名校联盟理数答案

山东名校考试联盟 高三年级下学期开学联考数学试题2024.试卷类型A 2注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．二项式4(32)x +的展开式中常数项为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．322．欧拉公式cos isin i e θθθ=+（e 是自然对数的底数，i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．已知i ie z θ=，则z =（ ） A ．1 B．2 D．3．已知非零向量,a b 满足a b = ，且2a b += a 与b 夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π4．已知函数())lnf x ax =+是定义在R 上的奇函数，则实数a 的值是（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±5．已知数列{}n a 是以1a 为首项，q 为公比的等比数列，则“()110a q −>”是“{}n a 是单调递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．若曲线()e x f x =在1x =处的切线与曲线()ln g x x a =+也相切，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2 7．已知点P 是直线:40l x y ++=上一动点，过点P 作圆22:(1)(1)1C x y +++=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅的服小值为（ ）A ．0B ．1CD ．28．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,,F F O 为原点，以12F F 为直径的圆与双曲线交于点P ，且224tan 7POF ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1'月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ）A ．中央大街日旅游人数的极差是1.2B ．冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3C ．冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大D ．冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．6x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．()()()210f x a f x a −++=在0,2x π∈上有两个不相等的解，则11,22a∈−D ．已知函数()()21sin 2g x f x x =+，当()g x 取最大值时，sin2x =11．在长方体1111ABCD A B C D −中，12,1,ABAA AD E ===为11A B 的中点，点P 满足1(01)DP DB λλ=<< ，则（ ）A ．若M 为1A D 的中点，则三棱锥P BEM −体积为定值B ．存在点P 使得AP BE ⊥C ．当23λ=时，平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D −D ．若Q 为长方体1111ABCD A B C D −外接球上一点，23λ=，则3QE QP +三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件A 为“取到的两个数的和为偶数”，事件B 为“取到的两个数均为偶数”，则()P B A =______．13．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()1cos 2cos b A a B +=−，2b c ==，则ABC △外接圆的半径为______．14．已知函数()ln f x a x x =−()e 2e a x x x f x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()(1)1n n n b a n =−+−，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．16．（15分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），每一局比赛中两人都要决出胜负，不出现平局，且甲获胜的概率为(01)p p <<．（1）若23p =，求甲以3:2获胜的概率； （2）若12p =，求比赛结束时，比赛局数X 的分布列及数学期望．17．（15分）已知四棱锥,P ABCD PA −⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，24,2BCAD AB DC PA =====．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，求直线l 与平面PCB 夹角的正弦值． 18．（17分）已知函数()()ln 1f x x =+．（1）讨论函数()()()F x ax f x a =−∈R 的单调性； （2）设函数()()1111g x x f f x x=+−+． （ⅰ）求()()12g g −−的值；（ⅱ）证明：存在实数m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称．19．（17分）已知抛物线2:4,,,W x y A B C =是W 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,A B C ′′′，则称三角形A B C ′′′为抛物线的外切三角形．（1）当点C 的坐标为()2,1,B 为坐标原点，且BA BC =时，求点B ′的坐标；（2）设外切三角形A B C ′′′的垂心为H ，试判断H 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；（3）证明：三角形ABC 与外切三角形A B C ′′′的面积之比为定值．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一参考答案项是符合题目要求的．题号 1 23 4 5 6 7 8答案 C A C B B D A D6．【解析】由题意得，()e x f x =在1x =处的切线为e y x =，设该直线与曲线()ln g x x a =+相切的切点为()()00001,ln,e x x a g x x ′+==，所以01e x =，所以切点1,1ea −在直线ex y =上，所以2a =，故选：D ． 7．【解析】圆22:(1)(1)1C x y +++=的圆心为()1,1−−半径为1，点C 到直线:40l x y ++=的距离d=．解法一：PA PB==，设2APB θ∠=，则在Rt PAC △中，1sinAC PC PCθ==，所以222cos cos212sin 1APB PCθθ∠==−=−，所以()222cos 11PA PB PA PB APB PCPC⋅=∠=−−=2223PC PC +−， 因为minPC =，所以22min 23PC PC +=，所以PA PB ⋅ 的最小值0． 解法二：当CP l ⊥时，APB ∠取得最大值2π，此时0PA PB ⋅=取得最小值0，其他位置0PA PB ⋅> ，所以PA PB ⋅的最小值0．故选：A ．8．【解析】解法一：由题意得，1212190,,22F PF OP OF POF PF O θ∠=°=∠==∠，222tan 24tan tan271tan POF θθθ∠===−，所以13tan tan 4PF O θ=∠=，即2134PF PF =， 又122PF PF a −=，所以128,6PF a PF a ==∣ ．在12PF F △中，由勾股定理得：222(8)(6)(2)a a c +=，解得225e =，所以双曲线C 的离心率为5．解法二：点P 一定在右支上，不妨设点P 在第一象限，由于224tan 7POF ∠=，所以724,2525c c P， 一定满足22221x y a b −=，即222272425251c c a b−=， 化简得，22222249576625b c a c a b −=，结合222c a b =+，整理得，42244926256250c a c a −×+=，同除4a 得，424926256250e e −×+=，解得，225e =或22549e =（舍），所以双曲线C 的离心率为5， 故选：C ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号 91011答案 BC ABD ACD10．【解析】对于A ：因为周期,0T πω=>，所以2ω=．对于B ：代入2,13π −得4sin 13πϕ+=−，所以()43232k k ππϕπ+=+∈Z ， 则()26k k πϕπ=+∈Z ，因为2πϕ<，所以6πϕ=，则()sin 26f x x π=+，其对称轴为()126x k k ππ=+∈Z ，所以6x π=是()f x 的对称轴． 对于C ：因为()()()210f x a f x a −++=，所以()1f x =或()f x a =， 因为0,2x π∈，所以令72,666t x πππ=+∈，所以sin 1t =或sin ta =有两个解， 结合siny t =的图象，1y=与sin y t =有一个交点，12y =与sin y t =有一个交点，共两个交点，所以12a =符合题意，答案错误． 对于D ：()111cos2444g x x x x x =++=++ ， 令cos θθ=()()124g x x θ=++．所以当()222x k k πθπ+=+∈Z 时取到最大值，此时sin2sin 2cos 2x k ππθθ=+−==答案：ABD 11．【解析】对于A ：因为M 为1A D 的中点，E 为11A B 的中点，所以1DB EM ∥，所以1DB ∥面BEM ，则P 到面BEM 的距离为定值，所以体积为定值．对于B ：AP 在平面11ABB A 的投影为1AB ，由三垂线定理得，若AP BE ⊥，则1AB BE ⊥，因为四边形11ABB A 为正方形，所以1AB 与BE 不垂直，所以B 错．对于C ：平面PCD 与平面1B CD 重合，平面1B CD 与平面11DCB A 重合，所以延长CP 会与11A B 有交点，因为123DP DB =，所以延长CP 与11A B 交于点E ，取11C D 中点F ，则平面PBC 截长方体1111ABCD A B C D −所得截面为矩形BCFE D ：长方体1111ABCD A B C D −外接球球心为1B D 中点，半径为132,23DP DB =，由阿氏球得，在直线1B D 上必存在一点N ，使得3QP QN =，此时点N 在1DB 延长线上，且满足13B N =，以D 为原点，建系如图，13,6DB DN ==所以12DN DB =，则()4,2,4N ，因为()1,1,2E ，所以min min (3)()QE QP QE QN NE +=+=．答案：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．23； 13； 14．[]0,e ． 13．【解析】解法一：由正弦定理得，()()sin 1cos sin 2cos B A A B +=−， 化简得，sin sin cos 2sin sin cos B B A A A B +=−，所以()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2sin B B A A B B A B B C A ++=++=+= 由正弦定理得2b c a +=，因为2b c ==，所以ABC △为正三角形，由22,2sin sin sin sin 3a b cR R A B Cπ=====所以ABC △解法二：由余弦定理得，2222221222b c a a c b b a bc ac+−+−+=−，化简得2b c a +=， 因为2b c ==，所以ABC △为正三角形， 由2sin sin sin a b cR A B C===，得22sin 3R π==ABC △14．【解析】只需保证2ln 10e ea ax x x x −−≥恒成立．令()2ln 1g x x x =−−，则()g x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，当x →+∞时()(),322ln30g x g →+∞=−<，故存在03x >，使得()00g x =．又()10g =，故01eax x <≤或0e a x x x ≥恒成立．又当x →+∞时0eax x →，则0e a x x x ≥不恒成立，于是01e a x x <≤恒成立．当0a <时，若0x →，显然不成立； 当0a =时，满足题意；当0a >时，ln a x x ≤，若01x <≤，显然成立； 若1x >时，则ln xa x≤恒成立，求导可得0e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围为[]0,e ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】因为12n n a a n +=+，所以()121n n a a n −=+−， ()122122,2,n n a a n a a −−=+−=+累加得：()211212n n na a n n −=+=−+，经检验1n =时符合，所以21n a n n −+ 【注：丢捕对1n =的检监不扣分】（2）因为()(1)1n n n b a n =−+−，所以()22(1)11(1)n n n b n n n n =−−++−=−， 所以222222221234(21)(2)12322n S n n n n n =−+−++−−+=++++=+ 【注：此处没有使用并项法求和，而是使用不完全归纳法得出规律求和，不扣分】 16．【解析】（1）记A 表示甲以3:2获胜，则前4局两人比分为2:2平，第5局甲获胜，所以()22242121633381P A C =×××= ；【注：浸有列出式子，直接给出答束，扣3分】 （2）X 的可能取值为3，4，5()31211324P X C === ， ()4122313428P X C C==⋅×=，()5122413528P X C C ==⋅×=，故()133333454888E X =×+×+×=； 【注：1．不列出分布列的㐘格，不扣分；2．没有单独给出随机变童的取值，后面求概时有体现，不扣分； 3．每一个概值的计算只有结来没有式子，各和1分； 4．数学期望只有结果，没有式子，和1分； 5．结果没有化成最简分数，不扣分】 17．【解析】（1）证明：连接AC ，过A 做BC 的垂线交BC 于点F ，所以1BF =，因为2AB =，所以AF =，又因为3FC =，所以AC =90BAC ∠=°，所以AB AC ⊥ 【注：其他方法证得AB AC ⊥，同样得分】因为PA ⊥面,ABCD AC ⊂面ABCD ，所以AC PA ⊥，PA 与AB 交于点A ，所以AC ⊥面PAB ，因为AC ⊂面PAC ，所以面PAB ⊥面PAC【注：1．此处铁少AC ⊥面PAB ，直接得面PAB ⊥面PAC ，扣1分；2．证得PA ⊥面ABCD 后建系，由两平面的法向量重直得两平面垂直也同样得分】 （2）延长,BA CD 交于点E ，因为E ∈面PAB ，且E ∈面PCD ，所以E l ∈，PE 即为面PAB 与面PCD 的交线，以A 为原点建系如图：()()()()0,2,0,,0,2,0,0,0,2B C E P −， ()()()0,2,2,2,0,2,2PB PC PE =−=−=−−，设面PCB 的方向量为(),,n x y z =，则22020y z z −=−=，取(n = ， 设直线l 与平面PCB 的夹角为α，所以sin |cos ,PE α= 所以直线l 与平面PCB． 解法二：延长,BA CD 交于点E ，因为E ∈面PAB ，且E ∈面PCD ，所以E l ∈，PE 即为面PAB 与面PCD 的交线如图建立空间直角坐标系：()()()()2,0,0,0,,2,0,0,0,0,2,B C E P −所以()()()2,0,2,0,2,2,0,2PB PC PE =−−=−=−，设面PCB 的方向量为(),,n x y z =，则22020x z z −−= −=，取(n = ， 设直线l 与平面PCB 的夹角为α，所以sin cos ,PE α= ， 所以直线l 与平面PCB． 解法三：延长,BA CD 交于点E ，因为E ∈面PAB ，且E ∈面PCD ，所以E l ∈， PE 即为面PAB 与面PCD 的交线做AF BC ⊥于点F ，连接PF ，因为PA ⊥面ABCD ，由三垂线定理可知：BC PF ⊥． 在Rt PAF △中，2AF PA =，所以PF =．设点E 到平面PBC 的距离为h ，由E PBC P BCE V V −−=，得h =，因为PA ⊥面ABCD ，所以在Rt PAE △中，PE =．设PE 与平面PBC 得夹角为α，则sin h PE α==， 所以直线l 与平面PCB．（1）由题意可知()()ln 1F x ax x =−+，则()F x 的定义域为()1,−+∞，()1111ax a F x a x x +−=−=′++ 当0a ≤时，()101F x a x ′=−<+，则()F x 在()1,−+∞上单调递减； 当0a >时，若()11111,01a ax a x F x a a x ′−+−−<≤−≤+； 若()111,01ax a x F x a x +−−′>=>+， 则()F x 在11,1a−− 上单调递减，在11,a −+∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，()F x 在()1,−+∞上单调递减；当0a >时，()F x 在11,1a−− 上单调递减，在11,a −+∞上单调递增． 【注：1．丢接0a =的情况，扣1分；2．单调区间未用区间表示，共扣1分】（2）（ⅰ）函数()()111ln 1ln 2g x x x x=++−+，则()412ln2ln3ln 3g −， ()13342ln ln ln ln 2243g −=−−=−=，故()()120g g −−=． （ⅱ）函数()g x 的定义域为()(),10,−∞−+∞ ．若存在m ，使得曲线()y g x =关于直线x m =对称，则()(),10,−∞−+∞ 关于直线x m =对称，所以12m =− 由()()111ln 1ln 211g x x x x−−=−+−+ −−−−()211211121ln ln ln ln 1ln ln ln 1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=−−=−=+−++++ ()()1211ln ln x x x g x x x++=+−=． 可知曲线()y g x =关于直线12x =−对称． 【注：1．由（ⅰ）的计算结果猜想得出对称轴为直线12x =−，也得2分； 2．只要出理()()1g x g x −−=或1122g x g x −+−−或两者做差等于0等式子，即得2分； 没有最后一句结论，不扣分】（1）由题意可知()2,1A −，求导得2x y ′=，则切线A B ′′的方程为1,y x B =−′为切线A B ′′与y 轴的交点，则点B ′的坐标为()0,1−．【注：求导正确得1分；正确求解点C 或A 处的切线得1分；正确求得点B ′的坐标得1分】 （2）设222312123,,,,,444x x x A x B x C x，则抛物线在点A 处的切线B C ′′的方程为21124x x y x =−， 同理可得切线A C ′′的方程为22224x x y x =−， 【注：得由其中一条切线方程即可得1分】 联立可得交点1212,24x x x x C +′． 同理可得23233131,,,2424x x x x x x x x A B ++ ′′ ． 【注：得由其中1个顶点的坐标即可得1分】设垂心H 的坐标为(),x y ，则2331122233112444,2222AC B H x x x x x x y x k k x x x x x x x ′−−===+++−−． 由A C B H ′′⊥′可知312314122AC B H x x y x k k x x x ′′−⋅=⋅=−+−， 即12323124x x x x x y x x +=++． 【注：由现解之积为1−，即得1分】 同理可得12331224x x x x x y x x +=++． 两式相减可得()3223x x y x x −=−，即1y =−．因此垂心H 在定直线1y =−上．【注：出理定直线1y =−，即得1分】（3）直线AB 的方程为12121,44x x x x y x AB x +=−=−， 点233,4x C x到直线AB 的距离为1d 则三角形ABC 的面积()()()112131321128S AB d x x x x x x =⋅=−−−． 再由切线B C ′′的方程为223233*********,,,,,,24242424x x x x x x x x x x x x x x y x A B C +++ =− ′′′ 可知1222x x B C x +=−=−′′， 点2323,24x x x x A + ′到直线B C ′′的距离为2d则外切三角形A B C ′′′的面积()()()2221313211216S B C d x x x x x x ′′=⋅=−−−． 故()()()()()()21313212213132182116x x x x x x S S x x x x x x −−−=−−−． 因此三角形ABC 与外切三角形A B C ′′′的面积之比为定值2．解法二：因为222312123,,,,,444x x x A x B x C x，所以()()22223121213111224444ABC x x x x S AB AC x x x x =×=−−−−− △ ()()()31213218x x x x x x =−−−由②得232331311212,,,,,242424x x x x x x x x x x x x A B C +++ ′′ ′ 所以312313122312,,,2424x x x x x x x x x x x x A B A C −−−− = ′′′ ′ 12233123132111222442A B C x x x x x x x x x x x x S A B A C ′′′−−−−  =×=−    ′′′′ △ ()()()312132116x x x x x x =−−− 所以2ABC A B C S S ′′=△△．。

辽宁省名校联盟2023年高三12月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}23170M x x x =-≤，{}24N x x =∈-≤<Z ，则M N = （）A ．{}1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．{}1,0,1,2,3-2．若复数2i5i im -+-为纯虚数，则m =（）A ．5B ．5-C ．3D ．3-3．已知函数()22f x x ax =+，则“()f x 在区间[]1,2上单调递增”的一个充分不必要条件为（）A ．4a ≤-B ．0a <C ．5a >-D ．4a >4．老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同．若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为（）A ．8B ．9C ．13D ．145．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知SA =，直线SA 与圆锥底面所成角的余弦值为5，则该圆锥的侧面积为（）①②A ．23πdmB ．2πdm 2C 2D ．2πdm 26．将函数()()πcos 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向右平移π4ω个单位长度后得到函数()g x 的图像，若函数()y g x =在区间3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为（）A ．13B ．23C ．1D ．37．已知直线:20l x y -+=与圆22:1O x y +=，过直线l 上的任意一点P 作圆O 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则sin AOB ∠的最大值为（）A ．2B ．12C ．2D ．18．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，点,,P Q T 分别在棱11,BB CC 和AB 上，且13B P =，11C Q =，3BT =，记平面PQT 与侧面11ADD A ，底面ABCD 的交线分别为,m n ，则（）A ．m 的长度为3B ．m 的长度为3C ．n 的长度为3D ．n 的长度为3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，42a =，68a =，则（）A ．2q =B ．10256a =C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列D ．1124n nS -=-10．已知函数()3261f x x x =-+，则（）A ．()()1g x f x =-为奇函数B ．()f x 的单调递增区间为()1,1-C ．()f x 的极小值为3-D ．若关于x 的方程()0f x m -=恰有3个不等的实根，则m 的取值范围为()3,5-11．已知正数,x y 满足229x xy y ++=，则（）A ．2xy ≤B ．226x y +≥C ．x y +≤D ．6x y +≥12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,M M ，离心率为e ，点()00,A x y 在C 上，则（）A ．若12AF F △的面积为23b ，则123tan 4F AF ∠=B ．若直线12,AM AM 的斜率之积为λ，则2e 1λ-=C ．若e 3=，则以12F F 为直径的圆O 与C 无交点D ．若12AF b ≤，则e 的最大值为35三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()2,3a =- ，()1,2b =- ，(),3c λ= ，若()2a b c +⊥，则λ=______．14．已知函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个()f x 的解析式为()f x =______．①()()(),,m n f m n f m f n ∀∈+=+R ；②()f x 为奇函数；③()f x 在R 上单调递减．15．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB AC =，若直三棱柱存在内切球（与各面均相切）且该球的表面积为16π，则该直三棱柱的体积为______．16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 且与C 交于,P Q 两点，且3215PQ =，OPF △与OQF △的面积之比为53，其中O 为坐标原点，则p =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 满足13a =，122n n a a +=-．（1）求证：{}2n a -为等比数列；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S ．18．（12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2sin sin cos sin 0c C A B b C --=．