高等数学第六章课件

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类2:
一阶微分方程 F (x ,y,y)0 , yf(x,y);
高阶(n)微分方程 F (x ,y ,y , ,y (n )) 0 , y (n ) f(x ,y ,y , ,y (n 1 )).
( n 阶显式微分方程)
9
分类3: 线性与非线性微分方程.
1
整体概况
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概况2
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概况3
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§1. 微分方程的基本概念
微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y x, yxy, y2y3yex, (t2x)d txd 0 x , z x y,
自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的 相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物 在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制
粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩
散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或
不同物质间的传导
4
注意到实际问题中有与数学中“导数” 有关的常用词，如 “速度”、“速率”（运动学、化学反应中）； “增长”（生物学、金融、经济等中）； “衰变”（放射性问题中）； 以及与“改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等有关词语，都可能是微分方程的 问题。
t0时 ,s0,
v
ds dt
20,
代入得 C 1 2,0 C 2 0
vds0.4t20, dt
故
s0.2t22t0 ,
7
开始制动到列车完全停住共需 t 2050(秒), 0.4

• 另外，如果这个极限存在，也称广义积分 • 收敛，否则称广义积分
发散。
• 同样可定义广义积分 及其收敛
• 和发散。对广义积分 •
，
存在的充分必要条件是对任意 实数a,两个广义积分 和
都收敛。
• 6.5.2 无界函数的定积分
• 定义6.5.2 设函数 f (x)在[a,b)有定义，且当 x→b-时，f (x)→∞，设δ＞0，积分
• 如果极限
• 存在，这个极限就称为无界函数 f (x)在[a,b] 上的广义积分，记为
• 也称广义积分
极限 •
收敛。否则，如果
不存在，就称广义积分
是发散的。
• 类似地，如果当x→a+时，f(x)→∞，可以类
似地定义广义积分 为：
• 而对当a＜c＜b,当x→c时，f(x)→∞，规定广
义积分 • 和 存在当且仅当广义积分 都存在，且
• 6.3 微积分学基本定理 • 6.3.1 变限定积分 • 定理6.3.1 如果函数f (x)是区间[a,b]上的一个
连续函数，那么当a≤x≤b时，变上限积分
• 是一个可导函数，且
• 定理6.3.2 在区间[a,b]上连续的函数 f (x)的
• 原函数一定存在，且变上限积分
• 就是它的一个原函数。 • 例6.3.4 设 f (x)，g(x)和h(x)都是连续函数，
• 令各小区间的最大长度
，
• 如果不论小区间怎样划分，也不论在小区
间[xk-1,xk]上如何取ξk，当λ→0时，极限
•
• 为
总是存在，则这一极限就称
为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分。记 ，即：
• 关于定积分的定义，我们做如下说明：

第六章
定积分及其应用
主讲:
定积分及其应用
• 定积分的概念 • 定积分的性质 • 微积分基本公式 • 定积分的积分法 • 广义积分 • 定积分的应用
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6.1定积分的概念—定义
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6.1定积分的概念—定义
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6.1定积分的概念—几何意义
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6.2定积分的性质
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6.2定积分的性质
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6.3微积分基本公式--变上限的积分函数及其性质
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本章结束
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6.3微积分基本公式--变上限的积分函数及其性质
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6.3微积分基本公式—微积分基本公式
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6.4定积分的积分法—定积分的换元积分法
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6.4定积分的积分法—定积分的分部积分法
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6.5广义积分—无穷区间上的广义积分

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6.5广义积分—无穷区间上的广义积分
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6.5广义积分—无界函数的广义积分
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6.6定积分的应用—微元分析法
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6.6定积分的应用—定积分在几何上的应用
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6.6定积分的应用—定积分在几何上的应用
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6.6定积分的应用—定积分在几何上的应用
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6.6定积分的应用—定积分在几何上的应用
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6.6定积分的应用—定积分在物理学中的简单应用
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6.6定积分的应用—定积分在物理学中的简单应用

