高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第十五章 推理与证明
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第一章集合与常用逻辑用语考点1 集合1.(2016·新课标全国Ⅰ,1)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( )A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}解析由A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},得A∩B={3,5},故选B.答案 B2.(2016·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=( )A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}解析由x2<9解得-3<x<3,∴B={x|-3<x<3},又因为A={1,2,3},所以A∩B={1,2},故选D.答案 D3.(2016·新课标全国Ⅲ,1)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁A B=( )A.{4,8}B.{0,2, 6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}解析A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},∴∁AB={0,2,6,10}.答案 C4.(2016·,1)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=( )A.{x|2<x<5}B.{x|x<4或x>5}C.{x|2<x<3}D.{x|x<2或x>5}解析A∩B={x|2<x<4}∩{x|x<3或x>5}={x|2<x<3}.答案 C5.(2016·某某,2)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.3解析∵A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则A∩Z={1,2,3,4,5}.答案 B6.(2016·某某,1)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}解析∵A∪B={1,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,6},故选A.答案 A7.(2016·某某,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}解析∵∁U P={2,4,6},∴(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.答案 C8.(2015·新课标全国Ⅰ,1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )A.5 B.4 C.3 D.2解析A={…,5,8,11,14,17,…},B={6,8,10,12,14},集合A∩B中有两个元素.答案 D9.(2015·某某,1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N= ( )A.[0,1] B.(0,1]C.[0,1) D.(-∞,1]解析由题意得M={0,1},N=(0,1],故M∪N=[0,1],故选A.答案 A10.(2015·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=( )A.(-1,3) B.(-1,0)C.(0,2) D.(2,3)解析由A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},得A∪B={x|-1<x<2}∪{x|0<x<3}={x|-1<x<3}.故选A.答案 A11.(2015·,1)若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=( )A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3}解析由题意,得A∩B={x|-5<x<2}∩{x|-3<x<3}={x|-3<x<2}.答案 A12.(2015·某某,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁UB=( )A.{3} B.{2,5}C.{1,4,6} D.{2,3,5}解析由题意知,∁U B={2,5},则A∩∁U B={2,3,5}∩{2,5}={2,5}.选B.答案 B13.(2015·某某,1)已知集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B=( )A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3}解析A∩B={1,2,3}∩{1,3}={1,3}.答案 C14.(2015·某某,1)已知集合A={x|2<x<4},B={x|(x-1)(x-3)<0},则A∩B=( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)解析∵A={x|2<x<4},B={x|(x-1)(x-3)<0}={x|1<x<3},∴A∩B={x|2<x<3}=(2,3).答案 C15.(2015·某某,1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=( )A.{0,-1} B.{1}C.{0} D.{-1,1}解析 M ∩N ={-1,1}∩{-2,1,0}={1}. 答案 B16.(2015·某某,2)若集合M ={x |-2≤x <2},N ={0,1,2},则M ∩N 等于( ) A .{0} B .{1} C .{0,1,2}D .{0,1}解析 M ={x |-2≤x <2},N ={0,1,2},则M ∩N ={0,1},故选D. 答案 D17.(2015·某某,2)设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},则A ∩(∁U B )=( ) A .{1,2,5,6} B .{1} C .{2}D .{1,2,3,4}解析 ∵∁U B ={1,5,6},∴A∩(∁U B)={1,2}∩{1,5,6}={1},故选B. 答案B18.(2015·某某,1)已知集合P ={x |x 2-2x ≥3},Q ={x |2<x <4},则P ∩Q =( ) A .[3,4) B .(2,3] C .(-1,2)D .(-1,3]解析 P ={x |x ≥3或x ≤-1},Q ={x |2<x <4}.∴P ∩Q ={x |3≤x <4}.故选A. 答案 A19.(2015·某某,10)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤1,x ,y ∈Z },B ={(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊕B ={(1x +2x ,1y +2y )|(1x ,1y )∈A ,(2x 2y )∈B },则A ⊕B 中元素的个数为( )A .77B .49C .45D .30解析 如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”+所有圆点“”,集合A ⊕B 显然是集合{(x ,y )||x |≤3,|y |≤3,x ,y ∈Z }中除去四个点 {(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A ⊕B 表示如图所示的所有圆点“”+所有“”圆点+所有圆点“”,共45个. 故A ⊕B 中元素的个数为45.故选C.答案 C20.(2014·新课标全国Ⅰ,1)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=( )A.(-2,1) B.(-1,1)C.(1,3) D.(-2,3)解析借助数轴可得M∩N=(-1,1),选B.答案 B21.(2014·某某,2)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=( )A.{x|x>2} B.{x|x>1}C.{x|2<x<3} D.{x|1<x<3}解析由已知直接得,A∩B={x|x>2}∩{x|1<x<3}={x|2<x<3},选C.答案 C22.(2014·某某,1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁U A=( ) A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}C.{2,4,7} D.{2,5,7}解析由题意知∁UA={2,4,7},选C.答案 C23.(2014·某某,1)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于( )A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4}C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3}解析因为P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},所以P∩Q={x|3≤x<4},故选A.答案 A24.(2014·某某,2)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=( ) A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)解析由题意得集合A=(0,2),集合B=[1,4],所以A∩B=[1,2).答案 C25.(2014·某某,1)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B为整数集,则A∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1}C.{-2,-1,0,1} D.{-1,0,1,2}解析由二次函数y=(x+1)(x-2)的图象可以得到不等式(x+1)(x-2)≤0的解集A=[-1,2],属于A的整数只有-1,0,1,2,所以A∩B={-1,0,1,2},故选D.答案 D26.(2014·某某,1)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=( )A.(-∞,5] B.[2,+∞)C.(2,5) D.[2,5]解析S={x|x≥2},T={x|x≤5},∴S∩T=[2,5].答案 D27.(2015·某某,11)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=________.解析∁U B={2},∴A∪(∁U B)={1,3}∪{2}={1,2,3}.答案 {1,2,3}28.(2014·某某,11)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=________. 解析A∩B={3,5,13}.答案 {3,5,13}考点2 命题及其关系、充要条件1.(2016·某某,6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.解析若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.答案 A2.(2016·某某,5)设p :实数x ,y 满足x >1且y >1,q :实数x ,y 满足x +y >2,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.解析 当11x y >>,时,+2x y >一定成立,即p q ⇒; 当+2x y >时,可以=-1=4x y ,,即q p ⇒, 故p 是q 的充分不必要条件. 答案 A3.(2016·某某,6)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.解析 由题意知f (x )=x 2+bx =22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b x -b 24,f (x )min =-b 24,令t =x 2+bx ≥-b 24,则f (f (x ))=f (t )=t 2+bt =22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b t -b 24,当b <0时,f (f (x ))的最小值为-b 24,所以“b <0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”;当b =0时,f (f (x ))=x 4的最小值为0,f (x )的最小值也为0,所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b <0”,选A. 答案 A4.