邯郸四中2009-2010学年度第一学期期中测试高二数学试卷(理科)

2010年邯郸市高三摸底考试理科数学试卷 2009.12本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至 页，第Ⅱ卷 至 页。

考试时间： 120 分钟，满分 150 分。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

做非选择题时，用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔写在答题卡相应位置，不能答在试题卷上。

3.考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集为R ，集合1|1,R A x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则等于ð A ．{}10|<≤x x B ．{}10|≤<x xC ．{}01|≤>x x x 或D ．{}01|<≥x x x 或2.在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是 A ．1 BC ．2 D．3.若2()log 1f x x =+，则它的反函数1()f x -的图像大致是4.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为A ．16322=-y xB ．132322=-y x C ．1964822=-y x D ．1241222=-y x5.将函数sin 2y x =的图像按(,1)4a π=-平移,所得图像的函数解析式是A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =6.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，4515,55a S ==，则过点34(3,),(4,)P a Q a 的直线的斜率是 A ．4 B ．14C ．4-D ．14- 7.将4个不同颜色的小球全部放入不同标号的3个盒子中，不同的放法种数为 A ．36 B ．64 C ．81 D ．96 8.已知()cos xf x e x =，则此函数图像在点(1, f (1))处的切线的倾斜角为 A ．零角 B ．锐角C ．直角D ．钝角9.函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OB OA OB -⋅= A ．4- B ．2C ．2-D ．410.若实数,x y 满足不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则t x y =-的取值范围是A ．[2,1]--B ．[2,1]-C ．[1,2]-D ．[1,2]11.若点A 、B 、C 是半径为2的球面上三点，且AB ＝2，则球心到平面ABC 的距离最大值为 A ．22 B ．32C ． 2D ． 3 12.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于点3(,0)4-对称，且满足()⎪⎭⎫⎝⎛--=23x f x f ,()()11,02f f -==-，则(1)(2)(3)(2009)f f f f ++++…的值是A ．2B ．1C ．-1D ．-2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分；共20分）13.设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=______________ ; 14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴端点为A,B.点P 是椭圆上除A 、B 外任意一点，则直线PA 、PB 的斜率之积为 ;15. 定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在[]0,2上的图像如图所示，则不等式()()f x f x x +->的解集为_____________;16.等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --为直二面角，M N 、分别是AC BC 、的中点，则EM AN 、所成角的余弦值为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分10分)已知ABC ∆中， a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，A 是锐角。

遵义四中2009-2010第二学期半期考试题高二数学（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列命题中是真命题的是（ ）A 、空间中的两个平面有一条公共的直线B 、海水水面是平面C 、如果,,A B C 三点不在同一条直线上，则,,A B C 三点确定一个平面D 、镜面是平面 2、由数字123456、、、、、可以组成没有重复数字的三位数中，能被2整除或能被5整除的三位数的个数是 （ ）A 、60B 、70C 、80D 、903、向量,a b 不共线，p ma nb =+，则0p =的充分必要条件是（ ）A 、mn o =B 、00m n ==且C 、m+n=0D 、m n =4、如果平面α平面,,,,l A C B βαβ=∈∈且,AB BC αβ⊥⊥，那么l 与直线AC 的位置关系是（ ） A 、异面 B 、平行 C 、垂直 D 、 不确定5、若131223PP PP P P =+，则下列结论正确的是（ ）○1123,,P P P 三点共线 ○2、1P 在线段23P P 上 ○3、2P 在线段13P P 上 ○4、3P 在线段12P P 上 A 、○1○2 B 、○1○3 C 、○2 ○3 D 、○3○4 6、下列命题中正确的是 （ ）A 、////a b a b αα⎫⇒⎬⊂⎭B 、////a b b b αα⎫⇒⎬⊂⎭C 、//////a b a b αα⎫⇒⎬⎭D 、////a b b a a ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭7、设,,,,,36a b a c b c ππ⊥==且1,2,3a b c ===，则a b c ++=（ ）ABC 、D 8、有一块直角三角板ABC ，0030,90,A BBC ∠=∠=边在桌面上，当三角板所在的平面与桌面成045角时，AC 边与桌面所成的角等于（ ）A 、6πB 、4πC 、D 、9、一个直角三角形的两个直角边长为,a b ，沿斜边高折成直二面角，则折叠后原两个直角边所夹角的余弦值为（）A 、22ab a b + BC D10、四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，侧棱与底 11B D DB 的距面边长为2a ，且1A AD ∠=0160A AB ∠=，则侧棱1AA 与截面离是（ ）?A 、4a B 、3a C 、2a D 、a11、在北纬045圈上有,A B 两地， A 在东经0120，B 在西经0150， 设地球的半径为R ，则,A B 两地的球面距离是（ ）10题图A 、53R π B 、2R π C、4R D 、3R π 12、如图，已知在矩形ABCD中，,AB BC a PA ==⊥面ABCD ，若BC 边上找到一点Q 满足PQ QD ⊥，则边长a取值范围A、)⎡+∞⎣ B、()+∞ C、)⎡+∞⎣D ()+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、一个多面体的棱数为8，面数为5，则这个多面体的顶点数为 。

河北高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，全集，则集合中的元素共有A．个B．个C．个D．个2.“或是假命题”是“非为真命题”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.在等比数列中，已知，则A．B．C．D．4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A．B．C．D．5.已知菱形的边长为，，则A．B．C．D．6.执行如图的程序框图，则输出的结果是A．B．C．D．7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A．B．C．D．8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A．B．C．D．9.已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．与的取值有关10.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为A．B．C．D．11.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取名学生．2.若不等式对于一切实数均成立，则实数的取值范围是____．3.已知圆及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足，．则动点的轨迹的方程为．4.在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①若，则与的夹角为锐角；②对，若，则；③若实数满足，则的最大值为；④函数的图像关于点对称．三、解答题1.（本小题满分10分）已知命题：表示焦点在轴上的椭圆，命题：表示双曲线．若或为真，且为假，求的取值范围．2.（本小题满分12分）已知圆经过、两点，且圆心在直线上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆总有公共点，求实数的取值范围．3.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；【理】（Ⅱ）求二面角的余弦值．【文】（Ⅱ）求点到平面的距离．4.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，求的值．5.（本小题满分12分）数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：．6.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线方程为，直线与双曲线的交点为且．（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，交双曲线于两点，当的内切圆的面积取最大值时，求的面积．河北高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设集合，全集，则集合中的元素共有A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．【考点】集合的运算．2.“或是假命题”是“非为真命题”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“或是假命题”可知命题与均为假命题，“非为真命题”成立；当“非为真命题”时，是假命题，所以“或是真命题”，所以“或是假命题”是“非为真命题”的充分而不必要条件，故选A．【考点】逻辑联结词与命题．3.在等比数列中，已知，则A．B．C．D．【答案】C【解析】因为数列是等比数列，所以，所以，又因为在等比数列中，所有的偶数项符号相同，所以故选C．【考点】等比数列的性质．【易错点睛】由等比中项性质得到，易得，忽略在等比数列中奇数项符号相同,偶数项符号相同的性质导致错误．4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为,所以双曲线中，且焦点在轴上，又渐近线方程为，即，所以，所以双曲线方程为，故选C．【考点】1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质．5.已知菱形的边长为，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】如下图，，故选D．【考点】向量数量积定义及运算．6.执行如图的程序框图，则输出的结果是A．B．C．D．【答案】D【解析】模拟算法：开始：成立，，成立，，成立，，不成立，输出，故选D．【考点】程序框图．7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的三棱锥，其中平面平面，,且，，所以，与均为正三角形，且边长为，所以，故该三棱锥的表面各为，故选B．【考点】1．三视图；2．多面体的表面积与体积．8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为球的直径，且，所以球的半径为，设三解形外接圆的半径为，则，球心到平面的距离，所以三棱锥的高为，所以三棱锥的体积．【考点】1．球的切接问题；2．多面体的表面积与体积．9.