决胜2021年上海市中考数学压轴题全揭秘精品试题三

专题19 计算题专项训练1．(2020·上海中考真题)解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩【答案】2＜x＜5．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【详解】解：由题意知：1076713①②>+⎧⎪⎨+-<⎪⎩x xxx，解不等式①，移项得：3x＞6，系数化为1得：x>2，解不等式②，去分母得：3x-3＜x+7．移项得：2x<10，系数化为1得：x<5，∴原不等式组的解集是2＜x＜5．故答案为：2＜x＜5．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2．(2020·上海中考真题)计算：1327(12)﹣2+|3．【答案】0．【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【详解】原式=133(3)+2﹣4+32﹣4+3=0．【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．3．(2020·上海九年级一模)计算：()2232cos 453tan 302sin 60cos60cot 30-︒+︒︒-︒-︒【答案】2-【分析】利用特殊锐角三角函数值计算求解即可.【详解】解：原式=223232122⎛-+ ⎝⎭=-⨯--⎝⎭ 【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的计算，熟知特殊锐角三角函数值是解题的关键. 4．(2020·上海大学附属学校九年级三模)解方程组：222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩【答案】121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 【分析】将第二个方程进行因式分解得到()(2)0+-=x y x y ，然后令因式2x y -和因式x y +分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知： 222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①② 对方程②进行因式分解得：()(2)0+-=x y x y即20x y -=或0x y +=∴原方程组化为2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或 260x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩ 故原方程组的解为：1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.5．(2020·上海九年级二模)解不等式组：3(2)8(6)121123x x x x -≤-+⎧⎪+-⎨<+⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1＜x ≤2，数轴见解析【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：()()3286121123x x x x ⎧--+⎪⎨+-<+⎪⎩①②，解不等式∴，得：2x ，解不等式∴，得：1x >-，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为12x -<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．6．(2020·上海九年级二模)先化简，再求值：2224112a a a a a -÷----，其中2a =． 【答案】12a -． 【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再将a 的值代入计算即可．【详解】解：原式=2(1)(1)12(2)2a a a a a a +-⨯---- =122a a a a +--- =12a -，将2a =代入上式得，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握基本运算法则是解题的关键．1．(2020·上海九年级二模)解不等式组：26233122x x x x ⎧⎛⎫-<- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎪-⎪⎩并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1≤x ＜3，见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式①，得：x ＜3，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x ＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．(2020·上海九年级二模)计算：12012()122tan 601)3π-+--+︒-（【答案】4【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】原式)1=2121-+-3=-3=-=4．【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，分数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．(2020·上海九年级二模)计算：110311)183-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭． 【答案】【分析】先利用零次幂的运算法则，绝对值的意义，负整指数的运算法则以及分数指数幂的运算法则进行化简，再进行加减运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题是实数的混合运算，考查了零次幂的运算法则，绝对值的意义，负整指数的运算法则以及分数指数幂的运算法则，掌握基本运算法则是解题的关键．4．(2020·上海九年级二模)方程组22205x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是_______． 【答案】12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩ 【分析】先将y 用含x 的式子表示，再代入解一元二次方程即可．【详解】22205x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由①得：2y x =③将③代入②得：()2225x x +=解得：1x =± ，将1x =±代入③得： 2y =±∴12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩ 故答案为：12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，掌握代入消元是解题关键．5．(2020·上海九年级二模)解方程组：222;1.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 【分析】用代入法解方程.【详解】，由①得x=2+y ③，将③代入②得22(2(2))1y y y y -+-=+， 解得13y =，21y =-，将13y =、21y =-分别代入③，得 15=x ，21x =，∴原方程组的解是 121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. 【点睛】此题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键. 6．(2020·上海九年级二模)解方程组：222,{230.x y x xy y -=--=【答案】1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩【详解】x 2-2xy -3y 2="0"(x -y)2-4y 2=0又因：x -y=2代入上式4-4y 2=0y=1或y=-1再将y=1、y=-1分别代入x -y=2则 x=1、x=3∴1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩ 7．(2020·上海九年级一模)解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②， 由∴得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩，故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．8．(2020·上海九年级一模)计算：24sin 30tan 60cot 30tan45--【分析】把特殊的锐角三角函数值代入计算即可．21432⨯-=；【点睛】本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，掌握特殊的锐角三角函数值是解题的关键.9．(2020·上海)计算：22sin 30tan 60cot 45cos 60cos30sin 45︒︒︒︒︒︒⋅-+-+1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【详解】解：原式＝11122222⨯-+⎛- ⎝⎭22． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的相关运算，牢记特殊三角函数值是解题的关键. 10．(2020·上海市民办协和双语学校九年级一模)计算：13tan 3045cos60︒︒︒-【答案】1．【分析】将特殊角的三角函数值代入，根据实数的运算法则求值即可.【详解】原式=131221=1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值、熟练掌握实数的运算法则是解题的关键. 11．(2020·上海)计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-【答案】52【分析】根据特殊角的三角函数值即可代入求解.【详解】解：原式222331222+⎛=+- ⎝⎭⨯ 132=+52=【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 12．(2020·上海九年级一模)计算：2tan 45cos60cot 602sin 30︒-︒+︒︒【答案】56【分析】先将特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后根据实数混合运算的法则进行计算即可. 【详解】解：2tan 45cos60cot 602sin 30︒-︒+︒︒2112122-=+⎝⎭⨯ 1123=+ 56=【点睛】本题考查的是特殊三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 13．(2020·上海九年级一模)已知：::2:3:5a b c =.(1)求代数式323a b c a b c-++-的值； (2)如果324a b c -+=，求,,a b c 的值.【答案】(1)1；(2)6,9,15a b c ===【分析】(1)设a=2k ，b=3k ，c=5k (k 0)≠，代入代数式323a b c a b c-++-，即可求出答案； (2)把a 、b 、c 的值代入，求出即可．【详解】∵::2:3:5a b c =∴设a=2k ，b=3k ，c=5k (k 0)≠，(1)36358=1234958a b c k k k k a b c k k k k-+-+==+-+-；(2)∵324a b c -+=∴6k -3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．14．(2020·上海九年级一模)2sin60°•tan45°+4cos 230°﹣tan60°【答案】3【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【详解】2sin60°•tan45°+4cos 230°﹣tan60°＝×1+4×2＝3．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 15．(2020·上海九年级一模)计算：2cos30°+tan45°-2sin30°-cot30°【答案】0【分析】将特殊角的三角函数值代入即可【详解】2cos30°+tan45°-2sin30°-cot30°+1-2×12-1=0【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 16．(2020·上海九年级二模)解方程： 24211422xx x x ．【答案】x ＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：4x ﹣2x ﹣4＝x 2﹣4﹣x +2，即x 2﹣3x +2＝0，解得：x ＝1或x ＝2，经检验x ＝2是增根，所以，分式方程的解为x ＝1．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17．(2020·上海九年级一模)2318-【答案】-3.【分析】根据绝对值的性质，二次根式的混合运算，进行运算即可1243-+=-【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则18．(2020·上海九年级二模)解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．19．(2020·上海九年级三模)解方程：213221x x x x --=-∴ 【答案】11x =-∴213x = 分析：首先21x y x-=，然后将方程转化为y 的一元二次方程，从而求出y 的值，然后根据y 的值求出x 的值． 详解：设21x y x-=，则原方程化为2230y y --=∴ 解得123,1y y ==-∴ 当13y =时，得1x =- ， 当11y =-时，得13x =∴ 经检验，11x =-∴213x =是原方程的解． 点睛：本题主要考查的是分式方程的解法以及换元思想的应用，属于中等难度的题型．学会换元思想是解题的关键．20．(2020·上海九年级二模)解不等式组31222236255134x x x x x --+⎧+<⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】47x ≥，数轴见解析 【分析】本题可根据不等式组分别求出x 的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解 【详解】解：31222,2362551,34x x x x x --+⎧+<⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩①② 解不等式①，得1x <． 解不等式②，得47x ≥． 所以不等式组的解集为47x ≥． 将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题可分别解完不等式后可以利用数轴或口诀“比大的小，比小的大，中间找”得到最终结果，此题考查利用数形结合解不等式组，是对学生基本运算方法、运算法则、基本性质的运用能力的考查．21．(2020·上海九年级二模)先化简，再求值：22111121x x x x x x --÷+--+，其中x． 【答案】11x x -+，﹣3【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】 解：原式21(1)1(1)(1)1x x x x x x -=-++-- 111x x x =-++ 11x x -=+，当1x =时，原式==3=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．。