（1）求A ；（2）若a =，求2b c +的最大值．19．（12分）如图，相距10m 的12,l l 之间是一条马路（12,l l 可近似看作两条平行直线），为了测量河对岸一点A 到马路一侧2l 的距离h ，小明在2l 这一侧东边选择了一点B ，作为测量的初始位置，其中AB 与1l 交于点M ，现从点B 出发沿着2l 向西走15m 到达点N ，测得2MN l ⊥，继续向西走300m 到达点Q ，其中AQ 与1l 交于点P ，继续向西走5m 到达点R ，测得2PR l ⊥．根据上述测量数据，完成下列问题．（1）求sin BAQ ∠的值；（2）求h 的值．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA AD ⊥，底面ABCD 是正方形，E 为棱PD 的中点，2PA AD ==，PC =．（1）求点B 到平面ACE 的距离；（2）求平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值．21．（12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为12,A A ，点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，且223A P =．（1）求C 的方程；（2）直线:1l y kx =+与C 交于,M N 两点，记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，若1250k k +=，求k 的值．22．（12分）已知函数()()ln 11axf x x x =+-+．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()0f x ≥，求a 的值；（3）求证：()*111sinsin sin ln2122n n n n++⋅⋅⋅+<∈++N ．参考答案及解析一、选择题1．C 【解析】由题意得1703M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎩⎭，{}2,1,0,1,2,3N =--，故{}0,1,2,3M N = ．故选C 项．2．A 【解析】2i5i 2i 5i 53i im m m -+-=--+-=--，故50m -=，解得5m =．故选A 项．3．D 【解析】()22f x x ax =+图像的对称轴为直线4a x =-，若()f x 在区间[]1,2上单调递增，则14a -≤，解得4a ≥-，所以“4a >”是“4a ≥-”的充分不必要条件．故选D 项．4．B 【解析】由题意得这20天日跑步量为等差数列，记为{}n a ，设公差为d ，则12032019982d ⨯+⨯⨯=，解得15d =，所以()11431555n n a n =+-⨯=+．由5n a >，得14555n +>，所以11n >，所以老张日跑步量超过5公里的天数为9天．故选B 项．5．C 【解析】设AO r =5=，解得1r =，所以底面圆周长2πl =，故该圆锥的侧面积2112π22S l SA =⋅=⨯=．故选C 项．6．B【解析】因为()πcos 4f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向右平移π4ω个单位长度后得到函数()g x 的图像，所以()ππππcos cos sin 4442g x f x x x x ωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3π0,4x ωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为函数()y g x =在区间3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以3ππ42ω≤，解得203ω<≤，因此ω的最大值为23．故选B 项．7．D 【解析】设AOB θ∠=，由题意得2θ为锐角，因为圆O 的半径1r =，所以1cos 2OPθ=，222cos 2cos 112OPθθ=-=-，故当OP 取最小值时，cos θ取最大值，显然当OP l ⊥时，OP 最小，且min OP ==，此时()max 2cos 102θ=-=，此时π2θ=，sin θ也取得最大值，最大值为πsin 12=．故选D 项．8．A【解析】如图，连接QP 并延长交CB 的延长线于E ，连接ET 并延长交AD 于点S ，交CD 的延长线于点H ，连接HQ ，交1DD 于点R ，连接SR ，则m 即为SR ，n 即为ST ．由PB QC ∥，得143PB EB QC EB ==+，所以2EB =，6EC =，由AS EB ∥，得13AS AT EB TB ==，所以1233AS EB ==，所以3n ST ===，故C ，D 项错误；由SD EC ∥，得59SD HS EC HE ==，又易知SR PQ ∥，所以SR HS QE HE =，所以59SR QE =，所以593SR QE ===，故A 项正确，B 项错误．故选A 项．二、选择题9．AC 【解析】由2644a q a ==，得2q =或2q =-（舍去），A 项正确；因为4434222n n n n a a q ---==⨯=，所以7102128a ==，B 项错误；3112n n a -=，随着n 的增大而减小，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，C 项正确；()()2121212121124nnn n a q S q----===---，D 项错误．故选AC 项．10．ACD 【解析】对于A 项，()()3126g x f x x x =-=-，所以()()326g x x x g x -=-+=-，故A项正确；对于B 项，()()()611f x x x -'=+，令()0f x '>可得1x <-或1x >，令()0f x '<可得11x -<<，所以()f x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞，故B 项错误；对于C 项，由()()()6110f x x x =+-='，得1x =±，结合B 项可知，1x =是()f x 的极小值点，此时()f x 的极小值为()13f =-，故C 项正确；对于D 项，令()0f x m -=，得()f x m =，如图，在同一直角坐标系内作出()f x 的图像与直线y m =，当关于x 的方程()0f x m -=恰有3个不等的实根时，35m -<<，D 项正确．故选ACD项．11．BC 【解析】对于A 项，由已知得2292xy x y xy -=+≥，所以3xy ≤（当且仅当x y =时取等号），A 项错误；对于B 项，由已知得()222292x y x yxy +-+=≤，所以226x y +≥（当且仅当x y =时取等号），B 项正确；对于C 项，由已知得()2229x xy y x y xy ++=+-=，所以()2292x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即()2394x y +≤，所以x y +≤（当且仅当x y =时取等号），C 项正确，D 项错误．故选BC 项．12．BCD 【解析】由122212tan 32AF F F AF S b b ∠==△，得12tan 32F AF ∠=，所以122233tan 134F AF ⨯∠==--，故A项错误；由题意得()()12,0,,0M a M a -，所以122202220002222200001AM AM x b a y y y b k k x a x a x a x a a λ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-=+---，22222222e 11c c a b a a a--=-==-，故2e 1λ-=，故B 项正确；若e 3=，则a =，b c =>，故C 项正确；由12AF b ≤，得22222322445e 2e 300e 5a cb ac ac a c +≤⇒++≤-⇒+-≤⇒<≤.，故D 项正确．故选BCD 项．三、填空题13．4【解析】依题意，()()()24,61,23,4a b +=-+-=-，故()23120a b c λ+⋅=-= ，解得4λ=．14．x -（答案不唯一）【解析】由题意得满足条件的一个()f x 的解析式为()f x x =-．15．48+【解析】依题意设内切球的半径为r ，则24π16πr =，解得2r =．设AB a =，则,AC a BC ==，由ABC △的内切圆半径为2，得22a a +=，所以4a =+，故该直三棱柱的体积((1444482V =⨯+⨯+⨯=+．16．1【解析】由对称性，不妨设,P Q 分别在第一、四象限，直线l 的方程为2p x my =+，联立22,,2y px px my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩整理得2220y pmy p --=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，其中120,0y y ><，则122y y pm +=，212y y p =-，由OPF △与OQF △的面积之比为53，可得1253y y =-，则13y p =，25y p =-，则215p pm =，得15m =，则1232151515PQ y y p =-=⨯=，解得1p =．四、解答题17．（1）证明：由122n n a a +=-，得()122422n n n a a a +-=-=-，又121a -=，所以{}2n a -是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知122n n a --=，故122n n a -=+，则122n n na n n -=+⨯．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减得1231122222212n n n n n T n n --=++++⋅⋅⋅+-⨯=--⨯，所以()121nn T n =-+，故()()()()12123211212n n n n n n S n T T n n n +=+++⋅⋅⋅++=⨯+=++-+．18．解：（1）由正弦定理得()22sin sin cos sin sin sin 0C A B C B C -⋅-=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以2sin 2sin cos sin 0C A B B --=，所以()2sin 2sin cos sin 0A B A B B +--=，所以2cos sin sin A B B =．又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以2cos 1A =，即1cos 2A =．因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由正弦定理得()()2π2sin 2sin 4sin 2sin 4sin 2sin sin 3ab c B C B C C C A⎡⎤⎛⎫+=+=+=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()14cos sin 2sin 10sin 22C C C C C C ϕ⎛⎫++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，其中ϕ为锐角，tan 5ϕ=．因为2π03C <<，所以2π3C ϕϕϕ<+<+，所以()sin C ϕ+的最大值为1，故2b c +的最大值为．19．解：（1）由图可知，10m MN PR ==，15m BN =，300m NQ =，5m RQ =，则sin 13MBN ∠=，cos 13MBN ∠=，sin 5PQR ∠=，cos 5PQR ∠=，故()sin sin 51351365BAQ PQR MBN ∠=∠-∠=⨯-⨯=．（2）在BAQ △中，由正弦定理得sin sin BQ AQBAQ ABQ=∠∠，4652136513=m 2AQ =，故sin 315m 25h AQ PQR =⋅∠=⨯=．20．解：解法一：（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以2AD CD ==，且90ADC ∠=︒，所以AC ==，所以(22222212AC PA PC +=+==，所以PA AC ⊥．又,PA AD AD AC A ⊥= ，所以PA ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，即,,PA AB AD 两两垂直．以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,1,1,0,2,0A B C E D ，所以()()()2,1,1,2,2,0,2,1,1CE AC BE =--==-．设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则20,220,n CE x y z n AC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1x =，则1,1y z =-=，所以()1,1,1n =-．设点B 到平面ACE 的距离为d ，则233n BE n d ⋅==，即点B 到平面ACE 的距离为3．（2）连接BD ，则BD AC ⊥．由（1）得PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ，即()2,2,0BD =- 为平面PAC 的一个法向量．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则6cos cos ,3BD n BD n BD nθ⋅====，即平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为3．解法二：（1）因为四边形ABCD 为正方形，所以2ADCD ==，且90ADC ∠=︒，所以AC ==，所以(22222212AC PA PC +=+==，所以PA AC ⊥．又PA AD ⊥，AD AC A = ，所以PA ⊥平面ABCD ，因为CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又PA AD A = ，所以CD ⊥平面PAD ．又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥．因为E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥，又PD CD D = ，所以AE ⊥平面PCD ．又CE ⊂平面PCD ，所以AE CE ⊥．易知AE =CE =12ACE S ==△．因为E 为PD 的中点，则E 到平面ABCD 的距离为P 到平面ABCD 距离的一半，即1，设B 到平面ACE 的距离为h ，由E ABC B ACE V V --=三棱锥三棱锥，得11133ABC ACE S S h ⨯⨯=⨯⨯△△，即111221323h ⨯⨯⨯⨯=，解得3h =，即点B 到平面ACE 的距离为3．（2）由（1）知，PA ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，即,,PA AB AD 两两垂直．以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,1,1,0,2,0A B C E D ，所以()()()2,1,1,2,2,0,2,1,1CE AC BE =--==- ．设平面ACE 的法向量为(),,n x y z = ，则20,220,n CE x y z n AC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1x =，则1,1y z =-=，所以()1,1,1n =- 连接BD ，则BD AC ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ，即()2,2,0BD =- 为平面PAC 的一个法向量．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则()2121016cos cos ,3440111BD n BD n BD nθ⋅-⨯+⨯-+⨯====++⨯++ ，即平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为63．21．解：（1）由题意得()2,0,03A a a <<，又()222533022A P a ⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得2a =或4a =（舍），所以222:14x y C b -=，又点53,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，所以295144b -=，解得21b =，故C 的方程为2214x y -=．（2）依题意，()()122,0,2,0A A -．设()()1122,,,M x y N x y ，联立221,440,y kx x y =+⎧⎨--=⎩整理得()2214880k x kx ---=，其中2140k -≠，2Δ32640k =->，则212k <且214k ≠，122814k x x k +=-，122814x x k =--，所以()()11211222122222y y x k x y k y x x -+==+-，又221114x y -=，则1111224y x x y -=+，代入可得()()()()()()2122112121222211212122222444152444441y x x x x x x x k k k k y x y y k x x k x x k ----++++=====-++++-，解得13k =或12k =-（舍去）．22．（1）解：当1a =时，()()()2211111x f x x x x +'=-=++，当()1,0x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 在0x =处取得极小值0，无极大值．（2）解：由题得()()()()2211111x a a f x x x x --=-=++'+．①当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增，所以当()1,0x ∈-时，()()00f x f <=与()0f x ≥矛盾；②当0a >时，当()1,1x a ∈--时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x a ∈-+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()()min 1ln 1f x f a a a =-=--，因为()0f x ≥恒成立，所以()ln 10a a --≥．记()()ln 1g a a a =--，则()111a g a a a-=-='，当()0,1a ∈时，()()0,g a g a '>单调递增，当()1,a ∈+∞时，()()0,g a g a '<单调递减，所以()()max 10g a g ==，所以()ln 10a a --≤，又()ln 10a a --≥，所以()ln 10a a --=，所以1a =．（3）证明：先证()sin 0x x x <>，设()()sin 0h x x x x =->，则()cos 10h x x =-≤'，所以()h x 在区间()0,+∞内单调递减，所以()()00h x h <=，即sin x x <，所以111111sin sin sin 122122n n n n n n ++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+++++．再证11ln 1n n n +<+，由（2）知()ln 11x x x +≥+，当0x =时等号成立．令()*1x n n =∈N ，则11ln 111n n n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭+，即()11ln ln 1ln 1n n n n n +<=+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，……()()1ln 2ln 21n n n n <--+，累加得()111ln 2ln ln2122n n n n n ++⋅⋅⋅+<-=++，所以111sin sin sin ln2122n n n ++⋅⋅⋅+<++．。

湖北省高中名校联盟2025届高三第二次联合测评数学试卷（答案在最后）命题单位：武汉外国语学校数学备课组审题单位：圆创教育教研中心宜昌市第一中学本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2024年11月7日下午15：00—17：00★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区战均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A xx a B x x =<<=<∣∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A.()2,∞+ B.[)2,∞+ C.()0,2 D.(]0,22.已知()()2,3,4,3A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且2AP PB =，则点P 的坐标为（）A.10,13⎛⎫-⎪⎝⎭B.101,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()6,9-D.()9,6-3.已知,p q 为实数，1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q -=（）A.2- B.2C.4D.4-4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（）A.2y x=± B.12y x =±C.43y x =±D.34y x =±5.若关于x 的函数()()2lg log 2a f x x ax ⎡⎤=++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（）A.()()0,11,2⋃B.()(0,11,⋃C.()1,2 D.(1,6.如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD ，点E 在下底面圆周上，且CE =，点F 在母线AB 上，点G 是线段AC 上靠近点A 的四等分点，则EF FG +的最小值为（）A.4B.4C.6D.927.在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（）A.14 B.13C.512D.128.已知函数()()sin (0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，若所在平面不等式()()20f x f x a +-在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.,12∞⎛-+⎝⎦B.1,2∞⎛+- ⎝⎦C.,2∞⎛- ⎝⎦D.,12∞⎛--⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为167,170,172,178,184,185，则下列说法正确的是（）A.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D.这组数据的第75百分位数为18110.已知抛物线2:4E y x =，过点()2,0M 的直线l 与E 交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与E 的准线l '交于,C D 两点.则下列说法正确的是（）A.4OA OB ⋅=-B.直线,OA OB 的斜率分别记为12,k k ，则12k k ⋅为定值C.CD 的取值范围为)∞+D.AOB 面积的最小值为11.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB AA AD E ===为棱AD 上一点，且3AE =，平面1A BE上一动点Q 满足0,EQ AQ P ⋅=是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为O ，则下列结论正确的是（）A.长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径为2B.点A 到平面1A BEC.球心O 到平面1A BE 的距离为3 D.点Q 的轨迹在1A EB 内的长度为6π3三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

