平面向量知识点归纳

必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示 .注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0）2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与u A uu B r共线uuur的单位向量是u A u B ur ）；| AB|4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r叫做平行向量，记作：a r∥b r，规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有r0）；④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r.举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B uru D u C u r，则ABCD是平行四边形 .（4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur.（5）若a r b r，b r c r，则a r c r.（6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5）二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 a r ，b r ， c r 等；3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同 的两个单位向量 i r , r j 为基底，则平面内的任一向量 a r 可表示为 a r xi r y r j （x, y ） ，称 （ x, y ）为向量 a r 的坐标， a r （x, y ）叫做向量 a r 的坐标表示 .结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同.三、平面向量的基本定理定理 设e r 1,e r 2同一平面内的一组基底向量， a r 是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对 （ 1, 2），使 a r 1e r 1 2e r 2.1）定理核心： a rλ1e r 1 λ2er 2；（2）从左向右看，是对向量 a r的分解，且表达式唯一；反之，是对向量 a r的合成 .（3）向量的正交分解：当 e r 1,e r 2时，就说 a r λ1r e 1 λ2r e 2为对向量 a r的正交分 解．举例 3 (1)若 a r(1,1)， b r(1, 1)， c r( 1,2) ，则 c r. 结果：1r 3 r a b.22(2)下列向量组中， 能作为平面内所有向量基底的是 B A. e r 1(0,0) ， e r 2(1, 2) B. r e 1( 1,2) ， e r 2(5,7) C. r e 1(3,5) ， e r 2(6,10)（1）模：| a r | | | |a r |；（2）方向：当 0时， a r 的方向与 a r 的方向相同，当D. e r 1(2, 3) ， 1, 3 ,24（3）已知u A u D ur ,u B u E ur分别是 可用向量 a r,b r表示为 . （4）已知 △ABC 中，点 值是 . 结果： 0 四、实数与向量的积 实数 与向量 a r 的积是 下： △ABC 的边 BC ，AC 上的中线 ,且 u A u D ura r4r a2果 结上 边B u u r Bu u u u ru u ru u u u r C u 的u u r u u 个向量，记作 a r ，它的长度和方向规定如方向与a r的方向相反，当0时，a r r0，注意：a r 0.五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r，）称为向量a r，b r的夹角. uuur r作OAa r，u ru u把r bAOB (0当 0时， a r ， b r 同向；当 时， a r ， b r 反向；当 2时，a r ，b r 垂直. 2. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a r ， b r ，它们的夹角为 ， 我们把数量 | a r || b r | cos 叫做 a r 与b r 的数量积（或内积或点积） ，记作： a r b r ， 即 a r b r |a r | |b r |cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量 举例 4（1）△ ABC 中，| u A uu B r| 3 ，|u A uu C r| 4 ，|u B u C ur| 5 ，则 9.uuur uuur AB BC果：结果：2）已知a r1,21，b r0, 12，c ra rkb r，d ra rb r，c r与d r的夹角为 4，则k1. 3）已知 |a r| 2，|b r| 5， a rb r3，则 |a rb r| ___ . 结果： 23. 4）已知 ra, rb 是两个非零向量，且| a r| |b r| |a rb r|，则a r与a rb r的夹角为 30o . 结果： 3.向量b r 在向量 a r上的投影： |b r | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0. 举例 5 已知|a r| 3，|b r| 5，且 a rb r12 ，则向量 a r在向量 b r上的投影为 ___ . 结果： 152.54. a r b r 的几何意义 ：数量积 a r b r 等于a r 的模|a r |与b r 在a r 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a r ， （ 1） a r b a r b 0 ； （2）当 a r 、 b 同向时， a r b |a r | |b|，特别地， a r b r |a r | | b r |是a r 、 b r同向的充要分条件 ； 当a r 、 b r 反向时， a r b r |a r | |b r |，a r b r |a r | 件； 当 为锐角时， a r b r 0，且 a r 、b r 不同向， 充分条件 ； 当 为钝角时， a r b r 0 ，且 a r 、 b r 不反向； 充分条件 .（3）非零向量 a r ， b r 夹角b r ，其夹角为 ，则：a r 2|b r |是a r 、 b r 反向的充要分条 ab ab 的计算公式： cos 0 是 为锐角的 必要不 0 是 为钝角的 必要不 | a r a ||b b r | ；④ a r b r |a r ||b r | . 举例 6 取值范1）已知 a r（ ,2 ） ， b r（3 ,2） ，如果 a r与b r的夹角为锐角，则 的 3或 0且 3；(2)已知△OFQ 的面积为 S ，且u O u F ur u F u Q ur 1，若12 S 23，则u O u F ur， u F u Q ur夹角的 取值范围是 _____ . 结果： 4, 3；43①用 k 表示 a rb r；②求 a rb r的最小值，并求此时 a r与b r的夹角 的大小. 结果：① a rb r k 4k 1(k 0) ；②最小值为 12， 60o. 六、向量的运算1. 几何运算 (1)向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则 . r 运算形式：若 u A uu B r a r ， u B uu C r b r ，则向量u A uu C r 叫做 a r与b 的和，即 r r uuur uuur uuur a b AB BC AC ；作图：略 . 注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .(2)向量的减法 运算法则：三角形法则 . 运算形式：若 u A uu B r a r ， u A u C ur b r ，则 a r b r u A u B ur u A uu C r C uu A ur ，即由减向量的终 点指向被减向量的终点 .作图：略 .注：减向量与被减向量的起点相同 .举例 7( 1)化简：①u A u B uru B u C urC uuD ur；② u A uu B ru A u D uru D uu C ur；③uuur uuur uuur uuur uuur uuur r (AB CD) (AC BD) . 结果：① AD ；② CB ；③ 0；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，u A u B ura r，u B u C urb r，u A u C ur rc ，则 |a rb rc r|.结果： 2 2 ；(3)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足 O uu B urO uu C ur u O u B urO uu C ur2u O u A ur，则△ABC 的 形状为 . 结果：直角三角形；( 4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点， △ ABC 所在平面内有一点 P ，满足 u P u A ur u B u P urC uu P ur r0，设 || u u PAu u DuP ur r || ，则 的值为 . 结果：2；(5)若点O 是 △ABC 的外心，且 u O u A ur u O uu B r u C uu O r r0 ，则△ABC 的内角 C 为 . 结果： 120o.2. 坐标运算 ：设 a r (x 1,y 1) ，b (x 2,y 2) ，则(1)向量的加减法运算 ：a r b (x 1 x 2,y 1 y 2)，a r b (x 1 x 2,y 1 y 2) . 举例 8 (1)已知3)已知 a r(cos x,sin x) ， rb (cos y,sin y) ，且满足 |k ra b | 3|a rkb|其中 k 0 )点A(2,3) ，B(5,4) ，C(7,10) ，若u A uu P r u A uu B ru A uu C r( R) ，则当 ______ 时，点P在第一、三象限的角平分线上 . 结果：21；(2)已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且21 u A u B ur (sin x,cos y)， x, y ( 2,2)，则 x y . 结 果： 6 或2；(3)已知作用在点 A(1,1)的三个力 F 1(3,4) ，F 2(2, 5) ， F 3(3,1) ，则合力 F u r u Fur 1u F ur 2 u F ur 3的终点坐标是 . 