专题09 面积的存在性问题在求面积时，除了最基本的面积公式外，还需要注意三角形的面积比与底边之比、高之比的关系．在压轴题中，往往是以函数为背景，此时则还需掌握好在坐标系中常用的割补法．模块一：固定面积的存在性问题1、 知识内容：固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出即可．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出相应的固定面积；（2） 找到待求图形合适的底和高；（3） 列出方程，解出相应变量；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．例1.(2020黄浦区一模)已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2240y mx mx m =-+≠与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，且AB =6.(1)求这条抛物线的对称轴及表达式；(2)在y 轴上取点E (0,2)，点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果10OEFB S =四边形，求点F 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.例2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(8，0)，点B 在y 轴的正半轴上，且4cot 3OAB ∠=，抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点． (1)求b 、c 的值；(2)过点B 作CB ⊥OB ，交这个抛物线于点C ，以点C 为圆心，CB 为半径的圆记作⊙C ， 以点A 为圆心，r 为半径的圆记作⊙A ．若⊙C 与⊙A 外切，求r 的值；(3)若点D 在这个抛物线上，AOB ∆的面积是OBD ∆面积的8倍，求点D 的坐标．例3.如图，二次函数的图像过点A(6x=-，顶点为C，点-，0)、B(0，6)，对称轴为直线2B关于直线2x=-的对称点为D．(1)求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；(2)联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求AE的长；(3)在二次函数的图像上是否存在点P，能够使PCA BAC∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．模块二：有关面积比的存在性问题1、知识内容：有些问题是关于两个未知面积比的，此类问题的难度稍大．一般都需要先通过公共边或公共高，将面积比转化为线段之比，从而进一步列出方程解决问题．2、解题思路：（1）根据题目条件，用函数表示出相关面积；（2） 利用面积比的条件列出方程并求解；（3） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．例1.(2019上海中考真题)如图1，AD 、BD 分别是△A BC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE 上AD ，交BD 的延长线于点E(1)求证：∠E ＝12∠C ； (2)如图2，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值；(3)如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADE ABC SS 的值.例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，AC = 3．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．例3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a ，3)(其中a > 4)，射线OA 与反比例函数12y x=的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB // x 轴，AC // y 轴．(1)当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；(2)联结BO ，当AB = BO 时，求点A 的坐标；(3)联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S △△的值； 如果变化，请说明理由．模块三：隐藏的梯形的存在性问题1、 知识内容：若ABC ADC S S ∆∆=，且B 和D 在AC 的同侧，易证A 、B 、C 、D 构成梯形(或平行四边形)，其中AC //BD ．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，找出相应的平行关系；（2）利用已知直线的解析式求出未知直线；（3）解出相应的点；（4）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】在平面直角坐标系中(如图)，已知抛物线与x轴交于点A(1-，0)和点B，与y轴交于点C(0，2-)．(1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；(3)点D为该抛物线的顶点，设点P(t，0)，且t> 3，如果BDP∆和CDP∆的面积相等，求t 的值．1.抛物线()2=++与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1，4-)．y x m k(1)求A、B两点的坐标；(2)设直线AM与y轴交于点C，求BCM∆的面积；(3)在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB = S△BCM，如存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A(1-，0)和点B(3，0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5，6)．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在x轴上，且AEC∆相似，求点E的坐标；∆和AED(3)若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．3.如图，抛物线2=+-经过直线3y x bx c=-与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与xy x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC : S△ACD = 5 : 4的点P的坐标；(3)点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．4.如图，已知抛物线22=-+-的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，Cy x tx t22是线段AB上一点(不与A、B重合)，过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线于点P．(1)若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；(2)若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC = CP，求四边形OEPD的面积S关于t的函数解析式，并写出定义域；(3)在(2)的条件下，当ADE∆的面积等于2S时，求t的值．。

2012-2021年上海中考数学真题解答题第25题201225．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠=90AOB，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当=1BC 时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设=BD x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚：奥孚升学众号公众号：奥孚升公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201325．在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =，设AP x BQ y ==，．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果4EF EC ==，求x的值．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升孚升学公众号：奥孚升公众公众号：奥孚升学号：奥孚升学公众号：奥孚公众号：奥孚升公众号：奥孚升学图10备用图公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号201425．如图,已知在平行四边形ABCD 中,AB=5,BC=8,cosB=45,点P 是边BC 上的动点,以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点EF(点F 在点E 的右侧),射线CE 与射线BA 交于点G.(1)当圆C 经过点A 时，求CP 的长；(2)联结AP ，当AP//CG 时，求弦EF 的长；(3)当AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长.201525．已知，如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点,P Q 分别在线段,OC CD 上，且,DQ OP AP =的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C ，D不重合），420,cos 5AB AOC =∠=设OP x =，CPF 的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE 是直角三角形时，求线段OP的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚公众号201625.如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒，15AD =，16AB =，12BC =，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且AGE DAB ∠=∠；（1）求线段CD 的长；（2）如果AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、D 重合），设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公公众学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学学奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号孚公众号201725．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图9，已知O e 的半径长为1，AB 、AC 是O e 的两条弦，且AB AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升学公众号公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学升学公众号公众号：（1）求证：OAD ABD V :V ；（2）当OCD V 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；（3）记AOB V 、AOD V 、COD V 的面积分别为1S 、2S 、3S ，如果2S 是1S 和3S 的比例中项，求OD 的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：孚升学孚升学奥孚升学公众号：奥孚升学孚公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升学公众号孚升学公众：奥孚升学公众号公众号：奥孚升201825．（14分）已知⊙O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD ⊥AC ，垂足为点F ．（1）如图1，如果AC=BD ，求弦AC 的长；（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值；（3）联结BC 、CD 、DA ，如果BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正（n +4）边形的一边，求△ACD的面积．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号201925.（14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）如图10，AD 、BD 分别是A4BC 的内角∠BAC 、∠4BC 的平分线，过点A 作AE 上AD ，交BD 的延长线于点E.（1）求证：∠E ＝21∠C ；（2）如图11，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ABCADES S △△的值.孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学孚升学众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：202025.如图，△ABC 中，AB =AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ．（1）求证：∠BAC =2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小；（3）当AD =2，CD =3时，求边BC的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：孚升学孚升学公众公众公众号：奥孚升学号：奥孚升公众号：奥孚升学202125.如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求ADBC的值；（2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：学孚升号：奥孚升学公众号：奥孚升学：公众号：奥孚升学公众号：公众号：奥孚孚升学公公众号公众奥孚升学学号：奥孚升孚升学公众号公众号：。