(2015·某某,5)若m ∈R, 命题“若m >0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是( )A .若方程x 2+x -m =0有实根,则m >0B .若方程x 2+x -m =0有实根,则m ≤0 C .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m >0 D .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m≤04.解析 原命题为“若p ,则q”,则其逆否命题为“若綈q ,则綈p”. ∴所求命题为“若方程x2+x -m =0没有实根,则m≤0”. 答案 D5.(2015·某某,4)设x ∈R ,则“1<x <2”是“|x -2|<1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.解析由|x -2|<1得1<x <3,所以1<x <2⇒1<x <3;但1<x <31<x <2,故选A.答案 A .6.(2015·某某,2)“x =1”是“x 2-2x +1=0”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件6.解析 解x 2-2x +1=0得x =1,所以“x =1”是“x 2-2x +1=0”的充要条件. 答案 A7.(2015·某某,12)“对任意x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,k sin x cos x <x ”是“k <1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件7.解析 ∀x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π,ksin xcos x <x ⇔∀x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,k <2x sin 2x , 令f(x)=2x -sin 2x.∴f′(x)=2-2cos 2x >0, ∴f(x)在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π为增函数,∴f(x)>f(0)=0. ∴2x >sin 2x ,∴2xsin 2x>1,∴k≤1,故选B.答案 B8.(2015·某某,3)设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q成立的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.解析∵x<3-1<x<3,但-1<x<3⇒x<3,∴p是q的必要不充分条件,故选C.答案 C9.(2015·某某,6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.解析∵sin α=cos α⇒cos 2α=cos2α-sin2α=0;cos 2α=0⇔cosα=±sinαsinα=cosα,故选A.答案 A10.(2015·某某,3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.解析由x>1知,x3>1;由x3>1可推出x>1.故选C.答案 C11.(2015·某某,3)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.解析当a=3,b=-1时,a+b>0,但ab<0,故充分性不成立;当a=-1,b=-2时,ab>0,而a+b<0.故必要性不成立.故选D.答案 D12.(2014·某某,8)原命题为“若a n+a n+12<a n,n∈N+,则{a n}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,真,真B.假,假,真C .真,真,假D .假,假,假12.解析 从原命题的真假入手,由于a n +a n +12<a n ⇔a n +1<a n ⇔{a n }为递减数列,即原命题和逆命题均为真命题,又原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题,选A. 答案 A13.(2014·新课标全国Ⅱ,3)函数f (x )在x =x 0处导数存在.若p :f ′(0x )=0;q :x =0x 是f (x )的极值点,则( ) A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件13.解析 设f (x )=x 3,f ′(0)=0,但是f (x )是单调增函数,在x =0处不存在极值, 故若p 则q 是一个假命题,由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题.故选C. 答案 C14.(2014·,5)设a ,b 是实数,则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件14.解析 可采用特殊值法进行判断,令a =1,b =-1,满足a >b ,但不满足a 2>b 2, 即条件“a >b ”不能推出结论“a 2>b 2”;再令a =-1,b =0,满足a 2>b 2,但不满足a >b , 即结论“a 2>b 2”不能推出条件“a >b ”.故选D. 答案 D15.(2014·某某,7)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a≤b”是 “sin A≤sin B”的( ) A .充分必要条件 B .充分非必要条件 C .必要非充分条件D .非充分非必要条件15.解析 由正弦定理,得a sin A =b sin B,故a≤b ⇔sin A≤sin B ,选A. 答案 A16.(2015·某某,15)已知函数f (x )=2x ,g (x )=x 2+ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1,x 2,设 m =()()2121x x x f x f --,n =()()2121x x x g x g --, 现有如下命题:①对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有m >0;②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ,2x ,都有n >0;③对于任意的a ,存在不相等的实数1x ,2x ,使得m =n ;④对于任意的a ,存在不相等的实数1x ,2x ,使得m =-n .其中真命题有________(写出所有真命题的序号).16.解析 设A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2)),C (x 1,g (x 1)),D (x 2,g (x 2)),对于①:从y =2x 的图象可看出,m =k AB >0恒成立,故正确;对于②:直线CD 的斜率可为负,即n <0,故不正确;对于③:由m =n 得f (x 1)-f (x 2)=g (x 1)-g (x 2),即f (x 1)-g (x 1)=f (x 2)-g (x 2),令h (x )=f (x )-g (x )=2x -x 2-ax ,则h ′(x )=2x ·ln 2-2x -a ,由h ′(x )=0,∴2x ·ln 2=2x +a ,(*)结合图象知,当a 很小时,方程(*)无解,∴函数h (x )不一定有极值点,就不一定存在x 1,x 2使f (x 1)-g (x 1)=f (x 2)-g (x 2),不一定存在x 1,x 2使得m =n ;对于④:由m =-n ,得f (x 1)-f (x 2)=g (x 2)-g (x 1),即f (x 1)+g (x 1)=f (x 2)+g (x 2),令F (x )=f (x )+g (x )=2x +x 2+ax ,则F ′(x )=2xln 2+2x +a ,由F ′(x )=0,得2x ln 2=-2x -a ,结合如图所示图象可知,该方程有解,即F (x )必有极值点,∴存在x 1,x 2使F (x 1)=F (x 2),得m =-n .故①④正确.答案 ①④考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2015·某某,3)命题“∃0x ∈(0,+∞),0ln x =-1”的否定是( )A .∀x ∈(0,+∞),x ln ≠x-1B .∀x ∉(0,+∞),x ln =x -1C .∃x 0∈(0,+∞),0ln x ≠0x -1D .∃x 0∉(0,+∞),0ln x =0x -11.解析 特称性命题的否定是全称性命题,且注意否定结论,故原命题的否定是: “∀x ∈(0,+∞),x ln ≠x-1”.故选A.答案 A2.(2014·某某,1)设命题p :∀x ∈R ,12+x >0,则⌝p 为( )A .∃0x ∈R ,0x +1>0 B .∃0x ∈R ,0x +1≤0 C .∃0x ∈R ,0x +1<0 D .∀x ∈R ,0x +1≤02.解析 全称命题的否定,要对结论进行否定,同时要把全称量词换成存在量词,故命题p 的否定为“∃0x ∈R ,0x +1≤0”,故选B.答案 B3.(2014·某某,2)命题“∀x ∈R ,|x|+2x ≥0”的否定是( )A .∀x ∈R ,|x|+2x <0B .∀x ∈R ,|x|+2x ≤0C .∃0x ∈R ,|0x |+0x <0D .∃0x ∈R ,|0x |+0x ≥03.解析命题的否定是否定结论,同时把量词作对应改变,故命题“∀x ∈R ,|x|+x 2≥0”的 否定为“∃x 0∈R ,|x 0|+x 0<0”,故选C.答案 C4.(2014·某某,3)命题“∀x ∈R ,2x ≠x”的否定是( )A .∀x ∉R ,2x ≠xB .∀x ∈R ,2x =xC .∃x ∉R ,2x ≠xD .∃x ∈R ,2x =x4. 全称命题的否定是特称命题:∃x∈R,x2=x,故选D.答案 D5.(2014·某某,5)命题“∀x∈[0,+∞),3x+x≥0”的否定是( )A.∀x∈(-∞,0),3x+x<0B.∀x∈(-∞,0),3x+x≥0C.∃x0∈[0,+∞),x0+x0<0D.∃x0∈[0,+∞),x0+x0≥05.解析把全称量词“∀”改为存在量词“∃”,并把结论加以否定,故选C.答案 C6.(2014·某某,3)已知命题p:∀x>0,总有(x+1)e x>1,则⌝p为( )e x≤1A.∃x0 ≤0,使得(x0+1)0e x≤1B.∃x0 >0,使得(x0+1)0C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤16.解析全称命题的否定是特称命题,所以命题p:∀x>0,总有(x+1)e x>1的否定是綈p:∃x0>0,使得(x0+1)e x0≤1.答案 B7.(2014·某某,6)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;命题q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p∧⌝q B.⌝p∧q C.⌝p∧⌝q D.p∧q7.解析命题p为真命题,命题q为假命题,所以命题⌝q为真命题,所以p∧⌝q为真命题,选A.答案 A8.(2014·某某,5)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨q B.p∧qC.(⌝p)∧(⌝q) D.p∨(⌝q)8.解析对于命题p:因为a·b=0,b·c=0,所以a,b与b,c的夹角都为90°,但a,c的夹角可以为0°或180°,故a·c≠0,所以命题p是假命题;对于命题q:a∥b,b∥c 说明a,b与b,c都共线,可以得到a,c的方向相同或相反,故a∥c,所以命题q是真命题.选项A中,p∨q是真命题,故A正确;选项B中,p∧q是假命题,故B错误;选项C中,⌝p是真命题,⌝q是假命题,所以(⌝p)∧(⌝q)是假命题,所以C错误;选项D中,p∨(⌝q)是假命题,所以D错误.故选A.答案 A。
