全国硕士研究生统一招生考试-管理综合-数学-第三章 函数、方程、不等式

2003年考研数学（三）真题答案1.【分析】当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.2. 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y = ′0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有.22a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故.44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=3. 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0 ≤x ≤1,0 ≤y −x ≤1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdya x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+4. 【分析】 这里 ααT为 n 阶矩阵，而 αT= α2a 2为数，直接通过 AB =E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==TT T T aa E αααααααα⋅-+-11=T T T Ta a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 由于A<0,故a=-1.5.. 【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),且.DX DZ =于是有cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：D (X +a ) =DX ，cov(X ,Y +a ) =cov(X ,Y ).6.. 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i p n i i 【详解】这里22221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）7.【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C)三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.8..【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零,故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).9.【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据nn n a a p +=，nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).10.. 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件.【详解】 根据A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a b bb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠,故必有a ≠b 且a+2b=0.应选(C).【评注】n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r 11..【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾.可见（A ）成立.(B):若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.12.. 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.13..【分析】只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】因为)(lim 1x f x -→=)1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ=xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x ，转化为求 y →0 +的极限，可以适当简化.14..【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv f v u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfx u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂故v f v f xv u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂=.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.15.. 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：x =r cos θ, y =r sin θ，有dxdyy x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d er ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记tdt e A t sin 0⎰-=π，则tt de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos ttde =]sin cos [0tdt e te t t⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此)1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.16..【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xx x x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由f(0)=1,得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0.由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.17.. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】(1)由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+=(22)x e -2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2)]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x+⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是.)(22x x e e x F --=【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.18..【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(.故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f 因为f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf 【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.19..【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a A n n n n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1)当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零.不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a （将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = .原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α【评注】本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T)1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.20..【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得a=1,b=-2.(2)由矩阵A 的特征多项式)3()2(2020202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T 51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(20020022b a a b b a A E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得 a=1,b=2.21..【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y 的分布函数即可。

考研数学常用不等式公式大全
一、不等式简写
1、均等量不等式：将相对应项的系数加在一起，则变为：∑ai(xi-
x)≥0,其中 x 表示称为常数值而另一项表示可变量，假定 ai,xi 满
足 ai>0，则形式化为：∑ai xi ≥∑ai x。

2、不等式中，称左端项称为不等式恒等量：A≥0;而右端称为不
等式可变量，即 B(x)；则恒等量和可变量可形成一个不等式A≥B(x)。

二、对偶不等式公式
1、原不等式Ax+By≤c，其对偶不等式为：Y/A≥c/B-x/A。

2、原不等式 A＞B，其对偶不等式为：1/A≤1/B；原不等式
A≥B，其对偶不等式为：1/A≥1/B。

3、原不等式Ax+By≤c，其对偶不等式为：Ax-Y≥c-B。

三、限界不等式公式
1、限界不等式是若 f(x) 是定义在区间a≤x≤b上的函数，则有如下
限界不等式：下限≤f(x)≤上限。

2、因此限界不等式的具体表达可表示为：f(x)≤F；或者以斐波
纳切数列为例：不等式Fn-1+Fn≤Fn+2可分别用如下形式表示：Fn-
1≤Fn+2；Fn≤Fn+2。

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n…（-），其中n为正整数，则(0)f=（）（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdr=（）（A）2224222202()xx xdx x y f x y dy（B）22242202()xx xdx f x y dy（C）2222220214()2xdx x y f x y dyx x（D）22220214()2xdx f x y dyx x（4）已知级数11 (1)sinni nn绝对收敛，21(1)nin条件收敛，则范围为（）（A）0<12（B）12< 1（C）1<32（D）32<<2（5）设12341234110,1,1,1c c c c 其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123，，（B ）124，，（C ）134，，（D ）234，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112，123=P （，，），1223=Q （+，，）则1=QAQ （）（A ）121（B ）112（C ）212（D ）221（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8（D ）4（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N 2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X 的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)（D ）(1,1)F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cossin 4lim (tan )x xxx（10）设函数ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x yf f x dx xx求___________.（11）函数(,)zf x y 满足2201(,)22lim0,(1)x yf x y x y xy则(0,1)dz_______.（12）由曲线4yx和直线yx 及4y x 在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C 则C P （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 4limxxxee x（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy，其中D 为由曲线1yx yx与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x及()()2x f x f x e1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b有无穷多解，求a，并求Ax b的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa，二次型123(,,)()f x x x x x的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X12P121316Y 0 1 2P131313XY 0 1 2 4P71213112求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y 与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y 求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E UV .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

