函数与方程

函数与方程解题技巧引言：在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，其中涉及到的一个重要内容就是函数与方程的解题技巧。

函数与方程是数学中的基本概念，掌握解题技巧可以帮助我们更好地理解和运用这些概念。

在本文中，我将介绍一些常见的函数与方程的解题技巧，希望能对大家的学习有所帮助。

一、一元一次方程的解题技巧1. 消元法：当方程中含有未知数的系数时，我们可以通过消元的方式将方程转化为更简单的形式。

例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4，进而求得x=2。

2. 移项法：当方程中含有未知数的系数和常数项时，我们可以通过移项的方式将所有未知数项放到等号一侧，将常数项放到等号另一侧。

例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4。

3. 代入法：当方程中含有两个未知数时，我们可以通过代入的方式将一个未知数用另一个未知数来表示，然后将其代入另一个方程中求解。

例如，对于方程2x+y=7和3x-y=11，我们可以将第一个方程中的y用第二个方程中的y替代，得到2x+3x=7+11，进而求得x=3，再代入第一个方程中求得y=1。

二、一元二次方程的解题技巧1. 求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。

其中，b^2-4ac称为判别式。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。

2. 完全平方公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当其可以写成形如(a^2x^2+b^2+c^2-2abx)=0时，我们可以通过完全平方公式(x-a)^2=x^2-2ax+a^2来解题。

例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以把x^2+6x+9写成(x+3)^2=0，从而得到x=-3。

三、函数的解题技巧1. 求定义域和值域：对于给定的函数，我们需要确定其定义域和值域。

2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。

中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。

多项式函数与多项式方程详细解析与总结多项式函数与多项式方程是高中数学中的重要内容，也是数学模型中常见的形式之一。

本文将详细解析多项式函数与多项式方程的概念、性质、求解方法等，并对其进行总结，以便读者能够全面了解和掌握这一知识点。

一、多项式函数的概念与性质多项式函数是指由常数项、各种系数和幂函数的乘积组成的函数。

其一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为变量。

多项式函数的性质包括：1. 定义域：多项式函数在实数范围内均有定义，其定义域为一切实数。

2. 奇偶性：多项式函数的奇偶性由各项次数的奇偶性决定。

若所有项次数都为偶数，则函数为偶函数；若所有项次数都为奇数，则函数为奇函数。

3. 零点与因式分解：多项式函数的零点就是方程f(x) = 0的解。

根据因式定理，如果x-a是多项式函数的一个零点，那么(x-a)就是函数的一个因式。

二、多项式方程的概念与解法多项式方程是指将一个多项式函数与零相等的表达式。

其一般形式为：anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为未知数。

多项式方程的求解可以通过如下步骤进行：1. 化简与转化：将多项式方程进行化简、整理，使其成为标准形式，即将方程的各项按照幂次从高到低排列，并使最高次的系数为1。

2. 因式分解：尝试对多项式方程进行因式分解，找出其中的因式，从而得到方程的根。

根据因式定理和余式定理，可以简化求解过程。

3. 数值解法：对于无法通过因式分解得到解的多项式方程，可以利用数值解法进行求解。

常见的数值解法包括二分法、牛顿法等。

三、多项式函数与多项式方程的应用多项式函数与多项式方程在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景：1. 数据拟合：多项式函数可以用来拟合实验数据或观测数据，通过确定合适的多项式函数来描述数据间的关系。

