第二章 第十三节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

- 1 -考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由 ,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解． 【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nm f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是- 2 -（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】选B.函数()()1nm f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在)1,(n m m+上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是 【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-xe 0>， ∴2ln >x ．由)(xf '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e，- 3 -∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。

导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。

这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。

2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。

二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。

2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。

三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。

2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足22()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值 .C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知2332()2()()x x e f x e x f x f x x x x -¢=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())22(1).)x x xx e x f x xf x e e e x x则令¢==--+=-=-=--由()0g x ¢=得2x =,当2x =时,222min ()2208e g x e =-创= 即()0g x ³,则当0x >时,3()()0g x f x x¢=?, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ）A.]0,(-∞B. ]1,(-∞C. ]1,2[-D. ]0,2[-【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，x x x f x g 2|)(|)(2-==，22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，11)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.B 项,假设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =--r 将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33aa f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1<x 0,则f(x)在区间(-∞,x 0)上不单调递减,C 错误.D 项,若x 0是极值点,则一定有0()0f x '=.故选C.4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )A.3B.4C. 5D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A 。

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。

利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。

导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。