考研数学二(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编2 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． [2008年] 设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( )．

A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛

B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛

C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛

D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛

正确答案：B

解析： 题设中给出数列单调、有界等条件，这自然想到利用命题1．1．4．1确定正确选项，也可以用反例排错法确定之．解一 若{xn}单调，则{f(xn)}单调．又f(x)在(一∞，+∞)内有界，可见{f(xn)}单调有界，由命题1．1．4．1知{f(xn)}收敛．仅(B)入选．解二 举反例排错法确定正确选项．若取f(x)=arctanx，{xn)={n}，则可排除(C)、(D)．若取f(x)=和xn=，则=0且f(xn)={f(xn)}不收敛，排除(A)．仅(B)入选． 知识模块：函数、极限与连续

2． [2007年] 设函数f(x)在(0，+∞)内具有二阶导数，且f＂(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )．

A．若u1＞u2，则{un}必收敛

B．若u1＞u2，则{un}必发散

C．若u1＜u2，则{un}必收敛

D．若u1＜u2，则{un}必发散.

正确答案：D

解析：由于含有抽象函数，利用赋值法举反例判别．依据函数f(x)的性质可判断数列{un=f(n))的敛散性． 举反例排除错误选项．设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＜u2，但{un)={n2}发散，排除(C)．设f(x)=1／x，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＞u2，但{un}={1／n)收敛，排除(B)．设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f＂(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnx}发散，排除(A)．仅(D)入选． 知识模块：函数、极限与连续

3． [2004年]等于( )．

A．∫12 ln2dx

B．2∫12 lnx dx

C．2∫12 ln(1+x)dx

D．∫12 ln2(1+x)dx

正确答案：B

解析： 将所给极限变形为其对应一函数在一区间上的积和式．分别使用式(1．1．4．1)或式(1．1．4．3)化为定积分，后者还必须作一代换才能化为四选项之一． =2∫12lnx dx (利用式(1．1．4．1))． 仅(B)入选． 知识模块：函数、极限与连续

4． [2010年]=( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：将所给积和式可改写为下述两种形式：因而本题有下述两种解法．解一 仅(D)入选．因解二 记D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}，它是正方形区域，f(x，y)=，将D的长与宽n等分(见图1．1．4．1)，则D分成n2个小正方形，每个小正方形的面积为．于是σn可看成f(x，y)在D上的一个二重积分的积和式：仅(D)入选． 知识模块：函数、极限与连续

5． [2007年] 当x→0+时，与√x等价的无穷小量是( )．

A．l—e√x

B．ln

C．一1

D．1一cos√x

正确答案：B

解析：用等价无穷小量定义判别．为此可使用等价无穷小代换、洛必达法则求之．解一 使用等价无穷小定义，用排错法确定正确选项．因当x→0+时，有1一e√x=一(e√x一1)～一√x，排除(A)；一1～√x／2，排除(C)；1一cos√x～(√x)2／2=x／2，排除(D)．因而仅(B)入选．解二仅(B)入选． 知识模块：函数、极限与连续

6． [2013年] 设cosx一1=xsina(x)，其中∣a(x)∣＜，当x→0时，a(x)是( )．

A．比x高阶的无穷小量

B．比x低阶的无穷小量

C．比x低阶的无穷小量

D．与x等价的无穷小量

正确答案：C

解析：因∣α(x)∣＜，故sinα(x)的反函数存在，且因sinα(x)=→0(x→0)，故α(x)为无穷小量，且x(x)=arcsin．于是所以α(x)与x是同阶但不等价的无穷小量．仅(C)入选． 知识模块：函数、极限与连续

7． [2016年]设α1=x(cos√x一1)，α2=√xln(1+)，α3=一1，当x→0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )．

A．α1，α2，α3

B．α2，α3，α1

C．α2，α1，α3

D．α3，α2，α1

正确答案：B

解析： 先分别求出α1，α2，α3关于x的无穷小量的阶数，再利用无穷小量阶的定义比较之． 当x→0+时，α1=x(cos√x—1)=一x(1一cos√x)～一xα2=√xln(1+)～x1/2．x1/3=x5/6，α3=一1～,由无穷小量阶的定义易看出，从低阶到高阶的排列次序为α2，α3，α1．仅(B)入选． 知识模块：函数、极限与连续

8． [2004年] 把x→0+时的无穷小量α=∫0x cost2dt，β=∫0x2 tan√tdt，γ=∫0√xsint3dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是( )．

A．α，β，γ

B．α，γ，β

C．β，α，γ

D．β，γ，α

正确答案：B

解析： 使用无穷小量的阶的定义求之，也可利用命题1．1．5．1(2)求之．解一 分别求出α，β，γ关于x的阶数，然后再比较．由=1知，α是x的l阶无穷小量．由即β为x的3阶无穷小量．由即γ为x的2阶无穷小量，故正确的排列次序为α，γ，β．仅(B)入选．解二 两两比较它们的阶的大小．因=0.因而β是α的高阶无穷小量．可排除(C)，(D)选项．同法可求得=∞，则β是γ的高阶无穷小量，排除(A)．=0，则γ是α的高阶无穷小量，因而仅(B)入选． 解三 利用命题1．1．5．1观察求之．仅(B)入选． 因cost2为t→0时的零阶无穷小量，故α=∫0x cost2dt为(1+0)×1=1阶无穷小量，β为x的(1／2+1)×2=3阶无穷小量，γ为(3+1)×(1／2)=2阶无穷小量，故正确的排列次序为α，γ，β． 知识模块：函数、极限与连续