第六章 数 列考点1 数列的概念及简单表示法1.(2014·新课标全国Ⅱ,16)数列{a n }满足a n +1=11-a n ,a 8=2,则a 1=________.1.解析 将a 8=2代入a n +1=11-a n ,可求得a 7=12; 再将a 7=12代入a n +1=11-a n ,可求得a 6=-1;再将a 6=-1代入a n +1=11-a n,可求得a 5=2.由此可以推出数列{a n }是一个周期数列,且周期为3,所以a 1=a 7=12.答案 122.(2014·某某,17)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-n 2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对任意的n >1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列. 2. (1)解 由S n =3n 2-n2,得a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n -2, 所以数列{a n }的通项公式为:a n =3n -2.(2)证明 要使得a 1,a n ,a m 成等比数列,只需要a 2n =a 1·a m , 即(3n -2)2=1·(3m -2),即m =3n 2-4n +2, 而此时m ∈N *,且m >n .所以对任意的n >1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列. 3.(2014·某某,16)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)na n ,求数列{b n }的前2n 项和.3.解 (1)当n =1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n 2-(n -1)2+(n -1)2=n .故数列{a n }的通项公式为a n =n .(2)由(1)知,b n =2n +(-1)nn ,记数列{b n }的前2n 项和为T 2n , 则T 2n =(21+22+ (22))+(-1+2-3+4-…+2n ).记A =21+22+ (22),B =-1+2-3+4-…+2n , 则A =2(1-22n)1-2=22n +1-2,B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A +B =22n +1+n -2.考点2 等差数列及其前n 项和1.(2015·新课标全国Ⅰ,7)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( ) A.172B.192C.10D.12 1.解析 由S 8=4S 4知,a 5+a 6+a 7+a 8=3(a 1+a 2+a 3+a 4), 又d =1,∴a 1=12,a 10=12+9×1=192.答案 B2.(2015·新课标全国Ⅱ,5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A.5 B.7 C.9 D.112.解析 ∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3, ∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3,得a 3=1, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5.故选A.答案A3.(2014·某某,5)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( )A.2B.-2C.12D.-123.解析 由S 1=a 1,S 2=2a 1-1,S 4=4a 1-6成等比数列可得(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6), 解得a 1=-12.答案 D4.(2014·新课标全国Ⅱ,5)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n (n +1) B.n (n -1)C2)1(+n n D 2)1(-n n 4.解析 因为a 2,a 4,a 8成等比数列,所以a 24=a 2·a 8, 所以(a 1+6)2=(a 1+2)·(a 1+14),解得a 1=2. 所以S n =na 1+n (n -1)2d =n (n +1).故选A.答案 A5.(2014·某某,2)在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7=( ) A.5 B.8 C.10 D.145.解析 由等差数列的性质得a 1+a 7=a 3+a 5, 因为a 1=2,a 3+a 5=10,所以a 7=8,选B. 答案 B6.(2015·某某,13)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于________.6.解析 由已知数列{a n }是以1为首项,以12为公差的等差数列.∴S 9=9×1+9×82×12=9+18=27.答案 277.(2015·某某,13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为________7.解析 由题意设首项为a 1, 则a 1+2 015=2×1 010=2 020, ∴a 1=5. 答案 58.(2014·某某,13)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值X 围为________.8.解析 由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0,a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧d <0,7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.答案⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-789.(2016·新课标全国Ⅱ,17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0, [2.6]=2.9.解(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d =4,a 1+5d =3, 解得a 1=1,d =25.所以{a n }的通项公式为a n =2n +35. (2)由(1)知,b n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n +35.当n =1,2,3时,1≤2n +35<2,b n =1;当n =4,5时,2≤2n +35<3,b n =2;当n =6,7,8时,3≤2n +35<4,b n =3;当n =9,10时,4≤2n +35<5,b n =4.所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.10.(2014·大纲全国,17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. (1)设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.10.(1)证明由a n +2=2a n +1-a n +2得a n +2-a n +1=a n +1-a n +2, 即b n +1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解由(1)得b n =1+2(n -1),即a n +1-a n =2n -1. 于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-∑∑,所以a n +1-a 1=n 2,即a n +1=n 2+a 1. 又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.11.(2014·某某,19)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36. (1)求d 及S n ;(2)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65. 11.解(1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36, 将a 1=1代入上式解得d =2或d =-5. 因为d >0,所以d =2.从而a n =2n -1,S n =n 2(n ∈N *).(2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =(2m +k -1)·(k +1), 所以(2m +k -1)(k +1)=65. 由m ,k ∈N *知2m +k -1>k +1>1,故⎩⎪⎨⎪⎧2m +k -1=13,k +1=5,所以⎩⎪⎨⎪⎧m =5,k =4.12.(2014·某某,16)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和. (1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q +S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .12.解(1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d =2的等差数列, 所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1. 故S n =1+3+…+(2n -1)=n (a 1+a n )2=n (1+2n -1)2=n 2.(2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q +S 4=0,即q 2-8q +16=0, 所以(q -4)2=0,从而q =4.又因b 1=2,{b n }是公比q =4的等比数列, 所以b n =b 1qn -1=2·4n -1=22n -1.从而{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =23(4n -1).考点3 等比数列及其前n 项和1.(2015·新课标全国Ⅱ,9)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( )A.2B.1C.12D.181.解析 由{a n }为等比数列,得a 3a 5=a 24, 所以a 24=4(a 4-1),解得a 4=2.设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,得2=14q 3,解得q =2,所以a 2=a 1q =12.选C.答案 C2.(2014·大纲全国,8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.642.解析 方法一 设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q . 若q =1,则有S n =na 1,显然不符合题意,故q ≠1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2=a 1(1-q 2)1-q=3,S 4=a 1(1-q 4)1-q =15,两式相除得1+q 2=5,解得q 2=4.故q =2或q =-2.若q =2,代入解得a 1=1,此时S 6=a 1(1-q 6)1-q =1×(1-26)1-2=63.若q =-2,代入解得a 1=-3,此时S 6=a 1(1-q 6)1-q =(-3)×[1-(-2)6]1-(-2)=63.故选C.方法二 因为数列{a n }为等比数列,若q =1,则有S n =na 1,显然不符合题意,故q ≠1. 设其前n 项和为S n =Aq n-A .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2=A ×q 2-A =3S 4=A ×q 4-A =15,两式相除得1+q 2=5, 解得q 2=4,代入解得A =1. 故S n =q n-1.所以S 6=q 6-1=(q 2)3-1=43-1=63.故选C. 方法三 设等比数列的公比为q .则S 2=a 1+a 2=3,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=(1+q 2)(a 1+a 2)=(1+q 2)×3=15,解得q 2=4.故S 6=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=(1+q 2+q 4)(a 1+a 2)=(1+4+42)×3=63.故选C. 答案 C3.(2015·新课标全国Ⅰ,13)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和. 若S n =126,则n =________.3.解析 由a n +1=2a n 知,数列{a n }是以a 1=2为首项,q =2为公比的等比数列, 由S n =2(1-2n)1-2=126,解得n =6.答案 64.(2015·某某,13)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a =5+26,c =5-26,则b =________.4.解析 ∵三个正数a ,b ,c 成等比数列, ∴b 2=ac =(5+26)(5-26)=1. ∵b 为正数,∴b =1. 答案 15.(2014·某某,13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=________.5.解析 由等比数列的性质可知a 1a 5=a 2a 4=a 23, 于是由a 1a 5=4得a 3=2,故a 1a 2a 3a 4a 5=32,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 232=5. 答案 56.(2016·新课标全国Ⅲ,17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n+1=0.(1)求a 2,a 3; (2)求{a n }的通项公式. 6.解(1)由题意得a 2=12,a 3=14.(2)由a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0得2a n +1(a n +1)=a n (a n +1). 因为{a n }的各项都为正数,所以a n +1a n =12. 