已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．与的取值有关【答案】B【解析】若,所以，又因为是的重心，所以，所以，故选B．【考点】1．双曲线的几何性质；2．三角形重心的性质．10.设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】在直角坐标作出可行域（如下图所示），由线性规划知识可知，当目标函数经过点可行域内的点时有最大值，此时有即，所以，当且仅当即时取到等号，故选D．【考点】1．线性规划；2．基本不等式．【方法点睛】本题主要考查的是线性规划与基本不等式相结合的试题，属于难题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．构造基本不等式一定要注意适用条件，即保证两个数均为正数，和或积为定值，等号能取到．11.已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】,构造函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，与的图象有三个公共点，故选C．【考点】1．函数与方程；2．数形结合思想；3．新定义函数问题．【方法点睛】本题主要考查学生接受新知识的能力以及数学中的数学结合思想、函数与方程思想等思想方法，属难题．解决此类问题的关键是将函数的零点问题通过等价转化，将问题转化为两个函数交点的个数问题，再正确画出两个函数的图象，由数形结合进行求解．二、填空题1.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取名学生．【答案】【解析】从一年级本科生中抽取人数为．【考点】分层抽样．2.若不等式对于一切实数均成立，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】令，则不等式对于一切实数均成立，因为，所以，由解得．【考点】1．函数与不等式；2．含绝对值不等式的解法．3.已知圆及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足，．则动点的轨迹的方程为．【答案】【解析】由可知，点为线段的中点，又由得，即点在线段的中垂线上（如下图所示），所以点是线段的中垂线上与直线的交点，所以有，所以动点的轨迹是以为焦点，的椭圆，其中，所以，所以椭圆方程为．【考点】1．椭圆的定义及标准方程；2．向量的几何意义及运算．【方法点睛】本题主要考查向量的几何意义、运算以及椭圆的定义、标准方程等知识，属中档题．解决此类问题首先是将题中向量的条件经过正确的翻译转化为几何条件，再由圆锥曲线的定义得到曲线类型，由待定系数法求标准方程．4.在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①若，则与的夹角为锐角；②对，若，则；③若实数满足，则的最大值为；④函数的图像关于点对称．【答案】②③④【解析】当共线且同向，即与的夹角为锐角为时，所以①错误；②的逆否命题为“若且，则”为真命题，所以原命题为真命题，故②正确；的几何意义为圆上任意一点与定点连线的斜率，由数形结合可得斜率的最大值为，故③正确；由得，即函数的对称中心为，当时对称中心为，故④正确．【考点】1．逻辑联结词与命题；2．向量的数量积；3．三角函数的图象和性质．【易错点睛】对于①易忽略两向量共线且同向而导致错误；对于②不知道从命题的逆否命题入手去解决问题，导致判断不清；对于不知道代数式的几何意义，无从下手，不能判断命题的真假．属中档题．三、解答题1.（本小题满分10分）已知命题：表示焦点在轴上的椭圆，命题：表示双曲线．若或为真，且为假，求的取值范围．【答案】或．【解析】先分析每个命题为真命题时，的取值范围,真时有即，真时有即；由或为真，且为假可知命题与一真一假，由“真假”和“假真”分别求出的取值范围，再求并集即可．试题解析：当正确时，，即；当正确时，，即；由题设，若和有且只有一个正确，则（1）正确不正确，∴∴；（2）正确不正确，∴∴；∴综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是或．【考点】1．逻辑联结词与命题；2．椭圆的标准方程；3．双曲线的标准方程．2.（本小题满分12分）已知圆经过、两点，且圆心在直线上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线与圆总有公共点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为圆经过、两点，所以圆心在线段的中垂线上，求出线段的中点坐标以及直线的斜率，可得到线段的中垂线的斜率，由点斜式求出线段的中垂线方程，与直线联立可求圆心的坐标，半径，即可求圆的标准方程；（Ⅱ）直线与圆总有公共点，由圆心到直线的距离小于或等于半径即可求的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由于的中点为，，则线段的垂直平分线方程为，而圆心是直线与直线的交点，由，解得，即圆心，又半径为，故圆的方程为．（Ⅱ）圆心到直线的距离得，解得．【考点】1．圆的标准方程与一般方程；2．直线与圆的位置关系．3.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，，，点为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；【理】（Ⅱ）求二面角的余弦值．【文】（Ⅱ）求点到平面的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（理）；（文）．【解析】（Ⅰ）在梯形中，由所给已知条件可证，又因为平面平面，由面面垂直的性质可得平面；（Ⅱ）【理】取的中点,连接，，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量知识可求二面角的大小；【文】设点到平面的距离为，由即等体积转换列出方程可解出的值．试题解析:（Ⅰ）证明：由已知可得：，，由余弦定理从而，平面平面，平面平面平面．【理】（Ⅱ）解：取的中点,连接，，由题意知平面，，分别是，的中点，，，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知，，设平面的法向量为，则有即取，得由题易知平面的法向量为所以二面角的余弦值为．（注：此题用综合法适当给分）【文】（Ⅱ）由已知，易求．，设点到平面的距离为，又可求，，点到平面的距离为．【考点】1．直线与平面垂直的判定；2．平面与平面垂直的性质；3．利用空间向量求二面角；4．等体积转换求高．4.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由三角形内角和定理及诱导公式可得，解方程可求角的值；（Ⅱ）由可求出，从而可求边的值，由余弦定理求出边的值，再由正弦定理即可求的值．试题解析：（Ⅰ），得，即．解得或（舍去）．因为，所以．（Ⅱ）由，得．又，所以．由余弦定理，得，故．又由正弦定理，得．【考点】1．三角形内角和定理；2．诱导公式；3．正弦定理与余弦定理的应用．5.（本小题满分12分）数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，证明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）由等差中项的定义可知，令可求出，当，由即，可得数列是等比数列，从而可求数列的通项公式；又数列是等差数列，由，求出可求得数列的通项公式；（Ⅱ）由先求数列的通项公式，再由裂项相消法求前项和为，用作差比较法可得为递增数列，所以，可证不等式成立．试题解析：（Ⅰ）∵是和的等差中项，∴当时，，∴当时，，∴，又，则∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，．设的公差为，，，∴∴．（Ⅱ）∴∵,∴∴数列是一个递增数列∴．综上所述，．【考点】1．等差数列与等比数列的定义与性质；2．裂项相消法求和．【易错点睛】本题主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和等问题，属中档题．第（Ⅰ）求数列的通项公式主要是应用的关系得到数列是一个等比数列，从而求出数列的通项公式，但容易忽略，直接应用去求解，导致错误．6.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，双曲线方程为，直线与双曲线的交点为且．（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，交双曲线于两点，当的内切圆的面积取最大值时，求的面积．【答案】（Ⅰ）椭圆方程为．双曲线方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，可得，由可求点,代入双曲线的方程可得，从而可求出椭圆与双曲线的方程；（Ⅱ）设，，不妨设，，内切圆半径，由椭圆定义可知的周长是，又因为，当圆的半径最大时，面积最大，又因为，即面积最大时，圆的面积最大，又，所以设出直线方程，与椭圆方程联立，可得，换元，转化为，由基本不等式求解即可．试题解析：（Ⅰ）椭圆：的离心率为，则，不妨设，由得，，把代入双曲线方程得，解得，所以椭圆方程为．所以双曲线的方程为．（Ⅱ）设，点的坐标分别为，不妨设，，内切圆半径．所以的周长是，所以，所以当圆的半径最大时，面积最大，即，设直线的方程为，，消去得，解得，，所以，不妨设，于是，因为在上单调递增，所以，当且仅当时取到．故直线与椭圆交于两点使得的内切圆的面积最大．所以，所以，即，故的面积为．【考点】1．椭圆与以双曲线的定义与几何性质；2．直线与圆锥曲线的位置关系；3．基本不等式．【名师点睛】本题主要考查椭圆与以双曲线的定义与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、基本不等式等知识的应用,属难题．求圆锥曲线的标准方程的问题一般是通过已知条件应用待定系数法求解；求圆锥曲线相关的最值问题则是先联立方程组，利用韦达定理构建目标函数的解析式，再通过求函数最值的方法求解．。

河北高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设, “”是“复数是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2.用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数B．假设a，b，c都是偶数C．假设a，b，c至少有两个偶数D．假设a， b，c都是奇数3.空间任意四个点A、B、C、D，则等于 ( ）A． B． C． D．4.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.已知向量，，且与互相垂直，则等于（）A．1B．C．D．6.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A．B．C．D．7.已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M，则点M取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．9.下面是关于复数的四个命题：，，的共轭复数为，的虚部为.其中的真命题为（）A．B．C．D．10.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈，〉的值为 ( )． A ．B ．C ．D ．11.对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数， 都有，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知函数的图象关于点（1，0）对称，且当时，成立（其中的导函数），若，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知正三角形内切圆的半径与它的高的关系是：,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径与正四面体高的关系是 ．2.设（i 为虚数单位），则3.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为________．4.若函数上为递减函数，则m 的取值范围是 。