2023年全国硕士研究生招生考试考研（数学三）真题及详解1．已知函数f 一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（x ，y ）＝ln （y ＋|xsiny|），则（ ）。

A ．∂∂x f0,1)(不存在，∂∂y f 0,1)(存在B ．∂∂x f0,1)(存在，∂∂y f 0,1)(不存在C ．∂∂x f0,1)(，∂∂y f 0,1)(均存在D ．∂∂x f0,1)(，∂∂yf 0,1)(均不存在2．函数x ≤0)⎩(x +1cos x ,x >0f (x )=的原函数为（）。

A． ⎪≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln ,0B．⎪+≤⎧F x x x 1cos sin ,0)⎩(x +x -x x >)()=⎨⎪ln 1,0C．⎪+≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln ,0D．⎪++≤⎧F x x x 1sin cos ,0)⎩(x +x +x x >)()=⎨⎪ln 1,0）。

3．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（A ．a ＜0，b ＞0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＝0，b ＞0D ．a ＝0，b ＜0n ＝1，2，…），若级数∑∞n =1a n 与∑∞n =1bn均收敛，则“级数∑∞n =1an绝对收敛”是“∑∞bnn =14．已知a n ＜b n（绝对收敛”的（）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设A ，B 为n 阶可逆矩阵，E 为n 阶单位矩阵，M *为矩阵M 的伴随矩阵，则⎝⎭⎪⎛⎫O B A E *＝（）。

A ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A B B A OB A ****B ．⎝⎭⎪⎪-⎛⎫B A A B O A B ****C ． ⎝⎭ ⎪ ⎪-⎛⎫B A B A OA B ****D ．⎝⎭⎪ ⎪-⎛⎫A BA B OB A ****x 1，x 2，x 3）＝（x 1＋x 2）2＋（x 1＋x 3）2－4（x 2－x 3）2的规范形为（）。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题(总分150, 做题时间180分钟)选择题每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.当x →0 时，若x-tanx与x k是同阶无穷小，则 k=SSS_SINGLE_SELA1B2C3D4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.已知方程 x5-5x + k = 0 有个不同的实根，则 k 的取值范围SSS_SINGLE_SELA（-∞，-4）B（4，+∞）C[-4，4]D（-4，4)该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D3.已知微分方程y''+ay'+by=ce x的通解为y=（C1+C2x）e-x+e x，则a，b，c依次为SSS_SINGLE_SELA1,0,1B1,0,2C2,1,3D2,1,4该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D由题干分析出-1为特征方程r2+ar+b=0的二重根，即（r+1）2=0 故a=2，b=1；又e x为y''+ay'+by=ce x的解，代入方程得c=44.SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B5.设A是四阶矩阵，A*是 A的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则A*的秩是SSS_SINGLE_SELAB1C2D3该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A由于 AX = 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 - R(A) = 2可得R(A) - 2 < 3，故R(A* ) = 0。

6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2+A=2E ,且| A |=4 ,则二次型x T Ax的规范形为SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C∵A2+A=2E ,设 A的特征值为λ∴λ2+λ=2（λ+2）（λ-1）=0∴λ=-2或1∵| A |=4∴A的特征值为λ1=λ2=-2，λ3=1∴q=2，p=1∴X T Ax的规范形为y12-y22-y327.设 A,B 为随机事件，则 P(A) = P(B) 的充分必要条件是SSS_SINGLE_SELAP(A∪B) = P(A) + P(B)BP(AB) = P(A)P(B)CD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:CA选项⇔P(AB) =0 ,故 A 排除B选项⇔ A、B 独立，故 B 排除C选项⇔ P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)而P(A) ⇔ P(B) ，故 C 正确= 1- P(A) -P(B) + P(AB)⇔1 = P(A) + P(B) 故 D 排除8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则P{|X-Y|<1}SSS_SINGLE_SELA与μ无关，而与σ2有关B与μ有关，而与σ2无关C与μ,σ2都有关D与μ,σ2都无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A填空题每小题4分，共24分。