函数与方程思想在不等式中的应用
函数和方程是数学中最重要的概念，它们在不等式中也有着重要的应用。

函数是把元素映射到另一个集合中的一种关系，它可以用来表示不等式中的变化。

例如，若y=f(x)，则可以用不等式来表示y的变化，如y>f(x)，表示y大于函数f(x)的值。

方程是把不同的变量组合在一起的一种数学表达式，它可以用来表示不等式中的关系。

例如，若y=ax+b，则可以用不等式来表示y的变化，如y>ax+b，表示y大于方程ax+b的值。

函数和方程在不等式中有着重要的应用，它们可以用来表示不等式中的变化和关系，极大地丰富了数学的表达能力，使数学更加精确、严谨。

第9讲一次函数与方程、不等式考点·方法·破译1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y ＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝a cxb b -+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b ＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为()A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．【变式题组】01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．第1题图第2题图第3题图第4题图02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a ＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 03．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式12x＞kx＋b＞－2的解集为_________．【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201mm m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________． 04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线y ＝x －2与y ＝kx ＋k 的交点为整点时，k 的取值可以取( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．解：由2y x y kx k =-⎧⎨=+⎩得21221k x kk y k +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，∵两直线交点为整数， ∴x 、y 均为整数，又当x 为整数时，y 为整数， ∴21k k +-为整数即可，2213311111k k k k k k k ++-+=-=-=------， ∵k －1是整数，∴k －1＝±1，±3时，x 、y 为整数， ∴k ＝－2，0，2，4． 所以选A ．【变式题组】01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q (p ≠q )，构成函数y ＝px －2和y ＝x ＋q ，并使这两个函数图象的交点在直线x ＝2的右侧，则这样的有序数对(p ，q )共有( ) A ．12对 B ．6对 C ．5对 D ．3对 02． (浙江竞赛试题)直线l ：y ＝px (p 是不等于0的整数)与直线y ＝x ＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l 有( ) A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 03． (荆州竞赛试题)点A 、B 分别在一次函数y ＝x ，y ＝8x 的图像上，其横坐标分别是a 、b (a ＞0，b ＞0)．若直线AB 为一次函数y ＝kx ＋m 的图象，则当ba是整数时，求满足条件的整数k 的值． 【例4】已知x 、y 、z 都为非负数，满足x ＋y －z ＝1，x ＋2y ＋3z ＝4，记ω＝3x ＋2y ＋z ．求ω的最大值与最小值．【解法指导】将x 、y 、z 中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x 、y 、z 的三元方程可变成关于x 、y 的二元方程，从而求出x 与y ，然后代入ω＝3x ＋2y ＋z 中，可得ω与z 的一次函数关系式，然后再求出z 的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．解：由已知得：1243x y z x y z +=+⎧⎨+=-⎩，∴5234x z y z =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝3x ＋2y ＋z ＝3(5z －2)＋2(3－4z )＋z ＝8z ．∵x 、y 、z 都为非负数，∴5203400z z z -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥，∴2354z ≤≤，∴ω的最大值为8×34＝6，ω的最小值为8×25＝165．【变式题组】01． (荆州竞赛试题)已知x 满足不等式：31752233x xx -+--≥，|x －3|－|x ＋2|的最大值为p ，最小值为q ，则pq 的值是( )A ．6B ．5C ．－5D ．－102． 已知非负数a 、b 、c 满足条件：3a ＋2b ＋c ＝4，2a ＋b ＋3c ＝5．设S ＝5a ＋4b ＋7c 的最大值为m ，最小值为n ，则n －m ＝________．03． (黄冈竞赛试题)若x ＋y ＋z ＝30，3x ＋y －z ＝50，x 、y 、z 均为非负数，则M ＝5x ＋4y＋2z 的取值范围是( ) A ．100≤M ≤110 B ．110≤M ≤120 C ．120≤M ≤130 D ．130≤M ≤140【例5】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求△ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∵l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∵y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)．∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S △ABC ＝12×2×3＝3．演练巩固·反馈提高01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么△ABC 的面积是( )A ．2B ．3C ．4D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________． 08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S △ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________． 10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________．11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________．13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l2、l1的解析式；⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积；⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？14．(河北)如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，32 )．⑴求直线l2的解析式；⑵求S△ADC；⑶在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．l2第14题图。