郑州四中2009-2010学年下期高二年级期中考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．复数3(1)(2)i i z i-++=等于( ) A ．1i + B ．1i -- C.13i + D ．13i --2．若曲线C:ax ax x y 2223+-=上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数a =( ) A.-2 B.0 C.1 D.-13. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ． 1个B ． 2个 C. 3个 D ． 4个4. 函数x x x y +=sin 的导数是( ) A.x x x x y 21cos sin /++= B. x x x x y 2cos sin /+-=C.xx x x y 21cos sin /-+= D. xx x x y 21cos sin /--=5.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法共有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种6. 抛物线y=x 2-x 与x 轴围成的图形的面积为（ ）A.81B.1C.61D.21 7．若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ） A.1B.－1C.0D.28.平面上有n 个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,有f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,则f(n)= ( )A ．n2 B.22+-n nC.)3)(2)(1(2----n n n nD.410523-+-n n n9. 设a ,b ,c +∈R ,则三个数ac c b b a 1,1,1+++ （ ）A ．都大于2， B.小于2 C.至少有一个数不大于2 D.至少有一个数不小于210．设nx x )3(2131+的二项展开式中各项系数和为t,其二项式系数之和为h,若h+t=272,则其二项展开式中2x 的系数为 ( )A ．21B.1C.2D.3 11． 从1，2，3，…，9这九个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数则可以得到不同的对数值的个数为 ( )A.64B.56C.53D.5112．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(/≥-x f x ，则必有( ) A ．)1(2)2()0(f f f <+ B. )1(2)2()0(f f f ≤+ C. )1(2)2()0(f f f ≥+ D. )1(2)2()0(f f f >+ 二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．复数3(1)i -的虚部为___________.14．计算定积分dx x⎰2022sin π= .15.平面几何里有“设直角三角形ABC 的两直角边分别为a,b,斜边上的高为h ,则222111h b a =+”，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧棱两两垂直，其长分别为a,b,c,面BCD 上的高为h ,则 ”。

2024-2025学年河北省高二上学期期中联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知全集，集合，集合，则{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U ={}1,2,4A ={}0,3,5,6B =等于（ ）()UA B ðA ．B ．C ．D ．{}4{}7,8{}3,5,6{}3,5,6,02．直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）20x y -=()222104x y a a -=>a =A ．1B ．2C ．4D ．163．直线的倾斜角为（ ）10x -=A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒4．已知，向量，，，且，，则,x y ∈R (),1,1a x = ()1,,1b y = ()2,2,2c =- a c ⊥ //b c 的值为（ ）x y +A ．B ．C ．D ．1-1235．已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则()f x ()0,1x ∈()31x f x =+的值为（ ）381(log )2f A ．3B ．C ．D ．23-2-6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满xOy O ()2,4A P 足．过点总可以向以点为圆心､为半径的圆作两条切线，则半径3PO PA ⋅=P ()5,6C r 的取值范围为（ ）rA ．B ．C ．D ．((0,((0,7．如图所示，在三棱锥中，，且P ABC -π,4,3,2APB PA PB AC BC ∠=====平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）PAB ⊥ABCA ．B ．C ．D ．24π28π32π35π8．已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线ABC V 24x y =ABC S = A B C △△的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（ ）24x y =123l l l △△123l l l △△A ．B ．C ．D ．254二、多选题（本大题共3小题）9．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是C ()22cos sin sin cos ,0,πx y θθθθθ⋅+⋅=⋅∈（ ）A ．当时，曲线为直线π2θ=C B ．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C y C ．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C x D ．曲线不可能是圆C 10．下列说法正确的是（ ）A ．在长方体中，可以构成空间的一个基底1111ABCD A B C D -11}{,,AB AC A CB ．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足,,A B C ABC O M ，则在平面内1()3OM OA OB OC =++ M ABC C ．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量p mx ny kz =++(,,)m n k p {,,}x y z 在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为p {,,}a b c (1,2,3)p{,,}a b a b c -+ 13(,,3)22-D ．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为PA PB PC △△P，若满足，则60,1PA PB PC ===M 23PM PA PB PC =++ cos ,AM AB 〈〉= 11．已知椭圆和双曲线有公共焦点，()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，12,F F ,M MP 12F MF ∠，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则MQ MP ⊥,P Q x 1C 1e 2C 2e 下列说法正确的是（ ）A ．221221MF MF b b ⋅=- B ．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为112a bC ．若，则的取值范围为1226F F MF =12e e 33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．若，则的最小值为1260F MF ∠= 221212PF QF MF MF ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1三、填空题（本大题共3小题）12．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则()220y px p =>F ()1,P m 2PF =.p =13．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中1l (),b a 2l (1,2)a -为正数，若，则的最小值为 ．,a b 12l l ⊥32a b +14．已知长方体中，，点为平面内任一点，1111ABCD A B C D -124AB AD AA ===P 11A ADD 且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱P 1A ABCD ,E F ,BC CD 锥的体积的最小值为．1P EFC -四、解答题（本大题共5小题）15．已知双曲线的左右焦点与点构成等边三角形．()22:0C x y m m -=>((1)求双曲线的标准方程；C (2)若直线过定点且与双曲线交于两点，当时，求直线的方l ()0,1C ,P Q PQ =l 程．16．一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆)O 1km 形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴2km B O x 的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．y 1km(1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；45(2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并l B 12y x=l 求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值．P l17．在中，角的对边分别为，已知．ABC V ,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin c b C a b A B -=+-(1)求A ；(2)若，求三角形内切圆半径的取值范围．2a =18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面P ABCD -ABCD PD ⊥为棱上的动点．,4,ABCD PD AB E ==PA (1)若为棱中点，证明：面；E PA PC ∥EBD (2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出PA E B DE A --23的值；若不存在，请说明理由；PEPA (3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．,,E F Q ,,PA PC PD 1EQ FQ ==F EDP -19．已知椭圆的离心率为且过点，过点作椭()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝()4,2P 圆两条切线，切点分别为．C A B △(1)求椭圆的标准方程；C (2)求直线的方程；AB (3)过点作直线交椭圆于两点，其中点在轴上方，直线交直线()4,2P l C ,D E D x l 于点．试证明：恒成立．AB F 0PD FE FD PE ⋅+⋅=答案1．【正确答案】D 【详解】全集，而，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8U ={}1,2,4A =则，又，{}0,3,5,6,7,8U A =ð{}0,3,5,6B =所以．(){}3,5,6,0U A B ⋂=ð故选：D ．2．【正确答案】A【详解】直线是双曲线的一条渐近线，由直线的斜20x y -=()222104x y a a -=>20x y -=率为2，得，所以．22a =1a =故选：A ．3．【正确答案】D【详解】化为10x -=y x =直线的斜率为.0150故选:D.4．【正确答案】A【详解】因为向量， ，，(),1,1a x =()1,,1b y =()2,2,2c =-由，则，解得，a c ⊥2220x -+=0x =由，则，解得，则．//b c 11222y ==-1y =-1x y +=-故选：A ．5．【正确答案】B 【详解】因函数的周期为2，且为奇函数，()f x 故，()()()3333381(log )log 81log 24log 2log 22f f f f =-=-=-.()()()3log 23log 231213f =-=-+=-+=-故选：B ．6．【正确答案】B【详解】设，由，则，故，P (x,y )3PO PA ⋅=()(),2,43x y x y --⋅--=()()243x x y y -+-=得圆，圆心为，半径为.22(1)(2)8x y -+-=()1,2又点与圆心的距离为总可以向以点()5,6()1,2d ==P，故的取值范围()5,6C 0r <<r为．(0,故选：B7．