特殊三角形知识点归纳及练习

特殊三角形-练习题(含答案)特殊三角形-练习题(含答案)一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，那么斜边的长度是：A. 5B. 7C. 9D. 122. 一个等腰三角形的两条等边分别为5，那么等腰三角形的底边长为：A. 2.5B. 4C. 5D. 103. 在等边三角形中，每个角的度数为：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4. 若一个三角形有一条边长为2，另外两条边长为3和4，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形5. 在等腰直角三角形中，两条直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度为：A. 5B. 7C. 9D. 12二、填空题1. 正三角形的每个角度数为__________。

2. 整数边长的直角三角形有__________组。

3. 锐角三角形的内角和为__________度。

4. 勾股定理可以用来判断一个三角形是否为__________。

5. 一个等腰三角形的两条等边分别为6，那么等腰三角形的底边长为__________。

三、解答题1. 证明等腰直角三角形的两条直角边相等。

解答思路：通过证明直角三角形两个角相等，并且直角三角形的两边长相等，可以得出等腰直角三角形的两条直角边相等。

2. 在等边三角形ABC中，边长为6。

连接点A和边BC的垂线段AD，求垂足D与点C之间的距离。

解答思路：利用等边三角形的性质，可以得出垂足D与点C之间的距离等于等边三角形的边长的一半。

四、答案选择题答案：1. A2. B3. B4. D5. A填空题答案：1. 60°2. 3组3. 180°4. 直角三角形5. 6解答题答案：1. 略2. 等边三角形的边长为6，所以垂足D与点C之间的距离为3。

结束语通过以上练习题的答案，我们可以对特殊三角形的性质和计算有更深入的了解。

中考复习特殊三角形中考对于每一位初中生来说都是一次重要的挑战，而数学中的特殊三角形更是考点中的重点。

特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形，它们各自具有独特的性质和判定方法。

接下来，让我们一起深入复习这些特殊三角形的知识。

一、等腰三角形等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

1、性质（1）等腰三角形的两腰相等。

（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。

（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

2、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

在解题中，我们常常利用等腰三角形的性质和判定来求解角度、边长等问题。

例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80°，那么底角的度数就可以通过“（180°顶角）÷ 2”来计算，即（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。

二、等边三角形等边三角形又称正三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为 60°。

1、性质（1）等边三角形的三条边都相等。

（2）等边三角形的三个内角都相等，且均为 60°。

（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

2、判定（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形在实际问题中也有广泛的应用。

比如在建筑设计中，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固性。

三、直角三角形直角三角形是一个角为直角的三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。

1、性质（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

（2）在直角三角形中，两个锐角互余。

特殊三角形二十个考点归纳总结考点1轴对称图形的识别解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折丧，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形.例题1 2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员 驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ）功盘 ⑥曲A.协和医院B.湘雅医院C.齐鲁医院D.华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.【解析】工、不是轴对称图形，故此选项不合题意：不是轴对称图形，故此选项不符合题意：C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；。

、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C.变式1 下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ）【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答.【解析】第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C.【小结】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 变式2 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）A A ® A 当心辐射I I 当心感染I I 必须戴防护手套］I 小心腐蚀A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可.【解析】第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B.【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念.变式3 下列图形中，是轴对称图形的有（）个.①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案.【解析】①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形.故轴对称图形有6个.故选：C.【小结】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.考点2轴对称的性质与运用轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.例题2 如图，尸为内一点，分别画出点尸关于。

特殊三角形的定义、性质及判定等腰三角形1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等腰三角形的性质：〔1〕等腰三角形的两个底角相等；〔2〕等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

5. 等边三角形的判定：〔1〕三个角都相等的三角形是等边三角形；〔2〕有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形〔1〕等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形.〔2〕等边三角形的性质：①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°；②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.〔3〕等边三角形的判定①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形.〔4〕两个重要结论①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°.两个重要结论的数学解释：：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，那么：①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°；②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC.直角三角形1. 认识直角三角形。