故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,所以a n =12n -1.7.(2016·,15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和.7.解(1)设数列{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,由⎩⎪⎨⎪⎧b 2=b 1q =3,b 3=b 1q 2=9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=1,q =3. ∴{b n }的通项公式b n =b 1q n -1=3n -1,又a 1=b 1=1,a 14=b 4=34-1=27,∴1+(14-1)d =27,解得d =2.∴{a n }的通项公式a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)×2=2n -1(n =1,2,3,…). (2)设数列{}的前n 项和为S n . ∵=a n +b n =2n -1+3n -1,∴S n =c 1+c 2+c 3+…+=2×1-1+30+2×2-1+31+2×3-1+32+…+2n -1+3n -1=2(1+2+…+n )-n +30×(1-3n)1-3=2×(n +1)n 2-n +3n-12=n 2+3n-12.即数列{}的前n 项和为n 2+3n-12.8.(2015·某某,16)设数列{a n }(n =1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ,求T n .8.解(1)由已知S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1(n ≥2), 即a n =2a n -1(n ≥2), 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1,又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1), 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,故a n =2n.(2)由(1)得1a n =12n ,所以T n =12+122+…+12n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=1-12n .9.(2014·,15)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.9.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得d =a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n -1)d =3n (n =1,2,…). 设等比数列{b n -a n }的公比为q ,由题意得q 3=b 4-a 4b 1-a 1=20-124-3=8,解得q =2. 所以b n -a n =(b 1-a 1)q n -1=2n -1,b n =3n +2n -1(n =1,2,…).(2)由(1)知b n =3n +2n -1(n =1,2,…),数列{3n }的前n 项和为32n (n +1),数列{2n -1}的前n 项和为1×1-2n1-2=2n-1,所以数列{b n }的前n 项和为32n (n +1)+2n-1.10.(2014·某某,17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .10.解(1)设{a n }的公比为q ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =3,a 1q 4=81,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =3. 所以a n =3n -1.(2)因为b n =log 3a n =n -1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =n (b 1+b n )2=n 2-n2.考点4 数列的综合应用1.(2015·某某,11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.1.2011解析 ∵a 1=1,a n +1-a n =n +1, ∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n -1=n ,将以上n -1个式子相加得a n -a 1=2+3+…+n =(2+n )(n -1)2,即a n =n (n +1)2,令b n =1a n,故b n =2n (n +1)=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n -1n +1,故S 10=b 1+b 2+…+b 10=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-12+12-13+…+110-111=2011.2.(2015·某某,10)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1=________,d =________. 2.解析 ∵a 2,a 3,a 7成等比数列,∴a 23=a 2a 7,即(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+6d ), ∴a 1=-23d ,∵2a 1+a 2=1,∴2a 1+a 1+d =1,即3a 1+d =1, ∴a 1=23,d =-1.答案 23-13.(2016·新课标全国Ⅰ,17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a nb n +1+b n +1=nb n .(1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.3.解(1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n -1. (2)由(1)和a n b n +1+b n +1=nb n 得b n +1=b n3,所以{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1-13=32-12×3n -1.4.(2016·某某,17)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和. 4.解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 2=3.又当n ≥2时,a n +1-a n =(2S n +1)-(2S n -1+1)=2a n ,得a n +1=3a n . 所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -1,n ∈N *. (2)设b n =|3n -1-n -2|,n ∈N *,b 1=2,b 2=1, 当n ≥3时,因为3n -1>n +2, 所以b n =3n -1-n -2,n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3,当n ≥3时,T n =3+9(1-3n -2)1-3-(n +7)(n -2)2=3n -n 2-5n +112,所以T n =⎩⎪⎨⎪⎧2, n =1,3n -n 2-5n +112,n ≥2,n ∈N *. 5.(2016·某某,19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)令=(a n +1)n +1(b n +2)n .求数列{}的前n 项和T n .5.解(1)由题意知,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=6n +5. 当n =1时,a 1=S 1=11,符合上式. 所以a n =6n +5. 设数列{b n }的公差为d ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即⎩⎪⎨⎪⎧11=2b 1+d ,17=2b 1+3d , 可解得b 1=4,d =3. 所以b n =3n +1.(2)由(1)知=(6n +6)n +1(3n +3)n =3(n +1)·2n +1.. 又T n =c 1+c 2+…+,得T n =3×[2×22+3×23+…+(n +1)×2n +1],2T n =3×[2×23+3×24+…+(n +1)×2n +2].两式作差,得-T n =3×[2×22+23+24+…+2n +1-(n +1)×2n +2]=3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4+4(1-2n)1-2-(n +1)×2n +2=-3n ·2n +2. 所以T n =-3n ·2n +2.6.(2016·某某,19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +1=qS n +1, 其中q >0,n ∈N *.(1)若a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式;(2)设双曲线x 2-y 2a 2n=1的离心率为e n ,且e 2=2,求e 21+e 22+…+e 2n .6.解 (1)由已知,S n +1=qS n +1,S n +2=qS n +1+1, 两式相减得到a n +2=qa n +1,n ≥1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n +1=qa n 对所有n ≥1都成立. 所以数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列,a n =q n -1. 由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3, 所以a 3=2a 2,q =2, 所以a n =2n -1(n ∈N *).(2)由(1)可知,a n =q n -1,所以双曲线x 2-y 2a 2n=1的离心率e n =1+a 2n =1+q 2(n -1).由e 2=1+q 2=2解得q =3, 所以e 21+e 22+…+e 2n=(1+1)+(1+q 2)+…+[1+q 2(n -1)]=n +[1+q 2+…+q2(n -1)]=n +q 2n -1q 2-1=n +12(3n-1).7.(2015·,16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7,问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 7.解(1)设等差数列{a n }的公差为d , 因为a 4-a 3=2,所以d =2. 又因为a 1+a 2=10,所以2a 1+d =10,故a 1=4.所以a n =4+2(n -1)=2n +2(n =1,2,…). (2)设等比数列{b n }的公比为q , 因为b 2=a 3=8,b 3=a 7=16, 所以q =2,b 1=4. 所以b 6=4×26-1=128. 由128=2n +2,得n =63, 所以b n 与数列{a n }的第63项相等.8.(2015·某某,18)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n .8.解(1)设{a n }的公差为d ,则由已知条件得a 1+2d =2,3a 1+3×22d =92,化简得a 1+2d =2,a 1+d =32,解得a 1=1,d =12,故通项公式a n =1+n -12,即a n =n +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8. 设{b n }的公比为q ,则q 3=b 4b 1=8,从而q =2,故{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1.9.(2015·某某,19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1. (1)求a 4的值;(2)证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 为等比数列;(3)求数列{a n }的通项公式.9.(1)解当n =2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32+54+a 4+5⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32+54+1,解得:a 4=78.(2)证明因为4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1(n ≥2),所以4S n +2-4S n +1+S n -S n -1=4S n +1-4S n (n ≥2),即4a n +2+a n =4a n +1(n ≥2), 因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2,所以4a n +2+a n =4a n +1,因为a n +2-12a n +1a n +1-12a n=4a n +2-2a n +14a n +1-2a n =4a n +1-a n -2a n +14a n +1-2a n =2a n +1-a n 2(2a n +1-a n )=12,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 是以a 2-12a 1=1为首项,12为公比的等比数列.