【正确答案】D 【详解】在中，，PAB π,4,3,52APB PA PB AB ∠===∴=，则，222AC BC AB BC AC ==∴+= π2ABC ∠=取的中点分别为，则分别为的外心，且，,AB AC ,D O ,D O ,PAB ABC △△⊥DO AB 平面平面，平面平面平PAB ⊥ABC PAB ⋂,ABC AB DO =⊂面，ABC 平面，因平面，故,DO ∴⊥PAB PD ⊂PAB DO PD ⊥在中，又Rt APB 15,22PD AB ==12DO BC ==在中， Rt PDO △PO ==在中，Rt ABC △12OB AC ==故为三棱锥外接球的球心，外接球的半径O P ABC -R =故外接球的表面积.2354π4π35π4S R ==⨯=故选:D ．8．【正确答案】A【详解】依题意，设，过点的切线，222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c A ()21:4a l y k x a -=-联立得，()22,44,a y k x a x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩22440x kx ka a -+-=令，解得，故得，()22Δ16440k ka a =--=2a k =21:24a a l y x =-同理可得，2223:,:2424b b c c l y x l y x =-=-记交于点交于点交于点，联立､的方程解得，12l l △13,D l l △23,E l l △F 1l 2l (,)24a b abD +同理可得，则．(,(,2424a c ac b c bcE F ++()122D F A C a c x x x x --==-另外直线，化简得：;22244:()4c a a AC y x a c a --=--()1:44ac AC y a c x =+-直线,化简得：．44:(4222ab bcab a b DF y x a b b c -+-=-++-21:24b DF y bx =-如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，则B x AC G ()2221144244G B ab bc ac bac b BG y y a c b b +--⎛⎫=-=+---= ⎪⎝⎭，过点垂直于轴的直线交直线于点，解得E x DF H ，221(22444ab bc ac b a c b acEH b +--+=⨯--=因为，11,22ABC C A DEF F D S BG x x S EH x x =⋅-=⋅- 所以，即切线围成的三角形的面积为12DEF ABC S S == 123l l l △△故选：A.9．【正确答案】ABC 【详解】A 选项：当时，曲线的方程为，即，故曲线为直线，正π2θ=C 20y =0y =C 确．B 选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭221sin cos x y θθ+=cos sin 0θθ>>点在轴上的椭圆，正确．y C 选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭221sin cos x y θθ+=sin0,cos 0θθ><焦点在轴上的双曲线，正确．x D 选项：当时，方程可化为为π4θ=22x y +=半径的圆，D 错误．故选：ABC ．10．【正确答案】BCD【详解】对于A ，在长方体中，共面，1111ABCD A B C D -11,,AB AC A C 则不能构成空间的一个基底，A 错误；11}{,,AB AC A C 对于B ，，而，111333OM OA OB OC =++ 1111333++=则四点共面，从而在平面内，B 正确；,,,M A B C M ABC 对于C ，依题意，，设，23p a b c =++ ()()(,,)p x a b y a b zc x y z =-+++∈R即，则，解得，()()23x y a y x b zc a b c ++-+=++123x y y x z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩13,,322x y z =-==因此向量在基底下的坐标为，C 正确；p {},,a b a b c -+ 13{,,3}22-对于D ，，，23AM PM PA PB PC =-=+ 111122PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=则，AM ====2(23)()2233AM AB PB PC PB PA PB PB PA PC PB PC PA ⋅=+⋅-=-⋅+⋅-⋅ ，11122331222=-⨯+⨯-⨯=，1AB ==== ，D 正确.cos ,||||AM AB AM AB AM AB ⋅〈〉===故选：BCD11．【正确答案】BCD 【详解】对于A ，设，1212122,,,F F c MF m MF n F MF θ===∠=由椭圆和双曲线定义有，122,2m n a m n a +=-=将两式平方得，()()2222221222,22m n mn a m n mn a ++=+-=相加整理得，22221222m n a a +=+又在中，由余弦定理有，12F MF △2222cos (2)m n mn c θ+-=则，即，22212cos 2mn a a c θ=+-2212cos mn b b θ=-则，故A 选项错误；221212cos MF MF mn b b θ⋅==- 对于B ，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知，()00,M x y 另外三个点的坐标为，，()()0000,,,x y x y --()00,x y --以它们为顶点的四边形为矩形，面积，又点在椭圆上，004S x y =()00,M x y 所以满足，则有，220022111x y a b +=2200000011111122111142222x y x y S x y a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫==⨯⋅≤⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时等式成立，故B 选项正确；0011x y a b =对于C ，即，所以，则，1226F F MF =26c n =3cn =11223c m a n a =-=-又，所以，即，2122223c a m n a c =-=-<143a c <134e >又，所以，11e <13,14e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则．112211132221232133e e c ce c a e a e ====---2112133e e e e =-令，则，1193,2,,34t e t e t⎛⎫=-∈=- ⎪⎝⎭22123(3)969336t t t e e t t t t -+-⎛⎫==⨯=⨯+- ⎪⎝⎭函数在上单调递减，所以，故C 选项正确；9y t t =+92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1233,42e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于D ，由为的角平分线，，易知为的外角平分线，MP 12F MF ∠MQ MP ⊥MQ 12F MF △则由角平分线性质定理有即，1122MF PF MF PF =121211212122PF PF PF PF ce MF MF MF MF a +====+由外角平分线性质定理有，即，1122MF QF MF QF =211222112222QF QF QF QF ce MF MF MF MF a -====-求的最小值即求的最小值；221212PF QF MF MF ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212e e +由可得，122,2m n a m n a +=-=1212,m a a n a a =+=-代入即，整理可得，2222cos (2)m n mn c θ+-=222(2)m n mn c +-=2221243c a a =+所以，2221314e e +=则()()22222212121222221221311311441444e e e e e e ee e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时取等号，所以的最小值为D 选项正确；2221e =221212PF QF MF MF ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1+故选：BCD.12．【正确答案】2【分析】由抛物线的焦半径公式可得.【详解】因在抛物线上，所以，故，()1,P m ()220y px p =>122p PF =+=2p =故213．【正确答案】7+【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒可得，即，所以，()120b a a -+=2a b ab +=211b a +=由得取等号.0,0a b >>()1226323277b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭26b a a b =故答案为.7+14．【正确答案】4【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，A 设，∵平面平面，()0,,P y z 11AA D D ⊥ABCD ∴点到面的距离为点到直线的距离P ABCD P AD ∴由抛物线的定义可知：，2114z y =+易知，()()()14,2,0,2,4,0,4,4,2E F C ∴，,()2,2,0EF =- ()10,2,2EC =设是平面的其中一个法向量，则，(),,n x y z =1EFC 1220220EF n x y EC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，得，1z =111x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩平面的法向量为，1EFC ()1,1,1n =-- 又，则到平面的距离()2,4,FP y z =--P 1EFC，2d ≥所以的最小值为d ∵点分别为的中点且，，,E F ,BC CD 4AB AD ==12CC =∴11C F C E EF ====所以三棱锥的体积的最小值：1P EFC -．111114332P EFC EFC V d S -⎛=⨯⨯=⨯⨯= ⎝故4.15．【正确答案】(1)221x y -=(2)或．1,1y y ==+1y =+【详解】（1）由等边三角形可知双曲线焦距为∵，即，∴，∴，∴，221x y m m -=22a b m ==22c m =22m =1m =双曲线的标准方程为：．C 221x y -=（2）显然当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交，l l ∴设直线的方程为，l 1y kx =+联立方程组得，221,1,y kx x y =+⎧⎨-=⎩()221220k x kx ---=，解得，()()222Δ(2)412480k k k=----=-+>(k ∈由韦达定理可知，PQ ===即，()22350k k -=解得或．0k =所以直线的方程为或．l 1,1y y x ==+1y =+16．【正确答案】(1)轮船没有触礁风险，理由见解析．(2)；4380x y --=3km5【详解】（1）由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：O ．221x y +=轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，直线方程为()2,0135 1-，即．()2y x =--20x y +-=原点到轮船航线所在直线的距离为，1d ==>所以，轮船没有触礁风险．（2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，l α12y x=β则，14tan ,tan tan223k βαβ====直线的方程为：，其一般式方程为：．l ()423y x =-4380x y --=易知原点到直线的距离为，l 815d ==>直线与圆相离，l O 圆上动点到直线的距离的最小值为：．P l ()831km 55-=17．【正确答案】(1)π3A =(2)⎛ ⎝【详解】（1）因为，()()()sin sin sin c b C a b A B -=+-由正弦定理得：，整理可得，()()()c b c a b a b -=+-222c b a bc +-=则，2221cos 222c b a bc A bc bc +-===且，故．0πA <<π3A =（2）由余弦定理，即，2222cos a b c bc A =+-224b c bc =+-整理可得．