辽宁省名校联盟2024年高考模拟卷（调研卷）数学（一）（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,1,1,3a b ==- ，则()()3a b a b +⋅-=（）A.-24B.-23C.-22D.-212.若函数()223x axf x -+=在区间()1,4内单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],4∞- B.[]4,16 C.()16,∞+ D.[)16,∞+3.第19届亚运会于2023年9月至10月在杭州举行，来自浙江某大学的4名男生和3名女生通过了志愿者的选拔，若从这7名大学生中选出2人或3人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中1名女生，则不同的挑选方案共有（）A.15种B.31种C.46种D.60种4.下图是2022年5月一2023年5月共13个月我国纯电动汽车月度销量及增长情况统计图（单位：万辆），则下列说法错误的是（）（注：同比：和上一年同期相比）A.2023年前5个月我国纯电动汽车的销量超过214万辆B.这13个月我国纯电动汽车月度销量的中位数为61.5万辆C.这13个月我国纯电动汽车月度销量的众数为52.2万辆D.和上一年同期相比，我国纯电动汽车月度销量有增有减5.已知F 为椭圆222:1(0)x C y a a +=>的右焦点，过原点的直线与C 相交于,A B 两点，且AF x ⊥轴，若35BF AF =，则C 的长轴长为（）A.3B.3C. D.36.过圆22:(1)1C x y ++=上的,A B 两点分别作圆C的切线，若两切线的交点M 恰好在直线:20l x y +-=上，则MC AB ⋅的最小值为（）A.2B.3C.7.已知数列{}n a 满足112nn aa n ++=+，则“数列{}n a 是等差数列”的充要条件可以是（）A.21a = B.252a =C.22a = D.23a =8.已知,αβ满足πππ2π,44αβ- ，且553π32cos 5,962sin252ααββ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，则24πsin 994αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（）A.2B.2C.4D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知z 满足()5i1i 2iz z -=+-，则（）A.4i z =-+B.复平面内z对应的点在第一象限C.17zz =D.z 的实部与虚部之积为-410.已知函数()π2cos 2(0)6f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间[]0,π上有且仅有一个零点，则ω的值可以为（）A.23B.56C.1112 D.131211.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图①所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图是如图②所示的五面体EFBCDA ，在图②中，四边形ABCD 为矩形，EF∥AB ，33,2,AB EF AD ADE === 与BCF 是全等的等边三角形，则（）A.五面体EFBCDA 的体积为3B.五面体EFBCDA 的表面积为6+C.AE 与平面ABCD 所成角为45D.当五面体EFBCDA 的各顶点都在球O 的球面上时，球O 的表面积为27π2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{,{2}M xy N x x ===∈>-N ∣∣，则M =__________，M N ⋂=__________.13.已知圆台的上､下底面的面积分别为4π,36π，侧面积为64π，则该圆台的高为__________.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，过点1F 作斜率为a b 的直线与C 的右支交于点P ，且点M 满足22212F M F P F F =+ ，且21F M FP ⊥，则C 的离心率是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()22ln 21(0)f x x a x ax a =--->.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线l 的方程；（2）讨论()f x 的极值.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC ABC -中，1AA ⊥平面1,,2,4,ABC AB AC AB AC AA D ⊥===是线段1BB 上的一个动点，,E F 分别是线段,BC AC 的中点，记平面DEF 与平面111ABC 的交线为l .（1）求证：EF ∥l ；（2）当二面角D EF C --的大小为120 时，求BD .17.（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.（1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；（2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；（3）现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18.（17分）已知平面上一动点P 到定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比到定直线2023x =-的距离小40452，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）点()2,1,,AM N 为C 上的两个动点，若,,M N B 恰好为平行四边形MANB 的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB 的面积为S ，求证：869S .19.（17分）给定正整数2n ，设集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k Mt t t t k n αα==∈= ∣.对于集合M 中的任意元素()12,,,n x x x β= 和()12,,,n y y y γ= ，记1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ .设A M ⊆，且集合(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣，对于A 中任意元素,i j αα，若,,1,,i j p i j a a i j =⎧⋅=⎨≠⎩，则称A 具有性质(),T n p .（1）若集合A 具有性质()2,1T ，试写出A 的表达式；（2）判断集合()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =是否具有性质()3,2T ？若具有，求3,1iji j a a =⋅∑的值；若不具有，请说明理由；（3）是否存在具有性质()4,Tp 的集合A ？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.数学（一）一､选择题1.B 【解析】()()32,13,9(1a b +=+-=- ，10），()3,2a b -=-，所以(3)()a b a b +⋅- ()()1,103,223=-⋅-=-.故选B 项.2.A 【解析】因为()223xaxf x -+=在区间(1,4)内单调递减，所以函数22y x ax =-+在区间()1,4内单调递减，所以14a，解得a 4.故选A 项.3.C 【解析】至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生，故所求挑选方案的种数为22337474C C C C 46-+-=.故选C项.4.B 【解析】2023年前5个月我国纯电动汽车的销量为28.737.64947.152.2214.6++++=万辆214>万辆，A 项正确；将这13个月纯电动汽车的月度销量由小到大依次排列为28.7,34.7,37.6,45.7,47.1，47.6,49,52.2,52.2,53.9,54.1,61.5,62.4，则中位数为其中第7个数据，即49万辆，B 项错误；这些数据中只有52.2出现2次，其他数据均只出现1次，故众数为52.2万辆，C 项正确；2023年1月的同比增长率为负数，故和上一年同期相比，我国纯电动汽车月度销量有增有减，D 项正确.故选B 项.5.B 【解析】设(),0Fc ，如图，记F '为C 的左焦点，连接AF '，则由椭圆的对称性可知AF BF '=，由35BF AF =，设3,5AF m BF m ==，则5AF m '=.又AF x ⊥轴，所以42FF m c =='=，即2c m =，所以22282,14,AF AF m a a c m ⎧+===='⎨-⎩解得,3,6a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以C的长轴长为23a =.故选B 项.6.D【解析】因为圆C 的方程为22(1)1x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径1r =.因为,MA MB 是圆C的两条切线，所以,MA AC MB BC ⊥⊥，由圆的知识可知,,,A M B C 四点共圆，且,AB MC MA MB ⊥=，所以14422MAC MC AB S MA AC MA ⋅==⨯⨯⨯= ，又MA =，所以当MC 最小，即MC l ⊥时，MC AB ⋅取得最小值，此时2MC ==，所以minmin ()2||MC AB MA ⋅===.故选D 项.7.B 【解析】由112n n a a n ++=+，得122n n a a n ++=+①，当2n 时，12n n a a n -+=②，由①-②得112n n a a +--=，即{}n a 的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，所以()()22221112122,2122k k a a k k a a a k k a -=+-=+-=+-=+-，若{}n a 为等差数列，则其公差显然为1，即211a a -=.又12224a a +=⨯=，所以1235,22a a ==，此时221112,222k k a k a k -=+=-，即12n a n =+，所以{}n a 为等差数列，即“数列{}n a 是等差数列”的充要条件可以是252a =.故选B 项.8.D 【解析】因为5962sin25ββ+=-，所以()53(2)2sin 250ββ-+--=，由53π32cos 52αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得53π3π32sin 5022αα⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2β-和3π2α-是方程532sin 50x x +-=的两个实数根.因为[]πππ,2π,,44αβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，所以3π2α-和2β-的取值范围都是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因为函数53,2sin y x y x ==在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均单调递增，所以函数532sin y x x =+在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故方程532sin 50x x +-=在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个根，所以3π22αβ-=-，所以3π22αβ+=，所以24π993αβ+=，所以24πππππππ62sin sin sin cos cos sin 9943434344αβ⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D 项.二､选择题9.ACD【解析】设()i,z x y x y =+∈R ，则由已知得()()()5i 2ii 1i i 5x y x y +--=++，即()()i 12i x y x y x y --+=-++，所以1,2,x y x x y y -=-⎧⎨--=+⎩解得4,1,x y =-⎧⎨=⎩所以4i z =-+，则4i z =--，故A 项正确，B 项错误；()()4i 4i 17,zz z =-+--=的实部为-4，虚部为1，所以z 的实部与虚部之积为-4，故C ，D 项正确.故选ACD 项.10.BC【解析】因为0πx ，所以ππππ666x ωω++ .因为()f x 在区间[]0,π上有且仅有一个零点，所以πcos 16x ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有一个实数根，所以πππ3π6ω+< ，解得51766ω< .因为ππ63x - ，所以πππππ66636x ωωω-+++ ，因为()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以πππ36ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，即2ω ，且根据余弦函数的单调性可知ππ066ω⎰-+ ，解得01ω< .综上，ω的取πππ36ω+ ，值范围是5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选BC 项.11.ACD 【解析】如图①，可将该五面体分割成四棱锥E AGJD -，直三棱柱EGJ FHI -，四棱锥F HBCI -三部分，由对称性可知四棱锥E AGJD -与四棱锥F HBCI -的体积相等，易求得EG EGJ==的边GJ 上的高h ==EFBCDA 的体积1111221221,A 32323VAG GJ h GJ h GH =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯=项正确.五面体EFBCDA 的表面积()22112sin602223(1222S AD AD AB EF AB EG =⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⨯+⨯++ 3）6=+，B 项错误.设AE 与平面ABCD 所成角为θ，则sin 2h AE θ==，又θ为锐角，所以45θ= ，C 项正确.如图②，连接,AC BD 交于点1O ，因为四边形ABCD 为矩形，所以1O 为矩形ABCD 外接圆的圆心，连接1O O ，则1OO ⊥平面ABCD ，分别取,,EF AD BC 的中点,,M P Q ，根据几何体EFBCDA 的对称性可知，直线1O O 交EF 于点M .连接P Q ，则P Q ∥AB ，且1O 为P Q 的中点，因为EF ∥AB ，所以P Q∥EF ，连接,E P F Q ，在ADE 与BCF中，易知EP FQ ===，梯形EFQP 为等腰梯形，所以1M O PQ ⊥，且1MO =.设1O O m =，球O 的半径为R ，连接,O E O A ，当点O 在线段1OM 上时，由球的性质可知222R OE OA ==，易得12O A ==，则2222113)22m m ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时无解；当点O 在线段1M O的延长线上时，由球的性质可知2222131)22m m ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4m =.所以22278R OE ==，所以球O 的表面积227π4π2S R ==，D 项正确.故选ACD 项.三､填空题12.{}120,1,22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】由题意得{}21232022M xx x x x ⎧⎫=-++=-⎨⎬⎩⎭∣ ，所以{}0,1,2M N ⋂=.13.【解析】由题意得圆台的上､下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为l ，高为h ，则该圆台的侧面积()π2664πS l =⨯+⨯=侧，解得8l =，所以h ==14.53【解析】如图，直线1FP 的斜率为ab.由22212F M F P F F =+ ，得点M 为1PF 的中点，又21F M FP ⊥ ，所以2F M 是线段1FP 的垂直平分线，所以2122PF FF c ==，过点O 作1O N PF ⊥于点N ，由已知得1tan aNF O b∠=，所以1cos b NF O c ∠==，所以111sin cos tan b a aNF O NF O NF O c b c∠∠∠=⋅=⋅=，所以11sin ON a NF O OF c ∠==，即ON a =，所以1NF b ==，又ON ∥2M F ，所以121ONF F M F ∽，所以1122MF NF b ==，所以14PF b =，由双曲线的定义可得12422PF PF b c a -=-=，即2b c a =+，所以224()b c a =+，可得()2224()c a c a -=+，整理得223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =或1e =-（舍去），又题中直线与C 的右支有交点，所以b a a b >，即22b a >，所以222c a a ->，即222c a >，所以222c a>，即e >所以C 的离心率为53.四､解答题15.解：（1）当1a =时，()22ln f x x x =-，所以()22ln24f =-，因为()22f x x x=-'，所以()2143f =-=-'，所以l 的方程为()2ln243(y x --=--2），即32ln 220x y +--=.（2）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()2112212x ax f x a ax x x'+-=---=-.因为0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递减，所以当1x a =时，()f x 取得极大值为1112ln 2f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，无极小值.16.（1）证明：因为,E F 分别是线段,BC AC 的中点，所以EF∥AB .在三棱柱111ABC ABC -中，四边形11A ABB 为平行四边形，所以11AB ∥AB ，则EF ∥11AB ，因为EF ⊄平面11111,ABC AB ⊂平面111ABC ，所以EF ∥平面111ABC .因为EF ⊂平面DEF ，平面DEF ⋂平面111ABC l =，所以EF ∥l .（2）解：解法一：在直三棱柱111ABC ABC -中，1AA ⊥平面ABC ，所以11,A A A B A A AC ⊥⊥，又AC AB ⊥，所以1,,AB AC AA 两两垂直.以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设,04BD t t =< ，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,),(1,1,0),(0,1,0)A B C D t E F 所以()()1,0,0,2,1,EF DF t =-=-- .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n EF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x x y tz -=⎧⎨-+-=⎩令1z =，得()0,,1n t = .平面CEF 的一个法向量为1(0,0AA = ，4），则111cos1202n AA n AA ⋅===⋅ ，解得t =或t =（舍去）.综上，当二面角D EF C --的大小为120 时，BD .解法二：作DG ∥AB ，交1AA 于点G ，连接GF .因为AB ∥EF ，所以DG ∥EF ，所以,,,D G F E 四点共面，所以平面DEF ⋂平面11ACC A GF =.因为11,,AB AC AB AA AA AC A ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面11ACC A ，所以EF ⊥平面11ACC A ，所以,EF FC EF FG ⊥⊥，所以GFC ∠为二面角D EF C --的平面角.若120GFC ∠= ，则在Rt AGF 中，60GFA ∠= ，又1AF =，所以AG =又BD AG =，所以BD .17.解：（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率12P =⨯1211211271111113323323318⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）记事件C ：丁周六选择A 健身中心，事件D ：丁周日选择B 健身中心，则11321()(),()1,()124433P C P C P D C P D C ===-==-=∣∣由全概率公式得131113()()()()(242324P D P C P D C P C P D C =+=⨯+⨯=∣∣.故丁周日选择B 健身中心健身的概率为1324.（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p ，则0.02p =，设抽取次数为X ，则X 的分布列为X123 1n -n Pp ()1p p -2(1)p p - 2(1)n p p --1(1)n p --故()()()2212(1)3(1)1(1n EX p p p p p p p n -=+-⨯+-⨯++-⨯-+- p ）1n n -⨯，又()()()()23111(1)2(1)3(1)1(1)n n p E X p p p p p p p p n p n --=-+-⨯+-⨯++-⨯-+-⨯ ，两式相减得()()2211(1)(1)(1)n n pE X p p p p p p p p p --=+-+-++-+- ，所以()()()2211(1)1(1)10.9811(1)(1)(1)110.02n n nn n p p E X p p p p p p -------=+-+-++-+-===-- ，而()10.980.02n E X -=在*n ∈N 时单调递增，结合2930310.980.557,0.980.545,0.98≈≈≈0.535，可知当29n =时，()22.15EX ≈；当30n =时，()22.75E X ≈；当31n =时，()E X ≈23.25.若抽取次数的期望值不超过23，则n 的最大值为30.18.（1）解：解法一：设(),Px y ，易知2023x >-，404520232x =+-，化简得22y x =，所以C 的方程为22y x =.解法二：因为点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到定直线2023x =-的距离小40452，所以点P 到定点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到定直线12x =-的距离相等，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，定直线12x =-为准线的抛物线，所以C 的方程为22y x =.（2）证明：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的斜率为()0k k ≠，线段MN 的中点为Q ，因为平行四边形MANB 对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，所以线段MN 的中点Q 在直线y x =上，设()(),0Q m m m ≠，所以2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩所以()()()1212122y y y y x x -+=-，又1212122,,y y y y m k x x -+==-所以1km =，即1k m=.设直线MN 的方程为()1y m x m m -=-，即20x m y m m -+-=，联立220,2,x my m m y x ⎧-+-=⎨=⎩整理得222220y m y m m -+-=，所以2Δ840m m =->，解得02m <<，212122,22y y m y y m m +==-，则12MN y y =-=.=又点A 到直线MN的距离为d =，所以2AMN S S MN d ==⋅==.()222m m -+，记t 因为02m <<，所以(]0,1t ∈，所以()(]232224,0,1S t tt t t =-=-+∈.令()(]324,0,1f t t t t =-+∈，则()264f t t =-+'，令()0f t '=，可得3t =，当3t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()0,f t f t '>在区间(0，3⎫⎪⎪⎭内单调递增，当,13t ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()f t '<()0,f t 在区间,13⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，所以当3t =，即13m =±时，()f t 取得最大值，即max 39S f ⎫==⎪⎪⎝⎭，所以9S .19.解：（1）由题意可知()2,1T表示集合A 有2个元素，且1,p =所以()(){}1,0,0,1A =.（2）对于{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =，则()()1,1,01,1,01102⋅=++=，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=，而()()1,1,01,0,11001⋅=++=，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=，所以A 具有性质()3,2T .且3,12221119i j i j a a =∑⋅=+++++=.（3）假设存在集合A 具有性质()4,T p ，易知集合A 中有4个元素且{0,1,2,3,4}p ∈.①若0p =，则(){}0,0,0,0A =，不符合4个元素，舍去；②若1p =，则()(){1,0,0,0,0,1,0,0A ⊆，()()0,0,1,0,0,0,0,1}，又()()1,0,0,00,1,0,00⋅=，所以不满足，舍去；③若2p =，则{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆，又()()()1,1,0,00,0,1,11,0,1,0⋅=⋅()()()0,1,0,11,0,0,10,1,1,00=⋅=，所以这3组每组至多只能有一个包含于A ，所以A 至多只有3个元素，矛盾，舍去；④若3p =，则()(){1,1,1,0,1,1,0,1A ⊆，()()1,0,1,1,0,1,1,1}，又()()1,1,1,01,1,0,12⋅=，所以不满足，舍去；⑤若4p =，则(){}1,1,1,1A =，只有一个元素，舍去.。