学会用符号与字母表示直角三角形。

按照角的度数对三角形进展分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

第17章 特殊三角形一、等腰三角形1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一） （3）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

①等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ①等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为①A ，底角为①B 、①C ，则①A=180°—2①B ，①B=①C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边）（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 。

二、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边直角边，简称：HL ）1：勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b ，a =） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

特殊三角形知识点及例题三角形是几何学中的基本形状之一，由三条边和三个角构成。

在三角形中，存在着一些特殊的三角形，它们具有一些特殊的性质和性质。

本文将介绍特殊三角形的知识点，并给出一些例题供读者练习。

一、等边三角形等边三角形是指三条边的边长相等的三角形。

等边三角形具有以下特点：1. 三条边相等。

2. 三个角都是60度。

3. 对称轴是三条中线，也是三条高线，也是三条角平分线。

例题：1. 在等边三角形ABC中，AB=BC=CA=6cm，求三角形的高度。

解：由于等边三角形的高线与中线重合且相等，所以三角形的高高线长等于边长。

二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的边长相等的三角形。

等腰三角形具有以下特点：1. 两条边相等。

2. 两个底角（底边两侧的角）相等。

3. 对称轴是高线，也是角平分线。

例题：1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC=4cm，BC=6cm，求三角形的高度。

解：由等腰三角形的性质可知，高线与底边垂直且平分底角，所以可以利用勾股定理求解。

三、直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。

2. 两边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。

例题：1. 在直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=3cm，BC=4cm，求三角形的斜边长度。

解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。

四、等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。

等腰直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。

2. 两条直角边相等。

3. 对称轴是斜边的中线和中线的垂线。

例题：1. 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90度，AB=AC=5cm，求三角形的斜边长度。

解：利用勾股定理可以求得斜边的长度。

五、等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边的长度相等的直角三角形。

等腰直角三角形具有以下特点：1. 包含一个直角（90度）。

第七章三角形【知识要点】一．认识三角形1．关于三角形的概念及其按角的分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2．三角形的分类：①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。

2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短）根据公理“两点之间，线段最短”可得：三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

3．与三角形有关的线段．．：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分；三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。

注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。

但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。

（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。

）4．三角形的内角与外角（1）三角形的内角和：180°引申：①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。

（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

特殊三角形（复习一讲义）课前预习1.对几何图形，我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究，以等腰三角形为例：（1）边和角：等边对________、等角对________．（2）特殊的线：（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高）____________________．（3）面积：hh1h2Ah1+h2_____h（填“>”、“<”或“=”）．（4）对称性：等腰三角形的对称轴是__________________．2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：12BC AB．30°BA③判定：_________________的等腰三角形是等边三角形．_________________的三角形是等边三角形．2.直角三角形性质：30°角所对的直角边___________________________．直角三角形斜边的中线等于_____________________．3.等腰直角三角形①定义：有一个角是_____的等腰三角形是等腰直角三角形．②性质：边：等腰直角三角形_____________．角：等腰直角三角形_____________．线：等腰直角三角形____________，______________________________________________．③判定：_______________的三角形是等腰直角三角形．30°CBADC BACADB A【参考答案】课前预习1.（1）等角、等边（2）三线合一（3）=（4）顶角的角平分线（底边上的中线或底边上的高）所在直线2. 提示：见到线段的和差倍分，考虑截长补短．证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD．∴BC=12 BD∵∠ACB=90°，BC=CD，∴AB=AD。