中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围一、解答题1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．【答案】(1)t=3 2(2)t=5(3)3<m<4或m>6【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值；(2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，若0<t≤3，当x=t时，函数值最小，求得t=5，若t>3，当x=3时，函数值最小，解得t=73(不合题意，舍去)；(3)由A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称得m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)；由a<3,b<3且t>0∴4<2m-2解得m>3；分类讨论：当A，B都在对称轴左边时，4<m-2，解得m>6，当A，B分别在对称轴两侧时，4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4,∴3<m<4．【解析】(1)将(2,1)代入y=x2-2tx+3中，得1=4-4t+3，解得，t=3 2；(2)抛物线对称轴为x=t．若0<t≤3，当x=t时，函数值最小，∴t2-2t2+3=-2，解得t=±5．∵t>0，∴t=5若t>3，当x=3时，函数值最小，∴-2=9-6t+3，解得t=73(不合题意，舍去)综上所述t=5．(3)∵A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称∴m-2+m2=t,m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t，∴此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)∵a<3,b<3且t>0∴4<2m-2，解得m>3．当A，B都在对称轴左边时，∵a<b∴4<m-2，解得m>6，∴m>6当A，B分别在对称轴两侧时∵a<b∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4∴3<m<4综上所述3<m<4或m>6．【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作完备的分类讨论是解题的关键．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．【答案】(1)a=-1,b=-2(2)-4<n<-2(3)见解析【分析】(1)由m=-1可得图像过点1,0和-3,0，然后代入解析式解方程组即可解答；(2)先确定函数图像的对称轴为直线x=m，则抛物线过点n,3,0,3，即n=2m，然后再结合-2 <m<-1即可解答；(3)根据图像的对称性得-b2a =m，即b=-2am，顶点坐标为m,am2+bm+3；将点-m,0和3m,0分别代入表达式并进行运算可得am2=-1；则am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4，进而得到12a-b24a=4，然后化简变形即可证明结论．【解析】(1)解：当m=-1时，图像过点1,0和-3,0，∴0=a+b+30=9a-3b+3，解得a=-1b=-2，∴y=-x2-2x+3，∴a=-1,b=-2．(2)解：∵函数图像过点-m,0和3m,0，∴函数图像的对称轴为直线x=m．∵图像过点n,3,0,3，∴根据图像的对称性得n=2m．∵-2<m<-1，∴-4<n<-2．(3)解：∵图像过点-m,0和3m,0，∴根据图像的对称性得-b2a=m．∴b=-2am，顶点坐标为m,am2+bm+3．将点-m,0和3m,0分别代人表达式可得0=am2-bm+3①0=9am2+3bm+3②①×3+②得12am2+12=0，∴am2=-1．∴am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4．∴12a-b24a=4．∴12a-b2=16a．∴b2+4a=0．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．3(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c(b，c是常数)．(1)当b=2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,-3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．【答案】(1)1,4(2)n=m2-2m-2(3)2【分析】(1)将二次函数化为顶点式求解即可；(2)根据二次函数的性质和已知条件得到m=b2，n=c+b24，b=2m，c=-2-2m，进而求解即可；(3)当b=2c+1时，二次函数y=-x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，分0≤c+12≤2 、c+12<0、c+12>2三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【解析】(1)解：当b=2，c=3时，y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当b=2，c=3时，该函数图象的顶点坐标为1,4；(2)解：∵该函数图象经过点(1,-3)，∴-1+b+c=-3，则c=-2-b，∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，∴m=-b2×-1=b2，n=4×-1×c-b24×-1=4c+b24=c+b24，∴b=2m，c=-2-2m，∴n=-2-2m+4m24，即n=m2-2m-2；(3)解：当b=2c+1时，二次函数y=-x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，∵0≤x≤2，∴当0≤c+12≤2即-12≤c≤32时，该函数的最大值为4×-1×c-2c+124×-1=c+2c+124=8，即4c2+8c-31=0，解得c1=-1+352，c2=-1-352，不合题意，舍去；当c+12<0即c<-12时，0≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；当c+12>2即c>32时，0≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x=2时，y有最大值为-22+22c+1+c=8，解得c=2，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第(3)问是解答的关键．4(2023·浙江宁波·校考三模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5．(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点C m,n在该二次函数图像上，当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．【答案】(1)该二次函数表达式y=-x2+3x+5；顶点坐标：32,294(2)-1≤m≤32【分析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)把y=1代入抛物线解析式求得对应的x的值，再根据函数最大值和最小值，即可得答案．【解析】(1)解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5，∴-16+4b+c=1c=5，解得b=3c=5，∴该二次函数为y=-x2+3x+5，∵y=-x-322+294，∴顶点为32,29 4；(2)让y=1，则-x2+3x+5=1，解得：x1=-1,x2=4，当x=32时，y=294，∵当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为3 2，∴-1≤x≤32．