2012-2021年上海中考数学真题解答题第24题201224．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE，1=2tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA =∠OAC 时，求t的值．公众号：奥孚升学公众号：奥孚：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学众号：奥孚升学众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201324．如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2(0y ax bx a =+>）经过点A和x 轴正半轴上的点B ，AO OB ==2，0120AOB ∠=．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：孚升学公众号：奥奥孚升学公众公众奥孚升学公众号：奥孚公众号：奥孚升升学公众号公众号：（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图9公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201424．在平面直角坐标系中(如图),已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴相较于点C (0，－2).(1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；(2)点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；(3)点D 为该抛物线的顶点，设点(),0P t ，且3t >,如果BDP 和CDP 的面积相等,求t 的值.公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥公众号：奥孚升：奥孚升学公众号学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201524．已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴（XRS ）相交于点A ，与y 轴相交于点B ，AB=P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ，设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长；（3）当3tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．201624.如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E的坐标；公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学号：奥孚升学奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201724．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =-++经过点()2,2A ，对称轴是直线1x =，顶点为B ．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公公众号公众：奥孚升学公众号：奥孚升升学公众号公众号：（2）点M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m ，联结AM ，用含m 的代数式表示AMB ∠的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C 在x 轴上．原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q ，如果OP OQ =，求点Q 的坐标．行计算、画（作）图行计算、画（作）图计合理、有效的运算途径程，合理解释推理演绎的正确性算、画（作）图公众号升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201824．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和点B （0，），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众孚升学学：奥孚升孚升学公众号众号：如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：201924.（12分，第（1）小题满分4分，第（2）①小题满分3分，第（2）②小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中（如图9），已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A.（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；②平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形QABC 是梯形，求新抛物线的表达式.公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：202024.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =﹣12x +5与x 轴、y 轴分别交于点A 、B (如图)．抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)经过点A ．（1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线y =ax 2+bx 经过线段AB 上的另一点C ，且BC（3）如果抛物线y =ax 2+bx 的顶点D 位于△AOB 内，求a的取值范围．公众号：奥孚升学公众号：奥孚升：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号公众号：202124.已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q．公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公公众号：孚升学公众号：奥孚公众公众众号：奥孚升学公众号：奥孚升升学（1）求抛物线的解析式；（2）点A 在直线PQ 上且在第一象限内，过A 作AB x 轴于B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角ABC ．①若A 与Q 重合，求C 到抛物线对称轴的距离；②若C 落在抛物线上，求C的坐标．学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥公众号：奥孚升公众号：奥孚升学公众号公众号：奥孚升学孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚孚升学公众号：奥孚升学公众号：公众号公众公众号：奥孚升学：奥孚升学公众号：奥孚升公众号：奥孚升学。

专题20 证明题专项训练1．(2018·上海中考真题)已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP，DF ⊥AP ，垂足分别是点E，F，(1)求证：EF=AE，BE，(2)联结BF ，如果AF BF =DF AD．求证：EF=EP，【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BF DF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP，【详解】(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE ⊥AP，DF ⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE 和△DAF 中12BEA AFD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE，AF=AE，BE，(2)如图，∵AF DFBF AD=，而AF=BE，∴BE DFBF AD=，∴BE BFDF AD=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP，【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.2．(2020·上海九年级二模)如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且CD AE AC AG⋅=⋅．求证：(1)ABC∽AGE；(2)2AB GD DE=⋅【分析】(1)只要证明AB ACAG AE=，又∠BAC=∠GAE，即可证明，ABC∽△AGE；(2)只要证明，ADG∽△EDA，可得AD DGDE AD=，推出AD2=DE•DG即可证明；【详解】证明：(1)，CD AE AC AG ⋅=⋅，，CD AC AG AE=， ，四边形ABCD 是菱形，，AB CD =， ，AB AC AG AE =，，BAC GAE ∠=∠， ，ABC AGE ∽△△；(2)，ABC AGE ∽△△，，ACB E ∠=∠， ，四边形ABCD 是菱形，，AB AD =，//BC AD ，，ACB CAD E ∠=∠=∠，，ADG ADE ∠=∠，，ADG EDA ∽△△，，AD DG DE AD=， ，2AD DE DG =⋅，，2AB DE DG =⋅．【点睛】本题考查相似三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．(2020·上海九年级三模)已知：如图，点E 为□ABCD 对角线AC 上的一点，点F 在线段BE 的延长线上，且EF=BE ，线段EF 与边CD 相交于点G ．(1)求证：DF //AC ；(2)如果AB=BE ，DG=CG ，联结DE 、CF ，求证：四边形DECF 是矩形．【分析】(1)根据平行四边形的性质得到BO=DO ，根据三角形的中位线定理即可得到结论；(2)根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，由平行线的性质得到∠BAE=∠GCE ，求得∠GEC=∠GCE ，得到GE=CG ，推出四边形DECF 是平行四边形，得到DG=CG=FG=GE ，于是得到结论．【详解】证明：(1)四边形ABCD 是平行四边形，BO DO ∴=．EF BE =，OE ∴是BDF 的中位线． //DF OE ∴，即//AC DF ．(2)AB BE =，BAE BEA ∴∠=∠．四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴． BAE GCE ∴∠=∠．又BEA GEC ∠=∠，GEC GCE ∴∠=∠． GE CG ∴=．//DF AC ，∴△DFG ∽△CEG ，DG FG CG GE∴=． DG CG =，FG GE ∴=． ∴四边形DECF 是平行四边形．DG CG =，FG GE =，GE CG =． DG CG FG GE ∴===．DC EF ∴=． ∴四边形DECF 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．4．(2020·上海大学附属学校九年级三模)已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB ；(2)DE·DC ＝AE·BD ．【分析】(1)根据三角形全等的判定条件找到相应的条件：AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，即可证明；(2)根据题意证明△ADE∽△CBD，对应边成比即可求证．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB，∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD，(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，∴△ADE∽△CBD，∴DE︰BD＝AE︰CD，∴DE·DC＝AE·BD．