243()bc b c +=+设三角形内切圆半径为，则，r ()11sin 22S a b c r bc A =++=即，()2sin ()4222bc A b c r b c b c b c +-==+-++++由正弦定理可知．2sin a R A ===2π32sin 2sin sin sin sin 32b c R B R C B B B B ⎫⎤⎛⎫+=+=+-=⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭．1π4cos 4sin 26B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为，则，可得，2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(]π4sin 2,46b c B ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭所以．()2r b c ⎛=+-∈ ⎝18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)存在满足条件的点，；E 13PE PA =(3)23【详解】（1）连接交于，则为三角形中位线，易知，AC BD O EO //P C E O 又因为上，面，所以面；EO EDB ⊂平面PC ⊄EBD PC ∥EBD （2）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，D DA x DC y DP z 建立如图所示的空间直角坐标系，可得，()()()()()0,0,0,4,0,0,4,4,0,0,0,4,4,0,4D A B P PA =-由为棱上一点，设，E PA ()4,0,4,01PE PA λλλλ==-≤≤．()()4,0,44,4,4,0DE DP PE DB λλ=+=-=设平面的法向量为，EBD (),,n a b c =由可得0,0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()4440,440,a c a b λλ⎧+-=⎨+=⎩令，则，则．c λ=1a λ=-()1,1,n λλλ=-- 取平面的法向量为，ADE ()0,1,0m =则二面角的平面角满足：B DE A --α，2cos 3m n m n α⋅===⋅化简得：，解得：或（舍去），23210λλ+-=13λ=1λ=-故存在满足条件的点，此时．E 13PE PA =（3）因为，F PED D PEF V V --=可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有：D PEF -PEFS △PEQ 2222cos ,EQ PE PQ PE PQEPQ ∠=+-⋅可得，2210PQ PQ PE ⋅+-=设，则，PQ x =2210x x PE ⋅+-=由题可知：该方程有实根，则，解得()22Δ2410PE PE =--≥PE ≤同理可得PF ≤设点到平面的距离为，则由等体积法得到：，D PEF d DPACP ACD V V --=，解得：11114443232d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯d =当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大，PEF S △D PEF -F PED -最大体积为：．112323V =⋅=19．【正确答案】(1)22142x y +=(2)10x y +-=(3)证明见解析【详解】（1）由题意可得解得22222131,2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩2224,2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，椭圆的方程为．C 22142x y +=（2）设，()()1122,,,A x y B x y 下证：切线的方程为；PA 11142x x y y+=直线的斜率存在，，设直线的方程为：，PA 10y ≠PA ()11y y k x x -=-与联立整理得：，22:142x y C +=()()()2221111124240k x k y kx x y kx ++-+--=由已知得：，()()()22221111Δ16412240k y kx k y kx ⎡⎤=--+--=⎣⎦化简得：．()22211114220x kx y k y -++-=因为，则，即，所以，221124x y +=2221111440y k x y k x ++=()21120+=y k x 112x k y =-所以直线的方程为：，即，则，PA ()11112x y y x x y -=--22111122x x y y x y +=+1142x x y y +=故直线的方程为．PA 11142x x y y+=同理可得直线的方程为，PB 22142x x y y+=由点的坐标为，则，P ()4,2112242421,14242x y x y +=+=则两点都在直线上，()()1122,,,A x y B x y 42142x y+=由于两点确定一条直线，故直线的方程为；AB 10x y +-=（3）设，()()3344,,,D x y E x y 由题意易得直线的斜率存在，故可设为，l ()24y k x -=-联立得，()221,4224,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()()()2222182148810k x k k x k k +--+-+=由韦达定理可得，()()23434224881821,2121k k k k x x x x k k -+-+=⋅=++联立得．()10,24,x y y k x +-=⎧⎨-=-⎩4123,11k k F k k --⎛⎫⎪++⎝⎭要证，即证，0PD FE FD PE ⋅+⋅= PD FE FD PE⋅=⋅ 等价于证明，所以只需证明，PD FDPE FE = 334444F F x x x x x x --=--化简可得，()()34344280F Fx x x x x x ++--=将韦达定理及代入可得：4123,11k k F k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭，()()222488182141414280121211k k k k k k k k k k -+---⎛⎫+⋅-⋅-⋅= ⎪++++⎝⎭化简得，()()()()()()228321881141210k k k k k k k k +---++--+=即，()()32232232168638888184210k k k k k k k k k k k k -+--+--++-+--=上式显然可以判断出是恒成立的．故恒成立．0PD FE FD PE ⋅+⋅=。

邯郸市2009年高三年级第一次模拟考试数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页 第Ⅱ卷3至4页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题60分）注意事项：1 答题前，考生在答题卡上务必用直径0 5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3 本卷共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、 选择题（本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设U =R ,{1}M x x =>,{|15},N x x x =?或则()U M C N ?}51|{≤<⋅x x A }51|{<<⋅x x B }51|{<<-⋅x x C ∅.D2．复数3211i i--的虚部是A ．25-B ．25i - C ．53-D ．35i -3．已知函数()y f x =的图像与函数2log (1)(1)y x x =->的图像关于直线y x =对称，则()f x 的解析式为A.1()2()x f x x R +=∈ B.1()2()x f x x R -=∈C.()21()xf x x R =-∈ D. ()21()xf x x R =+∈4. 若ABCD 为平行四边形，E 是CD 的中点，则BE等于A ．12AD AB + B. 12AD AB - C. 12AB AD + D. 12AB AD -5. 在公差为2的等差数列{}n a 中，124,,a a a 成等比数列，则2a =A . 4B . 6C . 8D . 106. 椭圆上一点P 与椭圆中心及长轴一端点构成等腰直角三角形.则此椭圆的离心率为AB.C.D. 17. 已知定义在R 上的函数()f x 在(],0-∞是减函数，且(2)0f =.又函数(1)f x -关于直线1x =对称，则不等式()0f x x>的解集为 A.(2,0)(0,2)- B .(,2)(0,2)-∞- C.(,2)(2,)-∞-⋃+∞ D. (2,0)(2,)-+∞8. 各顶点都在一个球面上的正三棱锥高为1，侧棱与底面所成的角为arccos3则这个球的表面积是A 9πB 12πC 36πD 48π 9. 若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = A ．97-B ．31-C ．31D ．9710.已知x 和y 是正整数，且满足约束条件10,2,27.x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则z=2x+3y 的最大值是A . 27 B. 26 C. 24 D. 26.511.A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同 A ∠的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成三角形的个数是A. 120B. 90C. 100D. 6012. 在一个局部环境中，人口数量P 随时间t 的增长通常遵循逻辑斯谛（Logistic ）增长曲线，如图所示，由该图可以得出如下判断：①在0[0,]t 内，人口增长越来越快，在0[,)t +∞上人口增长越来越慢；②在0[0,]t 内，人口增长越来越慢，在0[,)t +∞上人口增长越来越快； ③在0t t =时，人口增长最快，随着时间的推移，人口数量将趋于平稳值L ； ④在0t t =时，人口增长最慢，随着时间的推移，人口数量将趋于平稳值L . 上述判断正确的是A . ①③ B. ①④ C. ②③ D.②④第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 函数lg(53)y x =-的定义域为 ; 14．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为49,常数a 的值为________;15．已知点1(F 、2F ，动点P 满足21||||2PF PF -=. 当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是 ;16. 两个边长分别为,()a b a b <的全等矩形ABCD 和ABEF 依等边AB 拼接为060的二面角，设AC 中点为1O ，DE 中点为2O ，BF 中点为3O ，则三角形123O O O 的面积为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数22()sin 2sin cos 3cos 1f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调减区间.18．（本小题满分12分）一个盒子装有3个白球，3个黑球，（I ）现从盒子中任取两个小球，求两球颜色相同的概率；(II)现从盒子中逐一摸取小球，且每次取出后均不放回，若取到黑球则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ， AB ＝AD ＝1，BC ＝2，又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝1，点E 在棱PD 上，且DE ＝2PE ． （Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角的大小；（Ⅱ）求证：BE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A －PD －B 的大小．ED C B A P20．（本小题满分12分）已知a ∈R ，试讨论函数f (x )=e x (x 2+ax +a +1)的极值点的个数.21．（本小题满分12分）设P 为双曲线2222:1(,0)x y G a b a b-=>上任意一点，12,F F 为双曲线的左右焦点，若12PF PF 的最小值为1-. (Ⅰ)求双曲线G 的方程；(Ⅱ)过双曲线G 的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，过B 作右准线的垂线，垂足为C .