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．5(2023·浙江舟山·统考三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)经过点A1，0，点B0，3．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是．(3)点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．【答案】(1)y=x2-4x+3(2)2≤d≤5(3)m=2+5或m=2-6【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为-1，把y=8代入y=x2-4x+3求出x1=5，x2= -1，根据-1≤x≤d时，-1≤y≤8，得出-1≤x≤d时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围；(3)分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即m≥2时，当点P在顶点与点A之间，即1<m<2时，当点P在点A的左侧，即m≤1时，分别求出m的值即可．【解析】(1)解：把点A1，0，点B0，3，代入抛物线y=x2+bx+c得：1+b+c=0c=3，解得：b=-4 c=3，∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；(2)解：∵y=x2-4x+3=x-22-1，∴抛物线的顶点坐标为2,-1，∴y的最小值为-1，把y=8代入y=x2-4x+3得8=x2-4x+3，解得：x1=5，x2=-1，∵-1≤x≤d时，-1≤y≤8，∴-1≤x≤d时，函数能够取到最小值，∴2≤d≤5；故答案为：2≤d≤5．(3)解：当点P在顶点的右侧，即m≥2时，此时函数能够取到最小值-1，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标y P=-1+5=4，即点P的坐标为m,4，把m,4代入y=x2-4x+3得，m2-4m+3=4，解得：m=2+5或m=2-5(舍去)；当点P在顶点与点A之间时，即1<m<2，图象G的最大值和最小值差不可能是5；当点P在点A的左侧，即m≤1时，此时函数的最小值为0，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标y P=0+5=5，即点P的坐标为m,5，把m,5代入y=x2-4x+3得，m2-4m+3=5，解得：m=2-6或m=2+6(舍去)；综上分析可知，m=2+5或m=2-6．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．6(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2ax+1(a是常数)．(1)当a=2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点(1，p)，(-1，q)，求证：pq≤4．(3)已知函数图象经过点A(-3，y1)，B(a+1，y2)，点C(m，y3)，若对于任意的4≤m≤6都满足y1>y3> y2，求a的取值范围．【答案】(1)顶点坐标(2，-3)，对称轴为直线x=2(2)见解析(3)3<a<3或a>72【分析】(1)当a=2时，y=x2-4x+1=x-22-3，进而可求顶点坐标与对称轴；(2)将(1，p)，(-1，q)，代入y=x2-2ax+1得，p=2-2a，q=2+2a，则pq=2-2a=42+2a-4a2≤4，进而结论得证；(3)由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x =a ，则B (a +1，y 2)在对称轴右侧，由对于任意的4≤m ≤6都满足y 1>y 3>y 2，则点A ，B ，C 存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性质，以及y 1>y 3>y 2，列不等式-3 2-2a ×-3 +1>62-2a ×6+1，a +1<4，求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>42-2a ×4+1，6<a ；a +12-2a ×a +1 +1<62-2a ×6+1，分别求解满足要求的解集即可．【解析】(1)解：当a =2时，y =x 2-4x +1=x -2 2-3，∴顶点坐标(2，-3)，对称轴为直线x =2；(2)证明：将(1，p )，(-1，q )，代入y =x 2-2ax +1得，p =1-2a +1=2-2a ，q =1+2a +1=2+2a ，∴pq =2-2a 2+2a =4-4a 2≤4，∴pq ≤4；(3)解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x =a ，则B (a +1，y 2)在对称轴右侧，∵对于任意的4≤m ≤6都满足y 1>y 3>y 2，∴点A ，B ，C 存在如下情况：情况1，如图1，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>62-2a ×6+1，解得a >32，a +1<4，解得a <3，∴32<a <3；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>42-2a ×4+1，解得a >12，又∵6<a ，a +1 2-2a ×a +1 +1<62-2a ×6+1，解得a <5或a >7，∴a >7；综上所述，a 的取值范围为32<a <3或a >7．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．7(2023·浙江杭州·统考二模)已知函数y 1=x 2-m +2 x +2m +3,y 2=nx +k -2n (m ，n ，k 为常数且n ≠0)．(1)若y 1的图象经过点A -1,3 ，求该函数的表达式．(2)若函数y 1，y 2的图象始终经过同一定点M ．①求点M 的坐标和k 的值．②若m ≤2，当-1≤x ≤2时，总有y 1≤y 2，求m +n 的取值范围．【答案】(1)y 1=x 2-x +1(2)①M 2，3 ，k =3；②m +n ≤-1【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)①先求出函数y 1经过定点2，3 ，则M 2，3 ，且M 2，3 在函数y 2的图象上，由此把M 2，3 代入y 2解析式中求出k 的值即可；②先求出抛物线y 1的对称轴在定点M 2，3 的左侧，再结合函数图象可知当x =-1时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可．【解析】(1)解：把A -1,3 代入y 1=x 2-m +2 x +2m +3中得：-1 2+m +2 +2m +3=3，解得m =-1，∴y 1=x 2--1+2 x -2+3=x 2-x +1；(2)解：①在y 1=x 2-m +2 x +2m +3中，当x =2时，y 1=22-2m +2 +2m +3=4-2m -4+2m +3=3，∴函数y 1经过定点2，3 ，∵函数y 1，y 2的图象始终经过同一定点M ，∴M 2，3 ，且M 2，3 在函数y 2的图象上，∴2n +k -2n =3，∴k =3；②∵m≤2，抛物线y1的对称轴为直线x=m+2 2，∴抛物线y1的对称轴在定点M2，3的左侧，由①得y2=nx+3-2n，∵m≤2，当-1≤x≤2时，总有y1≤y2，∴如图所示，当x=-1时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值∴-12+m+2+2m+3≤-n+3-2n∴3m+3n≤-3，∴m+n≤-1．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=ax x-ma≠0和一次函数y2=ax+b a≠0．