【思路点拨】 画图的关键是弄清定义域的取值，单调性是看图 像的上升(下降)走势． 1x 【解析】 (1)函数 y＝3 (x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可 1x 知，函数 y＝3 (x∈N＋)是单调递减的． (2)函数 y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数 y＝ 3x(x∈N＋)是单调递增的．
|自我尝试| 1．函数 y＝(a2－3a＋3)· ax(x∈N＋)是正整数指数函数，则有( A．a＝1 或 a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0 且 a≠1
2 a －3a＋3＝1， 由题意知 a>0且a≠1.
)
【解析】
所以 a＝2.故选 C.
【答案】 C
πx 2．函数 y＝2 ，x∈N＋的图像是(
【解析】 设 y＝ax(a>0 且 a≠1，x∈N＋)，将(2,9)代入得 9＝a2， 所以 a＝3，所以 y＝3x，x∈N＋，故选 A. 【答案】 A
类型二 正整数指数函数的图像与性质 1x [例 2] (1)画出函数 y＝3 (x∈N＋)的图像， 并说明函数的单调性； (2)画出函数 y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
)Байду номын сангаас
A．一条上升的曲线 B．一条下降的曲线 C．一系列上升的点 D．一系列下降的点
【解析】 由 x∈N＋，知图像是由一系列点构成的， π 又2>1，所以图像由左到右是上升的，故选 C. 【答案】 C
3．函数 f(x)＝3x－2，x∈[－1,3]且 x∈N＋，则 f(x)的值域是( A．{－1,1,7} B．{1,7,25} 5 C．{－1,1,7,25} D．{－3，－1,1,7,25}
【解析】 设 2016 年的利润值为 a，则 2036 年的利润值为 4a， 所以 a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4. 【答案】 D
5．比较下列数值的大小： (1)( 2)3________( 2)5. 22 24 (2) 3 ________3 .
一般地，函数 y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其 中 x 是自变量，定义域是正整数集 N＋. 注意：①底数是大于 0 不等于 1 的常数；②指数是自变量 x；③ 系数为
1.跟踪训练 1 正整数指数函数 y＝f(x)的图像过点(2,9)，则函数 的解析式为( ) A. y＝3x，x∈N＋ B．y＝4x，x∈N＋ C．y＝3x，x∈R D．y＝4x，x∈R
5x y＝6 (x∈N＋)的图像，并说明各自的单调性．
【解析】 正整数指数函数 域 N＋上单调递增． 正整数指数函数 调递减．
6x y＝5 (x∈N＋)的图像如图(1)， 在定义
5x y＝6 (x∈N＋)的图像如图(2)，在定义域
N＋上单
类型三 正整数指数函数的实际应用 [例 3] 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a，每期利率为 r， 设本利和为 y， 存期为 x， 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式． 如 果存入本金 1 000 元， 每期利率 2.25%， 试计算 6 期后的本利和是多少？
3 5
【解析】 由正整数指数函数的单调性知，( 2) <( 2) 【答案】 (1)< (2)>
22 24 ，3 >3 .
课堂探究 类型一 正整数指数函数的概念 [例 1] 下列函数哪些是正整数指数函数？哪些不是？为什么？ (1)y＝4x(x∈N＋)； (2)y＝x4(x∈N＋)； (3)y＝－4x(x∈N＋)； (4)y＝(－4)x(x∈N＋)； (5)y＝xx(x∈N＋)； 1 x (6)y＝(2a－1) a>2，a≠1，x∈N＋.
)
【解析】 由 x∈[－1,3]，且 x∈N＋，知 x∈{1,2,3}，逐个代入函 数 f(x)＝3x－2 可得函数的值域{1,7,25}． 【答案】 B
4．某公司的年利润值计划从 2016 年到 2036 年翻两番，设平均每 年增长率为 x，则( ) A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3 C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4
§1
正整数指数函数
【课标要求】 1.了解正整数指数函数模型的实际背景. 2.理解正整数指数函数的概念. 3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及函数的单调性. 4.体会正整数指数函数在实际生活中的运用.
自主学习 |新知预习| 正整数指数函数及指数型函数 正整数指数函数 指数型函数 条件 a>0 且 a≠1 x 自变量 定义域 正整数集 N＋ 实数集 R y＝kax，k∈R 解析式 y＝ax
【解析】 已知本金为 a， 存 1 期后的本利和为 y1＝a＋a· r＝a(1＋r)； 存 2 期后的本利和为 y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)· r＝a(1＋r)2； 存 3 期后的本利和为 y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2· r＝a(1＋r)3； ⋮ 故存 x 期后的本利和为 y＝a(1＋r)x. 将 a＝1 000 元，r＝2.25%，x＝6 代入上式，得 y＝1 000· (1＋2.25%)6＝1 000×1.022 56， 利用计算器计算得 y≈1 142.83(元)， 故本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y＝a(1＋r)x(x∈N＋)，6 期后的本利和约为 1 142.83 元．
【解析】 (1)(6)是正整数指数函数，因为它们符合正整数指数函 数的定义． (2)为幂函数． (3)中函数的系数为－1，不符合正整数指数函数的定义 . (4)中函数的底数 a＝－4<0，不符合正整数指数函数的定义． (5)中函数的底数是变量而不是常量，也不符合正整数指数函数的 定义.
方法归纳,
方法归纳,
根据函数关系式作函数图像，一定要注意定义域的范围，这是解 决此类问题易忽略的地方．正整数指数函数的图像是由一些孤立的点 组成的．当 0<a<1 时，函数 y＝ax(x∈N＋)是减函数；当 a>1 时，函数 y＝ax(x∈N＋)是增函数．
跟踪训练 2 和
在不同坐标系里画出正整数指数函数
6x y＝5 (x∈N＋)