结果： (9,1) .(2)实数与向量的积 ： a r (x 1,y 1) ( x 1, y 1).(3)若 A(x 1, y 1) ， B(x 2, y 2) ，则 u A u B ur (x 2 x 1,y 2 y 1) ，即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .举例 9 设A(2,3) ， B( 1,5) ，且 u A uu C r 13u A u B ur， u A u D ur 3u A u B ur，则 C,D 的坐标分别是3举例 10 已知向量 a r(sin x,cos x ) ， b (sin x ,sin x) ， c r( 1,0) .(1)若 x 3，求向量 a r、 c r的夹角；3(2)若x [38 , 4]，函数 f(x) a rb r的最大值为 12，求 的值.结果：(1)150o；8 4 22) 21或 2 1.5)向量的模 ： a r2 |a r |2 x 2 y 2 |a r | x 2 y 2 . 举例 11 已知 a r ,b r 均为单位向量，它们的夹角为 . 结果： 13 .位向量，则 P 点斜坐标为 (x,y) .1)若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 |PO| ；2)求以O 为圆心， 1为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程.结果：( 1) 2；(2) x 2y 2xy 1 0 . 七、向量的运算律 1. 交换律： a r 2. 结合律： a r 3. 分配律： ( r b rr arr a)r b rr a r a rr a r c )r br b r( r b r b( r ar ) r b r r a(r r 举例 13 给出下列命题：ar (b c r ) a r b a r c r a r (b c r ) (a r b) c r结果： (1,131),( 7,9).4)平面向量数量积yxx r b60o，那么 |a r3b r|6)两点间的距离 ：若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2)，则|AB| (x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 . 举例 12 如图，在平面斜坐标系 于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若 u O u P urxe r 1方向的单 xOy 中， xOy 60o，平y 面上任一点 P关ye r 2，其中 e r 1,e r 2分别为60o与 x 轴、④ 若a rb r0，则 a r0r或b r r0；⑤若 a r b r c rb r则a r c r；⑥ |a r |2 a r 2；⑦ ar a r2bb a r ； ⑧ (a rb r )2 a r 2 b r 2；⑨ (a rb r )2 a r 22a rb rb r 2. 其中正确的是 . 结果：①⑥⑨ . 说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个 向量等式， 可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数， 两边同时取模， 两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一 个向量，切记两向量不能相除 ( 相约) ； (2)向量的“乘法”不满足结合律，即 八、向量平行 (共线) 的充要条件 a r //b a r b (a r b)2 (|a r ||b|)2 举例 14 (1) 若向量 a r (x,1) ， 相同. 结果： 2. ( 2)已知 a r (1,1) ，b (4,x) ，u r果：4. uuur uuur (3)设 PA ( k,12) ， PB (4,5) ， 果： 2 或 11. 九、向量垂直的充要条件0. (4,x) ，当 x x 1 y 2 y 1 x 2r br br rrb ar r 2b ， uu urPC r v ar (b c r) (a rb) c r，为什么？ 时， a r 与b r共线且方向 2a r b ，且 u r //v r，则 x(10, k) ， 则k时， A,B,C 共线 . y 1 y 2 0.|AB AC AB AC特别地 uuur uuuruuur uuur .|AB | |AC | |AB | | AC |举例 15 (1)已知 u O u A ur( 1,2) ，O uu B ur(3,m) ， (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 B 的坐标是 .结果： (1,3) 或( 3，－1))； (3)已知 n r(a,b)向量 n rm r，且|n r| |m r| ，则m r的坐标是 ( b,a) . 十、线段的定比分点1. 定义：设点 P 是直线 P 1P 2上异于 P 1、 P 2的任意一点，若存在一个实 数 ，使 u P u 1P ur u P u P ur 2 ，则实数 叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比 ， P 点叫 做有向线段 u P u 1u P ur 2的以定比为 的定比分点 . 2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 (1) P 内分线段 P 1P 2 ，即点P 在线段 P 1P 2上 0； (2) P 外分线段 u P u 1u P u 2r 时，①点 P 在线段 P 1P 2的延长线上 P 在线段 P 1P 2的反向延长线上 1 0.x 1x 2 uuuruuur uuur 若OA OB ，则 m. 结果： OAB ， B 90 ，则点 32； 结果： (b, a)或1，②点比为 1.举例 16 若点 P 分u A u B ur所成的比为 43，则 A 分u B u P ur所成的比为 .结果： 73.33. 线段的定比分点坐标公式 ：设 P 1(x 1, y 1) ， P 2( x 2, y 2) ，点P(x, y)分有向线段 u P u 1u P u 2r 所成的比为 ，则定比分x 1 x 21 y 1 y 2x 1时，就得到线段 P 1P 2的中点坐标公式y说明：(1) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 . (2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和 终点，并根据这些点确定对应的定比举例 17 (1)若 M( 3, 2) ，N(6, 1)，且 结果： ( 6, 37) ；3(2)已知 A(a,0) ， B(3,2 a)，直线 y 1ax 与线段 AB 交于M ，且u A u M uur 2u M uu B ur，则 a r. 结果：２或 4 .十一、平移公式如果点 P(x,y)按向量 a r (h,k) 平移至 P(x,y) ，则 x x h,；曲线 f(x,y) 0按 y y k.向量 a r (h,k) 平移得曲线 f(x h,y k) 0.说明：( 1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？( 2) 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例 18 (1)按向量 a r 把(2, 3)平移到(1, 2) ，则按向量 a r把点( 7,2)平 移到点 ________ . 结果： ( 8,3) ；(2)函数 y sin 2x 的图象按向量 a r平移后，所得函数的解析式是点坐标公式为特别地，当1).x 1 x 2 , 2 y 1 y 2 .2 在使用定比分点的坐标公式时， 应明确 (x,y) ，(x 1,y 1)、(x 2,y 2)13uM uuN ur，则点 P 的坐标为 uuu ury cos2x 1 ，则a r _________ . 结果：( ,1) .4 十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：|a r| |b r| |a r b r| |a r| |b r|.(1)右边等号成立条件： (2)左边等号成立条件： (3)当 a r 、b r 不共线 |a r | 3. 三角形重心公式在 △ABC 中，若 A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2) ， C(x 3,y 3) ，则其重 心的 坐标为举例 19 若△ABC 的三边的中点分别为 心的坐标为 . 结果： 32,34.335. 三角形“三心”的向量表示G 为△ ABC 的重心，特别地 u P uu A r u P u Bur u P u C ur 0r G为△ ABC 的重心 .uuur uuur uuur uuur uuur uuur(2)PA PB PB PC PC PA P 为△ ABC 的垂心 .uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur( 3 ) |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P 为 △ ABC 的 内 心 ； 向 量 uuur uuur uu A u B ur uu A u C ur ( 0)所在直线过 △ ABC 的内心. |AB | | AC |6.点 P 分有向线段 u P 1uu P ur 2所成的比 向量形式设点 P 分有向线段 P 1P 2所成的比为 ，若 M 为平面内的任一点，则 uuuur uuuur uuuur uuuur u M uu P r MP 1MP 2，特别地 P 为有向线段 u P u 1u P ur 2的中点 u M uu P r MP 1MP 2. 127. 向 量 u P u A ur ,u P u B ur ,u P u C ur 中三终 点 A,B,C 共线 存 在实数 , ，使得 uuuruuur uuur PA PB PC 且1．举例 20 平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) ，B( 1,3)， 若点 C满足 OC 1OA 2OB ,其中 1, 2R 且 1 21, 则点 C 的轨迹是 . 结 果：直线 AB .a r 、b 同向或a r 、b a r 、b r 反向或r rr rrG(x 1 x 2 x 3 3y 1y 2y 3 ) 3)A(2,1) 、B( 3,4)、C( 1, 1)，则 △ ABC 的重 uuur 1 uuur uuur uuur1) PG (PA PB PC)r。

