考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)

考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编4 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是

A．若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛．

B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛．

C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛．

D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛．

正确答案：B

解析：若{xn)单调，则{f(xn)}单调，又f(x)在(－∞，＋∞)内有界，可见{f(xn)}单调有界，从而{f(xn)}收敛．故应选(B)． 知识模块：函数、极限、连续

2． 设an＞0(n＝1，2，3，…)，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的

A．充分必要条件．

B．充分非必要条件．

C．必要非充分条件．

D．既非允分也非必要条件．

正确答案：B

解析：由an＞0(n＝1，2，3，…)，数列{Sn}单凋增加，若{Sn}有界，则{Sn}收敛，且即{an}收敛，故充分性成立．但必要性不一定成立，即若an＞0(n＝1，2，3，…)，且数列{an2}收敛，则数列{Sn}不一定有界．例如，an＝1(n＝1，2，3，…)，则数列{an}收敛于1，但数列{Sn}＝{n}无界．故应选(B)． 知识模块：函数、极限、连续

3． 设x→0时，etanx－ex与xn是同阶无穷小，则n为

A．1．

B．2

C．3

D．4

正确答案：C

解析：因为知，n＝3．故应选(C)． 知识模块：函数、极限、连续

4． 设当x→0时，(1－cosx)ln(1＋x2)是比xsinxn高阶的无穷小，xsinxn是

比(ex2－1)高阶的无穷小，则正整数，n等于

A．1．

B．2

C．3

D．4

正确答案：B

解析：[分析] 直接按无穷小量的定义进行讨论．[详解] 由题设，有知，n≤2； 又由知n≥2．故n＝2． 故应选(B)． 知识模块：函数、极限、连续

5． 把x→0＋时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

A．α，β，γ．

B．α，γ，β

C．β，α，γ．

D．β，γ，α．

正确答案：B

解析：[分析] 先两两进行比较，再排出次序；也可先求出各无穷小量关于x的阶数，再进行比较．[详解1]，可排除(C)，(D)选项，又可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B)．[详解2] 由存在且不为零，知n＝1；存在且不为零，知n＝3；存在且不为零，知n＝2；故应选(B)． 知识模块：函数、极限、连续

6． 当x→0＋时，与等价的无穷小量是

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：[分析] 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案．[详解] 当x→0＋时，有；利用排除法知应选(B)．[评注] 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案．事实上， 知识模块：函数、极限、连续

7． 当x→0时，f(x)＝x—sinax与g(x)＝x2ln(1－bx)是等价无穷小，则

A．a＝1，

B．n＝1，

C．a＝－1，

D．a＝－1，

正确答案：A

解析：[详解] f(x)＝x—sinax，g(x)＝x2ln(1－bx)为等价无穷小，则 由洛必塔法则只需因为，从而a＝1再由，故应选(A)．[评注]本题主要考查等价无穷小的概念、无穷小等价代换、洛必塔法则及重要结论： 知识模块：函数、极限、连续

8． 已知当x＝0时，函数f(x)－3sinx＝sin3x与cxk是等价无穷小，则

A．k＝1，c＝4．

B．k＝1，C＝－4．

C．k＝3，c＝4．

D．k＝3，C＝－4．

正确答案：C

解析：[分析] 由等价无穷小的定义及泰勒公式或洛必塔法则可得，属基本题型．[详解1]用泰勒公式由题意所以k＝3，c＝4．故应选(C)．[详解2]欲使，由洛必塔法则，只需，和差化积得所以k＝3，c＝4．故应选(C)． 知识模块：函数、极限、连续

9． 设cosx－1＝xsina(x)，其中，则当x→0时，a(x)是

A．比x高阶的无穷小．

B．比x低阶的无穷小．

C．与x同阶但不等价的无穷小．

D．与x等价的无穷小．

正确答案：C

解析：由cosx—1＝xsina(x)，有 因此sina(x)是与x同阶但不等价无穷小，又sina(x)与a(x)是等价无穷小，所以，a(x)是与x同阶但不等价的无穷小．故选(C)． 知识模块：函数、极限、连续