(3)解由(2)知;数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 是以a 2-12a 1=1为首项,12公比为的等比数列,所以a n +1-12a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,即a n +1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =4,所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是以a 112=2为首项,4为公差的等差数列,所以a n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =2+(n -1)×4=4n -2,即a n =(4n -2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =(2n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,所以数列{a n }的通项公式是a n =(2n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.10.(2015·某某,19)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q , 已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d >1时,记=a n b n,求数列{}的前n 项和T n .10.解(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+45d =100,a 1d =2,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+9d =20,a 1d =2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n =2n -1,b n=2n -1或⎩⎪⎨⎪⎧a n =19(2n +79),b n=9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n -1.(2)由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1,故=2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .② ①-②得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n +32n ,故T n =6-2n +32n -1.11.(2015·某某,18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n +1S n S n +1,求数列{b n }的前n 项和T n . 11.解(1)由题设知a 1·a 4=a 2·a 3=8,又a 1+a 4=9,可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,a 4=1(舍去). 由a 4=a 1q 3得公比q =2,故a n =a 1q n -1=2n -1.(2)S n =a 1(1-q n )1-q =2n -1,又b n =a n +1S n S n +1=S n +1-S n S n S n +1=1S n -1S n +1,所以T n =b 1+b 2+…+b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1-1S 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2-1S 3+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n -1S n +1=1S 1-1S n +1=1-12n +1-1.12.(2015·某某,17)在等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n ,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值. 12.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =4,(a 1+3d )+(a 1+6d )=15,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =1. 所以a n =a 1+(n -1)d =n +2. (2)由(1)可得b n =2n+n , 所以b 1+b 2+b 3+…+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =2(1-210)1-2+(1+10)×102=(211-2)+55 =211+53=2 101.13.(2015·某某,18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设=a n b n ,n ∈N *,求数列{}的前n 项和.13.解(1)设数列{a n }的公比为q ,数列{b n }的公差为d ,由题意q >0.由已知,有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2-3d =2,q 4-3d =10,消去d ,整理得q 4-2q 2-8=0,又因为q >0,解得q =2,所以d =2.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,n ∈N *;数列{b n }的通项公式为b n =2n -1,n ∈N *. (2)由(1)有=(2n -1)·2n -1,设{}的前n 项和为S n ,则S n =1×20+3×21+5×22+…+(2n -3)×2n -2+(2n -1)×2n -1, 2S n =1×21+3×22+5×23+…+(2n -3)×2n -1+(2n -1)×2n, 两式相减得-S n =1+22+23+…+2n -(2n -1)×2n=2n +1-3-(2n -1)×2n =-(2n -3)×2n-3,所以S n =(2n -3)·2n+3,n ∈N *.14.(2015·某某,19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n +1的前n 项和为n 2n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 14.解(1)设数列{a n }的公差为d , 令n =1,得1a 1a 2=13,所以a 1a 2=3. 令n =2,得1a 1a 2+1a 2a 3=25,所以a 2a 3=15. 解得a 1=1,d =2,所以a n =2n -1. (2)由(1)知b n =2n ·22n -1=n ·4n,所以T n =1·41+2·42+…+n ·4n, 所以4T n =1·42+2·43+…+n ·4n +1,两式相减得,-3T n =41+42+…+4n -n ·4n +1=4(1-4n)1-4-n ·4n +1=1-3n 3×4n +1-43.所以T n =3n -19×4n +1+49=4+(3n -1)4n +19.15.(2015·某某,17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n +1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n +1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .15.解(1)由a 1=2,a n +1=2a n ,得a n =2n(n ∈N *). 由题意知:当n =1时,b 1=b 2-1,故b 2=2.当n ≥2时,1n b n =b n +1-b n ,整理得b n +1n +1=b n n ,所以b n =n (n ∈N *).(2)由(1)知a n b n =n ·2n.因此T n =2+2·22+3·23+…+n ·2n, 2T n =22+2·23+3·24+…+n ·2n +1, 所以T n -2T n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1. 故T n =(n -1)2n +1+2(n ∈N *).16.(2015·某某,19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n +2=3S n -S n +1+3,n ∈N *.(1)证明:a n +2=3a n ; (2)求S n .16.(1)证明由条件,对任意n ∈N *,有a n +2=3S n -S n +1+3, 因而对任意n ≥2,n ∈N *,有a n +1=3S n -1-S n +3. 两式相减得,a n +2-a n +1=3a n -a n +1,即a n +2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n +2=3a n . (2)解由(1)知,a n ≠0,所以a n +2a n=3, 所以数列{a 2n -1}是首项a 1=1,公比为3等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列, 所以a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =(1+3+…+3n -1)+2(1+3+…+3n -1) =3(1+3+…+3n -1)=3(3n-1)2.所以S 2n -1=S 2n -a 2n =3(3n-1)2-2×3n -1=32(5×3n -2-1).综上所述,S n =⎩⎪⎨⎪⎧32(5×3n -32-1),当n 是奇数,32(3n2-1),当n 是偶数.17.(2014·某某,18)数列{a n }满足a 1=1,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),n ∈N *. (1)证明:数列{a n n}是等差数列;(2)设b n =3n·a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 17.(1)证明由已知可得a n +1n +1=a n n +1,即a n +1n +1-a nn=1. 所以{a n n }是以a 11=1为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)得a nn=1+(n -1)·1=n ,所以a n =n 2,b n =n ·3n.S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n ,①3S n =1·32+2·33+…+(n -1)·3n +n ·3n +1.②①-②得,-2S n =31+32+…+3n -n ·3n +1=3·(1-3n)1-3-n ·3n +1=(1-2n )·3n +1-32.所以S n =(2n -1)·3n +1+34.18.(2014·新课标全国Ⅰ,17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x +6=0的根.(1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{a n2n }的前n 项和.18.解(1)方程x 2-5x +6=0的两根为2,3,由题意得a 2=2,a 4=3. 设数列{a n }的公差为d ,则a 4-a 2=2d ,故d =12, a 1=32.所以{a n }的通项公式为a n =12n +1.(2)设数列{a n2n }的前n 项和为S n ,由(1)知a n 2n =n +22n +1,则S n =322+423+…+n +12n +n +22n +1,12S n =323+424+…+n +12n +1+n +22n +2. 两式相减得12S n =34+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+12n +1-n +22n +2=34+14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -1-n +22n +2.所以S n =2-n +42n +1.19.(2014·某某,19)在等差数列{a n }中,已知公差d =2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(1)2n n a +,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n .19.