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，相似三角形的证明及性质．5．(2020·上海九年级二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．(1)求证：四边形ABCD为菱形；(2)如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；(2)先由∠AEB＝∠CEB＝12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽△F AE得FC CDFA AE，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵∠AEB＝∠CEB＝12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△F AE，∴FC CD FA AE=，∵CD=AD，AE=CE，∴FC ADFA CE=，即EC•CF=AF•AD．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握判定定理．6．(2020·上海九年级二模)如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF＝12∠BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F．(1)求证：△ABE∽△FDA；(2)联结BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF．【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠HDF＝12∠HDC．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．求得∠BAD＝∠CDH．等量代换得到∠BAE＝∠F，同理∠DAF＝∠E，于是得到结论；(2)作AP平分∠DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到∠DAP＝12∠BAD，求得∠HDF＝∠DAP，推出DF∥AP，同理BE∥AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论．【详解】解：(1)∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠DAF+∠BAE ＝12∠BAD ， ∵DF 平分∠HDC ，∴∠HDF ＝12∠HDC ， 又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAD ＝∠CDH ，∴∠HDF ＝∠EAF ，∴∠HDF ＝∠DAF+∠BAE ，又∵∠HDF ＝∠DAF+∠F ，∴∠BAE ＝∠F ，同理：∠DAF ＝∠E ，∴△ABE ∽△FDA ；(2)作AP 平分∠DAB 交CD 于点P ，∴∠DAP ＝12∠BAD ， ∵∠HDF ＝12∠CDH ，且∠BAD ＝∠CDH ∴∠HDF ＝∠DAP ，∴DF ∥AP ， 同理：BE ∥AP ，∴DF ∥BE ，∵△ABE ∽△FDA ，∴=AD DF BE AB，即BE•DF ＝AD•AB ， 又∵DF 2＝AD•AB ，∴BE ＝DF ，∴四边形DFEB 是平行四边形，∴BD ＝EF ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．(2020·上海杨浦·九年级二模)如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．(1)如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；(2)如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【分析】(1)根据正方形性质及ON＝OM，求出MN∥CD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出△AOM≌△DON即可得到平行四边形DMNE是菱形；(2)根据MN∥CD得到AN AMNC ME=，再由EN⊥DC得到EN∥AD，AC DCAN DE=，再由AB∥DC，得到AM ABME DE=，即可得到AN ACNC AN=，即为所求．【详解】证明：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴ON OMOC OD=，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON(SAS)，∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；(2)如图2，∵MN∥CD，∴AN AM NC ME=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴AC DC AN DE=，∵AB∥DC，∴AM ABME DE=，∴AN ACNC AN=，∴AN2＝NC•AC．【点睛】此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大．1．(2020·上海九年级二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD 为一边作△ADE ，满足AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ，联结EC ．(1)求证：CA 平分∠DCE ；(2)如果AB 2＝BD•BC ，求证：四边形ABDE 是平行四边形．【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠ACB ，证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到∠B ＝∠ACE ，根据角平分线的定义证明结论；(2)根据相似三角形的判定定理得到△ABD ∽△CBA ，得到∠BAD ＝∠ACB ，分别证明AE ∥BD ，AB ∥DE ，根据平行四边形的判定定理证明．【详解】(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠B ＝∠ACE ，∴∠ACB ＝∠ACE ，∴CA 平分∠DCE ；(2)证明：∵AB 2＝BD•BC ，∴AB BC ＝BD AB ， 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBA ，∴∠BAD ＝∠ACB ，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠CAE ＝∠ACB ，∴AE ∥BD ，∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AB∥DE，∵AE∥BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．(2020·上海九年级二模)已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．(1)求证：AD＝DE；(2)过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．【分析】(1)根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；(2)根据平行线分线段成比例定理得到CE BEEF DE=，BE AEDE CE=，得到CE AEEF CE=，整理得到CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．【详解】证明：(1)∵BC2＝CE•CA，∴BC CACE BC=，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；(2)过点D作AC的垂线，交AC于点F，如图，∵DF ⊥AC ，AC ⊥BC ，∴∠DFE ＝∠BCA ＝90°，∴DF ∥BC ，∴CE BE EF DE=， ∵DC ∥AB ，∴BE AE DE CE =，∴CE AE EF CE =，∴CE 2＝AE •EF ， ∵AD ＝DE ，DF ⊥AC ，∴AF ＝EF ，∴CE 2＝AE •AF ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．(2020·上海九年级二模)已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE ＝AB ，联结DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．(1)求证：BG ＝GF ；(2)如果AC ＝2AB ，点F 是DE 的中点，求证：AH 2＝GH •BH ．【分析】(1)由平行四边形的性质可得AB ＝CD ＝AE ，AB ，CD ，可证四边形ACDE 是平行四边形，可得1BG AB GF AE==，可得结论； (2)由“SAS ”可证，BEF ，，DEA ，可得，EBF ＝，EDA ，通过证明，AHG ，，BHA ，可得结论．【详解】证明：(1)，四边形ABCD 是平行四边形，，AB ＝CD ，AB ，CD ，，AB ＝AE ，，AE ＝CD ，，四边形ACDE 是平行四边形，，AC ，DE ，，1BG AB GF AE==，，BG ＝GF ； (2)，AB ＝AE ，，BE ＝2AE ，，AC ＝2AB ，，BE ＝AC ，，四边形ACDE 是平行四边形，，AC ＝DE ，，DE ＝BE ，，点F 是DE 的中点，，DE ＝2EF ，，AE ＝EF ，，DE ＝BE ，，E ＝，E ，AE ＝EF ，，，BEF ，，DEA (SAS )，，，EBF ＝，EDA ，，AC ，DE ，，，GAH ＝，EDA ．，，EBF ＝，GAH ．，，AHG ＝，BHA ，，，AHG ，，BHA ，，AH GH BH AH=．，AH 2＝GH •BH ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用相似三角形判定和性质是本题的关键．4．(2020·上海九年级二模)如图，已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AO 平分∠BAC ．点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，满足AM ＝CN ．(1)求证：AB ＝AC ；(2)联结OM 、ON 、MN ，求证：MN OM AB OA=．【分析】(1)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；(2)联结OB ，OM ，ON ，MN ，首先证明BOM AON ≅，然后再证明NOM BOA ，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：(1)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，如图所示：∵AO 平分∠BAC ．∴OD ＝OE ．222222,AD AO OD AE AO OE =-=-， AD AE ∴=．,OD AB OE AC ⊥⊥，2,2AB AD AC AE ∴==， ∴AB ＝AC ；(2)联结OB ，OM ，ON ，MN ，如图所示，∵AM ＝CN ，AB ＝AC ∴BM ＝AN ．∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠BAO ．∵∠BAO ＝∠OAN ，∴∠B ＝∠OAN ，∴△BOM ≌△AON (SAS )，∴∠BOM ＝∠AON ，OM ＝ON ，∴∠AOB ＝∠MON ，∴△NOM ∽△BOA ， ∴MN OM AB OA=． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5．(2020·上海九年级二模)如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上(点F 与点C 、D 不重合)，BE EF ⊥，且45ABE CEF ∠+∠=︒．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)联结BD ，交EF 于点Q ，求证：DQ BC CE DF ⋅=⋅．【答案】(1)四边形ABCD 是正方形(过程见详解)(2)DQ BC CE DF ⋅=⋅(过程见详解)【分析】(1)本题借助辅助线利用45ABE CEF ∠+∠=︒，45FEM CEF ∠+∠=︒，找出∠DAC=45°得到DA=DC ，即可证明，(2)本题在(1)的条件下证明△CBE ~△DFQ ，即可求证．【详解】(1)分别作EP ⊥BC ，EM ⊥CD ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABE=∠BEP ，又BE ⊥EF ，∴∠BEP+∠FEP=∠FEP+∠FEM=90°，∴∠BEP =∠FEM ，∵45ABE CEF ∠+∠=︒，∴45BEP CEF ∠+∠=︒，∴45FEM CEF ∠+∠=︒， 即∠CEM=45°，∴∠DAC=45°，∴DA=DC ，∴矩形ABCD 为正方形．(2)由(1)得：∠QDF=∠BCE=45°，45ABE EBQ ∠+∠=︒，∵45ABE CEF ∠+∠=︒，∴CEF EBQ ∠=∠，∴4545CEF EBQ ∠+=∠+， 即∠EBC=∠DFQ(三角形外角等于与其不相邻两内角和)，∴△CBE ~△DFQ ，∴DF DQ BC EC= ，∴DF ⨯EC=DQ ⨯BC ， 即DQ BC CE DF ⋅=⋅．【点睛】此题从特殊四边形下手，涵盖知识点包括相似三角形的证明及性质．6．(2020·上海九年级二模)已知：△ABC ，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上(点E 不与点A 、B 重合)，点F 在边AC 上，联结DE 、DF ．(1)如图1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；(2)如图2，当∠EDF =45°时，求证：22DE BE DF CF=．【分析】(1)连接AD ，证△BDE ≌△ADF (ASA )，即可得出结论；(2)证明△BDE ∽△CFD ．