高中数学平面向量知识点归纳总结800字(优秀范文8篇)关于高中数学平面向量知识点归纳总结，精选5篇优秀范文，字数为800字。

平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。

本文将对平面向量的应用知识点进行总结。

高中数学平面向量知识点归纳总结(优秀范文)：1平面向量是数学中的一个重要概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，还涉及到物理、工程等多个领域。

本文将对平面向量的应用知识点进行总结。

一、向量的表示和运算1. 向量的表示：向量可以用一个有序数组或者一个点对来表示，分别称为坐标表示和几何表示。

2. 向量的加法和减法：向量的加法和减法遵循交换律和结合律，可以将向量看作有向线段进行运算。

3. 向量的数量积：向量的数量积是向量的一种运算，结果是一个实数。

它有几何意义和代数意义，可以用来计算向量的模、夹角和投影等。

4. 向量的数量积的性质：数量积满足分配律、交换律、结合律等性质，还满足向量垂直的判定定理和平行的判定定理。

二、向量的几何应用1. 向量的共线和垂直：利用向量共线的性质可以判断直线是否相交、线段是否相交等几何问题；利用向量垂直的性质可以判断两条直线的关系、判断线段之间的位置关系等。

2. 向量的模和单位向量：向量的模表示向量的长度，可以用来计算两点之间的距离等；单位向量是模等于1的向量，可以用来表示方向。

3. 向量的投影：向量的投影表示一个向量在另一个向量上的投影长度，可以用来计算力的分解、向量的分量等。

三、向量的物理应用1. 力的合成和分解：利用向量的加法和减法可以对力进行合成和分解，分析力的平衡和不平衡等物理问题。

2. 动量和动量守恒：动量是物体的物理量，可以用向量表示；利用动量守恒原理可以解决碰撞问题等物理问题。

3. 矢量速度和导数：速度是矢量量，表示物体在单位时间内位移的方向和大小；利用导数可以求解速度与时间的关系。

四、向量的工程应用1. 机械平衡：利用向量的平衡原理可以分析机械结构的平衡条件，设计合理的支撑结构。

平面向量基础知识复习必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r ）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r 叫做平行向量，记作：a r∥b r ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔u u u r u u u r、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r的相反向量记作a -r.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =rr .（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =u u u r u u u u r，则ABCD 是平行四边形.（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r.（5）若a b =rr ，b c =r r ，则a c =r r .（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r.其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r，注意起点在前，终点在后；平面向量基础知识复习2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 为基底，则平面内的任一向量a r可表示为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e r r 同一平面内的一组基底向量，a r是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r.（1）定理核心：1122a λe λe =+r r r；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a r 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322a b -rr . （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =r ，2(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BCu u u r可用向量,a b r r 表示为 . 结果：2433a b +rr . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅r r；（2）方向：当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同，当0λ<时，a λr的方向与a r的方向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，注意：0a λ≠r .五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r，b r 的夹角.当0θ=时，a r ，b 同向；当θπ=时，a r ，b 反向；当2πθ=时，a r，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a r，b r ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =r ，||5b =r ，3a b ⋅=-rr ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +rr 的夹角为____. 结果：30o.3.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0.举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ⋅=rr ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅r r 的几何意义：数量积a b ⋅r r 等于a r 的模||a r 与b r在a r上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a r，b r ，其夹角为θ，则：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r ；（2）当a r、b r 同向时，||||a b a b ⋅=⋅r r r r ，特别地，22||||aa a a a =⋅=⇔=r r r r r ||||ab a b ⋅=⋅r r r r 是a r、b r 同向的充要分条件；当a r 、b r 反向时，||||ab a b ⋅=-⋅r r r r ，||||a b a b ⋅=-⋅r r r r 是a r、b r 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>r r ，且a r、b r 不同向，0a b ⋅>r r 是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<r r ，且a r、b r 不反向；0a b ⋅<r r 是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a r，b r 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=r r r r ；④||||a b a b ⋅≤r r r r . 举例6 （1）已知(,2)aλλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=u u u r u u u r ，若12S <，则OF u u u r ，FQ u u u r 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭； （3）已知(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满足|||ka b a kb +-r r r r（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅r r ；②求a b ⋅rr 的最小值，并求此时a r 与b r 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>r r ；②最小值为12，60θ=o. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u ur u u u r u u u r r r ；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r. 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u ru u u r ，则λ的值为 . 结果：2； （5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC △的内角C 为 . 结果：120o.2.坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--r r . 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =u u r ，2(2,5)F =-u u r ，3(3,1)F =u u r，则合力123F F F F =++u u r u u r u u r u u r的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =u u u r u u u r，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+rr .举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r.（1）若3x π=，求向量a r 、c r的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅r r 的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150o；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+⇔=r r r举例11 已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|a b +=r r ＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r r r ，其中12,e e r ry 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r，a b b a ⋅=⋅r r r r ；2.结合律：()ab c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅r r r r r r； 3.分配律：()a a a λμλμ+=+r r r，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r .举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r；③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ；④ 若0a b ⋅=rr ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ⋅=⋅r r r r 则a c=r r ；⑥22||a a =r r ；⑦2a b b a a⋅=r r r r r ；⑧222()a b a b ⋅=⋅r r r r ；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+r r rr r r .其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅r r r r r r，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=r r r rr r r r .举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+rr r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=r r r rr r r r .特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=u u u r u u u r，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P u u u u r，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P u u u u r时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB u u u r 所成的比为34，则A 分BP u u u r所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u ur ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r，则a =r. 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r.平面向量基础知识复习（1）右边等号成立条件： a b r r 、同向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔+=+r r ；（2）左边等号成立条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔-=+r r r r；（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+r r r r r r.3.