解(1)由题意知(a 1+d )2=a 1(a 1+3d ), 即(a 1+2)2=a 1(a 1+6),解得a 1=2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =2n . (2)由题意知b n =an (n +1)2=n (n +1),所以T n =-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn ×(n +1). 因为b n +1-b n =2(n +1),所以可得当n 为偶数时,T n =(-b 1+b 2)+(-b 3+b 4)+…+(-b n -1+b n ) =4+8+12+…+2n =n2(4+2n )2=n (n +2)2;当n 为奇数时,T n =T n -1+(-b n )=(n -1)(n +1)2-n (n +1)=-(n +1)22.所以T n =⎩⎪⎨⎪⎧-(n +1)22,n 为奇数,n (n +2)2,n 为偶数.20.(2014·某某,19)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足S 2n -(n 2+n -3)S n -3(n 2+n )=0,n ∈N *. (1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有1a 1a 1+1+1a 2a 2+1+…+1a n a n +1<13.20(1)解由题意知,S 2n -(n 2+n -3)S n -3(n 2+n )=0,n ∈N *. 令n =1,有S 21-(12+1-3)S 1-3×(12+1)=0,可得S 21+S 1-6=0, 解得S 1=-3或S 1=2,即a 1=-3或a 1=2, 又a n 为正数,所以a 1=2.(2)解由S 2n -(n 2+n -3)S n -3(n 2+n )=0,n ∈N *可得(S n +3)(S n -n 2-n )=0, 则S n =n 2+n 或S n =-3,又数列{a n }的各项均为正数,所以S n =n 2+n ,S n -1=(n -1)2+(n -1), 所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n -[(n -1)2+(n -1)]=2n . 又a 1=2=2×1,所以a n =2n . (3)证明当n =1时,1a 1(a 1+1)=12×3=16<13成立;当n ≥ 2时,1a n (a n +1)=12n (2n +1)<1(2n -1)(2n +1)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,所以1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)<16+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1=16+12⎝ ⎛⎭⎪⎫13-12n +1<16+16=13. 所以对一切正整数n ,有1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+…+1a n (a n +1)<13.。
第十一章 算法初步1.(2016·新课标全国Ⅰ,10)执行下面的程序框图,如果输入的x =0,y =1,n =1,则输出x ,y 的值满足( )A.y =2xB.y =3xC.y =4xD.y =5x 1.解析执行题中的程序框图,知: 第一次进入循环体:x =0+1-12=0,y =1×1=1,x 2+y 2<36; 第二次执行循环体:n =1+1=2,x =0+2-12=12,y =2×1=2,x 2+y 2<36;第三次执行循环体:n =2+1=3,x =12+3-12=32,y =3×2=6,x 2+y 2>36,满足x 2+y 2≥36,故退出循环,输出x =32,y =6,满足y =4x ,故选C.答案C2.(2016·新课标全国Ⅱ,9)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,上图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的x =2, n =2,依次输入的a 为2,2,5,则输出的S =( )A.7B.12C.17D.342.解析由框图可知,输入x=2,n=2,a=2,S=2,k=1,不满足条件;a=2,S=4+2=6,k=2,不满足条件;a=5,S=12+5=17,k=3,满足条件,输出S=17,故选C.答案 C3.(2016·新课标全国Ⅲ,8)执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )A.3B.4C.5D.63.解析第一次循环a=6-4=2,b=6-2=4,a=4+2=6,s=6,n=1;第二次循环a=-6+4=-2,b=4-(-2)=6,a=6-2=4,s=10,n=2;第三次循环a=6-4=2,b=6-2=4,a=4+2=6,s=16,n=3;第四次循环a=4-6=-2,b=4-(-2)=6,a=6-2=4,s=20,n=4,满足题意,结束循环. 答案B4.(2016·,3)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A.8B.9C.27D.364.解析①S=0+03=0,k=0+1=1,满足k≤2;②S=0+13=1,k=1+1=2,满足k≤2;③S=1+23=9,k=2+1=3,不满足k≤2,输出S=9.答案B5.(2016·某某,8)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现某某省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为( )A.35B.20C.18D.95.解析按照图中的程序计算,当i=2时,得v=4;当i=1时,得v=2×4+1=9;当i=0时,得v=2×9+0=18;当i=-1时,直接输出v=18,即输出的v值为18.答案C6.(2015·新课标全国Ⅰ,9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A.5B.6C.7D.86.解析第一次循环:S =1-12=12,n =1,m =14,S >t ;第二次循环:S =12-14=14,n =2,m =18,S >t ;…第六次循环:S =164,n =6<0.01;第七次循环:S =1128<0.01,输出n =7.]答案 C7.(2015·新课标全国Ⅱ,8)下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a =( )A.0B.2C.4D.147.解析 由题知,若输入a =14,b =18,则第一次执行循环结构时,由a <b 知,a =14,b =b -a =18-14=4; 第二次执行循环结构时,由a >b 知,a =a -b =14-4=10,b =4; 第三次执行循环结构时,由a >b 知,a =a -b =10-4=6,b =4;第四次执行循环结构时,由a >b 知,a =a -b =6-4=2,b =4; 第五次执行循环结构时,由a <b 知,a =2,b =b -a =4-6=2; 第六次执行循环结构时,由a =b 知,输出a =2,结束.故选B. 答案 B8.(2015·某某,7)根据如图所示的框图,当输入x 为6时,输出的y =( )A.1B.2C.5D.10 8.解析 输入x =6,程序运行情况如下:x =6-3=3>0,x =3-3=0≥0,x =0-3=-3<0, 退出循环,执行y =x 2+1=(-3)2+1=10, 输出y =10.故选D. 答案 D9.(2015·某某,6)执行如图所示的程序框图,输出S 的值为( )A.-32B. 32 C.-12D.129.解析 每次循环的结果为k =2,k =3,k =4,k =5>4,∴S =sin 5π6=12.答案 D10.(2015·某某,3)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为( )A.2B.3C.4D.510.解析运行相应的程序.第1次循环:i=1,S=10-1=9;第2次循环:i=2,S=9-2=7;第3次循环:i=3,S=7-3=4;第4次循环:i=4,S=4-4=0;满足S=0≤1,结束循环,输出i=4.故选C.答案 C11.(2015·,5)执行如图所示的程序框图,输出的k值为( )A.3B.4C.5D.611.解析 第一次循环:a =3×12=32,k =1;第二次循环:a =32×12=34,k =2;第三次循环:a =34×12=38,k =3;第四次循环:a =38×12=316<14,k =4.故输出k =4. 答案 B12.(2015·某某,8)执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A.34B.56C.1112D.252412.解析 s =12+14+16+18=2524,即输出s 的值为2524.答案D13.(2015·某某,7)执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n 为( )A.3B.4C.5D.613.解析 当n =1时,|1-1.414|=0.414>0.005;当n =2时,a =1+11+1=32,⎪⎪⎪⎪⎪⎪32-1.414=0.086>0.005; 当n =3时,a =1+11+32=75,⎪⎪⎪⎪⎪⎪75-1.414=0.014>0.005; 当n =4时,a =1+11+75=1712,⎪⎪⎪⎪⎪⎪1712-1.414=0.002 7<0.005.故选B. 答案 B14.(2015·某某,4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为1,则输出y 的值为( )A.2B.7C.8D.12814.解析 当x =1时,执行y =9-1=8.输出y 的值为8,故选C. 答案 C15.(2015·某某,5)执行如图所示的程序框图,如果输入n =3,则输出的S =( )A.67B.37C.89D.4915.解析 第一步运算:S =11×3=13,i =2;第二步运算:S =13+13×5=25,i =3;第三步运算:S =25+15×7=37,i =4>3;终止运算,输出S =37.故选B.答案 B16.(2014·新课标全国Ⅰ,9)执行下面的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3,则输出的M =( )A.203B.72C.165D.15816.解析 第一次循环:M =32,a =2,b =32,n =2;第二次循环:M =83,a =32,b =83,n =3;第三次循环:M =158,a =83,b =158,n =4,则输出M =158,选D.答案 D17.(2014·新课标全国Ⅱ,8)执行上面的程序框图,如果输入的x ,t 均为2,则输出的S =( )A.4B.5C.6D.717.解析 k =1≤2,执行第一次循环,M =11×2=2,S =2+3=5,k =1+1=2;k =2≤2,执行第二次循环,M =22×2=2,S =2+5=7,k =2+1=3;k =3>2,终止循环,输出S =7,故选D.答案 D18.(2014·某某,5)执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A.10B.17C.19D.3618.解析 执行程序:s =0,k =2;s =2,k =3;s =5,k =5;s =10,k =9;s =19,k =17,此时不满足条件k <10,终止循环,输出结果为s =19.选C. 答案 C19.(2014·,4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A.1B.3C.7D.1519.解析列表如下:k 012 3S 0137故输出的S值是7.答案 C20.(2014·某某,4)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.34B.55C.78D.8920.解析执行该程序框图可得x=1,y=1,z=2;x=1,y=2,z=3;x=2,y=3,z=5;x=3,y =5,z=8;x=5,y=8,z=13;x=8,y=13,z=21;x=13,y=21,z=34;x=21,y=34,z=55,跳出循环. 答案 B21.(2015·某某,11)执行下边的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的y的值是________.21.解析输入x=1,x<2成立,执行x=2;x=2,x<2不成立,执行y=3x2+1=13;输出y=13.答案1322.(2015·某某,4)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为________.S←1I←1While I<8S←S+2I←I+3End WhilePrint S22. 解析I=1,S=1;S=1+2=3,I=1+3=4<8;S=3+2=5,I=4+3=7<8;S=5+2=7,I=7+3=10>8.退出循环,故输出S为7.答案 723.(2014·某某,14)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出S 的值为________.23. 解析S=(21+22+…+29)+(1+2+…+9)=210-2+45=1 024+43=1 067.答案 1 06724.(2014·某某,11)阅读如图所示的框图,运行相应的程序,输出S的值为________.24.解析S=0,n=3,第1次运行,S=0+(-2)3=-8,n=2,不满足条件;第2次运行,S=-8+(-2)2=-8+4=-4,n=1,满足条件,跳出循环,输出S的值为-4.答案-425.(2014·某某,11)执行下面的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为________.25. 解析 12-4×1+3≤0, x=2,n=1;22-4×2+3≤0,x=3,n=2;32-4×3+3≤0,x=4,n=3;42-4×4+3>0,跳出循环,此时输出n的值,故输出的n的值为3.答案 3。