得出BE BD DE CD CF DF ==，得出2()BE BD DE CD CF DF⋅=，由BD ＝CD ，即可得出结论．【详解】(1)连接AD ，如图1所示：在Rt △ABC 中，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠C =45°．∵点D 是边BC 的中点，∴AD 12=BC =BD ，AD ⊥BC ，∠BAD =∠CAD =45°， ∴∠B =∠CAD ．∵∠EDF =90°，∴∠ADF +∠ADE =90°∵∠BDE +∠ADE =90°，∴∠BDE =∠ADF ， 在△BDE 和△ADF 中，B CAD BD AD BDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△ADF (ASA )，∴BE =AF ；(2)∵∠BDF =∠BDE +∠EDF ，∠BDF =∠C +∠CFD ，∴∠BDE +∠EDF =∠C +∠CFD ．又∵∠C =∠EDF =45°，∴∠BDE =∠CFD ，∴△BDE ∽△CFD ， ∴BE BD DE CD CF DF ==，∴2()BE BD DE CD CF DF⋅=， 又∵BD =CD ，∴22DE BE DF CF=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．7．(2020·上海九年级二模)如图，已知四边形ABCD 菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB ⊥，垂足为点H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G ．(1)求证：12DHO BCD ∠=∠； (2)求证：2HG AE DE CG =．【分析】(1)(1)先根据菱形的性质得OD=OB ，AB ∥CD ，BD ⊥AC ，则利用DH ⊥AB 得到DH ⊥CD ，∠DHB=90°，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH=OD=OB ，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO ，然后利用等角的余角相等证明结论；(2)根据//AB CD ，推出12OH OG HG ==，再证AED CGO ∆∆∽，即可推出••OG AE CG DE =，即可证出结论.【详解】(1)∵四边形ABCD 是菱形，//,,,AB CD AB CD AC BD DO BO ∴=⊥=，12ACD BCD ∠=∠， DH AB ⊥，90DHA DHB ∴∠=∠=︒，//AB CD ，90DHA HDC ∴∠=∠=︒，90BDH BDC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒，90ACD BDC ∴∠+∠=︒，90,DHB DO BO ∴∠=︒=，OD OH ∴=，BDH DHO ∴∠=∠，12DHO BCD ∴∠=∠．(2)//AB CD ，1HO OB OG OD ∴==，12OH OG HG ∴==， AD CD =，DCA DAC ∴∠=∠，,AED HDC DCA HGC HDC DHG ∠=∠+∠∠=∠+∠，又DHO DCA ∠=∠，AED HGC ∴∠=∠，AED ∴∆，CGO ∆，OG CG DE AE ∴=，••OG AE CG DE ∴=，1••2HG AE DE CG ∴=， ∴2HG AE DE CG =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟记个性质定理是解题的关键．8．(2020·上海九年级二模)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，过点E 作AC 的垂线交边BC 于点F ，与AB 的延长线交于点M ，且AB AM AE AC ⋅=⋅．求证：(1)四边形ABCD 是矩形；(2)2DE EF EM =⋅．【分析】(1)由AB AM AE AC ⋅=⋅可得AB AE AC AM=，又∠CAB=∠EAM ，从而推出△ABC ∽△AEM ，继而推出∠ABC=∠AEM=90°，从而可得出结论；(2)先证明△EFB ∽△EBM ，从而推出EB EF EM EB=，得出2EB EF EM =⋅，又DE=BE ，从而可得出结果．【详解】证明：(1)∵AB AM AE AC ⋅=⋅，∴AB AE AC AM=， 又∠CAB=∠EAM ，∴△ABC ∽△AEM ，∴∠ABC=∠AEM=90°，又四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为矩形；(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AE=BE=DE=CE ，∴∠EAB=∠EBA ，又∠EAB+∠M=90°，∠EBA+∠EBF=90°∴∠M=∠EBF ， 又∠FEB=∠BEM ，∴△EFB ∽△EBM ，∴EB EF EM EB=， ∴2EB EF EM =⋅，∴2DE EF EM =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，综合运用基本性质进行推理是解题的关键．9．(2020·上海九年级二模)如图，E F 、分别是正方形ABCD 的边DC CB 、的中点，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，联结AQ DF 、．(1)求证：AE DF ⊥；(2)设123,,,CEQ AED EAQ S S S S S S ∆∆∆===，求证123S S S +=．【分析】(1)先说明△ADE ≌△DCF,然后再利用同角的余角相等以及垂直的定义即可证明；(2)先证△ADE ∽△ECQ ，得出1 2QE CE DE AE AD AD ===，进而可得△AEQ ∽△ADE ∽△ECQ ，然后根据相似三角形的性质即可证明．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AD=DC ，∠ADE=∠DCF=90°在△ADE 和△DCF 中AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△DCF (SAS )∴∠EAD=∠CDF∵∠AED+∠EAD=90°∴∠AED+∠CDF=90°∴AE ⊥DF ；(2)∵∠ADE=∠C ，∠CEQ=∠EAD ，∴△ADE ∽△ECQ∵E 是CD 的中点∴1 2QE CE DE AE AD AD ===， ∵∠ADE=∠C=90°∴△AEQ ∽△ADE ∽△ECQ设CE DE a ==，则AD=2a ，∴1315S S =，234 5S S =，∴123 S S S +=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，灵活应用全等三角形、相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．10．(2020·上海九年级二模)如图，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，点F 在CD 上，联结AF 、BD ，BD 与FG 交于点M ，点N 是边AC 上的一点，联结EN 交AF 与点H ．(1)求证：AF=BD；(2)如果AN GMAC GF=，求证：AF EN⊥．【分析】(1)根据SAS证明△ACF≌△DCB即可得到结论；(2)根据正方形的性质得到AE=AC，GF=GB，由AN GMAC GF=证得AN GMAE GB=得到△EAN∽△BGM，再证明△MBG∽△BDC，由△BDC≌△FAC，得到△EAN∽△ACF，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论.【详解】(1)在正方形ACDE和正方形CBGF中，AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠BCD=90°，∴△ACF≌△DCB，∴AF=BD；(2)在正方形ACDE和正方形CBGF中，AE=AC，GF=GB，∵AN GMAC GF=，∴AN GMAE GB=，∵∠EAN=∠G=90°，∴△EAN∽△BGM，∵CD∥BG，∴∠CDB=∠MBG，∵∠DCB=∠G=90°，∴△MBG∽△BDC，∵△BDC≌△FAC，∴△EAN∽△ACF，∴∠AEN=∠CAF，∵∠AEN+∠ANE=90°，∴∠CAF+∠ANE=90°，∴∠AHN=90°，∴AF EN⊥.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质. 11．(2020·上海九年级二模)如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=AB ，点F 为CE 的中点，点G 在线段CD 上，联结DF ，交AG 于点M ，交EG 于点N ，且∠DFC=∠EGC ．(1)求证：CG=DG ；(2)求证：2CG GM AG =⋅．【分析】(1)首先证明△ECG ≌△DCF ，则有CG=CF ，因为CF=12CE ，则有CG=12CD ，则结论可证； (2)延长AG 、BC 交于点H ，首先证明△ADG ≌△HCG ，则有AG=HG ，然后根据直角三角形斜边中线有AG=HG=EG ，进而得出∠CDF=∠DAH ，进一步可证△ADG ∽△DMG ，则有MG DG DG AG=，即2DG GM AG =⋅，又因为CG=DG 即可证明结论． 【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，CE=AB ，∴AB=CD=EC ．又∵∠DFC=∠EGC ，∠FCD=∠GCE ，∴△ECG ≌△DCF ，∴CG=CF ．∵点F 为CE 的中点，∴CF=12CE ，∴CG=12CD ，即：CG=DG ． (2)延长AG 、BC 交于点H ．∵△ECG≌△DCF，∴∠CEG=∠CDF，DG=CG．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∴△ADG≌△HCG，∴AG=HG．∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴AG=HG=EG．∴∠CEG=∠H，∴∠CDF=∠DAH．又∵∠AGD=∠DGM，∴△ADG∽△DMG．∴MG DGDG AG=，∴2DG GM AG=⋅又，CG=DG，，2CG GM AG=⋅．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．12．(2020·上海九年级一模)已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．(1)当∠ACD＝∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；(2)当∠BCD＝∠A时，求证：CD CF CA AD=．【分析】(1)由垂直的定义可得出，DEC＝，DFC，结合，ECF＝90°可得出四边形DECF为矩形，由，ACD ＝，BCD 可得出CD 平分，ACB ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DF ，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF 是正方形；(2)由，BCD +，ACD ＝，ACB ＝90°，，BCD ＝，A 可得出，A +，ACD ＝90°，利用三角形内角和定理可求出，ADC ＝90°，由，DCF ＝，A ，，DFC ＝，ADC ＝90°可证出，CDF ，，ACD ，再利用相似三角形的性质可证出CD CF CA AD=． 【详解】证明：(1)，DE ，AC ，DF ，BC ，，，DEC ＝，DFC ＝90°，又，，ECF ＝90°，，四边形DECF 为矩形．，，ACD ＝，BCD ，，CD 平分，ACB ，，DE ＝DF ，，四边形DECF 是正方形．(2)，，BCD +，ACD ＝，ACB ＝90°，，BCD ＝，A ，，，A +，ACD ＝90°，，，ADC ＝180°﹣90°＝90°．，，DCF ＝，A ，，DFC ＝，ADC ＝90°，，，CDF ，，ACD ，，CD CF CA AD=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：(1)利用“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形DECF 是正方形；(2)利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF ∽△ACD ．13．(2020·上海)如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅．(1)求证：AFD AEC ∠=∠；(2)若//EG CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅．【分析】(1)先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；(2)先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【详解】(1)证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴AB AC AE AF=，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°−∠AEB＝180°−∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；(2)证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC∥EG，∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∴△BDC∽△GCE，∴BD GC GCDC CE CF==，∴CD•CG＝FC•BD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．14．(2020·上海九年级一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，联结AD．过点C作CE⊥AD于点E，联结BE．(1)求证：BD2＝DE•AD；(2)如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．