9． [2010年] 设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)=ex/10，则当x充分大时有( )．

A．g(x)＜h(x)＜f(x)

B．h(x)＜g(x)＜f(x)

C．f(x)＜g(x)＜h(x)

D．f(x)＜g(x)＜h(x)

正确答案：C

解析：x→+∞时，利用无穷大量阶的定义或利用命题1．1．5．3先比较无穷大量的阶，再判别选项． 由x→+∞时，由命题1．1．5．3(2)知，无穷大量由低阶到高阶的排列顺序为ln10x，ex/10，因而有(ln10x／x)=0，于是当x充分大时有x＞ln10x，(ex/10／x)=+∞，因而当x充分大时，有ex/10＞x，故当x充分大时有f(x)=ln10x＜g(x)=x＜h(x)=ex/10．仅(C)入选． 知识模块：函数、极限与连续

10． [2009年] 当x→0时f(x)=x—sinx与g(x)=x2ln(1－bx)为等价无穷小，则( )．

A．a=1，b=一1／6

B．a=1，b=1／6

C．a=一1，b=－1／6

D．a=1，b=1／6

正确答案：A

解析：用等价无穷小代换或洛必达法则求之． 解一 由题设有故必有1一a=0，即a=1．于是有一a3／(6b)=1，即b=一1／6，仅(A)入选．解二 由题设有,因而存在，而(－3bx2)=0，故(1一a cosax)=0，即a=1．于是有,即b=一1／6．仅(A)入选． 知识模块：函数、极限与连续

填空题

11． [2018年]x2[arctan(x+1)－arctanx]=___________．

正确答案： 函数y(t)=arctant在[x，x+1]上可导，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(x，x+1)，使得arctan(x+1)一arctanx=，ξ∈(x，x+1)，从而＜x2[arctan(x+1)一arctanx]＜不等式两边取极限可得：=1.故由夹逼准则知：x2[arctan(x+1)一arctanx]=1． 涉及知识点：函数、极限与连续

12． [2012年]=__________.

正确答案：利用定积分定义求上述积和式的极限． =arctanx∣01 =arctanl一arctan0=arctanl=π／4． 涉及知识点：函数、极限与连续

13． [2002年]=__________.

正确答案：利用定积分的定义式(1．1．4．3)或式(1．1．4．2)计算．解一 原式：解二 原式 涉及知识点：函数、极限与连续

14． [2016年] 极限=___________.

正确答案：积和式的极限可利用定积分定义式(1．1．4．3)求之．=∫01 sinx

dx=一∫01 xdcosx=一[(xcosx)∣01 一∫01 cosx dx]=一cos1+∫01 d(sinx)=一cosl+sinl=sinl一cosl． 涉及知识点：函数、极限与连续

15． [2003年] 若x→0时，(1一ax2)1/4一1与xsinx是等价无穷小，则a=_________．

正确答案：利用等价无穷代换及等价无穷小定义求之． 当x→0时，利用命题1．1．3．1(8)得到(1一ax2)1/4一1～一ax2／4，xsinx～x2．于是，根据题设，有=l，故a=一4． 涉及知识点：函数、极限与连续

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[2013年] 设函数f(x)=lnx+

16． 求f(x)的最小值；

正确答案：函数f(x)=lnx+的定义域为(0，+∞)，为求出其最小值，先求出其导函数：因而由f＇(x)=0得到唯一驻点，且当0＜x＜1时，f＇(x)＜0；当x＞1时，f＇(x)＞0，故x=1为函数f(x)的极小值点．由于驻点唯一，也是f(x)的最小值点，最小值为f(1)=1．

解析： 可用一阶导数判别法，求出f(x)的最小值；为证极限xn存在，需证数列{xn}单调有界，为此要充分利用(1)的结论． 知识模块：函数、极限与连续

17． 设数列{xn}满足lnxn+＜l，证明xn存在，并求此极限．

正确答案：由(I)知1是函数f(x)的最小值，故f(xn)=lnxn+≥1，又已知lnxn+＜1，则由lnxn＜1一得到≥l—lnxn≥1一＞0．从而0＜xn＜xn+1，即{xn}单调增加．又由lnxn+＜l，有lnxn＜1一＜1，故0＜xn＜e，即数列{xn}有上界，因{xn}单调增加且有上界，故其极限存在，设极限为a，即xn=a，且a＞0，在不等式lnxn+＜1两边取极限得到lna+≤1．又由(I)知，应有lna+≥1，因而lna+=1，再由(I)知，a=1，即xn=1． 涉及知识点：函数、极限与连续

18． [2006年] 设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn-1=sinxn(n=1，2，…)．证明xn存在，并求该极限.

正确答案：当0＜x1＜π时，有0＜x2=sinx1＜x1＜π，…．设0＜xn＜π，则0＜xn+1=sinxn＜xn＜π．故{xn}单调下降且有下界0，所以存在．下求该极限．令a=xn，由xn+1=sinxn得到a=sina，故a=0，即xn=0．