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔u u u r u u u r u u u r u u u r为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G++=⇔u u u r u u u r u u u r r 为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点122MP MPMP +⇔=u u u u r u u u u ru u u r .7. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版单选题1、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A.2、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC 2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BDAB =√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．3、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=EC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑知AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=15AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 而CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+25AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−2AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2)=15×(62−4×22)=4 故选：B4、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 故选：A.5、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b ⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b ⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．6、在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ）A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A分析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC，即可求得答案.∵在△ABC 中，cosC =23，AC =4，BC =3根据余弦定理：AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cosCAB 2=42+32−2×4×3×23可得AB 2=9 ，即AB =3 由∵ cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=9+9−162×3×3=19故cosB =19.故选：A.小提示：本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 7、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以csin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=4，且a ⃑,b ⃑⃑不是方向相反的向量，则|a ⃑−b ⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b⃑⃑|求解即可. 由已知必有||a ⃑|−|b ⃑⃑||≤|a ⃑−b ⃑⃑|<|a ⃑|+|b ⃑⃑|，则所求的取值范围是[2,6)． 故选：B. 多选题9、如果平面向量a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，那么下列结论中正确的是（ ） A ．|b ⃑⃗|=3|a ⃗|B ．a ⃗//b⃑⃗ C ．a ⃗与b ⃑⃗的夹角为30°D ．a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为2√5 答案：AB分析：根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.因为a ⃗=(2,−4)，b ⃑⃗=(−6,12)，所以b ⃑⃗=−3a ⃗． 在A 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得|b ⃑⃗|=3|a ⃗|，故A 正确； 在B 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗//b⃑⃗，故B 正确； 在C 中，由b ⃑⃗=−3a ⃗，可得a ⃗与b⃑⃗的夹角为180°，故C 错误； 在D 中，a ⃗在b ⃑⃗方向上的投影为a ⃑⃗⋅b ⃑⃗|b ⃑⃗|=22=−2√5，故D 错误． 故选:AB ．10、ΔABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ⃑、b ⃑⃑满足AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑，则下列结论中正确的有（ ） A ．a ⃑为单位向量B ．b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑C ．a ⃑⊥b ⃑⃑D ．(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD解析：求出|a ⃑|可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ⃑⃑，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a ⃑⋅b ⃑⃑，可判断C 选项的正误；计算出(6a ⃑+b⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 对于A 选项，∵AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑，∴a ⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则|a ⃑|=13|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，A 选项正确； 对于B 选项，∵AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑+b ⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+b ⃑⃑，∴b ⃑⃑=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，∴b ⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，B 选项正确； 对于C 选项，a ⃑⋅b ⃑⃑=13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=13×32×cos 2π3≠0，所以a ⃑与b ⃑⃑不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，(6a ⃑+b ⃑⃑)⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=0，所以，(6a ⃑+b ⃑⃑)⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，D 选项正确. 故选：ABD.小提示：本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.11、在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下述结论中正确的是（ ） A ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) C ．AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑D ．GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑⃑ 答案：CD分析：根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解. 由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，因为AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AC →≠CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，故A 错误； 由12(AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=AD →≠AG →, 故B 错误； 因为AF ⃑+BD ⃑+CE ⃑=12(AB →+BC →+CA →)=0⃑, 故C 正确；因为GA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+GC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−23[12(AB →+AC →)+12(BA →+BC →)+12(CA →+CB →)] =−13(AB →+BA →+BC →+CB →+AC →+CA →)=0→, 故D 正确. 故选：CD 填空题12、在△ABC 中， a ＝5，b ＝5√3，A ＝30°，则B ＝________. 答案：60°或120°分析：利用正弦定理求得sinB ，由此求得B . 由正弦定理得asinA=b sinB，即5sin30°=5√3sinB ⇒sinB =√32， 由于0°<B <180°，所以B =60°或B =120°. 所以答案是：60°或120°13、在△ABC 中，cos∠BAC =−13，AC ＝2，D 是边BC 上的点，且BD ＝2DC ，AD ＝DC ，则AB 等于 ___．答案：3分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可. 设DC =x,AB =y ，因为BD ＝2DC ，AD ＝DC ，所以BC =3x,AD =DC =x ， 在△ADC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CD 2−AD 22AC⋅DC =4+x 2−x 24x=1x ， 在△ABC 中，由余弦定理可知：cosC =AC 2+CB 2−AB 22AC⋅BC=4+9x 2−y 212x，于是有4+9x 2−y 212x=1x ⇒9x 2−y 2=8(1)，在△ABC 中，由余弦定理可知：cosA =AB 2+CA 2−CB 22AB⋅AC=y 2+4−9x 24y=−13，⇒27x 2−3y 2−4y =12(2)，把(1)代入(2)中得，y =3， 所以答案是：314、在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则2λ+μ=___________. 答案：43##113分析：根据给定条件，用向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑表示向量AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，再利用平面向量基本定理求解作答. 在△ABC 中，BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23(AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑) =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不共线，则λ=13,μ=23，所以2λ+μ=43. 所以答案是：43解答题15、已知函数f (x )=4cosxsin (x −π3)+√3． （Ⅰ）求函数f (x )在区间[π4,π2]上的值域．（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，f (C )=√3，且c =2，求△ABC 面积的最大值．答案：（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）√3分析：（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f(x)在区间[π4，π2]上的值域；（Ⅱ）先求出C ，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC 面积的最大值． 解：（Ⅰ）f(x)=4cosxsin(x −π3)+√3=4cosx (sinxcos π3−cosxsin π3)+√3=4cosx (12sinx −√32cosx)+√3=2sinxcosx −2√3cos 2x +√3=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，由π4⩽x⩽π2，有π6⩽2x−π3⩽2π3，所以12≤sin(2x−π3)≤1∴函数f(x)的值域为[1,2]．（Ⅱ）由f(C)=√3，有sin(2C−π3)=√32，∵C为锐角，∴2C−π3=π3，∴C=π3．∵c=2，∴由余弦定理得：a2+b2−ab=4，∵a2+b2⩾2ab，∴4=a2+b2−ab⩾ab．∴S△ABC=12absinC=√34ab⩽√3，∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值√3．。