求证：直线AC 恒过定点.22．（本小题满分12分）在直角坐标系中，有一点列),(111b a P ，),(222b a P ，…，),(n n n b a P ，…对每一个正整数n ，点n P 在给定的函数x y 2log 3=的图像上.若112a =,点n P (2n ≥)和点)0,1(-n 与点)0,(n 构成一个以n P 为顶点的等腰三角形. (Ⅰ)求点n P 的纵坐标n b 的表达式；(Ⅱ)记n bn c 3=，+∈N n .1223222n nc c c +++< 证明：;(Ⅲ)若存在正数k ，使得12111(1)(1)(1)nc c c +++ ≥12+n k 对一切+∈N n 均成立,求出k 的最大值.邯郸市09年高三模拟考试数学参考答案及评分标准（理工类）一、选择题1B 2C 3D 4B 5A 6C 7D 8A 9A 10B 11B 12 A二、填空题13、51,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭14、4 ；152或2 三、解答题 17．（10分） 解：（I）1cos 23(1cos 2)()sin 211)224x x f x x x π-+=+++=++ ∴当2242x k πππ+=+,即()8x k k Z ππ=+∈时, ()f x取得最大值1+函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{,()}8x x x k k ππ∈=+∈R Z …………5分(II)()1)4f x x π=++由题意得: 3222()242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈即 5()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈又由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因此函数()f x 的单调减区间为[,]82ππ.……10分 18.（12分）解：（I ）232622().5C P A C == ………………4分(II)ξ可取1，2，3，4.103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； …………8分 故ξ……………………………………………………………10分 .47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分19.解：（Ⅰ）取BC 中点F ，连结AF ，则CF ＝AD ，且CF ∥AD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∴AF ∥CD ，∴∠PAF （或其补角）为异面直线PA 与CD 所成的角 ……………………… 2分 ∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥BA ，PB ⊥BF ． ∵PB ＝AB ＝BF ＝1，∴AB ⊥BC ，∴PA ＝PF ＝AF ∴△PAF 是正三角形，∠PAF ＝60°ECBPFH即异面直线PA 与CD 所成的角等于60°．………4分（Ⅱ）在Rt △PBD 中，PB ＝1，BDPD∵DE ＝2PE ，∴PE ＝ 33则PE PB PB PD ==PBE ∽△PDB ，∴BE ⊥PD ． …………………… 5分由（Ⅰ）知，CF ＝BF ＝DF ，∴∠CDB ＝90°． ∴CD ⊥BD ．又PB ⊥平面PBD ，∴PB ⊥CD ． ∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥BE …………………………7分 ∴BE ⊥平面PCD ． ………………………………………8分 （Ⅲ）连结AF ，交BD 于点O ，则AO ⊥BD ．∵PB ⊥平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABD ，∴AO ⊥平面PBD ． 过点O 作OH ⊥PD 于点H ，连结AH ，则AH ⊥PD ．∴∠AHO 为二面角A －PD －B 的平面角． ………………………………… 10分 在Rt △ABD 中，AO ＝ 22 ． 在Rt △PAD中，AH＝3PA AD PD ⋅==． 在Rt △AOH 中，sin ∠AHO＝AO AH ==．∴∠AHO ＝60°． 即二面角A －PD －B 的大小为60°………………………………………12分 20.（12分）解：22()(1)(2)[(2)21],x x x f x e x ax a e x a e x a x a '=+++++=++++……2分令'()f x =0，得 2(2)210.x a x a ++++=（1）当22(2)4(21)4(4)0.a a a a a a ∆=+-+=-=->即a <0或a >4时2(2)210x a x a ++++=有两个不同的实根1x ，2x ，不妨设1x <2x 于是12()()()x f x e x x x x '=--，从而有下表即此时)(x f 有两个极值点. ………6分（2）当△=0即a =0或a =4时，方程2(2)210x a x a ++++=有两个相同的实根12x x =于是21()()x f x e x x '=-………8分故当x <1x 时'()f x >0，当x >1x 时'()f x >0，因此()f x 无极值………10分 （3）当△<0即0<a <4时2(2)210x a x a ++++>2()[(2)21]0x f x e x a x a '=++++>，故()f x 为增函数，此时)(x f 无极值.综上，当)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点 ……… 12分21.解：（Ⅰ）设： 12(,0),(,0)F c F c -，(,)P x y ，则2222122c PF PF x c b a=-- ，因为22x a ≥，所以12PF PF的最小值为2b -，21b ∴=，又c a =23a ∴=，故双曲线G 的方程为2213x y -=. -----------------4分 （Ⅱ）由2213x y -=可知2(2,0)F ，相应准线为32x =，设过2(2,0)F 的直线为2x my =+， 代入2213x y -=中，消去x 可得，22(3)410m y my -++=――――① 由题意知230m -≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是方程①的两个根，由韦达定理，得12243m y y m -+=-，12213y y m =-将两式相除，得12114m y y +=-12141y y my ⇒=-+ 因23(,)2C y ，故直线AC 的斜率为1121111114413341222AC y y y y y my k my x my ---+===+--- ―――――――――――8分所以，直线AC 的方程为11114()41y y y x x my -=-+，将112x my =+代入方程中，整理可得1147()414y y x my =-+，所以直线AC 恒过定点7(,0)4. ―――――――12分22. 解：（Ⅰ）由112a =得 10b =.当2n ≥时，因为),(n n n b a P ,)0,1(-n ,)0,(n 构成以n P 为顶点的等腰三角形,所以 2122)1(-=+-=n n n a n又因为),(n n n b a P 在函数x y 2log 3=的图像上，所以)12(log 3-=n b n .(2n ≥)又点1P 的坐标满足前式，所以)12(log 3-=n b n ，()n N *∈ （Ⅱ）因为n bn c 3=，+∈N n ,所以12-=n c n设n D =nn c c c 222221+++ ,则n D =n n 21223212-+++ .① 所以143221223225232121+-+-++++=n n n n n D ② 由①和②得:1122122121212121+---++++=n n n n D .所以nn n n D 2122121112--++++=- nn n 212211)21(111----+=-n n n 2122132---=-<3…………………8分（Ⅲ）由已知得)(121223412n g n n n k =--⨯⨯⨯≤ 对一切+∈N n 均成立.所以1223412123212221223412)()1(-⨯⨯⨯+⨯+++⨯-⨯⨯⨯=+n n n n n n n n n g n g 384222+++=n n n=>1所以)(n g 单调递增.最小值为33232)1(==g .又因为)(n g k ≤对一切+∈N n 均成立.所以332≤k .332max =k ……………… 12分。

2009-2010学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知复数z 满足()()25,i z i -=是虚数单位则z = ▲2．若436x x C A =，则x = ▲3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ▲ ． 4．求函数ln ()x f x x =的图象在1ex =处的切线方程 ▲ ．5． 已知2nx⎛ ⎝的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2i =－1，则展开式中常数项是 ▲ ． 6． 已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax 2+2bx+c=0，bx 2+2cx+a=0，cx 2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根，应假设 ▲ ．7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ▲ ．8．已知*111()1()2321n f n n N =++++∈-,用数学归纳法证明不等式()2n f n >时，(1)()f k f k +比增加 ▲ 项．9．设椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 ▲ ．10．虚数（x －2）+ y i 其中x 、y 均为实数，当此虚数的模为1时，xy的取值范围是 ▲ ． 11．8张椅子排成一排,有4个人就座,每人1个座位,恰有3个连续空位的坐法共有 ▲ 种． 12．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =时函数()f x 的极值为712-，则(2)f = ▲ ． 13．在平面直角坐标平面内, “对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM PN ⋅必为定值k ”，类比以上结论，对于双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）上任意一点P ,写出一类似的命题 ▲14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求实数m 取何值时，（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数；（3）Z 对应的点位于复平面的第一象限.16. (1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花． ①问共有多少种不同的摆放方案?②求恰有两个区域用红色鲜花的不同的摆放方案数？.17．已知：（1）当5=n 时，求543210a a a a a a +++++的值。