【分析】(1)证明△CDE∽△ADC推出CD DEAD CD=，可得CD2＝DE•DA即可解决问题．(2)利用相似三角形的性质首先证明AC＝BE，再证明△ACE∽△CDE，可得AC EC CD DE=，可得BE ECBD DE=即可解决问题．【详解】解：(1)证明：如图1中，∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90︒，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC∴CD DEAD CD=，∴CD2＝DE•DA，∵DB＝CD，∴BD2＝DE•DA．(2)解：如图2中，∵BD2＝DE•DA，∴BD DA DE BD=，∵∠CDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴∠DEB＝∠ABC，∵∠ABD＝∠ECD，∴∠BED＝∠BCE，∵∠EBD＝∠CBE，∴△EBD∽△CBE，∴BE BDCB BE=，∴BE2＝BD•BC，∵CD＝BD，∴BE2＝2CD2，∵∠DCE+∠ACE＝90︒，∠CAD+∠ACE＝90︒，∴∠CAD＝∠ECD＝∠ABC，∵∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴AC CD BC AC=，∴AC2＝CD•CB＝2CD2，∴AC＝BE，∵△ACE∽△CDE，∴AC ECCD DE=，∴BE ECBD DE=，∴BD•CE＝BE•DE．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.15．(2020·上海九年级一模)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD 交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．(1)求证：∠AFD＝∠AEC；(2)若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【分析】(1)先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；(2)先证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【详解】(1)证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴AB AC AE AF=，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB ＝180°﹣∠AFC ，∴∠AEC ＝∠AFD ；（2）证明：∵∠CFE ＝∠AFD ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，∵DC ∥EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，∴△BDC ∽△GCE ， ∴BD GC GC DC CE CF==，∴CD •CG ＝FC •BD ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．16．(2020·上海九年级一模)已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ， 2AF FG FE =⋅．(1)求证：△CAD ∽△CBG ；(2)联结DG ，求证：DG AE AB AG ⋅=⋅．【分析】(1)由2AF FG FE =⋅及∠AFG =∠EF A ，证得△F AG ∽△FEA ，结合AE ∥BC ，证得∠EBC =∠F AG ，从证得结论；(2)由(1)的结论得到=CA CD CB CG ，证得△CDG ∽△CAB ，结合AE ∥BC ，证得=AG GC AE CB ，继而证得结论.【详解】(1)∵2AF FG FE =⋅，∴=AF FE FG AF． 又∵∠AFG =∠EF A ，∴△F AG ∽△FEA ． ∴∠F AG =∠E ．∵AE ∥BC ，∴∠E =∠EBC ． ∴∠EBC =∠F AG ．又∵∠ACD =∠BCG ，∴△CAD ∽△CBG ．(2)∵△CAD ∽△CBG ，∴=CA CD CB CG． 又∵∠DCG =∠ACB ，∴△CDG ∽△CAB ， ∴=DG CG AB CB． ∵AE ∥BC ，∴=AE AG CB GC ． ∴=AG GC AE CB ，∴=DG AG AB AE， ∴DG AE AB AG ⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例的性质以及中间比是解题的关键.17．(2020·上海九年级一模)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边AC 上，联结BD 交AM 于点F ，延长BD 至点E ，使得BD DE ＝AD DC，联结CE ． 求证：(1)∠ECD ＝2∠BAM ；(2)BF 是DF 和EF 的比例中项．【分析】(1)由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；(2)由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得DF CFCF EF=，可得结论．【详解】证明：(1)∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵BDDE＝ADDC，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；(2)如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≌△ACF(SSS)∴∠ABF＝∠ACF，由(1)可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴DF CFCF EF=，且BF＝CF，∴BF2＝DF•EF，∴BF是DF和EF的比例中项．【点睛】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．18．(2020·上海九年级一模)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，联结,CE EF ，2CE DE CF =•.(1)求证：D CEF ∠=∠；(2)联结AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分ECF ∠，求证：AC AE CB CG •=•.【分析】(1)由∠FCE=∠CED ，2CE DE CF =⋅，可得：∆FCE ~∆CED ，即可得到结论；(2)先证∆ECG~∆DAC ，可得：EC CG DA AC=，结合AE=CE ，DA=CB ，即可得到结论. 【详解】(1)∵在平行四边形ABCD 中，∴AD ∥BC ，∴∠FCE=∠CED ，∵2CE DE CF =⋅，∴CF EC EC DE=，∴∆FCE ~∆CED ，∴D CEF ∠=∠； (2)∵AC 平分ECF ∠，∴∠ACE=∠ACB ，∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAE ，∴∠ACE=∠CAE ，∴AE=CE ，∵D CEF ∠=∠，∴∆ECG~∆DAC ，∴EC CG DA AC=，∴AC EC DA CG ⋅=⋅， ∵DA=CB ，∴AC AE CB CG ⋅=⋅【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，找到对应角相等，对应边成比例，以及进行适当的等量代换，是解题的关键.19．(2020·上海)如图， ABC ∆中， AD BC ⊥，E 是 AD 边上一点，联结 BE ，过点 D 作DF BE ⊥，垂足为 F ，且AE DF EF CD ⋅=⋅，联结 AF 、CF ， C F 与边 AD 交于点 O ．求证：(1)EAF DCF ∠=∠；(2) AF BD AC DF ⋅=⋅.【分析】(1)证明△AEF ∽△CDF ，根据相似三角形的性质证明结论；(2)证明△AOF ∽△COD ，得到AO OC OF OD=，得到△AOC ∽△FOD ，根据相似三角形的性质得到∠ACF ＝∠EDF ，证明△BFD ∽△CFA ，根据相似三角形的性质证明结论．【详解】(1)证明：,AD BC DF BE ⊥⊥90ADB DFE ︒∴∠=∠=90,90DBE BED DBE BDF ︒︒∴∠+∠=∠+∠=BED BDF ∴∠=∠AEF CDF ∴∠=∠AE DF CD EF ⋅=⋅AE EF CD DF∴=AEF CDF ∴∆∆∽EAF DCF ∴∠=∠(2)证明：AEF CDF ∆∆∽，EFA DFC ∴∠=∠90AFO EFD ︒∴∠=∠=90DFB ︒∠=BFD AFC ∴∠=∠,EAF DCF AOF COD ∠=∠∠=∠AOF COD ∴∆∆∽AO OF OC OD ∴=AO OC OF OD ∴= 又AOC FOD ∠=∠AOC FOD ∴∆∆∽ACF EDF ∴∠=∠90DBE BED FDE BED ︒∠+∠=∠+∠=DBE EDF ∴∠=∠ACF DBE ∴∠=∠又BFD AFO ∠=∠BFD CFA ∴∆∆∽AF AC DF BD ∴=AF BD AC DF ∴⋅=⋅ 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．(2020·上海九年级一模)如图，已知ABC ∆和ADE ∆，点D 在BC 边上，,DA DC ADE B =∠=∠，边DE 与AC 相交于点F ．(1)求证：AB AD DF BC ⋅=⋅；(2)如果//AE BC ，求证：BD DF DC FE=． 【分析】(1)根据等边对等角得到ADE B ∠=∠，通过证明△ABC ∽△FDA 得对应边成比例，化比例式为等积式即可；(2)通过证明△AEF ∽△CDF 和△ABD ∽△EDA,根据相似三角形的性质列两个比例式，用等量代换即可得.【详解】(1)证明：∵AD=DC,∴∠DAC=∠C,∵∠ADE=∠B,∴△ABC ∽△FDA,∴AD DF BC AB,∴AB AD DF BC ⋅=⋅. (2)证明：∵AE ∥BC,∴∠E=∠EDC, ∠EAC=∠C,∴△AEF ∽△CDF,∴DF DC FE AE ,∴DF AD FE AE, ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD, ∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC,∴∠BAD=∠E,∴△ABD ∽△EDA,∴BD AD AD AE, ∴BD AD CD AE ,∴BD DF DC FE =. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的综合应用，借助中间比进行等量代换是解答此题的关键.21．(2020·上海九年级一模)如图，在ABC ∆中，点,,,D E F G 分别在,,AB AC BC 上，3AB AD =，2CE AE =，BF FG CG ==，DG 与EF 交于点H .(1)求证：FH AC HG AB •=•；(2)连接,DF EG ，求证：A FDG GEF ∠=∠+∠.【分析】(1)根据已知条件先证明DG ∥AC ，EF ∥AB ，可得∠HGF=∠C ，∠HFG=∠B ，即可证明△HFG ∽△ABC ，从而可得结论；(2)连接DF ，EG ，DE ，证明四边形DFGE 和ADHE 是平行四边形，即可证得结论.【详解】∵AB=3AD ，BF=FG=CG ，∴BD=2AD ，BG=2CG ， ∴2BD BG AD CG==,∴DG ∥AC, 同理可得，EF ∥AB ，∴∠HFG=∠ABC ，∠HGF=∠ACB ，∴△HFG ∽△ABC ，∴FH HG AB AC=，即FH AC HG AB •=•； (2)连接,DF EG ，DE,如图所示，∵EF ∥AB ，∴GH GF HD FB=, ∵GF=FB ∴GH GF HD FB==1，∴GH=HD ，同理可证，FH=EH ，∴四边形DFGE 是平行四边形，∴DF ∥EG ，∴∠FDG=∠EGD ，∴∠FHG=∠EGH+∠HEG ，∵∠DHE=∠FHG ，∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=FDG GEF ∠+∠，由EF ∥AB ，DG ∥AC,得四边形ADHE 是平行四边形，∴∠A=∠DHE ，∴A FDG GEF ∠=∠+∠【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键.22．(2020·上海九年级一模)已知：如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、 AC 上，DE ∥BC ，∠ABE=∠C ，(1)求证：2BE DE BC =⋅(2)当BE 平分∠ABC 时，求证：BD AE BE AB=【分析】(1)利用平行线的性质可知DEB EBC ∠=∠，则有BED CEB ，利用相似三角形的性质即可得出结论；(2)利用平行线的性质及角平分线的性质可知DAE EAB ，利用相似三角形的性质即可得出结论.【详解】解：(1)DE BC ∥DEB EBC ∴∠=∠ABE C ∠=∠BED CEB ∴BE DE BC BE∴=2BE DE BC ∴= (2)BE 平分ABC ∠ABE EBC ∴∠=∠DE BC ∥,DEB EBC C AED ABE ∴∠=∠∠=∠=∠ABE DEB ∠=∠BD DE ∴=,A A AED ABE ∠=∠∠=∠DAE EAB ∴DE AE BE AB∴= 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线定义，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键.23．(2020·上海九年级一模)如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,⊙O 的半径长为rcm,弧AB 的长度为1l cm,弧CD 的长度为2l cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当1l =2l 时,求证:AB=CD【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.【详解】解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵1l =2l ∴12180180r r απβπ=∵AB 和CD 在同圆中，r 1=r 2 ∴α=β∴AB=CD【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.。