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

平面向量知识点在数学的世界里，平面向量是一个十分重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、工程学等多个学科中发挥着关键作用。

接下来，让我们一起深入了解平面向量的相关知识。

一、平面向量的定义平面向量是既有大小又有方向的量。

我们可以用有向线段来表示平面向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

比如，从点 A 指向点 B 的有向线段就可以表示一个向量，记作向量 AB 。

二、平面向量的基本运算1、向量的加法向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则：将两个向量首尾相连，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是这两个向量的和。

平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，从共同的起点引出的对角线所表示的向量就是这两个向量的和。

例如，向量 a 和向量 b 相加，记作 a ＋ b 。

2、向量的减法向量的减法可以转化为加法来进行。

向量 a 减去向量 b ，等于向量a 加上向量b 的相反向量，即 a b ＝ a ＋（b) 。

3、数乘向量实数λ与向量 a 的乘积是一个向量，记作λa 。

当λ＞0 时，λa 与 a 的方向相同；当λ＜0 时，λa 与 a 的方向相反；当λ=0 时，λa ＝ 0 。

数乘向量满足分配律和结合律：（1）分配律：λ(a ＋ b) ＝λa ＋λb ；（2）结合律：λ(μa) ＝（λμ)a 。

三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底。

对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x 、y ，使得 a ＝ xi ＋ yj 。

我们把有序数对(x, y)叫做向量 a 的坐标，记作a ＝（x, y) 。

例如，向量 a ＝（3, 2) ，就表示向量 a 在 x 轴上的分量是 3，在 y 轴上的分量是 2 。

通过向量的坐标表示，我们可以很方便地进行向量的运算。

设向量 a ＝（x₁, y₁) ，向量 b ＝（x₂, y₂) ，则：1、向量的加法：a ＋ b ＝（x₁＋ x₂, y₁＋ y₂) ；2、向量的减法：a b ＝（x₁ x₂, y₁ y₂) ；3、数乘向量：λa ＝（λx₁, λy₁) ；4、向量的模：｜a| ＝√（x₁²＋ y₁²) ；5、向量的点积（数量积）：a · b ＝ x₁x₂＋ y₁y₂。

平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。

例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。

二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。

三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。

设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。

新的线段即为向量A + B。

2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。

设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。

即A - B = A + (-B)。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。

任何向量与零向量相加等于该向量本身。

四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。

2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。

3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。

4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。

5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。

6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。

五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。

平面向量知识点归纳总结图一、平面向量的定义1.1 平面向量的概念在平面上任意选定一个起点和一个终点之间的有序对称就称为平面向量，记作。

平面向量可以用有向线段来表示，有向线段的起点就是平面向量的起点，终点就是平面向量的终点。

1.2 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示，设平面向量的起点为原点O，终点为点A(x, y)，则平面向量记作。

1.3 平面向量的相等两个平面向量相等指的是它们的模相等，并且方向相同，即两个平面向量相等当且仅当。

二、平面向量的运算2.1 平面向量的加法设和，平面向量+的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。

2.2 平面向量的减法设，平面向量-的结果是一个新的平面向量，其起点为向量的起点，终点为向量的终点。

2.3 数乘设，数的积是一个新的平面向量，其长度是向量的倍数，方向与向量相同。

三、平面向量的运算性质3.1 交换律3.2 结合律3.3 分配律四、平面向量的应用4.1 平面向量的线段设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量的终点减去起点的坐标差即为该线段的平面向量表示。

4.2 平面向量的位置关系(1) 共线若向量平行，则它们共线。

(2) 垂直若，则它们垂直。

4.3 平面向量的运动学应用若一个物体在平面内的任意两点A、B之间作平移运动，其位矢向量表示。

五、平面向量的数量积5.1 定义设，，则积。

5.2 计算（1）坐标法（2）数量积的几何意义5.3 性质（1）交换律（2）结合律（3）分配律5.4 应用（1）判断共线若，则共线。

（2）判断垂直若，则垂直。

（3）夹角公式若，则夹角α的余弦值是的数量积。

六、平面向量的叉乘6.1 定义设，把数视为数乘6.2 计算6.3 性质6.4 应用七、平面向量的混合积7.1 定义设、，则混合积7.2 计算7.3 性质7.4 应用八、几何向量8.1 平面向量的模8.2 单位向量8.3 平行四边形法则8.4 平面向量的夹角公式8.5 平面向量的坐标表示8.6 平面向量的位置关系总结平面向量是高中数学中的一个重要概念，它不仅有着丰富的几何意义，还具有广泛的物理意义。

高一平面向量的知识点归纳总结一、向量的概念和表示法在平面几何中，向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。