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴∠D=60°，∴∠BAD=60°，∴BA=BD，∴BC=12 AB知识点睛1.三边都相等②三边都相等，三个内角都是60°，三线合一③有一个角是60°；有两个角是60°2.30°角所对的直角边是斜边的一半直角三角形斜边的中线等于斜边的一半3.①直角②两直角边相等，两底角都是45°，三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半③有两个角是45°精讲精练1.15°2.120°3.8 cm4.B5.证明略（提示，连接BE，由DE垂直平分AB得AE=BE，转移角可得∠EBC=30°，利用直角三角形性质可得AE=2CE）6.10，57.证明略（提示：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD=MB，由三线合一可得MN⊥BD）8.C9.证明略（提示：连接AD，证明△ADF≌△BDE，转移边转移角证明△DEF为等腰直角三角形）10.△EMC为等腰直角三角形证明略（提示：连接AM，证明△MDE≌△MAC，转移边转移角证明△EMC为等腰直角三角形）特殊三角形（复习二例习题）例题示范例1：已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且∠EAF =60°．求证：△AEF 是等边三角形．【思路分析】①读题标注：60°60°60°FE DCBA②梳理思路：要证△AEF 是等边三角形，已知∠EAF =60°，只需证△AEF 是等腰三角形即可，考虑证AE =AF ，可以把这两条线段放在两个三角形中证全等．观察图形，连接AC ，可以把线段AE 和AF 分别放在△ABE 和△ACF 中．结合题中条件∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ，可知△ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以∠B =∠ACF =60°，∠BAC =∠EAF =60°，因此∠BAE =∠CAF ，进而得证△ABE ≌△ACF ，证明成立．【过程书写】证明：如图，连接AC ．∵∠B =∠D =60°，AB =BC ，AD =CD ∴△ABC 和△DAC 是等边三角形∴AB =AC ，∠BAC =60°，∠ACF =60°∴∠1+∠3=60°，∠B =∠ACF∵∠EAF =60°，∴∠2+∠3=60°，∴∠1=∠2∴△ABE ≌△ACF （ASA ），∴AE =AF ，∴△AEF 是等边三角形。

特殊三⾓形知识点和常规题型⽅法归类⼀、特殊三⾓形知识点1、等腰三⾓形的定义，性质，判定。

等腰三⾓形性质定理：等腰三⾓形的两个底⾓相等 (即等边对等⾓）等腰三⾓形判定定理：如果⼀个三⾓形有两个⾓相等，那么这个三⾓形是等腰三⾓形（即等⾓对等边）“三线合⼀”定理：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线和底边上的⾼互相重合2、等边三⾓形性质：等边三⾓形的各⾓都相等，并且每⼀个⾓都等于60°判定：三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形；三边都相等的三⾓形是等边三⾓形；有⼀个⾓等于60°的等腰三⾓形是等边三⾓形3、直⾓三⾓形性质：（1）在直⾓三⾓形中，两个锐⾓互余；（2）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边上的⼀半；（3）（补充结论）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半；（4）勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅；（5）逆定理：如果三⾓形的三边长满⾜两边的平⽅和等于第三条边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形；（6）直⾓三⾓形全等判定条件HL：斜边和⼀条直边对应相等的两个直⾓三⾓形全等。

⼆、题型归类1、关于三线的题型：（1）等腰三⾓形两底⾓的⾓平分线相等；（2）等腰三⾓形腰上的⾼相等；（3）等腰三⾓形腰上的中线相等；（4）题中出现⾓平分线，垂线，中线中的两条是同⼀条线，要想到“三线合⼀”2、分类讨论题型：（1）没有指明边是底边，腰，直⾓边，斜边；（2）没有强调是底⾓还是顶⾓；例题：若等腰三⾓形中有⼀个⾓等于40°，则这个等腰三⾓形的顶⾓的度数为____在△ABC中，AB=15，AC=13，⾼AD=12，则三⾓形的周长是（3）没有强调是锐⾓还是钝⾓，需要⾃⼰画图的题；例题：等腰三⾓形的顶⾓是80°，则⼀腰上的⾼与底边的夹⾓是______。

特殊三角形知识点及习题三角形是几何学中一个重要的概念，具有广泛的应用。

在三角形中，特殊三角形是一类具有特殊性质的三角形。

本文将介绍关于特殊三角形的知识点，并提供相关习题。

一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。

特点是三个角度都相等，每个角度为60度。

等边三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都重合于同一条线段，且等边三角形的内切圆和外接圆半径相等。