专题六 数 列考点1 数列的概念及简单表示法1.(2016·某某,13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________.1.1,121由于⎩⎪⎨⎪⎧a 2=2a 1+1,a 2+a 1=4,解得a 1=1,a 2=3,当n ≥2时,由已知可得:a n +1=2S n +1,① a n =2S n -1+1,②①-②得a n +1-a n =2a n ,∴a n +1=3a n ,又a 2=3a 1, ∴{a n }是以a 1=1为首项,公比q =3的等比数列. ∴S 5=1-1×351-3=121.2.(2015·某某,11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.2.2011 [∵a 1=1,a n +1-a n =n +1,∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n -1=n ,将以上n -1个式子相加得a n -a 1=2+3+…+n =(2+n )(n -1)2,即a n =n (n +1)2,令b n =1a n ,故b n =2n (n +1)=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n -1n +1,故S 10=b 1+b 2+…+b 10=2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-12+12-13+…+110-111=2011.]3.(2015·某某,18)设n ∈N *,x n 是曲线y =x 2n +2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式; (2)记T n =x 21x 23…x 22n -1,证明T n ≥14n. 3.(1)解 y ′=(x 2n +2+1)′=(2n +2)x 2n +1,曲线y =x2n +2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y -2=(2n +2)(x -1).令y =0,解得切线与x 轴交点的横坐标x n =1-1n +1=n n +1. (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n =x 21x 23…x 22n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -12n 2. 当n =1时,T 1=14.当n ≥2时,因为x22n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -12n 2=(2n -1)2(2n )2>(2n -1)2-1(2n )2=2n -22n =n -1n .所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n -1n =14n .综上可得对任意的n ∈N *,均有T n ≥14n .4.(2014·某某,19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S n =2na n +1-3n 2-4n ,n ∈N *,且S 3=15.(1)求a 1,a 2,a 3的值; (2)求数列{a n }的通项公式.4. (1)依题有⎩⎪⎨⎪⎧S 1=a 1=2a 2-3-4,S 2=a 1+a 2=4a 3-12-8,S 3=a 1+a 2+a 3=15,解得a 1=3,a 2=5,a 3=7.(2)∵S n =2na n +1-3n 2-4n ,①∴当n ≥2时,S n -1=2(n -1)a n -3(n -1)2-4(n -1).② ①-②并整理得a n +1=(2n -1)a n +6n +12n .由(1)猜想a n =2n +1,下面用数学归纳法证明. 当n =1时,a 1=2+1=3,命题成立; 假设当n =k 时,a k =2k +1命题成立. 则当n =k +1时,a k +1=(2k -1)a k +6k +12k =(2k -1)(2k +1)+6k +12k=2k +3=2(k +1)+1,即当n =k +1时,结论成立. 综上,∀n ∈N *,a n =2n +1.考点2 等差数列及其前n 项和1.(2016·某某,6)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n +1|=|A n +1A n +2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n +1|=|B n +1B n +2|,B n ≠B n +2,n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n +1的面积,则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列 B.C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列1.A[S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n -1|长度一半,即S n =12h n |B n B n -1|,由题目中条件可知|B n B n -1|的长度为定值,过A 1作垂直得到初始距离h 1,那么A 1,A n 和两个垂足构成等腰梯形,则h n =h 1+|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角,为定值),从而S n =12(h 1+|A 1A n |tan θ)|B n B n +1|,S n +1=12(h 1+|A 1A n +1|)|B n B n +1|,则S n +1-S n =12|A n A n +1||B n B n +1|tan θ,都为定值,所以S n +1-S n 为定值,故选A.]2.(2016·全国Ⅰ,3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100B.99 C.98D.972.C[由等差数列性质,知S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=9a 5=27,得a 5=3,而a 10=8,因此公差d=a 10-a 510-5=1,∴a 100=a 10+90d =98,故选C.]3.(2015·某某,2)在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6=( ) A.-1 B.0 C.1 D.63.B [由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,选B.]4.(2015·,6)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( ) A.若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B.若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0 C.若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3D.若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>04.C [A,B 选项易举反例,C 中若0<a 1<a 2,∴a 3>a 2>a 1>0,∵a 1+a 3>2a 1a 3,又2a 2=a 1+a 3,∴2a 2>2a 1a 3,即a 2>a 1a 3成立.]5.(2014·某某,3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.145.C [设等差数列{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3d ,所以12=3×2+3d ,解得d =2,所以a 6=a 1+5d =2+5×2=12,故选C.]6.(2014·某某,8)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{12n a a}为递减数列,则( ) A.d <0 B.d >0 C.a 1d <0 D.a 1d >06.C [{2a 1a n }为递减数列,可知{a 1a n }也为递减数列,又a 1a n =a 21+a 1(n -1)d =a 1dn +a 21-a 1d ,故a 1d <0,故选C.]7.(2016·,12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6=________. 7.6 [∵a 3+a 5=2a 4=0,∴a 4=0.又a 1=6,∴a 4=a 1+3d =0,∴d =-2. ∴S 6=6×6+6×(6-1)2×(-2)=6.]8.(2016·某某,8)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________.8.20[设等差数列{a n }公差为d ,由题意可得:⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(a 1+d )2=-3,5a 1+5×42d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3, 则a 9=a 1+8d =-4+8×3=20.]9.(2016·全国Ⅱ,17)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=1,S 7=28.记b n =[lg a n ],其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b 1,b 11,b 101;(2)求数列{b n }的前1 000项和.9.(1)设{a n }的公差为d ,据已知有7+21d =28,解得d =1.所以{a n }的通项公式为a n =n .b 1=[lg 1]=0,b 11=[lg 11]=1,b 101=[lg 101]=2.(2)因为b n=⎩⎪⎨⎪⎧0,1≤n <10,1,10≤n <100,2,100≤n <1 000,3,n =1 000,所以数列{b n }的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.10.(2015·某某,10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. 10.10[因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,即a 5=5,a 2+a 8=2a 5=10.]11.(2015·某某,13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为________.11.5[由题意设首项为a 1,则a 1+2 015=2×1 010=2 020,∴a 1=5.]12.(2015·新课标全国Ⅰ,17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a 2n +2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.12.解(1)由a 2n +2a n =4S n +3,可知a 2n +1+2a n +1=4S n +1+3.可得a 2n +1-a 2n +2(a n +1-a n )=4a n +1,即2(a n +1+a n )=a 2n +1-a 2n =(a n +1+a n )(a n +1-a n ). 由于a n >0,可得a n +1-a n =2.又a 21+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3. 所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n +1. (2)由a n =2n +1可知b n =1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =b 1+b 2+…+b n =12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17⎦⎥⎤+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1-12n +3=n 3(2n +3)13.(2014·,12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.13.8 [∵数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,∴a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,∴a 9<0.