表示为AB或→AB，其中A为向量的起点，B为终点。

二、向量的运算1. 向量加法向量加法满足交换律和结合律。

设有向量→AB和→CD，则→AB+→CD=→AC。

2. 向量减法向量减法的定义：→AB-→AC=→CB。

3. 数乘数乘的定义：k→AB=(k, k)×→AB，其中k为实数。

三、向量的性质1. 零向量零向量的定义：→0=→AB-→AB，其大小为0。

2. 向量共线向量共线的定义：若存在实数k，使得k→AB=→CD，则→AB与→CD共线。

3. 向量相等向量相等的定义：两个向量→AB和→CD相等，当且仅当它们的起点和终点坐标相等。

四、向量的数量积1. 数量积的定义向量数量积的定义：→AB·→CD=|→AB|·|→CD|·cosθ，其中θ为两个向量的夹角。

2. 数量积的性质（1）交换律：→AB·→CD=→CD·→AB（2）分配律：→AB·(→CD+→EF)=→AB·→CD+→AB·→EF（3）数量积与夹角的关系：若θ为两个向量的夹角，则→AB·→CD=|→AB|·|→CD|·cosθ五、平面向量的坐标表示1. 平面直角坐标系平面直角坐标系在平面上确定了一个原点O和两个互相垂直的单位向量i和j。

2. 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示：→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)为向量的起点，B(x2, y2)为终点。

3. 向量共线的判断向量共线的判断：若两个向量→AB和→CD的坐标之比相等，则→AB与→CD共线。

六、向量的线性运算1. 向量的线性组合向量的线性组合：若有向量→AB和→CD，则k→AB+l→CD为向量的线性组合，其中k和l为实数。

2. 向量的线性相关与线性无关（1）若存在不全为0的实数k和l，使得k→AB + l→CD = →0，则称→AB和→CD线性相关。

(名师选题)部编版高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点总结归纳完整版单选题1、在平行四边形ABCD 中，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2),BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2答案：A分析：根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案；∵ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12+22−(32+42)=−20，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5，故选：A2、已知平面向量a ，b ⃑ ，c 满足：|a |=2，|b ⃑ |=3，a ⊥(a −b ⃑ )且2a −b ⃑ +c =0⃑ ，则|c |为（）A ．1B ．3C ．√3D ．9答案：B分析：根据向量垂直可得a ⋅b ⃑ =4，进而根据向量模长的计算即可求解.由a ⊥(a −b ⃑ )得a ⋅(a −b ⃑ )=0⇒a ⋅b ⃑ =4，由2a −b ⃑ +c =0⃑ 得c =−2a +b ⃑ ⇒c 2=(−2a +b ⃑ )2=4a 2−4a ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=16−4×4+9=9，故|c |=3，故选:B3、向量a ，b ⃑ 满足a =(1,√3)，|b ⃑ |=1，|a +b ⃑ |=√3，则b ⃑ 在a 方向上的投影为（ ）A ．-1B ．−12C ．12D ．1答案：B解析：根据题条件，先求出a ⋅b ⃑ ，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.因为向量a ，b ⃑ 满足a =(1,√3)，|b ⃑ |=1，|a +b⃑ |=√3， 所以|a |2+2a ⋅b ⃑ +|b ⃑ |2=3，即4+2a ⋅b ⃑ +1=3，则a ⋅b⃑ =−1， 所以b ⃑ 在a 方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12. 故选：B.4、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）A ．3√38B ．√34C ．√32D ．3√32 答案：B分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =a 2+b 2−c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=√34. 故选：B.5、已知单位向量a ，b⃑ ，则下列说法正确的是（ ） A ．a =b ⃑ B ．a +b ⃑ =0⃑ C ．|a |=|b ⃑ |D ．a //b⃑ 答案：C分析：利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得.对于A ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，向量a ，b⃑ 的方向不一定相同，A 错误； 对于B ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，但向量a ， b⃑ 不一定为相反向量，B 错误； 对于C ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，则|a |=|b⃑ |=1，C 正确； 对于D ，向量a ，b ⃑ 为单位向量，向量a ，b ⃑ 的方向不一定相同或相反，即a 与b⃑ 不一定平行，D 错误. 故选：C.6、对任意量给非零向量a，b⃑，定义新运算：a×b⃑=|a⃑ |sin⟨a⃑ ,b⃑⟩|b⃑|．已知非零向量m⃑⃑ ，n⃑满足|m⃑⃑ |>3|n⃑|，且向量m⃑⃑ ，n⃑的夹角θ∈(π4,π2)，若4(m⃑⃑ ×n⃑)和4(n⃑×m⃑⃑ )都是整数，则m⃑⃑ ×n⃑的值可能是（）A．2B．3C．4D．174答案：B分析：由n⃑×m⃑⃑ =|n⃑ |sinθ|m⃑⃑⃑ |=k4(k∈Z)结合|m⃑⃑ |>3|n⃑|>0可得0<k4<13，从而求得k,可得|m⃑⃑⃑ ||n⃑ |=4sinθ，确定34<sinθ<1，再根据m⃑⃑ ×n⃑=|m⃑⃑⃑ |sinθ|n⃑ |=4sin2θ即可确定答案.由题意可得n⃑×m⃑⃑ =|n⃑ |sinθ|m⃑⃑⃑ |=k4(k∈Z)．因为|m⃑⃑ |>3|n⃑|>0，所以0<|n⃑ ||m⃑⃑⃑ |<13．因为θ∈(π4,π2)，所以√22<sinθ<1，所以0<|n⃑ ||m⃑⃑⃑ |sinθ<13，即0<k4<13，解得0<k<43．因为k∈Z，所以k=1，所以n⃑×m⃑⃑ =|n⃑ |sinθ|m⃑⃑⃑ |=14，则|m⃑⃑⃑ ||n⃑ |=4sinθ，则|n⃑ ||m⃑⃑⃑ |=14sinθ<13，得34<sinθ<1，故m⃑⃑ ×n⃑=|m⃑⃑⃑ |sinθ|n⃑ |=4sin2θ∈(94,4),符合该条件的是3，故选：B7、已知a=(2,−1),b⃑=(x,4)，且a⊥b⃑，则|a+b⃑|=（）A．1B．3C．√5D．5答案：D分析：利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．解：a=(2,−1)，b⃑=(x,4)，且a⊥b⃑，可得2x−4=0，解得x=2，所以a+b⃑=(4,3)，则|a+b⃑|=√42+32=5．故选：D．8、已知向量a=(1,2)，b⃑=(3,0)，若(λa−b⃑)⊥a，则实数λ=（）A．0B．35C．1D．3答案：B分析：根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得λ的值. 因为向量a=(1,2)，b⃑=(3,0)，且(λa−b⃑)⊥a，所以(λa−b⃑)⋅a=0，即λa2−a⋅b⃑=0，所以有5λ−3=0，解得λ=3，5故选：B.小提示：方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；（2）根据向量数量积运算法则进行化简；（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.多选题9、已知a=(1,3)，b⃑=(−2,1)，下列计算正确的是（）A．a+b⃑=(−1,4)B．a−b⃑=(3,2)C．b⃑−a=(1,2)D．−a−b⃑=(1,2)答案：AB分析：根据向量坐标表示的线性运算即可得出答案.解：因为a=(1,3)，b⃑=(−2,1)，所以a+b⃑=(−1,4)，故A正确；a−b⃑=(3,2)，故B正确；b⃑−a=(−3,−2)，故C错误；−a−b⃑=(1,−4)，故D错误.故选：AB.10、（多选）已知向量a，b⃑，在下列命题中正确的是（）A．若|a |>|b⃑|，则a>b⃑B．若|a |=|b⃑|，则a=b⃑C．若a=b⃑，则a//b⃑D．若|a |=0，则a=0答案：CD分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A 错；向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B 错；两个向量相等，这两个向量平行，所以C 正确；模值为零的向量为零向量，故D 正确故选：CD11、设向量a →＝(k ，2)，b →＝(1，－1)，则下列叙述错误的是（ ）A ．若k <－2，则a →与b →的夹角为钝角B ．|a →|的最小值为2C ．与b →共线的单位向量只有一个为(√22,−√22) D ．若|a →|＝2|b →|，则k ＝2√2或－2√2答案：CD分析：对于A 选项，得k <2且k ≠－2，所以A 选项正确；对于B 选项，|a →|≥2，所以B 选项正确；对于C 选项，与b →共线的单位向量为(√22,−√22)或(−√22,√22)，所以C 选项错误；对于D 选项，得k ＝±2，所以D 选项错误．对于A 选项，若a →与b →的夹角为钝角，则a →·b →<0且a →与b →不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，所以A 选项正确；对于B 选项，|a →|＝√k 2+4≥√4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，所以B 选项正确；对于C 选项，|b →|＝√2，与b →共线的单位向量为±b →|b →|，即与b →共线的单位向量为(√22,−√22)或(−√22,√22)，所以C选项错误；对于D 选项，∵|a →|＝2|b →|＝2√2，∴√k 2+4＝2√2，解得k ＝±2，所以D 选项错误．故选：CD填空题12、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知ccosB+√33bsinC−a=0，设D为AB边的中点，若CD=√7且√3BC=2BD，则BC=____________．答案：2分析：由正弦定理化边为角，利用诱导公式、两角和的正弦公式展开变形求得C，已知√3a=c，由余弦定理得b=2a，求出B=π2，再由勾股定理求得BC．由正弦定理可得：sinCcosB+√33sinBsinC−sinA=0．又在三角形中，sinA=sin(B+C)，∴sinCcosB+√33sinBsinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴√33sinBsinC=sinBcosC．又在三角形中，sinB>0，∴√33sinC=cosC，∴tanC=√3．∵C∈(0,π)，∴C=π3．由点D为AB的中点，√3BC=2BD，得√3BC=AB即√3a=c，而c2=a2+b2−ab得b2−ab−2a2=0得b=2a或b=−a（舍去），∴cosB=a2+c2−b22ac =0，则B=π2，在△BCD中有，CD=√7,√3BC=2BD,B=π2，则BD2+BC2=CD2，解得BC=2，即a=2．所以答案是：2．。