10． 设函数在(－∞，＋∞)内连续，且，则常数a，b满足

A．a＜0，b＜0．

B．a>＞0，b＞0．

C．a≤0，b＜0．

D．a≥0，b＜0．

正确答案：D

解析：[分析] 根据f(x)的连续性和条件确定常数． [详解] 由题设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，因此对任意的x∈(－∞，＋∞)，有a＋ebr≠0，这只需a≥0即可；另外，由，所以必有b＜0．故应选(D)． [评注] 事实上，本题由a≥0即可选择正确答案为(D)． 知识模块：函数、极限、连续

11． 设函数，则

A．x＝0，x＝1都是f(x)的第一类间断点．

B．x＝0，x＝1都是f(x)的第二类间断点．

C．x＝0是f(x)的第一类间断点，x＝1是f(x)的第二类间断点．

D．x＝0是f(x)的第二类间断点，x＝1是f(x)的第一类间断点．

正确答案：D

解析：[分析] 显然x＝0，x＝1为间断点，其分类主要考虑左、右极限．[详解] 由于函数f(x)在x＝0，x＝1点处无定义，因此是间断点．且，所以x＝0为第二类间断点．，所以x＝1为第一类间断点，故应选(D)．[评注] 应特别注意：。

知识模块：函数、极限、连续

12． 设f(x)是奇函数，除x＝0外处处连续，x＝0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是

A．连续的奇函数．

B．连续的偶函数．

C．在x＝0间断的奇函数．

D．在x＝0间断的偶函数．

正确答案：B

解析：[分析] 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去计算F(x)＝∫0xf(t)dt，然后选择正确选项．[详解] 取则当x≠0时，而F(0)＝0＝所以F(x)为连续的偶函数，故应选(B)．[评注] 对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效． 知识模块：函数、极限、连续

13． 函数在[－π，π]上的第一类间断点是x＝

A．0．

B．1

C．

D．

正确答案：A

解析：[分析]f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左、右极限判断其类型．[详解]f(x)在[－π，π]上的无定义点，即间断点为x＝0，1，．又

可见x＝0为第一类间断点，故应选(A)． [评注] 本题尽管可计算出，从而x＝1，均为第二类间断点，但根据四个选项的答案，已经确定x＝0为第一类间断点后，后面三个极限问题事实上没必要再计算． 知识模块：函数、极限、连续

14． 设函数，则f(x)有

A．1个可去间断点，1个跳跃间断点．

B．1个可去间断点，1个无穷间断点．

C．2个跳跃间断点．

D．2个无穷问断点．

正确答案：A

解析：[详解]f(x)的间断点为x＝0，x＝1．因为可见x＝0为可去间断点．又，

可见x＝1为跳跃间断点，故应选(A)． 知识模块：函数、极限、连续

15． 函数的可去间断点的个数为

A．1．

B．2

C．3

D．无穷多个．

正确答案：C

解析：[详解]当x取任何整数时，f(x)均无意义，f(x)的间断点必有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故由x－x3＝0的解x1,2,3＝0，±1有所以可去间断点为3个，即0，±1，故应选(C)． 知识模块：函数、极限、连续

16． 函数的无穷间断点数为

A．0．

B．1

C．2

D．3

正确答案：B

解析：[分析] 间断点为x＝0，±1，计算各点处的极限以判断间断点的类型．[详解]有间断点x＝0，±1．又因为，所以x＝0为跳跃间断点．又，所以x＝1为可去间断点，且，所以x＝－1为无穷间断点，因而选择(B)．[评注]x→0时的极限要考虑单侧极限． 知识模块：函数、极限、连续

填空题

17．

正确答案：应填0．

解析：[分析]两次利用分部积分法求出，In＝∫01e－xsinnxdx，然后计算极限．[详解] 知识模块：函数、极限、连续

18． 若x→0时，与xsinx是等价无穷小，则a＝________．

正确答案：应填－4．

解析：[分析] 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a．注意在汁算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简．[详解] 当x→0时，，xsinx～x2于是，根据题设有[评注] 若当x→0时，f(x)→0，则有(1＋f(x))a－1～af(x)． 知识模块：函数、极限、连续

19． 当x→0时，α(x)＝kx2与β(x)＝是等价无穷小，则k＝________．

正确答案：应填