一、直线方程的定义
方向向量的定义：
如果一非零向量平行
于一条已知直线，这个
向量称为这条直线的方
向向量．
x
z
s
L
M
M0
o
y
二、直线方程的类型
1.空间直线的对称式方程与参数方程
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
M L, M0M// s
s {m, n, p},
x
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
的图形
情形5
Ax By 0
特征 平面过 z 轴
左图为
x y 0 5
的图形
情形6
Ax Cz 0
特征 平面过 y 轴
左图为
x z 0 5
的图形
情形7 By Cz 0
特征 平面过 x 轴
左图为
y z 0 5
的图形
情形8 Ax By Cz 0
特征 平面过原点
左图为
2x y z 0 5
z y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
化简得 14x 9 y z 15 0.
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7 和
3 x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,1},

2、7 ； 6
4、3a2 ；
5、5 ； 4
三、9 . 4
四、e . 2
3、2；
6、1 . 2
3、a2 ；
6、3 a 2 . 2
五、8 a 2 . 3
h
29
一、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
h
圆台
31
一 般 地 ， 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 yf(x)、
素
dA
yf(x)
则A A，并取A f (x)dx，
于是A f (x)dx
b
o a xxdbxx
A li m f(x )dx a f(x)dx.
h
4
当 所 求 量 U 符 合 下 列 条 件 ：
（ 1 ） U 是 与 一 个 变 量 x 的 变 化 区 间a ,b 有 关
的 量 ；
（ 2） U对 于 区 间 a,b具 有 可 加 性 ， 就 是 说 ， 如 果 把 区 间 a,b分 成 许 多 部 分 区 间 ， 则 U相
x3 h
3
0
hr 3
2
.
h
34
2
2
2
例2 求星形线x3 y3 a3(a0)绕x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a3
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105

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6．1 可分离变量的微分方程
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6.1 可分离变量的微分方程 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数齐次线性微 分方程
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6．1 可分离变量的微分方程 例题解析
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6.3 二阶常系数齐次线性微 2. 会求一阶线性微分方程的通解和分特方解程.
教学重点
1.理解一阶线性微分方程的概念. 2.求一阶线性微分方程的通解和特解
教学难点 求一阶线性微分方程的通解和特解
教学方法 讲练结合法
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X
O
xR
过 x轴上的点 x 作垂直于 x 轴的平面，
截正劈锥体得等腰三角形。
这截面的面积为：
A( x) h y h R2 x 2
于是所求正劈锥体得体积为：
R
R
V A( x)dx h
R2 x 2 dx
R
R
2R2h
2 cos2 d
R2h
0
2
正劈锥体的体积等于同底同高的圆柱体体积的一半。
y
d
x ( y)
V
d
c
(
y
)2
dy
c
r 例1 求以 为底半径， 为高的h圆锥的体积 。
o
解：
建立坐标系如图
OP 的直线方程为：
y r x
y
h
于是所求圆锥体的体积为：
V
h
0
r h
x 2 dx
r 2
h2
x3 3
h
0
r 2h
3
O
x
P(h,r)
r
h
x
当然这个题可以用元素法来解。
4
例2 计算由椭圆
2
a2 t
xsiant 2
s ianst in tdt
0
a
2
t
sint
2
a
sintdt
a 3 2 (t sin t)2 sin tdt 0
则dy a sintdt
对于x x2 y,
当y 0时，t 2 ;
a
3
2 0
t
2
sin
tdt
2
2 t sin2 tdt
0
2 0
sin3

于是曲线弧的长为
s j 2(t) 2(t) dt .
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b 曲线yf(x)(axb)的弧长： s a 1 y2 dx .
曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长： s


j 2(t) 2(t)dt .
例13 求摆线xa(sin), ya(1cos)的一拱(02 )的 长度. 解 弧长元素为
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内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程 边界方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长
弧微分: d s (d x) 2 (d y ) 2 注意: 求弧长时积分上
旋转椭球体的体积为
2 b V a y dx a 2 (a 2 x2 )dx a 2 4 b 1 2 3 a 2 [a x x ]a ab2 . 3 3 a a 2 a
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例8 计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱, 直线y0 所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
S 0 ( x x2 )dx
[ 2 3
3 x2
1
1. 1 x3]1 3 0 3
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S a[ f上 (x) f下(x)]dx . S c [j右 ( y) j左 ( y)]dy .
例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在y轴上的投影区间 [2, 4]. (3)确定左右曲线
, 从而弧长元素
ds 1 y2 dx 1 x dx .