一、 选择题1．如果a 与3互为倒数，那么a 是（ ） A ．3- B ．3 C ．13- D ．13【答案】D ． 【解析】试题分析：3的倒数是13．故选D ． 考点：倒数关系．2．下列单项式中，与2a b 是同类项的是（ ）A ．22a b B ．22a b C ．2ab D ．3ab 【答案】A ． 【解析】试题分析：含有相同字母，并且相同字母的指数相同的单项式为同类项，故选A ． 考点：同类项的概念．3．如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．21y x =+ D ．23y x =+ 【答案】C ． 【解析】试题分析：抛物线22y x =+向下平移1个单位变为221y x =+-，即为21y x =+．故选C ． 考点：图象的平移变换．4．某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）A ．3次B ．3.5次C ．4次D ．4.5次【答案】C ． 【解析】试题分析：平均数为：1(223241056)20⨯+⨯+⨯+⨯＝4（次）．故选C ． 考点：加权平均数的计算．5．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =，AD b =，那么向量AC 用向量a 、b 表示为（ ） A ．12a b + B ．12a b - C ．12a b -+ D ．12a b -- 【答案】A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，⊙A 的半径长为3，⊙D 与⊙A 相交，且点B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ） A ．14r << B ．24r << C ．18r << D ．28r <<【答案】B ． 【解析】考点：勾股定理，点与圆、圆与圆的位置关系．二、 填空题7．计算：3a a ÷=__________． 【答案】2a ． 【解析】试题分析：同底数幂相除，底数不变，指数相减，所以，原式＝312a a -=．故答案为：2a ．考点：单项式的计算． 8．函数32y x =-的定义域是__________． 【答案】2x ≠． 【解析】试题分析：由分式的意义，得：2x -≠0，即2x ≠．故答案为：2x ≠． 考点：分式的意义．912x -=的解是__________． 【答案】5x =． 【解析】试题分析：原方程两边平方，得：x －1＝4，所以，5x =．故答案为：5x =． 考点：根式方程． 10．如果12a =，3b =-，那么代数式2a b +的值为__________． 【解析】试题分析：2a b +＝1232⨯-＝－2．．故答案为：－2． 考点：求代数式的值． 11．不等式组2510x x <⎧⎨-<⎩的解集是__________．【答案】1x <． 【解析】考点：一元一次不等式，不等式组的求解．12．如果关于x 的方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是__________． 【答案】94． 【解析】试题分析：因为原方程有两个相等的实数根，所以，△＝9－4k ＝0，所以，k ＝94．故答案为：94． 考点：一元二次方程根的判别式． 13．已知反比例函数ky x=（0k ≠），如果在这个函数图像所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是__________． 【答案】0k >．考点：反比例函数的性质．14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、⋅⋅⋅、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是__________． 【答案】13． 【解析】试题分析：向上的一面出现的点数是3的倍数有3、6两种，所以，所求概率为：2163=．故答案为：13． 考点：概率．15．在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，那么ADE ∆的面积与ABC ∆的面积的比 是__________． 【答案】14． 考点：三角形中位线定理，相似三角形的性质．16．今年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是__________．【答案】6000． 【解析】试题分析：设总人数为x ，由扇形统计图可知，自驾点40%，所以，x ＝480040%＝12000，选择公交前往的人数是：1200050%⨯＝6000．故答案为：6000． 考点：条形统计图与扇形统计图．17．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为__________米．（精确到1米，参3 1.73≈）【答案】208．【解析】试题分析：依题意，有∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，tan30BDAD︒=，所以，BD＝90tan30°＝303，tan60CDAD︒=，所以，CD＝90tan60°＝903，所以，BC＝1203120 1.73≈⨯≈208．故答案为：208．考点：三角函数的应用．18．如图，矩形ABCD中，2BC=，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A'、C'处，如果点A'、C'、B在同一条直线上，那么tan ABA'∠的值为__________．51-考点：三角形相似的性质，一元二次方程，三角函数．三、解答题19．计算：122131|412()3---．【答案】63【解析】试题分析：根据绝对值、分数指数幂，二次根式、负指数幂的定义解答即可．试题解析：原式31223963=--=考点：实数的运算．20．解方程：214124x x -=--． 【答案】． 【解析】试题解析：去分母，得2244x x +-=-，移项、整理得220x x --=，经检验：12x =是增根，舍去；21x =-是原方程的根，所以，原方程的根是1x =-． 考点：解分式方程．21．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，点D 在边AC 上，且2AD CD =，DE AB ⊥，垂足为点E ，联结CE ，求：（1）线段BE 的长；（2）ECB ∠的余切值．【答案】（1）22；（2）12． 【解析】试题分析：（1）先计算出AD 的长，进而算出AE 的长，在Rt △ABC 中，得到AB 的长，由BE =AB -AE 即可得到结论；（2）过点E 作EH ⊥BC 于H ，可得到EH =BH =2，从而有CH =1，在Rt △ECH 中，由三角函数定义可得到结论．22．某物流公司引进A 、B 两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A 种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B 种机器人也开始搬运，如图，线段OG 表示A 种机器人的搬运量A y （千克）与时间x （时）的函数图像，线段EF 表示B 种机器人的搬运量B y （千克）与时间x （时）的函数图像，根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求B y 关于x 的函数解析式；（2）如果A 、B 两种机器人各连续搬运5个小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？【答案】（1）9090B y x =-（16x ≤≤）；（2）B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克． 【解析】试题分析：（1）设B y 关于x 的函数解析式为1B y k x b =+，把E 、P 的坐标代入即可得到结论；（2）设A y 关于x 的函数解析式为2A y k x =，把P 的坐标代入即可得到A y 的表达式，令x =6，代入B y ，令x =5，代入A y ，两者相减即可得到结论．答：如果A 、B 两种机器人各连续搬运5小时，那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克． 考点：一次函数的图象，函数解析式，应用题．23．已知，如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，AE BD =． （1）求证：AD CE =；（2）如果点G 在线段DC 上（不与点D 重合），且AG AD =，求证：四边形AGCE 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）证明△ABD ≌△CAE 即可；试题解析：（1）在⊙O 中，∵AB AC =，∴AB AC =，∴B ACB ∠=∠．∵AE ∥BC ，∴EAC ACB ∠=∠，∴B EAC ∠=∠．又∵BD AE =，∴ABD ∆≌CAE ∆，∴AD CE =；（2）联结AO 并延长，交边BC 于点H ，∵AB AC =，OA 是半径，∴AH BC ⊥，∴BH CH =．∵AD AG =，∴DH HG =，∴BH DH CH GH -=-，即BD CG =．∵BD AE =，∴CG AE =．又∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形．考点：圆的性质定理，三角形的全等，平行四边形的判定．24．如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标．【答案】（1）245y x x =--；（2）18；（3）E 3(0,)2．【解析】1645550a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，∴这条抛物线的表达式为245y x x =--； （2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ，∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-，又145102ABC S ∆=⨯⨯=，14482ACD S ∆=⨯⨯=，∴18ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=四边形；（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．∵1102ABC S AB CH ∆=⨯⨯=，52AB =，∴22CH =．在Rt BCH ∆中，90BHC ∠=︒，26BC =，2232BH BC CH =-=，∴2tan 3CH CBH BH ∠==；在Rt BOE ∆中，90BOE ∠=︒，tan BO BEO EO ∠=．∵BEO ABC ∠=∠，∴23BO EO =，得32EO =，∴点E 的坐标为3(0,)2．考点：二次函数的图象，二元一次方程组，三角函数，三角形的面积．25．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒，15AD =，16AB =，12BC =，点E 是边AB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，射线ED 和射线AF 交于点G ，且AGE DAB ∠=∠． （1）求线段CD 的长；（2）如果AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形，求线段AE 的长；（3）如果点F 在边CD 上（不与点C 、D 重合），设AE x =，DF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；【答案】（1）7；（2）15或252；（3）22518x y x -=（2592x <<）． 【解析】试题分析：（1）过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ，由勾股定理求出AH 的长，进而求出DC 的长；（2）可证AEG ∆∽DEA ∆，从而得到DEA ∆是以AE 为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：① 若AE AD =，② 若AE DE =；（3）表示出DE 的长，由AEG ∆∽DEA ∆，得出EG 的长，从而得出DG 的长，由DF ∥AE ，得到DF DG AE EG=，化简即可得到结论． ① 若AE AD =，∵15AD =，∴15AE =；② 若AE DE =，过点E 作EQ AD ⊥，垂足为Q ，∴11522AQ AD ==． 在Rt DAH ∆中，90AHD ∠=︒，3cos 5AH DAH AD ∠==； 在Rt AEQ ∆中，90AQE ∠=︒，3cos 5AQ QAE AE ∠==，∴252AE =； 综上所述：当AEG ∆是以EG 为腰的等腰三角形时，线段AE 的长为15或252；（3）在Rt DHE ∆中，90DHE ∠=︒，222212(9)DE DH EH x =+=+-．∵AEG ∆∽DEA ∆，∴AE EG DE AE =，∴22212(9)EG x =+-，∴2222212(9)12(9)DG x x =+-+-．∵DF ∥AE ，∴DF DG AE EG =，222212(9)y x x x x+--=，∴22518x y x -=，x 的取值范围为2592x <<． 考点：勾股定理，三角形的相似，应用数学知识解决问题的能力．。

2021上海市中考数学精品模拟试卷（后附教师版答案详解）（满分150分，答题时间120分钟）一、选择题〔共6小题，每题4分，共24分。