求等边三角形的面积可使用海伦公式。

习题1：若等边三角形的边长为a，则该等边三角形的高、中线、角平分线的长度分别为多少？习题2：已知等边三角形的周长为18 cm，求其面积。

二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。

特点是两个底角（底边两侧的角）相等，顶角（顶边两侧的角）与底角不相等。

等腰三角形的高线、中线、角平分线都重合于同一条线段，且等腰三角形的内切圆与底边相切于一点。

习题3：已知等腰三角形的底边长度为a，腰边长度为b，求该等腰三角形的顶角和面积。

习题4：已知等腰三角形的面积为16 cm²，底边长度为4 cm，求腰边的长度。

三、直角三角形直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形的边分为三个部分：斜边、邻边和对边。

直角三角形中，邻边与对边满足勾股定理的关系，即邻边的平方加上对边的平方等于斜边的平方。

习题5：已知直角三角形的邻边长度为3 cm，对边长度为4 cm，求斜边的长度。

习题6：已知直角三角形的斜边长度为5 cm，对边长度为4 cm，求邻边的长度。

四、30-60-90三角形30-60-90三角形是指其中一个角为30度，另一个角为60度的三角形。

30-60-90三角形中，长边（斜边）的长度是中边（底边）长度的2倍，短边（高边）的长度是中边长度的根号3倍。

习题7：已知30-60-90三角形的中边长度为a，求其高边和斜边的长度。

习题8：已知30-60-90三角形的高边长度为3 cm，求斜边和中边的长度。

综上所述，特殊三角形具有一些独特的性质，包括等边三角形、等腰三角形、直角三角形和30-60-90三角形等。

解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。

浙教版特殊三角形知识点及训练三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，而特殊三角形更是具有独特的性质和特点。

在浙教版数学教材中，特殊三角形主要包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

接下来，让我们一起深入了解这些特殊三角形的知识点，并通过相关训练来巩固和应用。

一、等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

2、性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

3、判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

二、等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°。

等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

3、判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1、定义：有一个角为 90°的三角形叫做直角三角形。

2、性质：直角三角形的两个锐角互余。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

3、判定：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。

接下来，我们通过一些练习题来巩固这些知识点。

一、选择题1、等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（）A 80°B 80°或 20°C 80°或 50°D 20°2、下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（）A 三个角的度数之比为 1∶2∶3B 三条边的长度之比为 1∶2∶√5C 三条边的长度之比为 1∶1∶2D 三个角满足关系∠B ＋∠C ＝∠A3、已知等边三角形的边长为 2，则它的面积是（）A √3B 2√3C 3√3D 4√3二、填空题1、等腰三角形的周长为 16，其中一边长为 6，则另两边的长为_____。

特殊三角形基本知识点整理一、特殊三角形的定义与分类特殊三角形是指具有特殊性质和特点的三角形。

常见的特殊三角形主要包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边则称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等，并且每个角都是 60 度。

直角三角形则是指其中一个角为直角（90 度）的三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

二、等腰三角形的性质1、两腰相等这是等腰三角形最基本的性质，也是其名称的由来。

2、两底角相等即等腰三角形的两个底角大小相等。

这一性质可以通过三角形内角和定理以及等边对等角的原理来证明。

3、三线合一等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合，简称“三线合一”。

这是等腰三角形非常重要的一个性质，在解决与等腰三角形相关的几何问题时经常会用到。

4、轴对称性等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或顶角平分线、底边上的中线）所在的直线。

三、等腰三角形的判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

这是最直接的判定方法。

2、有两个角相等的三角形是等腰三角形。

此判定方法基于等角对等边的原理。

四、等边三角形的性质1、三边相等这是等边三角形最显著的特征。

2、三个角都相等，且都为 60 度由于三角形内角和为180 度，所以等边三角形的每个角都是60 度。

3、具有等腰三角形的一切性质因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质它都具备。

4、是轴对称图形，有三条对称轴分别是三条边的高所在的直线。

五、等边三角形的判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

这是最直观的判定方法。

2、三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

六、直角三角形的性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方这就是著名的勾股定理，例如，如果直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。