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a=+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅= 2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立： ()()2222a b a b a ba b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅ ②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不能得到b c =⋅ （3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角 cos θ=cos ,a ba b a b •<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质。

1 / 3人教A 版数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》同步讲义第六章 平面向量及其应用 知识点总结1. 向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为的向量．单位向量：长度等于个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2. 向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．⑸坐标运算：设，，则．3. 向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．4. 向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．5. 向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．01a b a b a b -≤+≤+a b b a +=+ ()()a b c a b c ++=++ 00a a a +=+=()11,a x y =()22,b x y = ()1212,a b x x y y +=++ ()11,a x y =()22,b x y = ()1212,a b x x y y -=-- A B ()11,x y ()22,x y ()1212,x x y y AB =--λa a λa a λλ=0λ>a λ a 0λ<a λ a 0λ=0a λ=()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+ (),a x y = ()(),,a x y x y λλλλ==()0a a ≠ b λb a λ=2 / 3设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．6. 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）7. （选讲）分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．8. 平面向量的数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．⑶运算律：①；②；③．⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或设，，则．设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．9. 正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．10. 正弦定理的变形公式（1），，；（2），，；（3）；（4）．11. 三角形面积公式：．12. 余弦定理：在中，有，，()11,a x y = ()22,b x y = 0b ≠ 12210x y x y -=a ()0b b ≠1e 2e a1λ2λ1122a e e λλ=+1e 2e P 12P P 1P 2P ()11,x y ()22,x y 12λP P =PPP 1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤0a b 0a b a b ⊥⇔⋅= a b a b a b ⋅= a ba b a b ⋅=- 22a a a a ⋅== a = a b a b ⋅≤a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ()11,a x y =()22,b x y = 1212a b x x y y ⋅=+ (),a x y = 222a x y =+ a =()11,a x y =()22,b x y = 12120a b x x y y ⊥⇔+= a b()11,a x y = ()22,b x y = θa b cos a ba b θ⋅==C ∆AB a b c A B C R C ∆AB 2sin sin sin a b c R C===A B 2sin a R =A 2sin b R =B 2sin c R C =sin 2a R A =sin 2b R B =sin 2c C R=::sin :sin :sin a b c C =A B sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B 111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B C ∆AB 2222cos a b c bc =+-A 2222cos b a c ac =+-B3 / 3．13. 余弦定理的推论：，，．14. 设、、是的角、、的对边，则：（1）①若，则；（2）若，则；（3）若，则2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a bc +-A =222cos 2a c b ac +-B =222cos 2a b c C ab+-=a b c C ∆AB A B C 222a b c +=90C =222a b c +>90C <222a b c +<90C >。