重庆市名校联盟2024-2025学年度第一期第一次联合考试数学试卷（高2026届）（答案在最后）本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）.A.()1,6,3-B.()5,4,3- C.()1,6,3-- D.()2,5,3-【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示可得.【详解】由空间向量的坐标表示可知，AB OB OA =-，所以()()()2,5,33,1,05,4,3OB AB OA =+=-+-=-，所以点B 的坐标为()5,4,3-.故选：B2.过点(1,1)Q -，且与直线30x y --=平行的直线方程是（）A.20x y -+=B.20x y --=C.20x y ++=D.20x y +-=【答案】A 【解析】【分析】根据平行直线的斜率关系，利用待定系数法求出直线方程即可.【详解】直线30x y --=的斜率1111k =-=-，过点(1,1)Q -的直线与直线30x y --=平行，所以该直线的斜率11k k ==，设该直线的方程为y x b =+，且该直线过点(1,1)Q -，则11b =-+，得2b =，所以该直线的方程为2y x =+，即20x y -+=.故选：A .3.已知点(1,A ，(B ，若AB是直线l 的方向向量，则直线l 的倾斜角为（）A.150︒B.120︒C.60︒D.30︒【答案】A 【解析】【分析】根据两点坐标得到向量坐标，即可求得该直线的倾斜角.【详解】已知点(1,A ，(B ，则(3,AB =，斜率tan 3k α==-，又直线l 的倾斜角)0,180°α︒⎡∈⎣，则直线l 的倾斜角150α=︒.故选：A.4.已知圆()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x 轴相切，则m =（）A.1B.0或14C.0或1D.14【答案】D 【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得r m ==求解.【详解】将()22420x y mx my m m ++-+=∈R 化为标准式为：()()22225x m y m m m ++-=-，故圆心为()2,m m -半径为r =15m >或0m <，由于()22420x y mx my m m ++-+=∈R 与x 轴相切，故r m ==，解得14m =，或0m =（舍去），故选：D5.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为1，AB ，AD ，1AA 两两所成夹角均为60︒，点E ，F 分别在棱1BB ，1DD 上，且12BE B E =，12D F DF =，则EF =（）A.409B. C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，连接,AF AE ，由向量的线性运算可得113EF AB AD AA =-+-，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.【详解】连接,AF AE ，由题意可得111121333EF AF AE AD DD AB BB AB AD AA =-=+--=-+-，所以22113EF AB AD AA ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2221111222933AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++-⋅+⋅-⋅ 1121211011121111119232329=++⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以3EF =.故选：D6.点()2,1P --到直线()()():131240R l x y λλλλ+++--=∈的距离最大时，其最大值以及此时的直线l 方程分别为（）A.20x y +-=B.；340x y +-=C.3250x y +-= D.；2310x y -+=【答案】C 【解析】【分析】根据题意，得到直线l 过定点()1,1Q ，若使得()2,1P --到直线l 的距离最大，则PQ l ⊥，求得23PQ k =，得到32l k =-，进而得到直线方程.【详解】由直线()()():131240R l x y λλλλ+++--=∈，可得化为()2340x y x y λ+-++-=，联立方程组20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点()1,1Q ，若要()2,1P --到直线l 的距离最大，只需PQ l ⊥，此时点()2,1P --到直线l 的最大距离，即为线段PQ 的长度，可得PQ =，又由直线PQ 的斜率为()()112123PQ k --==--，因为PQ l ⊥，可得1PQ l k k ⋅=-，可得32l k =-，故此时直线l 的方程为()3112y x -=--，即3250x y +-=，经检验，此时13λ=，上述直线l 的方程能够成立.故选：C.7.已知直线l 过点()0,440y -+=及x 轴围成等腰三角形，则l 的方程为（）A.40y +-=3120y -+=B.3120y -+=，或40y -+=C.30y -+= D.30y +-=【答案】A 【解析】【分析】根据直线l 所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.【详解】设()0,4A 40y -+=过()0,4A 和B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当:0l x =时，直线l 、40y -+=与x 轴为成的三角形是AOB V 不是等腰三角形.所以直线l 的斜率存在.设B 关于y轴的对称点为C ⎫⎪⎭，当直线l 过,A C 两点时，AB AC =，三角形ABC 是等腰三角形，同时由于直线ABπ3，所以三角形ABC 是等边三角形，所以AC BC =，此时直线l的方程为4044x yy +=+-=设直线l 与x 轴相交于点D ，如图所示，若AB BD =，则π6ADB ∠=，所以直线AD ，也即直线l的斜率为3，对应方程为331203y x y =+-+=.故选：A8.点P 为圆A ：()2244x y -+=上的一动点，Q 为圆B ：()()22641x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，则PO PQ PB ++的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】结合点与圆的位置关系，把问题转化成两点之间直线段最短的问题解决.【详解】P 为圆A ：()2244x y -+=上一动点，Q 为圆B ：()()22641x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，取()3,0C ，则12AC AP APAO==，∴ACP APO ∽，∴2PO PC =，∴21PO PQ PB PO PB ++≥+-221PC PB =+-21BC ≥-()()222634019=-+--=.故选：B【点睛】方法点睛：几何问题中，线段和的最小值问题通常利用到两个结论：第一：两点之间直线段最短，第二：点到直线的距离，垂线段最短.该题求线段和的最小值，该思考如何转化，利用这两个结论.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1e ，2e 是夹角2π3的单位向量，且122a e e =+ ，12b e e =-r u r u r ，则下列说法正确的是（）A.12a b ⋅=-B.3a =C.1e 在2e 方向上的投影向量为212e - D.a 与b的夹角为2π3【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则计算可判断个选项是否正确.【详解】由题意：121e e == ，122π111cos 32e e ⋅=⨯⨯=- .对A ：a b ⋅= ()()12122e e e e +⋅- 2211222e e e e =+⋅- 1122=--32=-，故A 错误；对B ：因为()22122a e e =+ 22112244e e e e =+⋅+ 1243=-+=，所以3a = ，故B 正确；对C ：1e 在2e 方向上的投影向量为：12222212e e e e e e ⋅⋅=-，故C 正确；对D ：因为()2212b e e =- 2211222e e e e =-⋅+ 1113=++=，所以3b = .所以()()12122cos ,3e e e e a b a b a b+⋅-⋅==⋅ 31232-==-，所以a 与b 的夹角为2π3，故D 正确.故选：BCD10.点P 在圆M ：()()225516x y -+-=上，点()4,0A ，点()0,2B ，则下列结论正确的是（）A.直线AB 关于点M 的对称直线为2260x y --=B.点P 到直线AB 距离的最大值为11545+C.圆M 关于直线AB 对称的圆的方程为22131655x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.当PBA ∠最大时，PB =【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，分别求得点,A B 关于点M 的对称点坐标，即可判断；对于B ，利用圆上动点到直线的最大距离为d r +即可判断；对于C ，求得圆心M 关于直线AB 对称的点即可得解；对于D ，判断得PBA ∠最大时直线PB 与圆M 相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解.【详解】对于A ，因为点()4,0A ，点()0,2B ，点()5,5M ，则点A 关于点M 的对称点()6,10A '，点B 关于点M 的对称点()10,8B '，则10816102A B k ''-==--，则对称直线方程为()11062y x -=--，化简可得2260x y +-=，故A 错误；对于B ，由题意可得，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，因为圆22:(5)(5)16M x y -+-=，所以()5,5M ，半径为4r =，所以圆心M 到直线AB 的距离为5d ==，所以点P 到直线AB 距离的最大值为45d r +=+，故B 正确；对于C ，设圆心M 关于直线AB 对称的点为(),N x y ，则511525524022yxx y⎧-⎛⎫⨯-=-⎪⎪⎪-⎝⎭⎨++⎪+⨯-=⎪⎩，解得35195xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以圆M关于直线AB对称的圆的方程为223191655x y⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C错误；对于D，当PBA∠最大时，易得直线PB与圆M相切，如图，在Rt PMB中，BM==4PM r==，所以||PB=，故D正确.故选：BD11.在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB AD==，12AA=，动点P在体对角线1BD上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当P为1BD中点时，APC∠为锐角B.存在点P，使得1BD⊥平面APCC.AP PC+的最小值3D.顶点B到平面APC的最大距离为6【答案】ABC【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，当P 为1BD 中点时，根据cos PA PC APC PA PC ⋅∠=⋅ 判断cos APC ∠得符号即可判断A ；当1BD ⊥平面APC ，则有110BD AP BD CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而求出λ可判断B ；当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，结合B 即可判断C ；利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，分析即可判断D.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ，设()101BP BD λλ=≤≤，则()11,1,2BD =-- ，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，12λ=，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC ⋅∠==>⋅，所以APC ∠为锐角，故A 正确；当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥，则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，由B 得，此时16λ=，则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以6AP CP == ，即AP PC +的最小值为303，故C 正确；对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC ==- ，(),1,2AP λλλ=--，设平面APC 的法向量(),,n x y z =，则()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可取()2,2,21n λλλ=- ，则点B 到平面APC的距离为AB n n ⋅= ，当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤22==，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC的最大距离为2，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，求得(),1,2AP λλλ=--，()1,,2CP λλλ=--，从而利用空间向量法逐一分析判断各选项即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量()()()5,1,0,1,1,1,1,,2a b c k ==-=，若()a b c -⊥ ，则k =_______.【答案】1-【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标表示以及向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解.【详解】由向量()()()5,1,0,1,1,1,1,,2a b c k ==-=，可得(4,2,1)a b -=- ，因为()a b c -⊥ ，可得()412(1)20a b c k -⋅=⨯++-⨯=，即220k +=，解得1k =-.故答案为：1-13.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，且坐标原点在该圆外，则a 的取值范围是______．【答案】12(2,1),23⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据点和圆的位置关系列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】圆的方程可化为()2222232144a x ax y ay a a a ⎛⎫+++++=-- ⎪⎝⎭，即2223()124a x y a a a ⎛⎫+++=--+ ⎪⎝⎭，所以23140a a -->+，解出223a -<<.由于()0,0在圆2222210x y ax ay a a +++++-=外，所以()()2210,2110a a a a +->-+>，解得1a <-或12a >.故12(2,1),23a ⎛⎫∈--⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：12(2,1),23⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭14.已知圆22:16Q x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=若PQ PM PN =+ ，则PQ 的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】根据几何关系确定点S 的轨迹方程，从而根据点到圆上动点距离最值的求解方法求解即可.【详解】解法1：如图，因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，故四边形PMQN 为矩形，设MN 的中点为S ，连接OS ，则OS MN ⊥，所以222216OS OM MS MS =-=-，又PMN 为直角三角形，所以MS PS =，故2216OS PS =-①，设(),S x y ，则由①可得()()22221612x y x y ⎡⎤+=--+-⎣⎦，整理得：()22127124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，从而点S 的轨迹为以1,12T ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，332为半径的圆，显然点P 在该圆内部，所以min 3335222PS PT =-=，因为2PQ PS =，所以min 335PQ = ；解法2：如图，因为0PM PN ⋅=,所以PM PN ⊥，故四边形PMQN 为矩形，由矩形性质，2222OM ON OP OQ +=+，所以216165OQ +=+，从而33OQ =，故Q 点的轨迹是以O 为圆心，33显然点P 在该圆内，所以min 33335PQ OP ==.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．（1）求边BC 的垂直平分线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．【答案】（1）320x y --=（2）2y x =或240x y +-=【解析】【分析】（1）根据()3,1B --、()3,3C -，即可得BC 中点及斜率，进而可得其中垂线方程；（2）当直线2l 过坐标原点时可得直线方程；当直线2l 不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.【小问1详解】由()3,1B --、()3,3C -，可知BC 中点为()0,2-，且()()311333BC k ---==---，所以其垂直平分线斜率满足11BC k k ⋅=-，即13k =，所以边BC 的垂直平分线1l 的方程为()()230y x --=-，即320x y --=；【小问2详解】当直线2l 过坐标原点时，2221k ==，此时直线2:2l y x =，符合题意；当直线2l 不过坐标原点时，由题意设直线方程为12x ya a+=，由2l 过点()1,2A ，则1212a a +=，解得2a =，所以直线2l 方程为124x y+=，即240x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为2y x =或240x y +-=.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为1DD ，11B D ，1BB 的中点.（1）证明：//GF 平面ACE ；（2）求1AC 与平面ACE 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23.【解析】【分析】（1）先证得//FG OE ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ACE 的法向量，利用公式1sin cos ,AC m θ= 求解即可.【小问1详解】证明：连接BD 和1BD ，设AC BD O = ，连接EO ，则O 为BD 中点，在11BB D △中，因为F ，G 分别为1BB 和11B D 的中点，所以1//FG BD ，又因为在1BDD 中，因为E 为1DD 的中点，所以1//OE BD ，所以//FG OE 又FG ⊂/平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以//GF 平面ACE ．【小问2详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建系如图：设正方体的棱长为2，则2,0,0，()0,2,0C ，0,0,1，()10,2,2C ，所以()12,2,2AC =- ，()2,2,0AC =- ，()2,0,1AE =-，设 =s s 为平面ACE 的一个法向量，则00m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,2m = 设直线1AC 与平面ACE 所成角为θ，所以直线1AC 与平面ACE 所成角的正弦值为：1112sin cos ,3236AC m AC m AC m θ⋅====⨯ ．所以1AC 与平面ACE 所成角的余弦值为73.17.直线l 的方程为()1230m x y m ++--=（m ∈R ）.（1）证明：无论m 为何值，直线l 过定点；（2）已知O 是坐标原点，若直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于A 、B 两点，当ABO 的面积最小时，求ABO 的周长及此时直线l 的截距式方程.【答案】（1）证明见解析（2）625+，142x y+=【解析】【分析】（1）将直线l 的方程变形为()230m x x y -++-=，令2030x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得即可；（2）首先求出直线在x 、y 轴上的截距，即可求出m 的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时m 的值，从而求出直线l 的方程及三角形的周长.【小问1详解】直线l 的方程()1230m x y m ++--=变形为()230m x x y -++-=，由2030x x y -=⎧⎨+-=⎩，得到21x y =⎧⎨=⎩，又21x y =⎧⎨=⎩时，()1230m x y m ++--=恒成立，故直线l 恒过定点2,1【小问2详解】由()1230m x y m ++--=，依题意10m +≠，即1m ≠-，令0x =，得到23y m =+，令0y =，得到231m x m +=+，由2302301m m m +>⎧⎪+⎨>⎪+⎩，得到1m >-，所以()()()223123232121ABCm m S m m m ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭ ，令10m t +=>，得到()2221441122224222ABC t t t S t tt t+++===++≥+= ，当且仅当122t t =，即12t =时取等号，此时12m =-，直线l 的方程为142x y +=，又()4,0A ，()0,2B，AB ==所以当ABO 的面积最小时，ABO的周长为6+.18.如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，4CD =，E 为中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：⊥BC 平面POB ；（2）若6PB =PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求三棱锥P AQE -的体积，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12P AQE V -=【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得结果，先证明线线垂直，再证明线面垂直；（2）先建立空间直角坐标系，根据线面夹角的正弦值得到点到平面的距离即三棱锥的高，即可求得体积.【小问1详解】在原图中，连接BE ，由于//AB DE ，AB DE =，所以四边形ABED 是平行四边形，由于AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，所以AE BD ⊥，由于//AB CE ，AB CE =，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以//BC AE ，所以BC BD ⊥，在翻折过程中，AE OP ⊥，AE OB ⊥保持不变，即BC OP ⊥，BC OB ⊥保持不变，由于OP OB O = ，OP ，OB ⊂平面POB ，所以⊥BC 平面POB ；【小问2详解】由上述分析可知，在原图中，BC BD ⊥，所以224223BD -==，所以OB OD ==，折叠后，若PB =222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥，由于PO OE ⊥，OB OE O =I ，OB ，OE ⊂平面ABCE ，所以⊥PO 平面ABCE ，由于OB ，OE ⊂平面ABCE ，所以PO OB ⊥，PO OE ⊥，所以OE ，OB ，PO 两两相互垂直，由此以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，OE OA ===(P，()C ，()1,0,0A -，()1,0,0E ，设()0,Q t t，0t ≤≤(PC =，()2,0,0AE =，()1,AQ t t = ，设平面AEQ 的法向量为(),,n x y z =，则)200n AE x n AQ x ty t z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，故可设()0,n t t =-，设直线PC 与平面AEQ 所成角为θ，则sin 5n PCn PC θ⋅==⋅，=，23232t -+=，(224320t t -+=-=，32t =，所以0,,22Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，即Q 是PB 的中点，由于y 轴与平面PAE 垂直，所以Q 到平面PAE 的距离为2，所以11123222P AQE Q PAE V V --⎛==⨯⨯⨯⨯= ⎝.19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离(,)D A B =；曼哈顿距离1212(,)d A B x x y y =-+-，余弦距离(,)1cos(,)e A B A B =-，其中cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉（O 为坐标原点）．（1）若(1,2)A -，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(,)d A B 和余弦距离(,)e A B ；（2）若点(2,1)M ，(,)1d M N =，求(,)e M N 的最大值；（3）已知点P ，Q 是直线:1(1)l y k x -=-上的两动点，问是否存在直线l 使得min min (,)(,)d O P D O Q =，若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）145，55（2）15-（3）存在，1y =和y x =【解析】【分析】（1）代入(,)d A B 和(,)e A B 的公式，即可求解；（2）首先设(),N x y ，代入(,)1d M N =，求得点N 的轨迹，再利用数形结合，结合公式(),e A B ，结合余弦值，即可求解；（3）首先求(),D O P 的最小值，分0k =和0k ≠两种情况求(),d O P 的最小值，对比后，即可判断直线方程.【小问1详解】348614(,)125555d A B +=--+-==，3855cos(,)cos ,5OA OB A B OA OB OA OB -+⋅=〈〉== ，()()555,1cos ,155e A B A B =-=-=；【小问2详解】设(,)N x y ，由题意得：(,)|2||1|1d M N x y =-+-=，即|2||1|1x y -+-=，而|2||1|1x y -+-=表示的图形是正方形ABCD，其中()2,0A 、()3,1B 、()2,2C 、()1,1D ．即点N 在正方形ABCD 的边上运动，(2,1)OM =，(,)ON x y = ，可知：当cos(,)cos ,M N OM ON =<> 取到最小值时，,OM ON <>最大，相应的(,)e M N 有最大值．因此，点N 有如下两种可能：①点N 为点A ，则(2,0)ON =，可得25cos(,)cos ,5M N OM ON =<>== ；②点N 在线段CD 上运动时，此时ON与(1,1)DC =同向，取(1,1)ON =，则310cos(,)cos ,10M N OM ON =<>==．因为105>，所以(,)e M N的最大值为15-．【小问3详解】易知min (,)D O P =(,1)P x kx k -+，则(,)()|||1|d O P h x x kx k ==+-+当0k =时，(,)()|||1|d O P h x x ==+，则min (,)1d O P =，min (,)1D O P =，满足题意；当0k ≠时，1(,)()1k d O P h x x kx k x k x k-==+-+=+⋅-，由分段函数性质可知min 1(,)min (0),k d O P h h k ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又(0)|1|h k =-≥且11k k h k k --⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1k =时等号成立．综上，满足条件的直线有且只有两条，:1l y =和y x =．【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解min min (,)(,)d O P D O Q =，同样是转化为代数与几何相结合的问题.。