(1)二次函数y1的图象过1,0,2,2点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：b=-am；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．【答案】(1)二次函数y1的表达式为y1=x x-1；(2)①证明见解析，②m=2【分析】(1)待定系数法，求出函数解析式即可．(2)①先求出二次函数y1=ax x-ma≠0与x轴的交点坐标，进而得到一次函数y2与二次函数y1的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．【解析】(1)解：∵二次函数y1=ax x-ma≠0过1,0,2,2，∴m=1，∴二次函数的表达式为y1=ax x-1，将2,2点代入，得2=2a，∴a=1；∴二次函数y1的表达式为y1=x x-1．(2)①∵当y=0时，ax x-m=0解得：x1=0,x2=m，∴二次函数y1=ax x-1与x轴交于0,0和m,0点，又一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴一次函数y2过m,0点，∴am +b =0，∴b =-am ；②∵b =-am ，∴y 2=ax -am ，∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∵二次函数y 1=ax x -m 的顶点为m 2,-am 24，∴y 2=ax -am 过m 2,-am 24，∴-am 24=-am 2∵a ≠0,m ≠0，∴m 2=2m ，∴m =2．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．9(2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模)在平面直角坐标系中，当x =-2和x =4时，二次函数y =ax 2+bx -2(a ，b 是常数，a ≠0)的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求a ，b 的值．(3)记(2)中的抛物线为y 1，将抛物线y 1向上平移2个单位得到抛物线y 2，当-2≤x ≤m 时，抛物线y 2的最大值与最小值之差为8，求m 的值．【答案】(1)y =-3x -1 2+1，1，1 ；(2)a =-2，b =4；(3)1-5．【分析】(1)根据二次函数的性质及对称轴即可解答；(2)根据二次函数与x 轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；(3)根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．【解析】(1)解：∵当x =-2和x =4时，二次函数y =ax 2+bx -2(a ，b 是常数，a ≠0)的函数值相等，∴二次函数的对称轴为x =-2+42=1，4a -2b -2=16a +4b -2①，∵该函数的最大值为1，∴该函数的顶点坐标为1，1 ，∴1=a +b -2②，∴由①②可得：a =-3b =6 ，∴函数表达式为：y =-3x -1 2+1；(2)解：∵该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，∴一元二次方程ax 2+bx -2=0，该函数的顶点坐标为1，0 ，∴Δ=b 2+8a =0①，a +b -2=0①，∴由①②可得a =0b =2(舍去)，a =-2b =4 ，∴a =-2，b =4；(3)解：由(2)可得y 1的解析式为：y 1=-2x 2+4x -2，∵将抛物线y 1向上平移2个单位得到抛物线y 2，∴y 2=-2x 2+4x ，∴当x =-2时，y 2=-16，∵y 2的顶点坐标为1，2 ，且当-2≤x ≤m 时，抛物线y 2的最大值与最小值之差为8，∴m <1，y 2随x 的增大而增大，∴-16+8=-8，∴-2m 2+4m =-8，∴m -1 2=5，∴m =1±5，∵m <1，∴m =1-5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x 轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．10(2023·浙江丽水·统考二模)二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A x 1,0 ,B x 2,0 且x 1≠x 2．(1)当x 1=2，且b +c =-6时，①求b ，c 的值②当t ≤x ≤t +2时，二次函数y =x 2+bx +c 的最小值为2t ，求t 的值；(2)若x 1=3x 2，求证：32b -c ≤3．【答案】(1)①b =2，c =-8；②t =4或t =22(2)见解析【分析】(1)①依题意，b +c =-64+2b +c =0 ，解方程组即可求解；②根据①得出解析式，对称轴为直线x =-1，进而分t +2≤-1，t <-1<t +2，t ≥-1，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解；(2)由题意得：x 12+bx 1+c =0，x 22+bx 2+c =0，将x 1=3x 2代入，得出 9x 22+3bx 2+c =0，得出x 2=-14b ，代入x 22+bx 2+c =0得c =316b 2，进而32b -c =-316b -4 2+3≤3，即可得证．【解析】(1)解：①依题意，b +c =-64+2b +c =0解得b =2，c =-8②y =x 2+2x -8=x +1 2-9若t +2≤-1，即t ≤-3，当x =t +2时，y =t +2+1 2-9=2t ，解得：t =0(舍去)或t =-4；若t <-1<t +2，即-3<t <-1，当x =-1时，y =-1+1 2-9=2t ，解得：t =-4.5(舍去)；若t ≥-1，当x =t 时，y =t +1 2-9=2t ，解得：t =-22(舍去)或t =22；综上所述：t =4或t =22．(2)∵x 1≠x 2，x 1=3x 2 ∴3x 2≠x 2 ∴x 2≠0由题意得：x 12+bx 1+c =0，x 22+bx 2+c =0，∴9x 22+3bx 2+c =0，∴8x 22+2bx 2=0∴2x 24x 2+b =0∵x 2≠0　∴4x 2+b =0　即x 2=-14b∴把x 2=-14b ，代入x 22+bx 2+c =0得c =316b 2；∴32b -c =32b -316b 2=-316b 2-8b =-316b -4 2+3≤3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．11(2023·浙江杭州·统考二模)二次函数y =ax 2+bx -1(a ，b 为常数，a ≠0)的图像经过点A 1,2 ．(1)求该二次函数图像的对称轴(结果用含a 的代数式示)(2)若该函数图像经过点B 3,2 ；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 是该二次函数图像上两点，其中x 1，x 2是实数．若x 1-x 2=1，求证：y 1+y 2≤112【答案】(1)x =a -32a(2)①y =-x 2+4x -1，最大值为3；②见解析【分析】(1)首先将点A 1,2 代入表达式，然后利用对称轴公式求解即可；(2)①将点B 3,2 代入求出函数的表达式，然后转化成顶点式即可求出该函数的最值；②首先根据x 1-x 2=1得到x 1=x 2+1，然后表示出y 1+y 2利用二次函数的性质求解即可．【解析】(1)将点A 1,2 代入y =ax 2+bx -1得，a +b -1=2，∴b =3-a ，∴二次函数y =ax 2+3-a x -1，∴对称轴为x =-3-a 2a =a -32a；(2)①将B 3,2 代入y =ax 2+3-a x -1得，9a +9-3a -1=2，∴解得a =-1，∴二次函数y =-x 2+4x -1，∴y =-x 2+4x -1=-x 2-4x -1=-x -2 2+3，∵-1<0，∴抛物线开口向下，∴该函数的最大值为3；②∵x 1-x 2=1∴x 1=x 2+1，∴y 1+y 2=-x 12+4x 1-1-x 22+4x 2-1=-x 2+1 2+4x 2+1 -1-x 22+4x 2-1=-2x 22+6x 2+1=-2x 2-3 2+112∵-2<0，∴y 1+y 2的最大值为112，∴y 1+y 2≤112．