2009九年级数学调研试卷（邯郸一中）一、选择题（每小题5分，共35分）1、下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是（ ）2、命题：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③对角线相等的四边形是矩形；④如果顺次连接梯形四条边中点所得的图形是菱形，那么这个梯形是等腰梯形．其中真命题的个数是（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 3、函数()31y x x x =-+中，自变量x 的取值范围是（ ）A 、0x ≥B 、1x ≥C 、1x ≥或0x =D 、01x ≤≤4、如图，60ACB ∠=︒，半径为4的O 切BC 于点C ，若将O 在CB 上向右滚动，则当滚动到O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ） A 、4π B 、8π C 、43 D 、85、如图，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 是边CD 的中点，若AB =AD +BC ，52BE =，则梯形ABCD 的面积为（ ） A 、254 B 、252 C 、258D 、256、如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A 、1925 B 、1025 C 、625 D 、5257、设a 、b 、c 分别是△ABC 的三条边的长，且a a bb a b c+=++，则它的内角A ∠、B ∠的关系是（ ）A 、2B A ∠>∠ B 、2B A ∠=∠C 、2B A ∠<∠D 、不确定二、填空题（每小题5分，共35分）8、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=一根为0，则a = ．9、若关于x 的分式方程3177ax x -=++在实数范围内无解，则实数a = ． 10、如图，△ABC 中，AB =AC =8，D 、E 、F 为BC 、AB 、AC 上的点，DE =DB ，DF =DC ，BE +CF =6，则BC = ．11、实数a 、b 、c 满足2823a c +=-，2617b a +=-，2214c b +=，则a b c ++= ． 12、如图，O 的圆心在梯形ABCD 的底边AB 上，并与其它三边均相切，若AB =10，AD =6，则BC 的长为 ．13、已知方程()2330x a x +-+=在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 ．14、已知m 、n 是实数，且223m mn n ++=，设22t m mn n =-+，则t 的取值范围为 ．三、解答题（共8题，共80分）15、（6分）正数x 、y ，若()()()()222222315x y y x y x x y xy --+-=+-． 求3x y x y-+的值．16、（6分）若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，…．规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1．一般地，先写一行1，再在第k 个1与第k +1个1之间插入k 个2（k =1，2，3，…）． 试问：（1）第2009个数是1还是2？ （2）前2009个数的和是多少？（3）前2009个数两两乘积的和是多少？17、（8分）解方程116x x x +-++=．18、（10分）若m 是不小于1-的实数，关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ． （1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．19、（10分）已知如图，矩形OABC 的长3OA =，宽1OC =，将△AOC 沿AC 翻折得△APC ．（1）填空：PCB ∠= ，P 点坐标为 ； （2）若P 、A 两点在抛物线243y x bx c =-++上，求b 、c 的值，并说明点C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C 、P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由．20、（10分）若三个完全平方数之和能被9整除，那么试证明可以从这三个数中选出两个来，使得这两个完全平方数之差也能被9整除． 21、（14分）（1999年福州中考）如图，已知O 和'O 相交于A 、B 两点，过点A 作'O 的切线交O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交O 、'O 于E 、F ，EF 与AC 相交于点P ．（1）求证：PA PE PC PF ⋅=⋅；（2）求证：22PE PFPC PB=； （3）当O 与'O 为等圆时，且::3:4:5PC CE EP =时，求△PEC 与△F AP 的面积的比值．22、（16分）整数0a 、1a 、2a 、3a 、…、2008a 、2009a 满足条件：00a =，101a a =+，211a a =+，321a a =+，…，200920081a a =+．求：012320082009...a a a a a a ++++++的最小值．。

河北高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.设复数其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为（）A．-B．-i C．-D．-i3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．B．C．D．4.在平面直角坐标系中，向量＝(1,2)，＝(2,m)，若O,A,B三点能构成三角形，则（）A．B．C．D．5.已知函数（）图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（）A．6B．8C．10D．127.已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．B．C．3D．28.已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（）A．[3，5]B．[﹣1，1]C．[﹣1，3]D．9.已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．11.是定义在（0，＋）上单调函数，且对，都有，则方程的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e）D．（e，3）12.设平面向量、满足||=2、||=1，，点P满足，则点P所表示的轨迹长度为（）A．B．C．D．二、填空题1.若，则____________.2.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）.3.已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是 .4.已知数列满足，其前n项和 .三、解答题1.在△中，内角、、所对应的边分别为、、，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）在区间上的值域.2.连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第次得到的点数为，若存在正整数，使，则称为你的幸福数字.（1）求你的幸运数字为的概率；（2）若，则你的得分为5分；若，则你的得分为3分；若，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸福数字则记分，求得分X的分布列和数学期望.3.如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M 在侧棱上．（1）求证：BC ⊥平面BDP ；（2）若侧棱PC 与底面ABCD 所成角的正切值为，点M 为侧棱PC 的中点，求异面直线BM 与PA 所成角的余弦值．4.已知椭圆M ：+=1（a ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值．5.已知函数，．（Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值的集合； （Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．6.选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，△ADC 的外接圆交BC 于点E ，AB=2AC ．（Ⅰ）求证：BE=2AD ；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD 的长．7.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=，曲线C 的参数方程为．（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 平行于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA|•|MB|=，求点M 轨迹的直角坐标方程．8.选修4-5：不等式选讲已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2． （1）解不等式|g （x ）|＜5；（2）若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．河北高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，所以，故选D．【考点】集合的运算．2.设复数其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为（）A．-B．-i C．-D．-i【答案】C【解析】由题意得，则，所以，所以复数的虚部为，故选C．【考点】复数的运算与复数的概念．3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B．【考点】函数奇偶性的判定．4.在平面直角坐标系中，向量＝(1,2)，＝(2,m)，若O,A,B三点能构成三角形，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，三点能构成三角形，则向量不共线，所以，故选B．【考点】向量的共线的应用．5.已知函数（）图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的图象过点，所以，即，又因为，所以，所以函数的解析式为，令，解得，当，所以函数的一个对称中心为，故选C．【考点】三角函数的图象与性质．6.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：；；不满足条件；不满足条件；不满足条件；不满足条件，此时满足条件，推出循环，输出的值为，故选C．【考点】程序框图．7.已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．B．C．3D．2【答案】A【解析】因为三棱锥中，，且，所以三棱锥的外接球即为以为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为，所以正方体的对角线长为，所以球心到平面的距离为，所以点到平面的距离的最大值为，故选A．【考点】球的性质及组合体的应用．8.已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（）A．[3，5]B．[﹣1，1]C．[﹣1，3]D．【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域，如图所示，因为函数的图象是过点，斜率为的直线，由图可知，当直线过点时，取得最大值，当直线过点时，取得最大值，所以实数的取值范围是，故选D．【考点】简单的线性规划．【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划求最值、二元一次不等式组表示的平面区域，解答此类问题的关键在于正确作出约束条件所表示的可行域，把目标函数化为斜截式或根据目标函数的意义，确定目标函数的最优解，利用方程组求解最优解的坐标，代入目标函数是解答问题的关键，着重考查了学生数形结合思想的应用，属于基础题．9.已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得，当直线的倾斜角为时，直线的斜率是不存在的；当直线的斜率时，即，此时直线的倾斜角，所以应为必要不充分条件，故选B．【考点】充要条件的判定．10.已知双曲线与椭圆的焦点重合，它们的离心率之和为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点为，离心率为，所以双曲线的离心率为，设双曲线中，可得，可得，所以双曲线的渐近线的方程为，故选A．【考点】双曲线的几何性质．11.是定义在（0，＋）上单调函数，且对，都有，则方程的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e）D．（e，3）【答案】C【解析】因为是定义在上的单调函数，且对于，都有，设，则，即，令，则，则，即，函数的导数为，又由于，得，即，设，则，所以函数在上存在一个零点，即方程的实数解所在的区间是，故选C．【考点】函数的单调性与导数的关系；函数与方程的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系、函数与方程的综合应用，其中根据函数的单调性的性质，利用换元法求出函数的解析式是解答本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想和换元思想的应用．12.设平面向量、满足||=2、||=1，，点P满足，则点P所表示的轨迹长度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，所以，分别以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，则，，设，则，所以，所以，所以点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆在第一象限的部分，点所表示的轨迹长度为，故选D．