绝密★启用前过宁省名校联盟2024年高二3月份联合考试数学（答案在最后）命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知1222i,13i z z =+=+，则（）A.12z z > B.12z z < C.12z z > D.12z z <2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0,1- D.{}1,23.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，则双曲线C 的离心率为（）A.332B.C.2D.4.已知θ为第二象限角，若sin sin 22θθ=-，则2θ在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.函数3π()sin log 2xf x x =-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.46.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54- C.108D.108-7.若球的两个平行截面的面积分别为10π和16π，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（）A.B. C.D.8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠时，()()()1212124f x f x x x x x ->+-恒成立，(2)16f =，则满足2(ln )4(ln )f m m ≤的m 的取值范围为（）A.1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.21,e ⎡⎤⎣⎦D.221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.为了得到函数2π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把正弦曲线上所有的点（）A.先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原米的12，纵坐标不变B.先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度10.已知21,e e 是夹角为2π3的单位向量，且12122,a e e b e e =-=+，则（）A.||a =B.12a b ⋅=-r rC.a 与b 的夹角为2π3D.a 在b方向上的投影向量为12b- 11.对于直线12:230,:3(1)30l ax y a l x a y a ++=+-+-=，则（）A.12//l l 的充要条件是3a =或2a =-B.当25a =时，12l l ⊥C.直线2l 经过第二象限内的某定点D.点(1,3)P 到直线1l 的距离的最大值为12.在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4,,,2AB BD CD BD BD CD ⊥⊥==，若该四面体的体积为3，则（）A.异面直线AB 与CD 所成角的大小为3πB.AC 的长不可能为C.点D 到平面ABC 的距离为7D.当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若某圆锥的侧面积为底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为______．14.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos a b C =，则这个三角形一定是______三角形．15.已知抛物线28y x =的焦点为,F O 为坐标原点，M 为抛物线上异于点O 的动点，则MF MO的最小值是______．16.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A 为丙和丁参加的项目不同，事件B 为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则()P B A =________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式．（1）011263290.125(2)8-⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭；（2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯．18.已知函数2()6(0)f x x bx b =++>有唯一零点，函数()()(0)f x g x x x=<．（1）求()g x 的单调递增区间，并用定义法证明；（2）求()g x 的值域．19.已知集合{}124x A x a -=≤≤，集合{}3log (21)2B x x =+<．（1）当12a =，求()A B R ð；（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．20.已知π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求5π1tan 5π12tan 12αα⎛⎫++⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭的值．21.如图，多面体11ABC DB C -是由三棱柱111ABC A B C -截去部分后而成，D 是1AA的中点．（1）若3,AD AC AD ==⊥平面,ABC BC AC ⊥，求点C 到平面11B C D 的距离；（2）如图，点E 在线段AB 上，且23AE EB = ，点F 在1CC 上，且1CC CF λ=，问λ为何值时，EF ∥平面11B C D22.已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，左焦点为1(,0)F c -，过点1F 作x 轴的垂线与T 在第二象限的交点为1,M MBF 的面积为503，且116AF AB = ．（1）求T 的方程；（2）已知点P 为直线871130x y +-=上一动点，过点P 向T 作两条切线，切点分别为,J K ．求证：直线JK 恒过一定点Q ，并求出点Q 的坐标．绝密★启用前过宁省名校联盟2024年高二3月份联合考试数学命题人：辽宁名校联盟试题研发中心审题人：辽宁名校联盟试题研发中心本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知1222i,13i z z =+=+，则（）A.12z z >B.12z z < C.12z z > D.12z z <【答案】D 【解析】【分析】根据复数的定义即可判断AB ，根据复数的模的计算公式即可判断CD.【详解】由复数1222i,13i z z =+=+，可得两个复数不能比较大小，故AB 错误，12z z ===12z z <，故C 错误，D 正确.故选：D.2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1,2- C.{}1,0,1- D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭解出不等式，得到集合B ，再由交集的定义即可得到结果.【详解】由102x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭得{}21B x x =-<≤，又因为{}2,1,0,1,2A =--，所以A B = {}1,0,1-故选：C.3.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线2y x =垂直求出12b a =，进而求出离心率.【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，双曲线的一条渐近线与直线2y x =垂直，∴双曲线C 一条渐近线的斜率为12-，所以12b a -=-，即12b a =，因此双曲线C 的离心率2c e a ===.故选：C .4.已知θ为第二象限角，若sin sin 22θθ=-，则2θ在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】由π2π2ππ,Z 2k k k θ+<<+∈，得到ππππ,Z 422k k k θ+<<+∈，再对k 赋值，根据sinsin 22θθ=-判断.【详解】解：因为θ为第二象限角，所以π2π2ππ,Z 2k k k θ+<<+∈，则ππππ,Z 422k k k θ+<<+∈，当=0k 时，ππ422θ<<，当=1k 时，5π3π422θ<<，因为sinsin 22θθ=-，所以sin 02θ<，所以2θ在第三象限，故选:C5.函数3π()sin log 2xf x x =-的零点个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】在坐标平面中画出两个函数的图像，从而可判断零点的个数.【详解】函数3π()sin log 2xf x x =-的零点个数，即函数()πsin2xg x =与()3log h x x =的交点个数，在坐标平面中画出两个函数的图像，如图所示：则两个图像交点的个数为2，故选：B6.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54- C.108D.108-【答案】A 【解析】【分析】令1x =，结合已知求出n ，再求出展开式的通项，令x 的指数等于零，即可得解.【详解】令1x =，可得()3116n-=，所以4n =，则413x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()44421441C 313C kk k k k k xk T x x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令420x -=，得2x =，所以展开式中的常数项为()222413C 54-⨯=.故选：A .7.若球的两个平行截面的面积分别为10π和16π，球心到这两个截面的距离之差为，则球的直径为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径.【详解】设球心为O ，半径为R ，若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图：设OA d =，由题可得4=AD，BC =AB =，OD OC R ==，则2222224(R d R d ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，解得d R ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故球的直径为2R =若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图：设OA d =，由题可得4=AD，BC =AB =，OD OC R ==，则2222224)R d R d ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得d =（不合题意舍去）．故选：D ．8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠时，()()()1212124f x f x x x x x ->+-恒成立，(2)16f =，则满足2(ln )4(ln )f m m ≤的m 的取值范围为（）A.1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.21,e ⎡⎤⎣⎦D.221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m 的取值范围.【详解】设12x x >，由()()()1212124f x f x x x x x ->+-，得()()()()()221212121244f x f x x x x x x x ->+-=-，所以()()22112244f x x f x x ->-，令()()24g x f x x =-，则()()12g x g x >，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，所以对任意的x ∈R ，()()()()()2244g x f x x f x x g x -=---=-=，所以，函数()g x 为R 上的偶函数，且()()()2224216160g f =-⨯=-=，由2(ln )4(ln )f m m ≤，可得20(ln )4(ln )f m m -≤，即()()ln 2g m g ≤，即ln 2m ≤，所以2ln 2m -≤≤，解得221,e e m ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D【点睛】方法点睛：形如()()1212f x f x x x --的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.为了得到函数2π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把正弦曲线上所有的点（）A.先向右平移2π3个单位长度，再将横坐标缩短到原米的12，纵坐标不变B.先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】AC 【解析】【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项.【详解】正弦曲线sin y x =先向右平移2π3个单位长度，得到函数2πsin 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数2π()sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故A 正确，B 错误；先将正弦曲线sin y x =上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数sin 2y x =的图象，再向右平移π3个单位长度，得到函数2π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故C 正确，D 错误.故选：AC10.已知21,e e 是夹角为2π3的单位向量，且12122,a e e b e e =-=+，则（）A.||a =B.12a b ⋅=-r rC.a 与b 的夹角为2π3D.a在b方向上的投影向量为12b- 【答案】ABD 【解析】【分析】利用向量数量积运算，模、夹角公式，计算出夹角的余弦值，还有投影的定义求解.【详解】设a 与b的夹角为θ，对B ，因为()()22121211221222a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-，B 正确；对A ，a ==A 正确；对C ，1b ==，所以12cos 14a b a bθ-⋅===-，C 错误；对D ，a 在b方向上的投影为21cos 2b a b b a b a a b b b a b b bθ⋅⋅=⋅⋅==-，D 正确.故选：ABD11.对于直线12:230,:3(1)30l ax y a l x a y a ++=+-+-=，则（）A.12//l l 的充要条件是3a =或2a =-B.当25a =时，12l l ⊥C.直线2l 经过第二象限内的某定点 D.点(1,3)P 到直线1l 的距离的最大值为【答案】ABC 【解析】【分析】求出12//l l 的充要条件即可判断A ；根据两直线垂直得充要条件即可判断B ；求出直线2l 经过的定点即可判断C ；判断何种情况下点(1,3)P 到直线1l 的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】对于A ，若12//l l ，则()160a a --=，解得3a =或2a =-，经检验，符合题意，所以3a =或2a =-，所以12//l l 的充要条件是3a =或2a =-，故A 正确；对于B ，当25a =时，()66321055a a +-=-=，所以12l l ⊥，故B 正确；对于C ，由2:3(1)30+-+-=l x a y a ，得()1330y a x y -+-+=，令10330y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得231x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以直线2l 经过定点2,13⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第二象限，故C 正确；对于D ，由1:230l ax y a ++=，得()320x a y ++=，令3020x y +=⎧⎨=⎩，解得30x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1l 过定点()3,0M -，当1⊥PM l 时，点(1,3)P 到直线1l 的距离的最大，最大值为5PM ==，故D 错误.故选：ABC .12.在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4,,,2AB BD CD BD BD CD ⊥⊥==，若该四面体的体积为433，则（）A.异面直线AB 与CD 所成角的大小为3πB.AC 的长不可能为C.点D 到平面ABC 的距离为7D.当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin 2CDE ∠=，即可由异面直线的角的定义求解A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作//ED AB ，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，,,,,CD BD DE BD CD DE C CD DE ⊥⊥⋂=⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11432333C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD ED CDE CDE CDE =⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠ ,故114324sin 2333C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=,因此3sin 2CDE ∠=，由于()0,πCDE ∠∈，所以π3∠=CDE 或2π3，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3，A 正确，当2π3CDE ∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，//,AE BD AE ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE EC ⊥，此时AC ==,故B 错误，当π3∠=CDE时，CE =,此时4AC ==,由于4BC AB ===,当AC =cos 8BAC ∠==，故sin 8BAC ∠=，1114sin 4228ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin 4BAC ∠=，11sin 44224ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= ,综上可得ABCS = D 到平面ABC的距离为43313ABC ABC S S ===7,C 正确，当4AC =时，4,2AB AC CD BD ====,取BC 中点为O ，连接,,OA OD 则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===AO ==所以22142cos 0BD AD AOD +-+∠=-,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD ∠∠===∠，当4AC =时，4,2AB AC CD BD ====,取BC 中点为O ，连接,,OA OD 则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===AO ==所以22142cos 0BD AD AOD +-+∠=-,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD ∠∠===∠，当AC =12222DBCS =⨯⨯= ，点A 到平面DBC的距离为43313ABC DBC S S ==,设A 在平面DBC 的投影为H ,则HA =,故HD ==HC ==,因此点O为以,D C 为圆心，以半径为显然交点位于BC ,同D的一侧，（如图），故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若某圆锥的侧面积为底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为______．3【解析】【分析】设出圆锥的底面半径r 和母线l ，根据条件得到r 、l 的关系式，由此可表示出圆锥的高h ，根据tan hrθ=可求结果.【详解】设圆锥的底面半径和母线长分别为r ，l ，母线与底面所成的角为θ，由题意可得2π2πrl r =，得2l r =，由勾股定理可得圆锥的高()222223h l r r r r =-=-=，所以3tan 3h r r rθ===，314.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos a b C =，则这个三角形一定是______三角形．【答案】等腰【解析】【分析】利用余弦定理化角为边，进而可得出答案.【详解】因为2cos a b C =，由余弦定理得22222a b c a b ab+-=⋅，即2222a a b c =+-，所以b c =，所以这个三角形一定是等腰三角形.故答案为：等腰.15.已知抛物线28y x =的焦点为,F O 为坐标原点，M 为抛物线上异于点O 的动点，则MF MO的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】设()(),0M m n m >，则28n m =，故MF MO==，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解.【详解】()2,0F ，设()(),0M m n m >，则28n m =，则2,MF m MO =+==故MF MO==，令2,2t m t =+>，则2m t =-，则MFMO====当116t=，即6t =时，2max 124413t t ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以MF MO的最小值是2.故答案为：32.16.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A 为丙和丁参加的项目不同，事件B 为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则()P B A =________．【答案】①.30②.23【解析】【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解.【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共2343C A 36=种，其中甲、乙参加同一项目的方案33A 6=种，则所求的参赛方案一共有36630-=种；因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有113223C C A 24=种方案，若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，故总共有2122A C 4=种不同的方案；若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目，故共有1222C A 4=种不同的方案；同理，乙单独选择跳台滑雪，有2122A C 4=种不同的方案；乙和一人共同选择跳台滑雪，有1222C A 4=种不同的方案，总共有16种方案.所以16()230()24()330P AB P BA P A ===∣.故答案为：30；23.【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件AB 对应的情况，做到不缺不漏，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式．（1）011263290.125(2)8-⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭；（2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯．【答案】（1）75（2）12-【解析】【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得出结果（2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果；【小问1详解】11263290.125(2)8-⎛⎫⎡⎤-+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭131136632112232-⨯⎡⎤⎛⎫=-++⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦218975=++⨯=【小问2详解】231lg 25lg 2log 9log 22+--⨯1223lg 5lg 2lg102log 3log 2-=+--⨯111222⎛⎫=---=-⎪⎝⎭18.已知函数2()6(0)f x x bx b =++>有唯一零点，函数()()(0)f x g x x x=<．（1）求()g x 的单调递增区间，并用定义法证明；（2）求()g x 的值域．【答案】（1）()g x的单调递增区间为(,-∞，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）由函数2()6(0)f x x bx b =++>有唯一零点，可得Δ0=，即可求出b ，再利用定义法求函数的增区间即可；（2）根据函数的单调性求函数的值域即可.【小问1详解】因为函数2()6(0)f x x bx b =++>有唯一零点，所以2240b ∆=-=，解得m =（m =-舍去），所以22()66f x x bx x =++=++，()6()0)f x g x x x x x==++<，函数()g x的单调递增区间为(,-∞，令12x x <<，则()()()()()1212121212121212126666x x x x x x g x g x x x x x x x x x x x ----=-+-=--=，因为12x x <<12120,6x x x x -<>，所以()()()()1212121260x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <，所以函数()g x在(,-∞上单调递增，令340x x <<<，则()()()()()3434343434343434346666x x x x x x g x g x x x x x x x x x x x ----=-+-=--=，因为340x x <<<，所以34120,06x x x x -<<<，所以()()()()3434343460x x x x g x g x x x ---=>，即()()12g x g x >，所以函数()g x在()上单调递减，综上所述，()g x 的单调递增区间为(,-∞；【小问2详解】由（1）知()(max 0g x g ==，当x →-∞时，()g x →-∞，所以()g x 的值域为(],0-∞．19.已知集合{}124x A x a -=≤≤，集合{}3log (21)2B x x =+<．（1）当12a =，求()A B R ð；（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案】19.