【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12(2023·浙江杭州·统考一模)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (1,0),B (m ,0)两点．(1)当a =1,b =2时，求m 的值．(2)当0<a <2,c =2时，①求证：m >1．②点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 在该抛物线上，且x 1>x 2,x 1+x 2<2，试比较y 1与y 2的大小．【答案】(1)-3；(2)①见解析；(2)y 1<y 2【分析】(1)当a =1,b =2时，y =x 2+2x +c ，把A (1,0)代入求得c =-3，得到y =x 2+2x -3，把B (m ,0)代入y =x 2+2x -3得，0=m 2+2m -3，解方程即可得到答案；(2)①把A (1,0),B (m ,0)代入y =ax 2+bx +c (a ≠0)得a +b +c =0，am 2+bm +c =0，由c =2得到a +b +2=0，am 2+bm +2=0进一步得am 2-a +2 m +2=0，则Δ=a +2 2-4a ×2=a -2 2≥0，由0<a <2,解方程求出m ，即可判断．②由①得b =-a -2，c =2，则y =ax 2-a +2 x +2，把C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 代入得y 1=ax 12-a +2 x1+2，y 2=ax 22-a +2 x 2+2，则y 1-y 2=x 1-x 2 a x 1+x 2 -a +2 ，由x 1>x 2,x 1+x 2<2，得到x 1-x 2>0,,a x 1+x 2 -a +2 <0，进一步即可得到答案．【解析】(1)解：当a =1,b =2时，y =x 2+2x +c ，把A (1,0)代入得，0=1+2+c ，解得c =-3，∴y =x 2+2x -3，把B(m,0)代入y=x2+2x-3得，0=m2+2m-3，解得m=1或-3；∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点，∴m=-3；(2)①把A(1,0),B(m,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)得，a+b+c=0，am2+bm+c=0，∵c=2，∴a+b+2=0，am2+bm+2=0，由b=-a-2得到am2-a+2m+2=0，则Δ=a+22-4a×2=a-22≥0，∴m=a+2±a-222a=a+2±a-22a，∴m1=1(舍去)，m2=2a，∵0<a<2,∴m>1．②由①得b=-a-2，c=2，∴y=ax2-a+2x+2，把C x1,y1,D x2,y2代入得，y1=ax12-a+2x1+2，y2=ax22-a+2x2+2，∴y1-y2=ax12-a+2x1+2-ax22-a+2x2+2=a x1-x2x1+x2-a+2x1-x2=x1-x2a x1+x2-a+2，∵x1>x2,x1+x2<2，∴x1-x2>0,a x1+x2-a+2<2a-a+2,∵0<a<2,∴2a-a+2=a-2<0，∴a x1+x2-a+2<0，∴y1-y2=x1-x2a x1+x2-a+2<0，∴y1<y2．【点睛】此题考查了二次函数的性质、解一元二次方程、比较函数值大小等知识，读懂题意并准确计算是解题的关键．13(2023·浙江绍兴·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．(1)求该抛物线的对称轴(用含t的式子表示)；(2)若点M t-2，m，N t+3，n在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m，n的大小；(3)P x1，y1，Q x2，y2是抛物线y=x2-2tx+1上的任意两点，若对于-1≤x1<3且x2=3，都有y1≤y2，求t的取值范围；(4)P t+1，y1，Q2t-4，y2是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=t；(2)n>m；(3)t≤1；(4)t的最大值为5．【分析】(1)把解析式化成顶点式即可求得；(2)根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；(3)分3种情况求解即可；(4)分两种情况讨论，根据题意列出关于t的不等式，解不等式即可解决问题．【解析】(1)解：∵y=x2-2tx+1=x-t2-t2+1，∴抛物线的对称轴为直线x=t；(2)解：∵点M t-2，m在抛物线y=x2-2tx+1上，，N t+3，n∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t，又∵|t-(t-2)|=2，|t-(t+3)|=3，2<3，∴点N t+3，n离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，∴n>m；(3)解：∵抛物线的开口向上，∴离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，函数值越大．当t>3时，点P离对称轴远，不符合题意；当-1≤t≤3时，由题意得，3-t≥t--1，解得t≤1，∴-1≤t≤1时，都有y1≤y2；当t<-1时，点Q离对称轴远，都有y1≤y2．综上，当t≤1时，都有y1≤y2．(4)解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t，∴点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，∵y1≥y2，①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，∴2t-4≥t且2t-4≤t+1，解得4≤t≤5；②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，∴2t-4<t，t-2t-4≤t+1-t，解得3≤t<4，综上所述：当3≤t≤5时，满足题意．∴t的最大值为5．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．14(2023·浙江杭州·模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+m2+1存在两点A m-1,y1．，B m+2,y2(1)求抛物线的对称轴；(用含m的式子表示)(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F(包括A，B两点)，y轴上一动点C0,a，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；(3)若点M2,y3也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G(包括M，A两点)，记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥y2-y1，求m的取值范围．【答案】(1)x=m(2)a=1或2<a≤5(3)m≤2-3或m≥4【分析】(1)将一般式转化为顶点式即可得解；(2)将A m-1,y1代入解析式，求出y1,y2，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即 ，B m+2,y2可；(3)分点M在点A的左侧；点A的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．