考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷7(题后含答案及解析)

考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷7 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．

A．0．

B．-∞．

C．+∞．

D．不存在但也不是∞．

正确答案：D

解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选

D． 知识模块：极限、连续与求极限的方法

2． 设f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的

A．高阶无穷小．

B．低阶无穷小．

C．同阶非等价无穷小．

D．等阶无穷小．

正确答案：C

解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选

C． 知识模块：极限、连续与求极限的方法

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3． (Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．

正确答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜

B．例如，xn=，yn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为，由存在极限的函数的局部有界性使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

4． 设f(x)=又a≠0，问a为何值时存在．

正确答案：f(0+0)==π．f(0-0)==1.a.1=a(a≠0)，由f(0+0)=f(0-0)，得a=π．因此，当且仅当a=π时，存=π． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

5． 证明：(Ⅰ)不存在；(Ⅱ)设f(x)=不存在．

正确答案：(Ⅰ)取xn=，yn=，则均有xn→0，yn→0(n→∞)，但不存在．(Ⅱ)已知f(x)=，其中g(x)=∫0xcost2dt，由于而不存在． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

6． 求

正确答案：这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以(ex)2得其中(用洛必达法则)． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

7． 求极限

正确答案：属1∞型．w==2.e20=2e． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

8． 求下列极限：

正确答案：(Ⅰ)注意x→0时，x2(1-cosx)～x4，ex4-1～x4w==4．(Ⅱ)因为x3(x→0)，ln(1+2x3)～2x3(x→0)，所以 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

9． 求

正确答案：属型．先作恒等变形然后用等价无穷小因子替换：x→0时sin3x3～x3，x2-sin2x．于是最后用洛必达法则得 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

10． 求

正确答案：属∞-∞型．先通分化成型未定式，则有直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明～x(x→)．因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)～x(x→0)就有 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

11． 求

正确答案：这是1∞型的．对于幂指数型未定式，总可先用公式uv=evlnu，然后再用洛必达法则，并注意arctanx～x(x→0)．由于，而因此 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

12． 求下列极限f(x)：

正确答案：(Ⅰ)注意：因此(Ⅱ)由于因此 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

13． 求数列极限

正确答案：由(n→∞)．用等价无穷小因子替换得引入函数f(x)=(x＞0)，则

涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

14． 设xn=xn.

正确答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小．注意，已知因此

xn=1． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

15． 求数列极限：(Ⅰ)(M＞0为常数)；(Ⅱ)设数列{xn}有界，求

正确答案：(Ⅰ)存在自然数k，k≥M，使，当n＞k时，有即当n＞k时，有是常数，且，由夹逼定理知(Ⅱ)由于{xn}有界，故M＞0，对一切n有｜xn｜≤M．于是，由题(Ⅰ)的结论及夹逼定理知 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

16． 设f(x)在[0，1]上连续，求∫01xnf(x)dx．

正确答案：因为∫01xndx=，且连续函数｜f(x)｜在[0，1]存在最大值记为M，于是｜∫01xnf(x)dx｜≤∫01xn｜f(x)｜dx≤M∫01xndx=又∫01xnf(x)dx=0． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

17． 设a1＞0，an+1=(n=1，2，…)，求an.

正确答案：显然，0＜an＜3(n=2，3，…)，于是{an}有界．令f(x)=，则an+1=f(an)，f’(x)=(x＞0)．于是f(x)在x＞0单调上升，从而{an}是单调有界的，故极限an存在．令an=A，对递归方程取极限得 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

18． 设x1=2，xn+1=2+，n=1，2，…，求xn.

正确答案：令f(x)=2+，则xn+1=f(xn)．显然f(x)在x＞0单调下降，因而由上面的结论可知{xn}不具单调性．易知，2≤xn≤xn=a，则由递归方程得a=2+，即a2-2a-1=0，解得现考察因此 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

19． 求

正确答案：x→0时，t=(1+x)x-1→0，则(1+x)x-1=t～ln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

20． 设(x)=(Ⅰ)若f(x)处处连续，求a，b的值；(Ⅱ)若a，b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点，并指出它的类型．

正确答案：(Ⅰ)首先求出f(x)．注意到故要分段求出f(x)的表达式．当｜x｜＞1时，当｜x｜＜1时，=ax2+bx．于是得其次，由初等函数的连续性知f(x)分别在(-∞，-1)，(-1，1)，(1，+∞)上连续．最后，只需考察f(x)在分界点x=±1处的连续性．这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在x=1连续f(1+0)=f(1-0)=f(1)a+b=1=(a+b+1)a+b=1；f(x)在x=-1连续f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1)a-b=-1=(a-b-1)a-b=-1．因此f(x)在x=±1均连续a=0，b=1．当且仅当a=0，b=1时f(x)处处连续．(Ⅱ)当(a，b)≠(0，1)时，若a+b=1(则a-b≠-1)，则x=1是连续点，只有x=-1是间断点，且是第一类间断点；若a-b=-1(则a+b≠1)，则x=-1是连续点，只有间断点x=1，且是第一类间断点；若a-b≠-1且a+b≠1，则x=1，x=-1均是第一类间断点． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

21． 求极限.

正确答案：恒等变形：分子、分母同乘然后再同除x2，得 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

22． 求极限

正确答案：这是求型极限，用洛必达法则得 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

23． 求极限

正确答案：属∞.0型．可化为型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

24． 求极限

正确答案：属∞-∞型．先作变量替换并转化成型未定式，然后用洛必达法则． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

25． 求下列极限：

正确答案：(Ⅰ)属00型.一般方法．因此=e0=1．其中(Ⅱ)属∞0型．因此e=e-1．(Ⅲ)属∞0型．利用恒等变形及基本极限可得=1．20=1． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法

26． 求

正确答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x(x→0)化简分母后再用洛必达法则得 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法