()R 1{02A B x x ⋂=-<<ð或34}x <<20.4a >【解析】【分析】（1）先根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合,A B ，再根据补集和交集的定义即可得解；（2）由题意可得A 是B 的真子集，再由a 分类讨论即可得出答案.【小问1详解】{}{}31log (21)2021942B x x x x x x ⎧⎫=+<=<+<=-<<⎨⎬⎩⎭，当12a =，{}{}1124112032x A x x x x x -⎧⎫=≤≤=-≤-≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，故{R 0A x x =<ð或}3x >，所以()R 1{02A B x x ⋂=-<<ð或34}x <<；【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，当4a >时，A =∅，符合题意；当0a ≤时，{}{}1242x A x a x x -=≤≤=≤，不符合题意，当04a <≤时，{}{}12241log 3x A x a x a x -=≤≤=+≤≤，所以20411log 2a a <≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩，解得244a <≤，综上所述，4a >.20.已知π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求5π1tan 5π12tan 12αα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭的值．【答案】20.1321.187-【解析】【分析】（1）根据πππ326αα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭结合诱导公式求解即可；（2）先根据商数关系及二倍角公式化简，再根据诱导公式及二倍角公式将所求角化为已知角，进而可得出答案.【小问1详解】ππππ1sin sin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；【小问2详解】5π5πsin cos 5π11212tan 5π5π5π12tan cos sin 121212αααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭++=+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭225π5πcos 12125π5πc sin 25πsin 2s 6os 112in 2ααααα=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝⎛⎫+ ⎝⎭2222ππππsin 2cos 22cos 12366ααα===⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2182719==--.21.如图，多面体11ABC DB C -是由三棱柱111ABC A B C -截去部分后而成，D 是1AA的中点．（1）若3,AD AC AD ==⊥平面,ABC BC AC ⊥，求点C 到平面11B C D 的距离；（2）如图，点E 在线段AB 上，且23AE EB = ，点F 在1CC 上，且1CC CF λ= ，问λ为何值时，EF ∥平面11B C D【答案】（1）（2）103【解析】【分析】1）由BC CD ⊥，1CD C D ⊥，可得CD ⊥面11DC B ，即点C 到面11B C D 的距离等于CD ；（2）当103λ=时，直线//EF 平面11BC D ，理由如下：在AC 上取点G ，使得23AG GC = ，//GE 平面11B C D ，取1DB 的中点H ，连接AH ，可得//GF AH ，则//GF 平面11B C D ，所以平面//GEF 平面11B C D ，可得证.【小问1详解】多面体11ABC B C D -是由三棱柱111ABC A B C -截去一部分后而成，是1AA 的中点，AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AD BC∴⊥又BC AC ⊥，AD AC A = ，AD ⊂面1DACC ，AC ⊂面1DACC ，∴BC ⊥面1DACC ，又CD ⊂面1DACC ，则BC CD ⊥，而11//BC B C ，所以11CD B C ⊥，又∵3AD AC ==，D 是1AA 的中点，∴CD =，1DC =，可得22211CD C D CC +=，即1CD C D ⊥，1111DC B C C = ，1DC ⊂面11DC B ，11B C ⊂面11DC B ，∴CD ⊥面11DC B ，∴点C 到面11B C D 的距离CD =；【小问2详解】当103λ=时，直线//EF 平面11BC D ，理由如下：设3AD =，则16BB =，在AC 上取点G ，使得23AG GC = ，所以//GE BC ，而11//BC B C ，GE ⊄平面11B C D ，11B C ⊂平面11B C D ，所以//GE 平面11B C D ，取1CC 的中点H ，连接AH ，可得1//AH DC ，当103λ=时，23H F F C = ，所以//GF AH ，则1//GF DC ，GF ⊄平面11B C D ，1DC ⊂平面11B C D ，所以//GF 平面11B C D ，GF GE G ⋂=，GF ⊂平面GEF ，GE Ì平面GEF ，所以平面//GEF 平面11B C D ，EF ⊂平面GEF ，所以//EF 平面11B C D ，此时1103CC CF λ==22.已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，左焦点为1(,0)F c -，过点1F 作x 轴的垂线与T 在第二象限的交点为1,M MBF 的面积为503，且116AF AB = ．（1）求T 的方程；（2）已知点P 为直线871130x y +-=上一动点，过点P 向T 作两条切线，切点分别为,J K ．求证：直线JK 恒过一定点Q ，并求出点Q 的坐标．【答案】（1）2213620x y +=（2）证明见详解，288140,113113Q ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）表示出各点的坐标，由116AF AB = ，得,,a b c 的关系式，然后再根据1MBF △的面积，列式得关于,,a b c 的关系，两式联立求解得,a b ，即可得椭圆的标准方程；（2）利用过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程可得直线PJ 的方程和直线PK 的方程，从而得直线JK 的方程，整理可证问题.【小问1详解】由题意可得(),0A a -，(),0B a ，()1,0F c -因为116AF AB = ，所以()()1,02,06a c a -=，得23c a =．又因为1MF x ⊥轴，且M 在第二象限，所以可得2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1MBF △的面积为()122211555022363MBFb b a b S ac a a =⨯⨯+=⨯⨯== ，所以220b =，224209a a =+，解得236a =，所以椭圆的方程为2213620x y +=，【小问2详解】设点()()()001122,,,,,P x y J x y K x y，先证明过椭圆C ：22221x y m n+=()0m n >>上一点()00,Q x y 的切线方程为00221x x y y m n +=，由椭圆T ：22221x y m n+=，则有22221y x n m =-当0y >时,y =2nx y m '=-,∴当00y >时，2000222001x n n n k x x y m m m y n =-=-=-⋅.∴切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，整理为：222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=,两边同时除以22m n 得：00221x x y y m n +=.同理可证：00y <时,切线方程也为00221x x y y m n +=.当0=0y 时,切线方程为x m =±满足00221x x y y m n +=.综上,过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y y m n +=.则直线PJ 的方程为1113620x x y y +=，直线PK 的方程为2213620x x y y +=，因为()00,P x y 在这两条切线上，所以101020201362013620x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线JK 的方程为0013620x x y y +=，①因为()00,P x y 在直线871130x y +-=上，所以00871130x y +-=，所以00811377x y =-，代入①得0081137713620x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，整理得02113103635140x y y x ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭当2113103635140x y y -=-=时，JK 过定点Q ，解得288140,113113x y ==，所以288140,113113Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：（1）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=，（2）过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.（3）过椭圆22221x y a b+=上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，（4）过双曲线22221x y a b -=上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b -=。

重庆市名校联盟2023-2024学年度第一期第二次联考数学试题（高2026届）（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称.2.请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内.3.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚.4.请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.5.保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,5B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{}1,2,3,4,6 B.{}2,4,5,6 C.{}1,2,3,5 D.{}4,6【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解判断即得.【详解】由{}13,5A =,，{}2,5B =，得{1,2,3,5}A B ⋃=，而全集{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}4,6U A B = ð.故选：D2.命题:p x R ∀∈，1x e x ≥+的否定为（）A.x ∃∈R ，1x e x <+B.x ∃∈R ，1x e x ≥+C.x ∃∈R ，1x e x ≤+D.x R ∃∉，1x e x <+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定，改变量词，否定结论，由此可得出结果.【详解】由全称命题的否定可知，命题:p x R ∀∈，1x e x ≥+的否定为“x ∃∈R ，1x e x <+”.故选：A.【点睛】本题考查全称命题的改写，属于基础题.3.函数()ln f x x =+）A.(]0,1 B.()0,1C.[1,)+∞ D.(,0)(0,1]-∞ 【答案】A 【解析】【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可.【详解】由()ln f x x =+010x x >⎧⎨-≥⎩解得：01x <≤，故函数()ln f x x =+(]0,1.故选：A.4.设,R a b ∈，则“220a b ->”是“0a b >>”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合不等式性质，判断“220a b ->”和“0a b >>”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当220a b ->时，不妨取2,1a b =-=-，满足条件，但推不出0a b >>；当0a b >>时，一定有2222,0a b a b >∴->，故“220a b ->”是“0a b >>”的必要不充分条件，故选：C5.已知(),,π1sin 0π22αα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式可得1cos 2α=，由22sin cos 1αα+=求出sin α，结合sin tan cos ααα=计算即可求解.【详解】由π1sin()22α-=，得1cos 2α=，又(0,π)α∈，所以sin 2α==，所以sin tan cos ααα==故选：C6.若m 为函数()2log 2f x x x =+-的零点，则m 所在区间为（）A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3(1,2C.3(,2)2 D.5(2,2【答案】B 【解析】【分析】判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可判断出答案.【详解】由于2log ,2y x y x ==-在(0,)+∞上均单调递增，故()2log 2f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，又21115log 202222f ⎛⎫=+-=-<⎪⎝⎭，()21log 11210f =+-=-<，222333311log 2log log 0222222f ⎛⎫=+-=->= ⎪⎝⎭，()22log 210f ==>，故()2log 2f x x x =+-在3(1,)2上有唯一零点，即3(1,)2m ∈，故选：B7.已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当()12,,0x x ∈+∞时，都有()()12120f x f x x x ->-成立，且()30f -=，则满足()0xf x ≤的x 的取值范围是（）A.[)(]3,00,3- B.()3,3-C.(,3][3,)-∞-+∞ D.[]3,3-【答案】D 【解析】【分析】根据单调性的定义，由根据题意，()f x 在()0,+∞上为增函数，又函数()f x 为定义在R 上的奇函数，所以当()(),30,3x ∞∈--⋃时，()0f x <，当()()3,03,x ∞∈-⋃+时，()0f x >即可得解.【详解】根据题意，()f x 在()0,+∞上为增函数，又函数()f x 为奇函数，所以()f x 在(),0∞-上也为增函数，又()30f -=所以()30f =，所以当()(),30,3x ∞∈--⋃时，()0f x <，当()()3,03,x ∞∈-⋃+时，()0f x >，若要()0xf x ≤，则[)(]3,00,3x -∈ ，又(0)0f =，所以当[]3,3x ∈-时()0xf x ≤.故选：D8.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()()1xf x aa =>.若对[]0,1x ∀∈，使得()()2f x t f x +≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.(0,)+∞B.(0,1]C.(][),31,-∞-⋃+∞ D.(],1-∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为[]2()()f x t f x +≥恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论．【详解】当[)0,x ∈+∞时，()()1xf x aa =>为增函数，又()f x 是偶函数，则在(],0-∞上为减函数，故()(),01,0x x a x f x a a x -⎧≥=>⎨<⎩，可化为()()1xf x aa =>，从而()x t f x t a ++=.原不等式可化为()22x txxa aa+≥=，对[]0,1x ∀∈恒成立，即2x t x +≥，两边平方后可化为()22320g x x tx t =--≤，对[]0,1x ∀∈恒成立.由二次函数的性质可知()()22001320g t g t t ⎧=-≤⎪⎨=--≤⎪⎩成立，即2R 230t t t ∈⎧⎨+-≥⎩，解得R13t t t ∈⎧⎨≥≤-⎩或，从而实数t 的取值范围是(][),31,-∞-⋃+∞.故选：C .二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()1sin cos π,0,5ααα+=∈，则下列结论正确的是（）A.π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B.12sin cos 25αα=-C.4sin 5α=D.3cos 5α=【答案】BC 【解析】【分析】根据题意由21(sin cos )25αα+=可得12sin cos 25αα=-，根据π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由49(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=可得7sin cos 5αα-=联立即可得解.【详解】由1sin cos ,5αα+=可得2,1(sin cos )25αα+=所以,112sin cos 25αα+=,242sin cos 25αα=-12sin cos 25αα=-，故B 正确；又()0,πα∈，所以sin 0α>且cos 0α<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 错误；由49(sin cos )12sin cos 25αααα-=-=，所以7sin cos 5αα-=，联立1sin cos ,5αα+=可得4sin 5α=，3cos 5α=-，故C 正确，D 错误.故选：BC10.已知0,0a b >>且4a b +=，则（）A.的最大值为2B.14a b+的最小值为94C.22a b +的最小值为8 D.22a b +的最大值为4【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A ，直接利用基本不等式4=+≥a b 即可判断；对B ，由1411414()(5)44b aa b a b a b a b+=++=++，再利用基本不等式即可；对C ，由222(422a b a b ++≥=即可判断，对D ，22a b +≥=即可判断.【详解】对A ，4=+≥a b ，所以2≤，当且仅当a b =时成立，故A 正确；对B ，141141419()()(5(54444b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b=即224b a =时成立；对C ，由222()422a b a b ++≥=，可得228a b +≥，当且仅当a b =时成立，故C 正确；对D ，228a b +≥===，当且仅当a b =时成立，故D 正确.故选：ABC11.若log 10log 10a b >，则下列式子可能成立的是（）A.1a b <<B.1b a <<C.01b a <<<D.01b a<<<【答案】AD 【解析】【分析】由换底公式可得11lg lg a b>，故lg lg 0b a >>或0lg lg b a >>或lg 0lg a b >>，根据对数函数的单调性即可求解.【详解】因为log 10log 10a b >，所以lg10lg10lg lg a b >，即11lg lg a b>，所以lg lg 0b a >>或0lg lg b a >>或lg 0lg a b >>，所以1a b <<或01a b <<<或01b a <<<.故选：AD.12.设函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2,2f x f x f x f x =--=--，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+.则下列说法正确的是（）A.()()8f x f x =+B.(2023)0f =C.(1)=-y f x 为偶函数D.方程()()112x f x +=在[]5,5-所有根之和为8-【答案】ABD 【解析】【分析】根据()()()()2,2f x f x f x f x =--=--，利用变量代换，可判断A ；利用赋值法求得(1)0f -=，结合A 的结论，判断B ；采用反证思想，推出矛盾，判断C ；将方程的根的问题转化函数图象的交点问题，数形结合，判断D.【详解】由2x +代换等式()()2f x f x =-中x 可得()()()222f x f x +=-+，即化为()()2f x f x +=-，又()()2f x f x -=--，即化为()()22f x f x +=--；又由2x +代换等式()()22f x f x +=--中x 可得()()()()2222f x f x ++=-+-，即化为()()4f x f x +=-，再用4x +代换x 可得()()()444fx f x ++=-+，即()()()()()84f x f x f x f x +=-+=--=成立，即A 正确.令1x =代入等式()()2f x f x -=--有()()11f f -=--，即(1)0f -=，又()()(2023)1825310f f f =-+⨯=-=成立，即B 正确.若(1)=-y f x 为偶函数，即函数图象关于y 轴对称，故将(1)=-y f x 的图象向左平移一个单位长度可得函数()y f x =的图象，其图象应关于=1x -对称，即()()2f x f x -=-成立，结合()()2f x f x -=--，则()()()22,20f x f x f x -=--∴-=，即()0f x -=，令0x =，则()00f =，而(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则()01f =，矛盾，故假设不成立，即C 错误.方程()()112x f x +=可化为()121f x x =+，即该方程的根等价于函数()y f x =与121y x =+图象公共点的横坐标，因为()()2f x f x -=--，故()y f x =图象关于(1,0)-成中心对称；由于()()2f x f x =-，则()y f x =图象关于直线1x =对称；结合(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+可作出()y f x =在[]5,5-上的图象：如图：而函数121y x =+图象由12y x =图象向左平移1个单位得到，也关于(1,0)-成中心对称；故两函数图象都关于点()1,0-中心对称，结合图象可知()y f x =与121y x =+的图象在[]5,5-上恰好有八个公共点，记为()1,2,,8i x i =⋅⋅⋅，且12345678513x x x x x x x x -<<<<<-<<<<<，又这八个公共点两两关于()1,0-对称，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=-，故()81428ii x==⨯-=-∑成立，D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的性质，要综合应用函数的对称性、周期性的知识解答，判断D 选项时，要将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，进行解答.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一个扇形的圆心角为π2，半径为2，则该扇形的面积为________.【答案】π【解析】【分析】由题意求出扇形的弧长，根据扇形的面积公式，即可得答案.【详解】设扇形的弧长为l ，则22ππl =⨯=，故该扇形的面积为11π2π22S lr ==⨯⨯=，故答案为：π14.已知函数()3131,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()2f a =，则实数=a ________.【答案】19【解析】【分析】由分段函数的分段情况分类讨论，列式求解即可，注意满足前提条件.【详解】当0a ≤时，()312f a a =+=，解得1a =，与0a ≤冲突，故舍去，当0a >时，()13log 2f a a ==，解得19a =，满足0a >，故实数19a =，故答案为：19.15.若函数()221f x x ax =-+的单调递增区间为[3,)+∞，且函数()()()112x a x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为[),+∞m ，则实数m =________.【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的性质可得对称轴3x =，即3a =，再根据同增异减原理，函数()()()3112x x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为函数()()31y x x =-+的递增区间，即可得解.【详解】根据函数()221f x x ax =-+的单调递增区间为[3,)+∞，所以对称轴3x =，即3a =，所以()()()3112x x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据同增异减原理，函数()()()3112x x g x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为函数()()31y x x =-+的递增区间，()()23123y x x x x =-+=--的递增区间为[)1,+∞，所以1m =，故答案为：116.已知函数()2log f x x =，若a b <时，使得()()f a f b =，则()2(4)f a f b -⎡⎤⎣⎦的最小值为___________.【答案】94-【解析】【分析】由()()f a f b =可得22log log 0a b +=，则01a b <<<且1ab =，进而得()2(4)y f a f b =-=⎡⎤⎣⎦()222log log 2a a +-，利用换元法可得22192(24y t t t =+-=+-(0t <)，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由()()f a f b =可得22log log a b =，又a b <可得01a b <<<，即22log log a b -=，可化为222log log log 0a b ab +==，得01a b <<<，且1ab =.