【解析】(1)解：y=x2-2mx+m2+1=x-m2+1，∴对称轴为：x=m；(2)解：由y=x2-2mx+m2+1=x-m2+1可知：抛物线的顶点坐标为：m,1，当x=m-1时：y1=m-1-m2+1=2，当x=m+2时：y1=m+2-m2+1=5，∴A m-1,2,B m+2,5，∵C0,a，∴过点C垂直于y轴的直线l：y=a，如图：由图象可知：当a=1或2<a≤5时，直线l与F有且仅有一个交点，∴a的取值范围为：a=1或2<a≤5；(3)解：∵A m-1,2，,B m+2,5∴t≥y2-y1=5-2=3，当x=2时，y3=m2-4m+5，∴M2,m2-4m+5①当M在点A的左侧，即：m-1>2，m>3时：在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，∴t=m2-4m+5-2=m2-4m+3≥3，解得：m≥4或m≤0(舍掉)；②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时t<2-1=1，不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3≤2时，此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：t=2-1=1<3不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3>2时，此时M 点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，∴t =m 2-4m +5-1=m 2-4m +4≥3，解得：m ≥2+3(舍)，或m ≤2-3；∴m ≤2-3；综上：m ≤2-3或m ≥4．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．二、填空题(共0分15(2022春·九年级课时练习)抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，则k 的取值范围是．【答案】k ≤54且k ≠1【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合k -1≠0，即可得到答案．【解析】解：∵抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，∴Δ=(-1)2-4×(k -1)×1≥0，∴k ≤54，又∵k -1≠0，∴k ≠1，∴k 的取值范围是k ≤54且k ≠1；故答案为：k ≤54且k ≠1．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．16(2020秋·九年级课时练习)抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是．【答案】(-4，-20)【解析】解：∵当x =-4时，y =(-4)2+8×(-4)-4=-20，∴抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是(-4，-20)．故答案为(-4，-20)．17(2023·安徽淮北·校考一模)若对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，则一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是．【答案】x 1=-5，x 2=1【分析】根据二次函数的对称性求出(1,0)的对称点，即可得到答案；【解析】解：∵对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，∴点(1,0)的对称点是：(-2×2-1,0)，即(-5,0)，∴方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-5，x 2=1，故答案为：x 1=-5，x 2=1；【点睛】本题考查抛物线的性质及二次函数与一元二次方程关系，解题的关键是根据对称性求出对称点．18(2021春·九年级课时练习)抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点的个数是．【答案】3个【分析】先令y =0，得出关于x 的一元二次方程，由△>0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x 轴有两个不同的交点，与y 轴有一个交点．【解析】解：∵抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)，∴当y =0时，0=2x 2+2(k -1)x -k ，∴△=[2(k -1)]2-4×2×(-k )=4k 2+4>0，∴0=2x 2+2(k -1)x -k 有两个不相等的实数根，∴抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)与x 轴有两个交点，∴抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)与y 轴有一个交点，所以，抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点有3个，故答案为：3个．【点睛】本题考查抛物线与x 、y 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的部分图象如图所示，图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，下列结论：①2a +b =0；②当m ≠-1时，am 2-b m +1 <a ；③若点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，则y 1<y 3<y 2；④若关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有3个．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①②③【分析】根据图象对称轴为直线x =1，可得2a =-b ；可判断①；设w =am 2-b m +1 ，可得w =am 2-b m +1 =am 2+2a m +1 =a m +1 2+a ，再由a <0，可得当m =-1时，w 取得最大值，最大值为a ，可判断②；根据1--2 >52-1>1-12，可得y 1<y 3<y 2，可判断③；根据题意可得关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的根即为抛物线与直线y =p p >0 的交点的横坐标，可判断④，即可．【解析】解：①∵图象对称轴为直线x =1，∴-b 2a=1，∴即2a +b =0，故①正确；②设w =am 2-b m +1 ，∴w =am 2-b m +1 =am 2+2a m +1 =am 2+2am +2a =a m +1 2+a ，∵二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的图象开口向下，∴a <0，∴当m =-1时，w 取得最大值，最大值为a ，∴当m ≠1时，am 2-b m +1 <a ，故②正确；③∵点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，且1--2 >52-1>1-12，∴y 1<y 3<y 2，故③正确；④∵图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为3,0 ，∴抛物线的解析式为y =a x +1 x -3 ，∴关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的根即为抛物线与直线y =p p >0 的交点的横坐标，∴当p >0且抛物线与直线y =p p >0 的有两个交点，且交点的横坐标为整数时，这样的点P 有1个，∴关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有1个，故④错误．故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、单选题(共0分20(2023·浙江·校联考三模)已知点x 1，y 1 ，x 2，y 2 为二次函数y =-x 2图象上的两点(不为顶点)，则以下判断正确的是()A.若x 1>x 2，则y 1>y 2B.若x 1<x 2，则y 1<y 2C.