常用不等式公式考研### 题目：考研中常用的不等式公式考研一直以来都是很多考生梦寐以求的事情，但它也同时需要考生们花费大量的课余时间备考。

考研的重点除了语文、英语外，数学也不可忽视，特别是不等式公式。

下面将介绍一些常用的不等式公式，并且分析每一种公式的特点，方便考生备考。

#### 一、二次不等式二次不等式是考研数学中常见的公式，它包括两个加减型公式——a^2+bx+c≤0和a^2+bx+c≥0，其中a不等于0。

其中，a^2+bx+c≤0反映的意思是二次函数y=ax^2+bx+c的图像在所有x的实数范围内，均不大于0。

而a^2+bx+c≥0的意思则表示二次函数y=ax^2+bx+c的图像在所有x的实数范围内，均不小于0。

解答二次不等式的关键，就在于找到使a^2+bx+c≤0或者a^2+bx+c≥0成立的x的取值范围，这样就可以解出二次不等式。

#### 二、分数不等式分数不等式公式非常常见，即形如：m/n>k or m/n≥k 或m/n<k or m/n≤k 的形式。

其中，m/n＞k的意思是分数m/n大于k，而m/n≥k则是表示m/n不小于k。

m/n＜k表示分数m/n小于k，而m/n≤k则是表示m/n不大于k。

当让分数不等式成立时，则通常可以化为同分母，然后再比较大小，确定分数的取值范围。

#### 三、一元三次以及四次的不等式在考研数学中，一元三次以及四次的不等式，是非常重要的公式，它们可以分别表示为：a^3+b^2+c≥0 或a^3+b^2+c≤0 以及a^4+b^3+c^2+d≥0 或a^4+b^3+c^2+d≤0 。

其中，a^3+b^2+c≥0表示三次函数y=a^3+b^2+c的图像在所有x的实数范围内，均不小于0；而a^3+b^2+c≤0的意思则表示三次函数y=a^3+b^2+c的图像在所有x的实数范围内，均不大于0。

同理，a^4+b^3+c^2+d≥0表示四次函数y=a^4+b^3+c^2+d的图像在所有x的实数范围内，均不小于0；而a^4+b^3+c^2+d≤0的意思则表示四次函数y=a^4+b^3+c^2+d的图像在所有x的实数范围内，均不大于0。

考研不等式公式总结一、引言：考研中的那些“坑”你知道的，考研是一个巨大的挑战，拼的不仅是努力，还有技巧。

最让人头疼的就是那些看起来高深莫测的不等式公式了。

总觉得这些公式像是藏在迷雾中的神秘宝藏，只有勇敢的人才能够找到它们的真正意义。

可是，别急，今天我就来为大家揭秘这些不等式公式，让你轻松应对，不再被它们压得喘不过气来！考试前焦虑吗？别怕，看看这些公式，笑一笑，万事不求人！二、最常见的不等式公式1. 柯西不等式“这个柯西不等式是个什么鬼？”你一定这么想。

其实呢，这个公式不难，搞明白了之后，你会发现它真的能让你的分数蹭蹭上涨。

它其实是这么个意思：把两个向量的内积和它们的模长乘积作个比较。

公式写出来大概就是这个样子：(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_n b_n)² ≤ (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) × (b_1^2 +b_2^2 + ... + b_n^2)。

看着有点吓人，但其实它就是两个向量之间“亲密”的关系，简单来说就是你拿这两个向量的点乘和它们的模长相乘对比，结果绝不会超过某个值。

就这么简单！是不是感觉自己一下子聪明了好多？2. 均值不等式（AMGM）你可能听说过这个，记得老师上课说过，或者在做题的时候突然冒出来让你头大。

其实这个公式就告诉你，在一定条件下，算术平均数总是大于或等于几何平均数。

公式长得像这样：frac{a_1 + a_2 + ... + a_n{n ≥ sqrtn{a_1a_2...a_n。

什么意思呢？就是简单来说，算术平均数比几何平均数大，简直是“霸主”级的存在！你想象一下，算术平均数代表的是大家的平均水平，而几何平均数更像是藏在幕后，计算比较麻烦的那个角色。

要是你知道它的意义，就能瞬间明白为什么要这么比了。

3. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式说的是什么呢？这其实是在给你一个“安全”范围，它告诉你，不管数据如何分布，只有少数数据会离均值特别远。