又()2(4)y f a f b =-=⎡⎤⎣⎦()()()2222222224log log 4log log log log 2a b a a a a -=-=+-，令2log ,01t a a =<<，则22192()24y t t t =+-=+-，0t <，该二次函数在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,0)2-上单调递增，所以当12t =-时，min 94y =-.故答案为：94-四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.用相关公式或运算性质对下列式子进行必要的化简并求值.（1）()12lg 252lg 22-+⋅（2）已知tan 2α=，求()()sin πcos cos sin αααα-++-【答案】17.18.3-【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算和对数运算化简求解即可；（2）根据诱导公式和化弦为切齐次式运算即可.【小问1详解】原式()()2lg 52lg 22lg 5lg 2=+⋅+⋅；【小问2详解】原式sin cos cos sin αααα+=-sin cos tan 1cos 3cos sin 1tan cos αααααααα++===---.18.已知集合(){}|70A x x x =-≤，集合{}221|B x m x m =-≤≤+.（1）若0m =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1}{|0x x ≤≤（2）(3)[,2,3]∞-- 【解析】【分析】（1）根据条件求出集合,A B ，再利用集合的运算即可求出结果；（2）根据条件得到B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况，利用集合的包含关系即可求出结果.【小问1详解】由()70x x -≤得到07x ≤≤，所以{07}A xx =≤≤∣，又0m =时，{21}B xx =-≤≤∣，所以{01}A B xx =≤≤ ∣.【小问2详解】由（1）知{07}A x x =≤≤∣，又A B A ⋃=，所以B A ⊆，①当B =∅时，有221m m ->+，则3m <-，满足题意；②当B ≠∅时，则22120217m m m m -≤+⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，解得323m m m ≥-⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，即23m ≤≤综上所述，实数m 的取值范围为(3)[,2,3]∞-- .19.已知关于x 的不等式()()20x x a +-≥.（1）若1b <，且不等式的解集为(][),1,b -∞+∞ ，求实数a b +的值；（2）若R a ∈，求不等式的解集.【答案】（1）-1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）转化为()()20x x a +-=两个实根122,x x a =-=，从而得到1,2a b ==-，得到答案；（2）分2a =-，2a >-，2a <-三种情况，求出不等式的解集.【小问1详解】由对应的一元二次方程()()20x x a +-=可知必有两个实根122,x x a=-=又由其不等式的解集为(][),1,b -∞+∞ 由此可得1,2a b ==-，1a b +=-；【小问2详解】当2a =-时，()220x +≥，不等式解集为R ，当2a >-时，()()20x x a +-≥的解集为(][),2,a -∞-⋃+∞，当2a <-时，()()20x x a +-≥的解集为(][),2,a -∞⋃-+∞，综上，当2a =-时，解集为R ，当2a >-时，解集为(][),2,a -∞-⋃+∞，当2a <-时，解集为(][),2,a -∞⋃-+∞.20.已知函数()1121x m f x +=-+为奇函数.（1）求实数m 的值及函数()f x 的值域；（2）若()()2140f t f t ++-<，求实数t 的取值范围.【答案】（1）1，(1,1)-（2）(,1)-∞【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得(0)0f =，即可求出m 的值；由211x +>可得22021x -<-<+，即可求解；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且为奇函数，则有1(0)102m f +=-=，即1m =，经检验，1m =符合题意，所以1m =.又211x +>，则10121x <<+，即20221x <<+，即22021x -<-<+，则211121x -<-<+，所以函数的值域为()1,1-.另解：显然21x t =+是R 上的增函数，且()1,t ∈+∞，由函数单调性的性质可得2y t =-为R 上的增函数，即21y t=-也为R 上的增函数，故当1t =时，1y =-，同时,1t y →+∞→，由增函数性质可得11y -<<，故函数的值域为()1,1-.【小问2详解】由(21)(4)0f t f t ++-<，可得(21)(4)f t f t +<--又函数()f x 为奇函数，则(4)(4)f t f t --=-所以(21)(4)f t f t +<-又21x y =+是R 上是单调增函数，由函数单调性的性质可得221x y =+是R 上是单调减函数即2()121x f x =-+是R 上的单调增函数，由(21)(4)f t f t +<-可化为214t t +<-，即1t <，所以实数t 的取值范围是为(),1-∞.21.国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计30天，包括第30天），其主营产品在第x 天的指导价为每件()P x （元），且满足()()40,120N 80,2030x x P x x x x +≤≤⎧=∈⎨-<≤⎩，第x 天的日交易量()Q x （万件）的部分数据如下表：第x 天12510Q (x )（万件）14.011210.810.38（1）给出以下两种函数模型：①()2x b Q x a +=+，②()b Q x a x=+，其中,a b 为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量()Q x （万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出()Q x 的函数关系式；（2）若该企业在未来一个月（共计30天，包括第30天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第x 天的日交易额()f x 的函数关系式，并确定()f x 取得最小值时对应的x .【答案】（1）选择模型②，4()10Q x x=+（2）()()16010404120()300796102030x x x f x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，4【解析】【分析】（1）根据数据的变化得到选择模型②，并选择中间两组数据，待定系数法求出4()10Q x x=+，检验后得到答案；（2）求出()f x 的解析式，分120x ≤≤和20x 30<≤两种情况，结合函数单调性求出最小值，比较后得到结论.【小问1详解】由给出数据可知：随着自变量增大，函数值在变小，同时函数模型①是递增的指数型函数，又模型②为递减的反比型函数，故选择模型②，观察表格中的4组数据()()()()1,14.01,2,12,5,10.8,10,10.38，从数据简洁并且易于计算的角度，理应选择中间两组数据，即()()2122510.85b Q a b Q a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，解得10,4a b ==，可以检验(1)14,(10)10.4Q Q ==相对合理，从而4()10Q x x=+；【小问2详解】由（1）可得()()()16010404(120)30079610(2030)x x x f x P x Q x x x x ⎧++≤≤⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤⎪⎩，当120x ≤≤时，由基本不等式得16()10()402402482f x x x =++≥+=，当且仅当4x =时取到最小值，当20x 30<≤时，()30079610x xf x -+=，由单调性的性质可得()f x 在(]20,30上单调递减，故在30x =时，()f x 有最小值，最小值为506万元，又482506<，综上所述，当4x =时()f x 取得最小值.22.已知函数()()2ln e1x f x kx =++是偶函数.（1）求实数k 的值；（2）若关于x 的方程()()ln e 1x f x m ⎡⎤=-⎣⎦有且仅有一个实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-（2）{()21,--+∞ 【解析】【分析】（1）根据偶函数性质建立方程求解即可；（2）解法一：把方程转化为()2e 1e 1e x x x m +=-，参变分离，转化为两函数有一个交点问题，数形结合求解即可；解法二：把问题化为方程2(1)10m t mt ---=在()0,∞+上仅有一个实根，分类讨论，根据二次函数根的分布列不等式求解即可.【小问1详解】由函数()2()ln e 1x f x kx =++是偶函数，所以()2()ln e 1x f x kx --=+-，即()()()2222e 1ln ln e 1ln e e x x x x f x kx kx ⎛⎫+-=-=+-- ⎪⎝⎭，即()()()2ln e 12x f x k x -=+-+,又()()f x f x -=恒成立，即()2k x kx -+=恒成立，所以22k =-，即得1k =-；【小问2详解】解法一(参变分离)：由(1)有()2()ln e 1x f x x =+-，又方程()()ln e 1x f x m ⎡⎤=-⎣⎦可化为()()2ln e 1ln e 1x x x m ⎡⎤+-=-⎣⎦，可化为()2e 1ln ln e 1e x x x m ⎛⎫+⎡⎤=- ⎪⎣⎦⎝⎭,即等价于()2e 1e 1e x x x m +=-，令()e 0xt t =>,方程可化为()211t m t t +=-，①当e 1x t ==，即0x =时，方程可化为20m =⋅，显然矛盾，故0不是方程的根，②当1t ≠时，方程可化为221t m t t+=-，即211t m t t ++=-，令()112t a a a +=>≠且,方程可化为2132a m a a +=-+，即化为1231a m a +=+-在()()1,22,⋃+∞上仅有一个实根，等价于函数2y a a =+在()()1,22,⋃+∞的图象与常值函数131y m =+-的图象仅有一个公共点，由函数图象可得1321m +=-或1331m +>-,解得222m =--或1m >，综上所述,实数m 的取值范围为{}()221,--+∞ .解法二(根的分布)：由(1)有()2()ln e 1x f x x =+-，又方程()()ln e 1x f x m ⎡⎤=-⎣⎦可化为()()2ln e 1ln e 1x x x m ⎡⎤+-=-⎣⎦，可化为()2e 1ln ln e 1e x x x m ⎛⎫+⎡⎤=- ⎪⎣⎦⎝⎭，即等价于()2e 1e 1e x x x m +=-有且只有一解，即()2e 1e e 1x x x m +=-只有一解，整理得2(1)e e 10x x m m ---=，令(0)x t e t =>，可化为方程2(1)10m t mt ---=④在()0,∞+上仅有一个实根，①当10m -=,即1m =时，此时10t =-<，显然不满足题意，②当10m ->,即1m >时，此时224(1)440m m m m ∆=+-=+->恒成立，由此可设方程④的两个实根为()1212,t t t t <,及二次方程根与系数的关系可得121201101m t t m t t m ⎧+=>⎪⎪-⎨-⎪=<⎪-⎩，此时方程④必有一正根2t 和一负根1t .故1m >时，显然满足题意，③当10m -<，即1m <时，要使得方程④在()0,∞+上仅有一个实根，若满足12Δ0101t t m >⎧⎪-⎨=>⎪-⎩,故此时方程④必有两个同号的实根,故不可能在()0,∞+上仅有一个实根,则只需要满足()2021Δ440m m m m ⎧>⎪-⎨⎪=+-=⎩,解得02m m <⎧⎪⎨=-±⎪⎩2m =--.综上所述，实数m的取值范围为：{()21,--+∞ .。

辽宁省名校联盟2024年高一12月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x ∣y =x -2 ,B =y ∣y =x 2+1 ，则()A.A ∩B =∅B.A ∩B =AC.A ∪B =AD.∁R B ⊆A2.下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是()A.f x =2xB.f x =2xC.f x =log 2xD.f x =e -x -e x23.已知某种污染物的浓度C (单位：摩尔/升)与时间t (单位：天)的关系满足指数模型C =C 0e k τ-1 ，其中C 0是初始浓度(即t =1时该污染物的浓度)，k 是常数，第2天(即t =2)测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为9C 0，则n =()A.4B.5C.6D.74.函数f x =e x +e -xln x 2+1-x的部分图像大致为()A. B.C.D.5.已知函数f x =x -a ln bx +13x -1为偶函数，则()A.a ∈R ,b =3B.a ≠0,b =3C.a ∈R ,b =-3D.a =0,b =36.已知a ∈0,1 ∪1,+∞ ，且函数f x =a x ,x ≤2,x 2,x >2 在R 上有最小值，则a 的取值范围为()A.0,1B.0,1 ∪1,2C.1,2D.2,+∞7.已知y =f x +1 为偶函数，若对任意a ,b ∈1,+∞ a ≠b ，总有af b +bf a <af a +bf b 成立，则不等式f 2x <f 4 的解集为()A.13,23B.-2,2C.-1,2D.13,238.已知函数f x =x -1x -x +1x+3，若关于x 的方程f x2-a +8 f x -a =0有8个不同的实数根，则a 的取值范围为()A.-4,-154B.-154,0 C.-4,0D.-4,-72二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，假命题为()A.命题“∃x ∈0,+∞ ,ln x =x -1”的否定是“∀x ∉0,+∞ ,ln x =x -1”B.y =log 21+x1-x与y =log 21+x -log 21-x 是同一个函数C.函数f x =log 2x 2-2x 的增区间为-∞,1D.函数y =x 2+3x 2+2的最小值是210.若a >0,b >0，且1a -1b >log 21b-log 21a ，则下列不等式中正确的是()A.1a >1bB.13a>13bC.a b >a +1b +1D.log a b >log b a11.某数学兴趣小组对函数f x =2-xx +1进行研究，得出如下结论，其中正确的有()A.f -x +f x =4B.∀x 1≠x 2，都有x 1-x 2 f x 1 -f x 2 <0C.f x 的值域为0,4D.∀x 1,x 2∈0,+∞ ，都有f x 1+x 22≤f x 1 +f x 2 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知P =80.25×42+2764-13-(-2023)0,Q =2log 32-log 3329+log 38，则P +Q =.13.甲说：已知f x =-4x +2a ,x ≥1,x 2-ax +4,x <1是R 上的减函数，乙说：存在x ，使得关于x 的不等式x 2-2ax +1>0在x ∈12,2时成立，若甲、乙两人说的话都不对，则a 的取值范围是.14.已知函数f x =log a mx +2 -log a 2m +1+2x(a >0且a ≠1)只有一个零点，则m 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知a ∈R ，全集U =R ，集合A =x 14<2x -a ≤8 ，函数y =log 123x -2 的定义域为集合B .(1)当a =2时，求∁U B ∩A ；(2)若x ∈B 是x ∈A 的充分不必要条件，求a 的取值范围.16.(15分)已知函数f x =log a x ，其中a >0且a ≠1.(1)若函数f x 的图像过点4,2 ，求不等式f 2x -2 <f x 的解集；(2)若存在x ，使得关于x 的方程f x +1 +f x +2 =2f ax 成立，求a 的取值范围.17.(15分)已知函数f x =a ⋅3x -3-x a ∈R .(1)当a =1时，求函数f x 的零点；(2)若函数f x 为偶函数，求a 的值；(3)当a =1时，若关于x 的不等式λf x -9x -9-x -14≤0在x ∈0,+∞ 时恒成立，求λ的取值范围.18.(17分)已知定义在R 上的函数f x 满足：对任意的实数x ,y ，均有f xy =f x f y ，且f -1 =-1，当0<x <1时，f x ∈0,1 .(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断f x 在0,+∞ 上的单调性，并证明；(3)若对任意x 1,x 2∈-1,1,a ∈ -1,5 ，总有2f x 1 -f x 2 ≤m 2-am -2恒成立，求m 的取值范围.19.(17分)我们知道，函数y =f x 的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f x 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y =f x 的图像关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是函数y =f x +a -b 为奇函数.(1)判断函数f x =2x -12x +1的奇偶性，求函数g x =-22x -1+1的图像的对称中心，并说明理由；(2)已知函数f x =x x +1+x +1x +2+x +2x +3+x +3x +4，问f x 是否有对称中心？若有，求出对称中心；若没有，请说明理由；(3)对于不同的函数f x 与g x ，若f x ,g x 的图像都是有且仅有一个对称中心，分别记为m ,p 和n ,q .(i )求证：当m =n 时，f x +g x 的图像仍有对称中心；(ii )问：当m ≠n 时，f x +g x 的图像是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例.参考答案及解折一、选择题1.B 【解析】由题意可得A ={x ∣y =x -2}=[2,+∞),B =y ∣y =x 2+1 =[1,+∞)，所以A ∩B=[2,+∞)，故A 项错误；因为A ⊆B ，所以A ∩B =A ,A ∪B =B ，故B 项正确，C 项错误；∁R B =-∞,1 ，则∁R B 不是A 的子集，故D 项错误.故选B 项.2.D 【解析】A 项，f x =2x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f (x )=2x在-∞,0 ,0,+∞ 上单调递减，但不能说在定义域内单调递减，故A 项错误；B 项，f x =2x 的定义域为R ，且f -x =2-x =2x =f x ，所以f x =2x 为偶函数，故B 项错误；C 项，f x =log 2x 的定义域为0,+∞ ，故函数为非奇非偶函数，故C 项错误；D 项，f x =12e -x -e x 的定义域为R ，且f -x =12e x -e -x=-f x ，所以f x =12e -x -e x 为奇函数，又f x =12e -x -e x在R 上单调递减，故D 项正确.故选D 项.3.B 【解析】由题意可得C 0e k =5,C 0e 3k =15, 则e 2k =3，解得k =ln32.因为C 0e k t -1 =9C 0，即C 0e ln32t -1=9C 0，所以e ln32t -1=9，所以ln32t -1 =ln9，解得t =5.故选B 项.4.C 【解析】由解析式知f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ,f -x =e -x +e --xln (-x )2+1+x =e -x +e x ln x 2+1+x =-e -x +e xln x 2+1-x=-f x ，所以f x 为奇函数，当x >0时，e x +e -x >0,0<x 2+1-x =1x 2+1+x<1，则ln x 2+1-x <0，所以在(0,+∞)上，f x <0，结合各项函数图像知C 项满足要求.故选C 项.5.D 【解析】当a =0时，函数y =x -a 为奇函数.要使函数f x =x -a lnbx +13x -1为偶函数，则g x=lnbx +13x -1为奇函数，所以g -x =-g x ，即ln-bx +1-3x -1=-ln bx +13x -1，整理得ln bx -13x +1=ln 3x -1bx +1，则bx -13x +1=3x -1bx +1，所以b 2x 2-1=9x 2-1，则b 2=9，解得b =±3.当b =-3时，g x =ln -3x +13x -1=ln -1 ，显然无意义，舍去；当b =3时，g x =ln 3x +13x -1,3x +13x -1>0，即3x +1 3x -1 >0，解得x>13或x <-13，则g x =ln 3x +13x -1的定义域为-∞,-13 ∪13,+∞ ，且g x 为奇函数，此时f x =x ln 3x +13x -1为偶函数.故选D 项.6.A 【解析】当x >2时，f x =x 2>4；当x ≤2时，f x =a x ，当a ∈0,1 时，f x =a x ≥a 2，且a 2<4，所以函数f x =a x ,x ≤2,x 2,x >2在R 上有最小值a 2；当a ∈(1，+∞)时，f x =a x ∈0,a 2 ，此时显然函数f x =a x ,x ≤2,x 2,x >2 在R 上没有最小值.综上，a 的取值范围为0,1 .故选A 项.7.C 【解析】由af b +bf a <af a +bf b ，可得af b -bf b <af a -bf a ，即a -b f b<a -b f a ，即a -b f b -f a <0，当a >b ≥1时，f a >f b ，当b >a ≥1时，f b >f a ，所以函数f x 在[1，+∞)上单调递增，又因为y =f x +1 为偶函数，所以f x 的图像关于直线x =1对称，所以f x 在-∞,1 上单调递减，且f 4 =f -2 ，所以由f 2x <f 4 得-2<2x <4，解得-1<x <2.故选C 项.8.A 【解析】因为函数f x =x -1x -x +1x +3的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ,f -x =∣-x +1x --x -1x +3=x -1x -x +1x +3= f x ，所以f x 为偶函数，当x >0时，f x =-2x +3,0<x <1,-2x+3,x ≥1, 作出f x 的大致图像，如图所示：令t =f x ，因为关于x 的方程f x 2-a +8 f x -a =0有8个不同的实数根，所以方程t 2-a +8 t -a =0在区间1,3 内有2个不相等的实数根.令g t =t 2-a +8 t -a ，则g 1 >0,g 3 >0,Δ>0,1<a +82<3,所以-4<a <-154.故选A 项.二、多选题9.ACD 【解析】A 项，命题“∃x ∈0,+∞ ,ln x =x -1”的否定是“∀x ∈0,+∞ ,ln x ≠x -1”，故A项错误；B 项，令1+x 1-x >0，解得-1<x <1，故y =log 21+x1-x的定义域为-1,1 ，令1+x >0,1-x >0, 解得-1<x <1，故y =log 21+x -log 21-x 的定义域为-1,1 ，又y =log 21+x1-x=log 21+x -log 21-x ，故B 项正确；C 项，令x 2-2x >0，解得x >2或x <0，其中t =x 2-2x =(x -1)2-1>0在2,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减，又y =log 2t 在0,+∞ 上单调递增，由复合函数单调性可知f x =log 2x 2-2x 的增区间为(2，+∞)，故C 项错误；D 项，y =x 2+3x 2+2=x 2+2+1x 2+2>2，当且仅当x 2+2=1x 2+2时等号成立，所以等号取不到，故D 项错误.故选ACD 项.10.AB 【解析】令f x =x +log 2x x >0 ，则由一次函数知y =x 在0,+∞ 上单调递增，由对数函数知y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，所以f x =x +log 2x 在0,+∞ 上单调递增，由1a -1b>log 21b -log 21a ，得1a +log 21a >1b +log 21b ，即f 1a >f 1b ，所以1a >1b，故A 项正确；由A项知1a >1b，又a >0,b >0，所以0<a <b ，因为y =13 x 在(0，+∞)上单调递减，所以13 a >13 b，故B 项正确；由B 项知0<a <b ，令a =1,b =2，则a b =12,a +1b +1=23，因为12<23，所以a b <a +1b +1，故C项错误；由B 项知0<a <b ，令a =12,b =2，则log a b =log 122=-1，log b a =log 212=-1，因为-1=-1，所以log a b =log b a ，故D 项错误.故选AB 项.11.ABD 【解析】对于A 项，f x +f -x =2-x x +1+2+xx +1=4，故A 项正确；对于B 项，当x ≥0时，f x =1+1x +1，因为y =1x +1单调递减，所以f x =1+1x +1单调递减，且1<f x≤2,f 0 =1+10+1=2.当x <0时，f x =3+1x -1，因为y =1x -1单调递减，所以f x =3+1x -1单调递减，且2<f x <3，所以f x =1+1x +1,x ≥0,3+1x -1,x <0,则f x 在R 上单调递减，故B 项正确；对于C 项，当x ≥0时，1<f x ≤2，当x <0时，2<f x <3，综上，f x 的值域为1,3 ，故C 项错误；对于D 项，当x 1,x 2∈0,+∞ 时，f x 1+x 22 -f x 1 +f x 2 2=2x 1+1+x 2+1-x 1+1+x 2+12x 1+1 x 2+1≤2x 1+1+x 2+1-x 1+1+x 2+12⋅x 1+1+x 2+1 24=0，当且仅当x 1=x 2时等号成立，故∀x 1,x 2∈0,+∞ ，都有f x 1+x 22≤f x 1 +f x 2 2，故D 项正确.故选ABD 项.三、填空题12.133【解析】P =80.25×42+2764-13-(-2023)0=(8×2)14+34 3 -13-1=2+43-1=73,Q =2log 32-log 3329+log 38=log 34÷329×8 =log 39=2，所以P +Q =133.13.a 54≤a <2 或a >3 【解析】若甲对，则a2≥1,1-a +4≥-4+2a⇒2≤a ≤3.若乙对，由x 2-2ax +1>0,x ∈12,2 ，可得∃x ∈12,2 ,x +1x >2a ，因为g x =x +1x在12,1 内单调递减，在(1,2]内单调递增，且g 12 =g 2 =52，可知g x 在12,2 内的最大值为52，可得52>2a ，解得a <54.若甲、乙说的话都不对，则{a ∣a <2或a >3}与a a ≥54 的交集为a 54≤a <2 或a >3 ，故a 的取值范围是a 54≤a <2 或a >3 .14.m ∣m ≤-1或m =0或m =-12【解析】由f x =0得出mx +2=2m +1+2x>0有且只有一个实根，①当m =0时，x =2显然成立；②当m ≠0时，由mx +2=2m +1+2x，得mx 2+1-2m x -2=0，则Δ=(1-2m )2+8m =(2m +1)2=0，解得m =-12，此时x =2成立；③由mx +2=2m +1+2x ，可得m x -2 =2-xx，即mx +1 x -2 x=0，由x ≠2，得mx +1=0，则2m +2≤0，解得m ≤-1.