【考点】向量的线性运算与向量的几何意义．【方法点晴】本题主要考查了向量的线性运算与向量的几何意义，通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的的方法，求出平面上的点到的坐标，根据点的坐标求出向量的坐标，以及向量的坐标数乘运算，圆的标准方程，圆的周长公式等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题1.若，则____________.【答案】【解析】设，则，且，所以．【考点】三角函数的化简求值．2.在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）.【答案】【解析】由题意得，可采用间接法：从男女组成的中，选出人，共有种不同的选法；其中人中全是男生只有一种选法，故共有种选法．【考点】排列、组合的应用．3.已知点及抛物线x2=﹣4y上一动点P（x，y），则|y|+|PQ|的最小值是 .【答案】【解析】抛物线的准线是，交点，设到准线的距离为，则(当且仅当共线时取等号)，所以最小值为．【考点】抛物线的标准方程及其简单几何性质．【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质、不等式的性质等基础知识的应用，着重考查了数形结合思想和转化与化归思想的应用，其中解答中合理、灵活的应用抛物线的定义是解答问题的关键，本题的解答中，根据抛物线的定义得出，当且仅当共线时取等号是解答的关键，属于中档试题．4.已知数列满足，其前n项和 .【答案】【解析】由已知，，则，两式相减得：，整理得．【考点】数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式、乘公比错位相减法求数列的和，解答中根据题设条件，数列的通项公式为是有一个等差数列和一个等比数列的项相乘组成的，宜用用乘公比错位相减法求和求解数列的和，是一道典型的数列求和问题，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题1.在△中，内角、、所对应的边分别为、、，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）在区间上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据三角形的余弦定理求出，即可求解角的值；（Ⅱ）求出的解析式，并将函数化简，结合的范围，求出的值域即可．试题解析：（Ⅰ）由，得∴，∴在中，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴∵，∴，∴，∴∴函数的值域为【考点】三角函数的恒等变换；三角函数的性质．2.连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第次得到的点数为，若存在正整数，使，则称为你的幸福数字.（1）求你的幸运数字为的概率；（2）若，则你的得分为5分；若，则你的得分为3分；若，则你的得分为1分；若抛掷三次还没找到你的幸福数字则记分，求得分X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）设“连续抛掷次骰子的和为”为事件，则包含事件，其中：三次恰好均为；：三次恰好各一次；：三次中有两次均为，一次为，由此利用互斥事件概率加法公式求出幸运数字为的概率；（2）由已知得的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．试题解析：（1）设连续抛掷3次骰子，和为6为事件A,则它包含事件A1,A2,A3，其中A1:三次恰好均为2,1种情况；A2:一次为1，一次为2，一次为3，有10种情况；A3两次为1，一次为4，有3种情况．共有10种情况．概率为（2）由已知X的可能取值为5，3，1，0的分布列为：．【考点】离散型随机变量的分布列及数学期望；互斥事件的概率的计算．3.如图，已知四棱锥的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明，即可证明平面；（2）取中单为，并连结，则即异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，即求出一年直线与所成角的余弦值．试题解析：（1）证明：由已知可算得，∴BD2+BC2=16=DC2，故BD⊥BC，又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PD⊥BC，又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，即，∴，即，又，，则在△PAN中，，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为．【考点】直线与平面垂直的判定与证明；异面直线所成的角．4.已知椭圆M：+=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）由焦点坐标可求的值，根据的平方关系可得的值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得；（Ⅲ）当直线的斜率不存在时，可得；当直线的斜率存在（显然）时，设直线方程与椭圆的方程联立，根据韦达定理，得出，把可转化为关于的式子，进而变为关于的表达式，再利用基本不等式，即可求得最大值．试题解析：（Ⅰ）因为F （﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b 2=3， 所以a 2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y ，得到7x 2+8x ﹣8=0， 所以△=288，x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，所以|CD|=|x 1﹣x 2|=×=； （Ⅲ）当直线l 无斜率时，直线方程为x=﹣1， 此时D （﹣1，），C （﹣1，﹣），△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1﹣S 2|=0，当直线l 斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k （x+1）（k≠0）， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 和椭圆方程联立得到，消掉y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，此时|S 1﹣S 2|=2||y 1|﹣|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k （x 2+1）+k （x 1+1）|=2|k （x 2+x 1）+2k|，（k=时等号成立）所以|S 1﹣S 2|的最大值为．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆位置的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解、直线与圆锥曲线位置关系的应用，着重考查了学生综合运用所学知识分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中当直线的斜率存在时，设出直线方程与椭圆的方程联立，根据韦达定理，得出，把可转化为关于的式子，进而变为关于的表达式是解答本题的关键．5.已知函数，．（Ⅰ）求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值的集合；（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅱ）函数在区间上为增函数．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，求解，即可求解过点处的切线方程；（Ⅱ）对任意，不等式恒成立，得出函数必在处取得极小值，即，进而得到，利用导数得到函数的单调性，即可求解集合；（Ⅲ）求出，令，为区间上的增函数，利用导数求出函数的最小值大于零，即可判定处函数在区间上为增函数．试题解析：（Ⅰ）∵，∴，又∵，∴函数在点的切线方程为，即； （Ⅱ）由及题设可知，对任意，不等式恒成立，∴函数必在处取得极小值，即，∵，∴，即， 当时，，∴，；，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，则∴对任意,不等式恒成立，符合题意，即，∴；（Ⅲ）由（Ⅱ），∴函数，其定义域为，求得，令，为区间上的增函数，设为函数的零点，即，则，∵当时，；当时，，∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，∴，所以函数在区间上为增函数．【考点】利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性、极值与最值；函数的恒成立与有解问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性、极值与最值；同时考查了函数的恒成立与有解问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，转化与化归思想的应用，试题有对应的难度，属于难题和常考试题，解答中注意导数在函数中的灵活、合理运用，平时注意总结和积累．6.选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）连结，证明，利用，结合角的平分线，即可证明；（Ⅱ）根据割线定理得，从而可求的长．试题解析：（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…5分（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．【考点】与圆有关的比例线段．7.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．1【答案】（1）；（2）点的轨迹是椭圆夹在平行直线之间的两段弧．【解析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线的普通方程，消去参数可得曲线的直角坐标方程；（2）设点以及平行于直线的直线参数方程，直线与曲线联立方程组，通过，即可求点的轨迹的直角坐标方程，通过两个交点推出轨迹方程的范围．试题解析：（1）直线l 的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l ：y=x ； 曲线C 的参数方程为．消去参数θ，可得曲线 （2）设点M （x 0，y 0）及过点M 的直线为由直线l 1与曲线C 相交可得：，即：，x 2+2y 2=6表示一椭圆取y=x+m 代入得：3x 2+4mx+2m 2﹣2=0 由△≥0得故点M 的轨迹是椭圆x 2+2y 2=6夹在平行直线之间的两段弧 【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程与普通方程的互化；直线与圆锥曲线的综合问题．8.选修4-5：不等式选讲已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2．（1）解不等式|g （x ）|＜5；（2）若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）利用，转化为，然后求解不等式即可；（2）利用条件说明，通过函数的最值，列出不等式求解即可．试题解析：（1）由||x ﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x ﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x ﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x ＜4（2）因为任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f （x 1）=g （x 2）成立，所以{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，又f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|≥|（2x ﹣a ）﹣（2x+3）|=|a+3|，g （x ）=|x ﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a 的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．【考点】绝对值不等式的解答；函数的恒成立问题．。