．如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为．第3题第4题4．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．三、解答题5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．6．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，∵∠BAE＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：D．2．【分析】将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，可得ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2，由直角三角形的性质可得EO＝RO，由三角形三边关系可得EO≤PO+EP＝3，即可求解．【解答】解：将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，∴ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2∴EO＝RO，∵EO≤PO+EP＝3∴RO≤3∴OR的最大值＝故选：A．二、填空题3．【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出＝，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，∵CG＝DG，CF＝FB，∴GF＝BD＝，∵AG⊥FG，∴∠AGF＝90°，∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，∴＝，∴＝，∴b2＝2a2，∵a＞0．b＞0，∴b＝a，在Rt△GCF中，3a2＝，∴a＝，∴AB＝2b＝2．故答案为2．4．【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D，∵CD⊥AP，∴∠ADC＝90°，∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°，∴BC＝AB•sin60°＝4，AC＝AB•cos60°＝4，∴AO'＝CO'＝2，∴BO'＝＝＝2，∵O′D+BD≥O′B，∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝2﹣2，故答案为2﹣2．三、解答题5．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；（2）根据圆周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）设CD＝k，BC＝2k，根据勾股定理得到BD＝＝k＝10，求得＝2，BC＝AC＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．6．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．2020年中考数学压轴题每日一练（5.7）一、选择题1．已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的一部分如图所示，则a +b +c 取值范围是（ ）A ．﹣2＜a +b +c ＜0B ．﹣2＜a +b +c ＜2C ．0＜a +b +c ＜2D ．a +b +c ＜22．如图所示，矩形OABC 中，OA ＝2OC ，D 是对角线OB 上的一点，OD ＝OB ，E 是边AB 上的一点．AE ＝AB ，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过D ，E 两点，交BC 于点F ，AC 与OB 交于点M ．EF与OB 交于点G ，且四边形BFDE 的面积为．下列结论：①EF ∥AC ；②k ＝2；③矩形OABC 的面积为；④点F 的坐标为（，）正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题 3．如图，二次函数y ＝（x +2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式（x +2）2+m ≤kx +b 的x 的取值范围是 ．4．如图，AE=4，以AE 为直径作⊙O ，点B 是直径AE 上的一动点，以AB 为边在AE 的上方作正方形ABCD ，取CD 的中点M ，将△ADM 沿直线AM 对折，当点D 的对应点D ´落在⊙O 上时，BE 的长为 .三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，有不重合的两个点Q （x 1，y 1）与P （x 2，y 2）．若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“折距”，记做D PQ ．特别地，当PQ 与某条坐标轴平EA OB D CM D´行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”D PQ＝3．（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则D AO＝，D BO＝．②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出D CO的最小值．（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”D EF的最小值．6．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在AD上，ED＝3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF＝，PF＝．（2）如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．（3）如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．①当外接圆⊙O与四边形ABCE的边BC或CE相切时，请求出符合要求的t的值；②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．【答案与解析】一、选择题1．【分析】函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下可知a小于0，由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧，当x＝1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示出即可得出答案．【解答】解：由图象可知：a＜0，图象过点（0，1），所以c＝1，图象过点（﹣1，0），则a﹣b+1＝0，当x＝1时，应有y＞0，则a+b+1＞0，将a﹣b+1＝0代入，可得a+（a+1）+1＞0，解得a＞﹣1，所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0．又a+b+c＝2a+2，∴0＜a+b+c＜2．故选：C．2．【分析】设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，证明＝即可判断①；表示出D和E的坐标，根据系数k的几何意义求得k的值即可判断②；求得B的坐标，求得矩形OABC的面积即可判断③；求得F的坐标即可判断④．【解答】解：设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，∴B（a，n），∵E，F在反比例函数y＝上，∴ab＝mn，∴BC•AE＝CF•AB，∴＝，∴EF∥AC，故①正确；∵OD＝OB，AE＝AB，∴D（a，n），E（a，n），∵OA＝2OC，∴a＝2n，∴B（2n，n），D（n，n），E（2n，n），∵反比例函数y＝经过点F，E，∴k＝mn＝2n•n，∴m＝n，∴F（n，n），∴BF＝2n﹣n＝n，BE＝n，∵四边形BFDE的面积＝S△BDF+S△BDE＝，。