平面向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。

物理学中的位移、力、速度等都是向量。

例如，一个物体从点A移动到点B的位移，它不仅有移动的距离（大小），还有移动的方向，这就是一个向量。

向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以A为起点、B 为终点的向量记作AB，向量也可以用小写字母a,b,c等来表示。

2. 向量的模向量的大小叫做向量的模。

向量AB的模记作AB，向量a的模记作。

例如，在平面直角坐标系中，若向量a=(x,y)，则\t=x^2+y^2。

模为1的向量叫做单位向量，单位向量的方向是任意的，对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量是\fracat。

3. 零向量模为0的向量叫做零向量，记作0。

零向量的方向是任意的，规定vert = 0。

零向量在向量的加法和减法等运算中有特殊的性质，例如a+0=a，aa=0等。

4. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定零向量与任意向量平行。

平行向量也叫做共线向量，因为平行向量可以平移到同一条直线上。

例如，在平行四边形ABCD中，AB与DC是平行向量，AD与BC也是平行向量。

如果a与b 是平行向量，记作ab。

5. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

向量相等有传递性，即若a=b，b=c，则a=c。

例如，在正方形ABCD中，AB=DC，因为它们的模相等且方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。

三角形法则适用于求两个向量的和，并且可以推广到多个向量的加法，即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。

平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则AC=a+b。

平行四边形法则只适用于求两个不共线向量的和。

高一的平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一种重要概念，它具有方向和大小。

在高一数学学习中，平面向量是一个重要的知识点。

在这篇文章中，我将对高一平面向量的相关知识进行归纳总结，以帮助大家更好地理解和应用平面向量的概念。

一、平面向量的定义和表示方法平面向量是由有序的数对表示的。

我们通常用大写的字母加箭头表示平面向量，如AB→表示从点A到点B的平面向量。

平面向量的表示方法有坐标表示、单位向量表示和分解表示。

1. 坐标表示：假设A和B两点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量AB→的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。

2. 单位向量表示：单位向量是长度为1的向量，表示方向而不考虑大小。

我们可以通过求出向量AB→的模长，然后将向量AB→除以它的模长，得到单位向量。

3. 分解表示：平面向量可以分解为两个分量，即横坐标和纵坐标的分量。

假设向量AB→的坐标表示为(Δx, Δy)，则向量AB→可以表示为AB→ = Δx * i + Δy * j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。

二、平面向量的运算法则平面向量有加法、减法和数量乘法三种运算法则，这些法则可以帮助我们对平面向量进行运算和求解。

1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。

假设向量A→和向量B→的坐标表示分别为(Δx₁, Δy₁)和(Δx₂, Δy₂)，则向量A→ + B→的坐标表示为(Δx₁ + Δx₂, Δy₁+ Δy₂)。

2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

假设向量A→和向量B→的坐标表示分别为(Δx₁, Δy₁)和(Δx₂, Δy₂)，则向量A→ - B→的坐标表示为(Δx₁ - Δx₂, Δy₁ - Δy₂)。

3. 数量乘法：数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

假设向量A→的坐标表示为(Δx, Δy)，实数k，则数量乘积kA→的坐标表示为(kΔx, kΔy)。

平面向量知识点总结归纳平面向量是数学中一个重要的概念，它在几何、代数和物理等领域都有广泛的应用。

下面是平面向量的一些常见知识点总结归纳。

1.平面向量的定义与表示：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

常用表示方法有坐标表示和分量表示。

2.平面向量的基本运算：平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘、取负等运算。

两个向量的加法是将它们的对应分量相加，减法和加法类似，数乘是将向量的每个分量乘以一个标量，取负就是将向量的每个分量取负值。

3.平面向量的数量积：平面向量的数量积（内积）是将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个标量。

数量积有以下几个性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(A+B)·C=A·C+B·C-分配律：(aA)·B=a(A·B)-零向量的数量积为0-若A·B=0，则A与B垂直（即正交）4.平面向量的向量积：平面向量的向量积（叉乘）是一个向量，它与原来的两个向量都垂直。

向量积的大小等于两个向量的数量积的模，方向遵循右手法则。

向量积有以下几个性质：-反交换律：A×B=-B×A-结合律：(aA)×B=a(A×B)-分配律：A×(B+C)=A×B+A×C-零向量与任何向量的向量积都为零向量-若A与B共线，则A×B=05.平面向量的共线与垂直关系：两个向量共线指的是它们的方向相同或相反，共线的标准是两个向量的比值为常数。

两个向量垂直指的是它们的数量积为0，也就是说两个向量的夹角为90度。

6.平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的常数使得两个向量的线性组合等于零向量，那么这两个向量是线性相关的，否则就是线性无关的。

若多个向量中存在一个线性无关的向量，则认为这多个向量也是线性无关的。

平面向量知识点总结归纳（一）一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

物理学中的力、速度、位移等都是向量的实际例子。

例如，一个物体受到的重力，它不仅有大小（由物体的质量和重力加速度决定），还有方向（竖直向下）。

向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示方法有多种。

几何表示：用有向线段表示向量，以\(A\)为起点、\(B\)为终点的向量记作\(\overrightarrow{AB}\)。

字母表示：通常用小写字母\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)等表示向量。

2. 向量的模向量的大小叫做向量的模，记作\(\vert\overrightarrow{AB}\vert\)或\(\vert\vec{a}\vert\)。

例如，对于向量\(\vec{a}=(x,y)\)，其模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。

模是一个非负实数，它表示向量的长度。

当\(\vert\vec{a}\vert = 0\)时，向量\(\vec{a}\)是零向量。

3. 零向量与单位向量零向量：长度为\(0\)的向量叫做零向量，记作\(\vec{0}\)。

零向量的方向是任意的。

在数学运算中，零向量具有特殊的性质，例如对于任意向量\(\vec{a}\)，都有\(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\)。

单位向量：长度等于\(1\)个单位长度的向量叫做单位向量。

对于非零向量\(\vec{a}\)，与它同方向的单位向量记作\(\vec{e}_{\vec{a}}=\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。

单位向量在向量的分解、投影等概念中有重要的应用。

4. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定零向量与任意向量平行。

如果向量\(\vec{a}\)与向量\(\vec{b}\)平行，记作\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)。