若：x 1x 2<x 2 2，则y 1>y 2D.若x 1x 2>x 2 2，则y 1<y 2【答案】D【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．【解析】解：∵y =-x 2，a =-1<0，对称轴为y 轴，∴在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；A 、x 1>x 2，y 1不一定大于y 2，例如x 1=1时，y 1=-1，x 2=-1时，y 2=-1，此时x 1>x 2，但是y 1=y 2；故选项A 错误；B 、x 1<x 2，y 1不一定小于y 2，例如x 1=-1时，y 1=-1，x 2=1时，y 2=-1，此时x 1<x 2，但是y 1=y 2；故选项B 错误；C 、当x 1x 2<x 2 2，y 1不一定大于y 2，例如x 1=-3时，y 1=-9，x 2=1时，y 2=-1，此时x 1x 2=-3<x 22=1，但是y1<y2；故选项C错误；D、当x1x2>x22，即：x1x2>x2x2>0，∴x1<x2<0或x1>x2>0，当x1<x2<0时，y1<y2，当x1>x2>0时，y1<y2，∴当x1x2>x22时，y1<y2；故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断．21(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=(ax+1)(bx+1)，y2=(x+a)(x+b)，(a，b为常数，且ab≠0)，则下列判断正确的是()A.若ab<1，当x>1时，则y1>y2B.若ab>1，当x<-1时，则y1>y2C.若ab<-1，当x<-1时，则y1>y2D.若ab>-1，当x>1时，则y1>y2【答案】B【分析】先计算y1-y2=ax+1x+1x-1，再根据各选项给=ab-1x+bbx+1-x+a定的条件逐一分析即可得到答案．【解析】解：∵ab<1，x>1，∴ab-1<0，x-1>0，x+1>0，∴y1-y2=ax+1bx+1x+b-x+a=abx2+ax+bx+1-x2-ax-bx-ab=ab-1x2+1-ab=ab-1，x-1x+1∴y1-y2<0；∴y1<y2；故A不符合题意；∵ab>1，x<-1，∴ab-1>0，x-1<0，x+1<0，∴y1-y2>0；∴y1>y2；故B符合题意；∵ab<-1，x<-1，∴ab-1<0，x-1<0，x+1<0，∴y1-y2<0；∴y1<y2；故C不符合题意；∵ab>-1，x>1，∴ab-1>-2，x-1>0，x+1>0，∴y1-y2可以比0大，也可以比0小；∴y1，y2的大小不确定；故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．22(2023·浙江杭州·统考二模)点P m ,n 在二次函数y =ax 2-2ax a ≠0 的图象上，针对n 的不同取值，存在点P 的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P 的个数为1，则n =-a ；乙：若P 的个数为2，则n ≥-a 则下列判断中正确的是()A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知，当n 是顶点的纵坐标时，P 的个数为1，当n 不是顶点纵坐标时，P 的个数为2，即可得出结论．【解析】解：∵y =ax 2-2ax =a x -1 2-a ，∴抛物线的顶点坐标为：1,-a ，∵点P m ,n 在二次函数y =ax 2-2ax a ≠0 的图象上，∴当n =-a 时，点P 为抛物线的顶点，只有1个，当n ≠-a 时，根据抛物线的对称性，点P 的个数为2；∴甲正确，乙错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．23(2023·浙江宁波·校考二模)已知点A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 在抛物线y =-(x -4)2+m (m 是常数)上．若x 1<4<x 2，x 1+x 2>8，则下列大小比较正确的是()A.y 1>y 2>mB.y 2>y 1>mC.m >y 1>y 2D.m >y 2>y 1【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-(x -4)2+m 的开口向下，有最大值为m ，对称轴为直线x =4，根据x 1<4<x 2，x 1+x 2>8，设A x 1,y 1 的对称点为A 1(x 0，y 1)，得出x 1+x 0=8，则在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，则当4<x 0<x 2时，m >y 1>y 2．【解析】解：∵y =-x -4 2+m ，∴a =-1<0，∴当x =4时，有最大值为y =m ，∴抛物线开口向下，∵抛物线y =-x -4 2+m 对称轴为直线x =4，设A x 1,y 1 的对称点为A 1(x 0，y 1)，即x 0>4，∴x 1+x02=4，∴x 1+x 0=8，∵x 1+x 2>8，∴x 1+x 2>x 1+x 0，∴x 2>x 0，∴4<x 0<x 2，∴m >y 1>y 2．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a <0，抛物线开口向下；对称轴为直线x =-b2a，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小．24(2023·统考二模)已知二次函数y =x 2+bx +c 过点A x 1,y 1 ，B x 1+t ,y 2 ，C x 1+2t ,y 3 三点．记m =y 2-y 1，n =y 3-y 2，下列命题正确的是()A.若n -m >2，则t <-1B.若n -m <2，则t >-1C.若t >1，则n -m >2D.若t <1，则n -m <2【答案】C【分析】根据题意求出m 和n ，再计算n -m ，再分别分析各选项即可得出真命题．【解析】解：由题意可得：m =y 2-y 1=x 1+t 2+b x 1+t +c -x 12+bx 1+c =x 1+t 2+b x 1+t -x 12-bx 1=t 2+2tx 1+bt n =y 3-y 2=x 1+2t 2+b x 1+2t +c -x 1+t 2+b x 1+t +c =x 1+2t 2+b x 1+2t +c -x 1+t 2-b x 1+t -c =3t 2+2tx 1+bt∴n -m =3t 2+2tx 1+bt -t 2+2tx 1+bt =2t 2，若n -m >2，则2t 2>2，∴t >1或t <-1，故A 是假命题；若n -m <2，则2t 2<2，∴-1<t <1，故B 是假命题；若t >1，则n -m =2t 2>2，故C 为真命题；若t <1，则0<2t 2<2，即0<n -m <2，故D 为假命题，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像上的点，最值，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到n -m =2t 2．25(2023·浙江杭州·统考二模)已知y 关于x 的二次函数y =2mx 2+1-m x -1-m ，下列结论中正确的序号是()①当m =-1时，函数图象的顶点坐标为12,12；②当m ≠0时，函数图象总过定点：③当m >0时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于32；④若函数图象上任取不同的两点P 1x 1,y 1 、P 2x 2,y 2 ，则当m <0时，函数在x >14时一定能使y 2-y 1x 2-x 1<0成立．A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④【答案】A【分析】求出当m =-1时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m ≠0时，二次函数y =m 2x 2-x -1 +x -1，当2x 2-x -1=0时，y 的值与m 无关，求出x 的值，即可得到定点，即可判断。