综上，m 的取值范围是m ∣m ≤-1或m =0或m =-12.四、解答题15.解：(1)A =x 14<2x -a ≤8 =x ∣2-2<2x -a ≤23={x ∣a -2<x ≤a +3}，即A =a -2,a +3 .由log 123x -2 ≥0，且3x -2>0，得0<3x -2≤1，解得23<x ≤1，即B =23,1 .当a =2时，A =0,5 ，∁U B =-∞,23∪1,+∞ ，所以∁U B ∩A =0,23∪1,5 .(2)由x ∈B 是x ∈A 的充分不必要条件，可知集合B 是集合A 的真子集，所以a -2≤23,a +3≥1,解得-2≤a ≤83，经检验符合集合B 是集合A 的真子集，所以a 的取值范围是-2,83.16.解：(1)因为f 4 =2，所以log a 4=2，所以a 2=4，因为a >0，所以a =2，所以f x =log 2x ，定义域为0,+∞ ，要解不等式f 2x -2 <f x ，则x ,2x -2∈0,+∞ ，所以x ∈1,+∞ .又f x =log 2x 在定义域内是单调递增函数，由f 2x -2 <f x ，得2x -2<x ，解得x <2，故不等式f 2x -2 <f x 的解集为1,2 .(2)因为f x 的定义域为0,+∞ ，所以在方程2f ax =f x +1 +f x +2 中，应满足x +1>0,x +2>0,ax >0,由a >0，解得x >0，问题转化为当x >0时，关于x 的方程f x +1 +f x +2 =2f ax 有正实数解.又f x =log a x ，则log a x +1 +log a x +2 =2log a ax ，即log a a 2x 2 =log a x 2+3x +2 .因为f x 为单调递增函数，所以a 2x 2=x 2+3x +2，因为x >0，所以两边同除以x 2得a 2=2x2+3x +1.令t =1x，由x >0，得t ∈0,+∞ ，所以a 2=2t 2+3t +1在t >0时有解.又y =2t 2+3t +1=2t +34 2-18在0,+∞ 上单调递增，所以y =2t 2+3t +1∈1,+∞ ，即a 2∈1,+∞ ，又a >0，所以a >1，故a 的取值范围为1,+∞ .17.解：(1)当a =1时，f x =3x -3-x ，令f x =3x -3-x =0，解得x =0，所以当a =1时，函数f x 的零点为0.(2)因为函数f x 为偶函数，所以f -x =f x ，即a ⋅3-x -3x =a ⋅3x -3-x ，所以a +1 3-x -3x =0，又3-x -3x 不恒为0，所以a +1=0，即a =-1.(3)当x >0时，f x =3x -3-x >0，因为关于x 的不等式λf x -9x -9-x -14≤0在x ∈0,+∞ 时恒成立，所以λ≤9x +9-x +143x -3-x =3x -3-x 2+163x -3-x =3x -3-x+163x -3-x，又因为3x -3-x +163x-3-x≥23x -3-x ⋅163x -3-x =8，当且仅当3x -3-x =163x -3-x，即x =log 35+2 时等号成立，所以λ≤8，即λ的取值范围是-∞,8 .18.解：(1)函数f x 为R 上的奇函数.证明如下：函数f x 的定义域为R ，关于原点对称.令y =-1，则f -x =f x f -1 ，又f -1 =-1，所以f -x =-f x ，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在0,+∞ 上单调递增.证明如下：由(1)知f 1 =-f -1 =1，当x >0时，f 1 =f x ⋅1x=f x f1x=1≠0，所以f x ≠0，从而f x =f x ⋅x =f x 2>0，∀x 2>x 1>0，则f x 2 -f x 1=f x 2 -f x 2⋅x1x 2=f x 2 -f x 2 f x1x 2=f x 2 1-fx 1x 2，因为x 2>x 1>0，所以f x 2 >0，0<x1x 2<1，又当0<x <1时，f x ∈0,1 ，所以0<f x 1x 2<1，所以f x 2 -f x 1 >0，所以f x 2 >f x 1 ，故f x 在0,+∞ 上单调递增.(3)由(1)知函数f x 为奇函数，所以f 0 =0，由(2)知，当x >0时，f x >0，且f x 在0,+∞ 上单调递增，所以f x 在R 上单调递增，所以当x ∈-1,1 时，函数f x 的最大值为f 1 =1，最小值为f -1 =-1，又任意x 1,x 2∈-1,1 ，总有2f x 1 -f x 2 ≤m 2-am -2恒成立，所以2f (x )max -f (x )min ≤m 2-am -2，即m 2-am -6≥0，由题意，m 2-am -6≥0对a ∈-1,5 恒成立.令g a =-ma +m 2-6，则g (a )min ≥0，所以m 2+m -6≥0,m 2-5m -6≥0, 解得m ≤-3或m ≥6，故m 的取值范围是-∞,-3∪ 6,+∞ .19.(1)解：f x =2x -12x +1为奇函数，证明如下：首先f x 的定义域为R ，关于原点对称，又f-x=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f x ，故f x 为奇函数，因为1+g x =1-22x-1+1=2x-1+1-22x-1+1=2x-1-12x-1+1=f x-1，所以g x =f x-1-1，于是g x+1+1=f x 是奇函数，由题意知g x 图像的对称中心是1,-1.(2)解：根据题意，f x +f2a-x=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4+2a-x 2a-x+1+2a-x+12a-x+2+2a-x+22a-x+3+2a-x+32a-x+4=xx+1+x+1 x+2+x+2x+3+x+3x+4+4+1x-2a-1+1x-2a-2+1x-2a-3+1x-2a-4，取a=-52，上式计算得f x +f-5-x=8，此时b=4，所以有对称中心，对称中心为-5 2 ,4.(3)根据题意，f x +f2m-x=2p,g x +g2n-x=2q.(i)证明：当m=n时，f x +f2n-x+g x +g2n-x=2p+2q=2p+q，所以此时f x +g x 的图像仍有对称中心，对称中心为n,p+q.(ii)解：当m≠n时，f x +g x 不一定有对称中心.设f x =1x，易知函数f x 的图像关于0,0对称，得m=0,p=0，设g x =xx+1，易知函数g x 的图像关于-1,1对称，得n=-1,q=1，此时，f x +g x =1x+xx+1，其图像不关于某一点对称，即没有对称中心.。

2024年湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A：由已知i z --=2，i z +-=2,则i i z 22+-=+，答案为：222.C:{}4,3,2,1,0=A ,{}11-≤<-=e x x B ,则B A ⋂={}1,03.B：10210523,cos -=⋅+->=<b a 4.D：直线恒过定点)2,1(--P ，当直线与OP 垂直时，弦长最短为45.B：()101310122024642202520245432120252024321202522222)()()(⨯=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= b b b b b b b b b b b b T 6.B：))2,0((tan π∈<x x x ，得：04.0251251tan=>；由04.004.1ln 1ln <⇒-≤x x ，则b c >；令)1,0(,121)1ln()(∈++-+=x x x x f ，()()()021********)1(2121112121111)(22'<++++-+=+++-+=++--+=+-+=x x x x x x x x x xx x x x x x f ，上递减在所以即)1,0()(,0)('∈<x x f x f ，所以,108.104.1ln ,121)1ln()1,0(,0)0()(-<-+<+∈=<可得时，即当x x x f x f 则a b <；又04.00398.015733.131533108.1<=-⨯<-=-，所以a c >，综上：c a b <<.7.D ：,2),2(221,sin )(⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=x xg x x x g π所以当[)4,2∈x 时，有[)2,12∈x ，此时:()2sin 2xx g π=,当[)8,4∈x 时，有[)4,22∈x ，此时:()4sin 4xx g π=,当[)16,8∈x 时，有[)8,42∈x ，此时:()8sin 8xx g π=,作出函数)(x g 的部分图象，如图所示：可得，则)()(,0)(x g x g x g -=≤34)(34)(-≥≤x g x g 即[]16,8,238sin 348sin8∈-=⇒-=x x x ππ令332,340332max ===m x x 所以或解得：8.D:如图，过N M ,的平面α如果平分长方体的体积，则α过长方体的中心O ，将面MON 与长方体六个平面的交线画出，则二面角A EL M --即为所求，AEL MA 面⊥，设二面角A EL M --为θ，则31cos ==∆∆MEL AEL S S θ，322sin =θ二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选或不选得0分.9.ACD：对于A：由题意可得()0P A B ⋂=，()()()()34P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂=，则有()()34P A P B +=，又()()2P A P B =，解得()14P A =，A 正确；对于B：由B A ⊆，得()()0.2P AB P B ==，B 错误；对于C：由()()πcos ,1,23P X n a n n===，得1(1),(2)2P X a P X ====，(1)(2)1P X P X =+==，得1a =-，C 正确；对于D：概率为109110010P =-=，D 正确。

2022-2023学年河南省名校联盟高三（下）月考数学试卷（理科）（2月份）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知复数，若z的共轭复数，则实数( )A. 1B. 2C. 3D.3.在等差数列中，，，则( )A. 15B. 16C. 17D. 254.一组互不相等的样本数据：，，…，，，其平均数为，方差为，极差为m，中位数为t ，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列结论不一定正确的是( )A. B. C. D.5.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”.已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的体积为( )A. B. C. D.6.已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是( )A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数7.已知过抛物线C：焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆交于M，N 两点，点A，M在y轴的同侧，则( )A. 1B.C. 2D.8.已知，分别是方程和的根，若，实数a，，则的最小值为( )A. 1B.C.D. 29.设函数，若，恒成立，有以下结论：①；②为奇函数；③的单调递减区间是，；④经过点的直线必与函数的图象相交.其中正确结论的序号是( )A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④10.已知双曲线的左焦点为，过点向圆O：引一条切线l，l与该双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.C. 2或D.11.已知定义在R上的函数，当时，，为其导函数，且满足恒成立，若，则，，三者的大小关系为( )A. B.C. D.12.如图，在平行四边形ABCD中，，点E，F分别为边BC和AD上的定点，，，，将，分别沿着AE，CF向平行四边形所在平面的同一侧翻折至与处，连接，若，则( )A. B. C. D.13.已知向量，，且，则实数______ .14.若，则______ .15.某单位要举办一场晚会，有两个歌唱、两个舞蹈、一个小品、一个相声共6个节目，要求两个歌唱不相邻演出，且两个舞蹈不相邻演出，则这6个节目共有______ 种不同的演出顺序.16.已知函数的图象恒过定点A，圆O：上两点，满足，则的最小值为______ .17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若求角A的大小；若，D为BC的中点，求线段AD长度的最大值.18.自限性疾病是指病情具有自我缓解特点、能够自行消散的疾病.已知某种自限性疾病在不用药物的情况下一般10天后可以康复.为研究A药物对该自限性疾病的作用，某研究所对其进行了双盲实验，把100名初患该疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用A药物，乙组用安慰剂代替用药，经统计得到以下列联表：小于10天康复10天后康复合计甲组302050乙组104050合计4060100依据列联表所给数据，能否有的把握认为用A 药物与小于10天康复有关？若将甲组中10天后康复的频率视为A药物无效的概率，现从患该疾病且用了A药物的人中随机抽取4人，记其中A药物对其无效的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：，双盲实验：在试验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别实验组或对照组，分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组，旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好.安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片、丸、针剂.19.如图，在直棱柱中，底面ABCD 是平行四边形，，M 为上的点，，证明：平面；为线段上的点，若，，求二面角的正弦值.20.已知点E 是圆上的任意一点，点，线段DE 的垂直平分线与直线EF交于点求点C 的轨迹方程；点关于原点O 的对称点为B ，与AB 平行的直线l 与点C 的轨迹交于点M ，N ，直线AM 与BN交于点P ，试判断直线OP 是否平分线段MN ，并说明理由.21.已知函数，为函数的导函数.讨论函数的单调性；若，证明：22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的极坐标方程；直线l与曲线，分别交于不同于原点的A，B两点，求的值.23.已知函数，且若恒成立，求实数a的取值范围；证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，故选：利用集合的交集运算求解．本题考查集合的定义，属于基础题、2.【答案】C【解析】解：，则，的共轭复数，故选：先求出复数z，再结合共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可得，，即故选：直接利用等差数列的性质计算即可．本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：对A，平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最大值和最小值后，余下数据的平均数可能会改变，故A不一定正确；对B，方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方差减小，故B正确；对C，极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数之间差值的最大值，故去掉最大值和最小值后，新数据的极差必然小于原数据的极差，故C正确；对D，中位数是把数据从小到大依次排列后排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，因为是对称的同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据中位数保持不变，故D正确．故选：根据平均数、方差、极差、中位数的定义即可逐项分析判断．本题主要考查了平均数、方差、极差和中位数的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：如图，连接AC、BD、、，设，，连接棱台侧棱相等，易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，如图：易得，，，，，即，由得，，解得，，外接球体积为故选：易知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其体积．本题考查正四棱台的外接球问题，球的体积公式的应用，化归转化思想，方程思想，属中档题．6.【答案】B【解析】解：的定义域关于原点对称，，，，故令时，，令时，，令，时，，，即，是偶函数，又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数．故选：对a、b进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断．本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数奇偶性的判断，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由题意得抛物线C的焦点F的坐标为，若直线AB的斜率不存在，则其方程为，直线和抛物线的交点为，与已知矛盾，故可设直线AB的方程为，联立，整理得，，设，，则，，，圆的圆心坐标为，半径为1，由已知可得，，故选：由已知确定直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由得，由得函数与函数的图象关于直线对称，由解得，设，则，则，令，则，则，当且仅当时等号成立．故选：根据对称性求得，结合换元法以及基本不等式求得正确答案．本题主要考查了函数的对称性及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：，，恒成立，为函数最值，为的对称轴，，即，，，故①正确；，为非奇非偶函数，②错误；周期，③中的不正确，即③错误；要使过点的直线与函数的图象不相交，则必须与x轴平行，且，即，，上式不可能成立，故④正确．故选：利用辅助角公式化简，根据，可得具体的函数，然后按照每个结论依次判断即可．本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：依题意可知直线l的斜率存在，设l：，不妨设，即直线l的方程为，直线l和圆O相切，所以，整理得，由于，所以l与渐近线垂直，设切点为A，则l与渐近线的交点为在中，，则，所以，根据双曲线渐近线的对称性可知，渐近线即直线OB的倾斜角为或，即或，由于，所以双曲线的离心率为或故选：根据l 与渐近线垂直以及求得，进而求得双曲线的离心率．本题考查了双曲线的简单性质，双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．11.【答案】B 【解析】解：设，则，因为，所以，所以函数在上单调递减，又，所以，所以，所以，设，则，因为，所以，当且仅当时，，所以在上为减函数，所以，即，又当时，，所以，又，所以，由，可得，所以，所以，故选：由可得，，所以，故考虑构造函数，根据导数与函数的单调性的关系证明在上单调递减，利用函数的单调性比较，，的大小，再证明，可得结论．本题考查导数的综合运用，解题的关键在于结合已知条件构造恰当的函数，利用导数与函数的单调性的关系，判断函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小，属于中档题12.【答案】C【解析】解：过点作，垂足为，因为，，，所以，所以，所以，又，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，又，AF，平面AECF，，所以平面AECF，由已知，，，取AE的中点M，连接，FM，则，，，，平面，所以平面，过点作，因为平面，平面，所以，AE，平面AECF，，所以平面AECF，所以，因为，平面AECF，平面AECF，所以平面AECF，平面平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，设，则，由已知，所以为等边三角形，所以，在中，，，，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，所以，解得或，由已知小于点M到直线AF的距离，所以，故故选：过点作，证明平面AECF，取AE的中点M，过点作，证明平面AECF，根据线面垂直性质定理证明，根据线面平行性质定理证明，解三角形求本题通过平面图形的翻折考查直线与平面的位置关系，平面图形的翻折问题解决的关键在于分析翻折前后的位置关系的变化和线段长度和角度的是否变化．13.【答案】1【解析】解：，，，，，，，故答案为：求出和的坐标，根据两向量垂直的坐标表示即可求出的值．本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，代入，可得故答案为：先利用倍角公式变形转化为二次齐次式，然后利用将式子转化为分式，再分子分母同时除以，然后代入计算即可．本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】336【解析】解：6个节目全排列的方法数为，6个节目的安排中，歌唱或舞蹈相邻的方法数为，所以符合题意的演出顺序有故答案为：先计算出6个节目全排列的方法数，然后减去歌唱或舞蹈相邻的方法数，从而求得正确答案．本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．16.【答案】【解析】解：因为时，，所以函数数的图象过定点，因为，所以点P，A，Q三点共线，，因为，为圆上两点，所以点P，Q为过点的直线与圆O的两个交点，设线段PQ的中点为，则，，因为表示点，到直线的距离和，表示表示点到直线的距离，分别过点P，M，Q作，MN，与直线垂直，垂足为，N，，则，所以，因为，直线PQ过点M，A，所以，所以，所以，化简可得，即点在圆上，所以点M的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以点到直线的距离的最小值为，所以，所以，所以故答案为：求出定点A的坐标，由条件可得点P，A，Q三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值．本题的关键在于确定所求解析式的几何意义，并将所求值转化为线段的中点到直线的距离问题，属于难题．17.【答案】解：依题意，，由正弦定理得，由于A，C是三角形的内角，所以，，所以，则A为锐角，所以，设三角形ABC外接圆的半径为r，圆心为O，则，由于，所以A在三角形ABC外接圆上运动，且只在优弧不包括端点上运动，如图所示，则，，当A，O，D三点共线时，最大，所以AD长度的最大值是【解析】利用正弦定理求得正确答案．利用圆的几何性质求得AD的最大值．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：由题意得，有的把握认为用A药物与小于10天康复有关；记A药物无效的概率为p，则，由题意得，则，，1，2，3，4，，，，，，随机变量X的分布列为：X01234P故【解析】根据的计算公式计算，结合题意即可得出答案；依题意可知X满足二项分布，根据二项分布可分别求出分布列和期望，即可得出答案．本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：因为为直棱柱，则，，且，，则，，所以，即，则，又因为，，MD，平面BDM，所以平面BDM，因为平面BDM，所以，因为，，，平面，所以平面；由知，DA，DB，两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连接，设，则，则，所以，则，设平面BDN的法向量为，则，取，由知是平面BDM的一个法向量，设二面角为，则，则，即二面角的正弦值为【解析】根据题意，由条件可得，从而可得，证得平面BDM，从而即可证得结果；由中结论知DA，DB，两两垂直，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算即可得到结果．本题考查线面垂直的证明，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．20.【答案】解：由题意，，又，，点C的轨迹是以F、D为焦点的椭圆，其中，，所以，椭圆C的方程为易得，设，，，将l的方程与联立消y，得，则，得且，且，所以，所以MN的中点为即，因为，所以直线AM的方程为，即，直线BN的方程为，即，联立直线AM与直线BN的方程，得，得，所以，所以O，P，Q三点共线，所以直线OP平分线段【解析】由题意得，利用椭圆的定义，得点C的轨迹是以F、D为焦点的椭圆，进而得到椭圆的方程；设，，l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得到MN的中点Q，接着求出直线AM的方程、直线BN的方程，联立两直线方程得，，由化简化简可得答案．本题考查椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系，方程思想，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：的定义域是，，令，则，当时，恒成立，单调递减，也即在区间上单调递减；当时，在区间单调递减；在区间递增．综上，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增．当时，，要证明，即证明，即证明，，即证明，构造函数，恒成立，所以在区间上递增，，所以构造函数，，，所以在区间，，递减；在区间，，递增．所以，即，所以，则，结合可得，从而成立．【解析】先求得，然后通过构造函数法，利用导数，结合对a进行分类讨论来求得的单调区间．通过证明，来证得不等式成立．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：，，，又，，即，即曲线的极坐标方程为；由知曲线的平面直角坐标方程为，将代入，得，则；，将代入，得，直线l与曲线交于不同于原点的B点，故，则；【解析】先将的参数方程消去参数化为直角坐标方程，再结合即可化为极坐标方程；将的极坐标方程化为直角坐标方程，分别将直线l的参数方程代入，的直角坐标方程，求出对应的t的值，从而求得A、B的直角坐标，根据两点间距离公式即可求本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的应用，是中档题．23.【答案】解：，当时等号成立，即的最小值为，若恒成立，则或，又，，或，或，或，即a的取值范围是证明：，①当时，，在单调递减，在时单调递增，当时，取最小值，即②当时，，在单调递减，在单调递减，在单调递增，当时，取最小值，即综上，【解析】根据绝对值的性质求出的最小值，解不等式即可求得a的范围；分和化简的解析式，再分别求出其最小值均为4即可．本题考查绝对值不等式的性质以及分段函数的性质，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．。