下列选项中有且只有一个选项是正确的，选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上〕1．若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（）A．5B．1C．﹣1D．﹣52．小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是36.5℃B．众数是36.2°CC．平均数是36.2℃D．极差是0.3℃3．不等式组{2x−1≤3，x+1＞2的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．下列等式成立的是（）A．3+4√2=7√2B．√3×√2=√5C．√36=2√3D．√(−3)2=35.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D6．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为BĈ上任意一点．则∠CED 的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°二、填空题〔共12小题，每题4分，共48分。

请将结果直接填入答题纸相应位置上〕7．计算：（π﹣1）0+|﹣2|＝．8．分解因式：xy2﹣4x＝．9．若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝．10．方程2x+10＝0的解是．11．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是．12．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．14．某鸡腿生产公司的质检人员从两批鸡腿中各随机抽取了6个，记录相应的质量（g）如表，若甲、乙两个样本数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2S乙2（填“＞“、“＝”、“＜”）15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为．16．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝．17．如图，等边三角形纸片ABC 的边长为6，E ，F 是边BC 上的三等分点．分别过点E ，F 沿着平行于BA ，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是 ．18．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A 1，折痕为DE ．若将∠B 沿EA 1向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B 1，则AB ＝ ．三、解答题〔共7小题，满分共78分〕19．计算：（12）﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣（2021﹣π）020．解分式方程：2311xx x x +=--． 21．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A =√33，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CD =√3，求AB 的长？22．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y （元）与销售量x （kg ）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC 所在直线对应的函数表达式．23．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）求证：四边形BNDM 是菱形；（2）若BD ＝24，MN ＝10，求菱形BNDM 的周长．24. 如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．25．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且2OA OB OC OD ====，OC 平分BOD ∠，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：//OC AD ； （2）如图2，若DE DF =，求AE AF值；（3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DEDF的值．2021上海市中考数学精品模拟试卷（满分150分，答题时间120分钟）一、选择题〔共6小题，每题4分，共24分。

2021年上海市中考数学压轴题总复习
中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=3
4
x+m与x轴、y轴分别交于点A和点
B（0，﹣1），抛物线y=1
2
x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F 在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
2．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．。

专题02 图形的运动模块一：图形的平移例1.如图，Rt ABC ∆中直角边AB = 6，BC = 8，沿边AC 将向下平移至'''Rt A B C ∆．已知阴影部分两边长'3AA =，CD = 4，则阴影部分的面积为______．例2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，6)，将OAB ∆沿x 轴向左平移得到'''O A B ∆，点A 的对应点'A 落在直线34y x =-上，则点B 与其对应点'B 间的距离为______．AB O xy例3.(2020崇明二模) 如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置，已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果'1AA =，那么'A D 的长为_____．例4.如图，ABC ∆和DBC ∆是两个具有公共边的全等的等腰三角形，AB = AC = 3cm ，BC = 2cm ．将DBC ∆沿射线BC 平移一定的距离得到111D B C ∆，连接1AC 、1BD ．如果四边形11ABD C 是矩形，那么平移的距离为______cm ．例5.已知ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6(如图所示)，将ABC ∆沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ∆，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应，若以点A 、D 、E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是________．模块二：图形的旋转A B C D B 1 C 1D 1AB CD E例1.在下列图形中，中心对称图形是( )A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形例2.如图，ABC ∆是等边三角形，若点A 绕点C 顺时针旋转30°至点'A ，联结'A B ，则'ABA ∠度数是______．例3.将矩形ABCD (如图)绕点A 旋转后，点D 落在对角线AC 上的点'D ，点C 落到'C ，如果AB = 3，BC = 4，那么'CC 的长为_______．例4.(2020闵行二模)如图，已知在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．联结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 面积等于______．例5.(2020长宁、金山区一模)如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP △绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则BB '的长等于_____．例6.如图，底角为α的等腰ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，使得点A 与边BC 上的点D 重合，点C 与点E 重合，联结AD 、CE ．已知3tan 4α=，AB = 5，则CE =______． 的AB CA ’模块三：图形的翻折1、翻折与轴对称图形(1)把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．(2)轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称．2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称．(2)轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．例1.窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是( )A． B． C．D．例2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A． B． C． D．例3.下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是( )A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形例4.(2020松江二模) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC 翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′, 如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为.例5.(2020宝山二模)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为________．例6.(2020黄浦区一模)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若17DGGA，则ADAB= __ ．ABBC例7.(2020杨浦区一模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为______.例8.如图，梯形ABCD中，AD // BC，90∠=︒，AD = 2，BC = 5，E是AB上一点，将BCE∆B沿着直线CE翻折，点B恰好与D点重合，则BE =______．1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．正五边形B．正六边形C．等腰三角形D．等腰梯形2.如图，将周长为8的ABC∆，则四边形ABFD的周∆沿BC方向平移1个单位长度得到DEF长为______．3.(2020宝山二模)如图，在△ABC 中，AB=AC=5，3tan =4B ，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到11A BC ∆，当点1C 在线段CA 延长线上时1ABC ∆的面积为_________．4.(2020奉贤二模) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将△BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是 度．5.(2020金山二模) 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，把△ABC 绕C 点旋转得到△A'B'C ，其中点A'在线段AB 上，那么∠A'B'B 的正切值等于 ．6.(2020静安二模)如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，DC ＝AD ，∠B 是锐角，cot B ＝，AB ＝17．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么△BCE 的周长为 ．A B C DE F7.(2020黄浦二模) 已知等边△ABC 的重心为G ，△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S 1，△ABC 的面积记作S 2，那么的值是 8．(2020黄浦二模)已知⊙O 的直径AB ＝4，⊙D 与半径为1的⊙C 外切，且⊙C 与⊙D 均与直径AB 相切、与⊙O 内切，那么⊙D 的半径是 ．9.(2020虹口区一模)如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sinC ＝，AB ＝9，AD ＝6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 所在直线翻折，使BF 的对应线段B ′F 经过顶点A ，B ′F 交对角线BD 于点P ，当B ′F ⊥AB 时，AP 的长为 ．10.(2020松江区一模)如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A BC D '''．联结AD '，分别交边CD ，A B '于E 、F ．如果AE F '，那么k ＝ ．11.如图，钝角ABC ∆中，3tan 4BAC ∠=，BC = 4，将三角形绕着点A 旋转，点C 落在直线AB 上的点'C 处，点B 落在点'B 处，若C 、B 、'B 恰好在一直线上，则AB 的长为______．12.如图，Rt ABC∆绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是''∆，A B C∆中，90BAC∠=︒，将ABC点A的对应点'A落在中线AD上，且点'A是ABCA B与BC相交于点E.那么∆的重心，''BE CE=．:13.如图，在ABC∆沿直∆的中线，将ABCCAB∆中，90∠=︒，AB = 6，AC = 4，CD是ABC线CD翻折，点'B是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果'∠=∠，那么CECAE BAB的长是________．14.如图，扇形OAB的圆心角为2α，点P为AB上一点，将此扇形翻折，当点O和点P重合时折痕恰巧过点B，且65ABPB=，则α正切值为______15.在矩形ABCD中，AD = 15，点E在边DC上，联结AE，ADE∆沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG AD⊥，垂足为点G，如图，如果AD = 3GD，那么DE =______．。