∴当n =8时,其前n 项和最大.]14.(2015·某某,16)设数列{a n }(n =1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ,求使得|T n -1|<11 000成立的n 的最小值.14.解 (1)由已知S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1(n ≥2),即a n =2a n -1(n ≥2), 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1,又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1), 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2,所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,故a n =2n.(2)由(1)得1a n =12n ,所以T n =12+41+…+12n =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=1-12n .由|T n -1|<11 000,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-12n -1<11 000,即2n>1 000,因为29=512<1 000<1 024=210,所以n ≥10, 于是,使|T n -1|<11 000成立的n 的最小值为10.15.(2014·大纲全国,18)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .15.解 (1)由a 1=10,a 2为整数知:等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0,于是10+3d ≥0,10+4d ≤0. 解得-103≤d ≤-52.因此d =-3.数列{a n }的通项公式为a n =13-3n .(2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n =13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17-110+⎝ ⎛⎭⎪⎫14-17+…+⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -113-3n=13⎝ ⎛⎭⎪⎫110-3n -110=n 10(10-3n )16.(2014·某某,20)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ,总存在正整数m ,使得S n =a m ,则称{a n }是“H 数列”.(1)若数列{a n }的前n 项和S n =2n (n ∈N *),证明{a n }是“H 数列”;(2)设{a n }是等差数列,其首项a 1=1,公差d <0.若{a n }是“H 数列”,求d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{},使得a n =b n +(n ∈N *)成立.16.(1)证明 由已知,当n ≥1时,a n +1=S n +1-S n =2n +1-2n =2n.于是对任意的正整数n ,总存在正整数m =n +1,使得S n =2n=a m .所以{a n }是“H 数列”.(2)解 由已知,得S 2=2a 1+d =2+d .因为{a n }是“H 数列”,所以存在正整数m ,使得S 2=a m ,即2+d =1+(m -1)d ,于是(m -2)d =1. 因为d <0,所以m -2<0,故m =1.从而d =-1. 当d =-1时,a n =2-n ,S n =n (3-n )2是小于2的整数,n ∈N *.于是对任意的正整数n ,总存在正整数m =2-S n =2-n (3-n )2,使得S n =2-m =a m ,所以{a n }是“H 数列”.因此d 的值为-1.(3)证明 设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d =na 1+(n -1)(d -a 1)(n ∈N *). 令b n =na 1,=(n -1)(d -a 1),则a n =b n +(n ∈N *). 下证{b n }是“H 数列”. 设{b n }的前n 项和为T n ,则T n =n (n +1)2a 1(n ∈N *).于是对任意的正整数n ,总存在正整数m =n (n +1)2,使得T n =b m ,所以{b n }是“H 数列”.同理可证{}也是“H 数列”.所以,对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{},使得a n =b n +(n ∈N *)成立.考点3 等比数列及其前n 项和1.(2015·新课标全国Ⅱ,4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( )A.21B.42C.63D.841.B[设等比数列{a n }的公比为q ,则由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得3(1+q 2+q 4)=21,解得q 2=-3(舍去)或q 2=2,于是a 3+a 5+a 7=q 2(a 1+a 3+a 5)=2×21=42,故选B.]2.(2014·某某,2)对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ) A.a 1,a 3,a 9成等比数列B.a 2,a 3,a 6成等比数列 C.a 2,a 4,a 8成等比数列D.a 3,a 6,a 9成等比数列2.D [由等比数列的性质得,a 3·a 9=a 26≠0,因此a 3,a 6,a 9一定成等比数列,选D.]3.(2014·大纲全国,10)等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.33.C [lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 4·a 5)4=lg (2×5)4=4,故选C.]4.(2016·全国Ⅰ,15)设等比数列满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为__________.4.64[设等比数列{a n }的公比为q ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 3=10,a 2+a 4=5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q 2=10,a 1q +a 1q 3=5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,q =12,∴a 1a 2…a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12(-3)+(-2)+…+(n -4)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n (n -7)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n -722-494, 当n =3或4时,12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n -722-494取到最小值-6,此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n -722-494取到最大值26,所以a 1a 2…a n 的最大值为64.]5.(2016·全国Ⅲ,17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.5.(1)证明 由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0. 由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1,得a n +1=λa n +1-λa n ,即a n +1(λ-1)=λa n ,由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n =λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ, 公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n -1. (2)解 由(1)得S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n .由S 5=3132得1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=3132, 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=132.解得λ=-1.6.(2015·某某,14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n =________. 6.3n -1[由3S 1,2S 2,S 3成等差数列知,4S 2=3S 1+S 3,可得a 3=3a 2,∴公比q =3,故等比数列通项a n =a 1q n -1=3n -1.]7.(2014·某某,12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q =________.7.1 [法一 因为数列{a n }是等差数列,所以a 1+1,a 3+3,a 5+5也成等差数列,又a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,所以a 1+1,a 3+3,a 5+5是常数列,故q =1.法二 因为数列{a n }是等差数列,所以可设a 1=t -d ,a 3=t ,a 5=t +d ,故由已知得(t +3)2=(t -d +1)(t +d +5),得d 2+4d +4=0,即d =-2,所以a 3+3=a 1+1,即q =1.]8.(2015·某某,14)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于________.8.2n-1 [由等比数列性质知a 2a 3=a 1a 4,又a 2a 3=8,a 1+a 4=9,所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4=8,a 1+a 4=9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,a 4=1,又数列{a n }为递增数列,∴a 1=1,a 4=8,从而a 1q 3=8,∴q =2.∴数列{a n }的前n 项和为S n =1-2n1-2=2n-1.]9.(2015·某某,18)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d >1时,记=a n b n,求数列{}的前n 项和T n .9.解 (1)由题意有,⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+45d =100,a 1d =2,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+9d =20,a 1d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,d =29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n=2n -1,b n=2n -1或⎩⎪⎨⎪⎧a n=19(2n +79),b n=9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n -1.(2)由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1,故=2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,① 12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .② ①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n +32n ,故T n =6-2n +32n -1.10.(2014·某某,11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.10.-12 [由已知得S 1·S 4=S 22,即a 1·(4a 1-6)=(2a 1-1)2,解得a 1=-12.]11.(2014·某某,13)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.11.50 [由等比数列的性质可知a 10a 11+a 9a 12=2e 5⇒a 1a 20=e 5,于是a 1a 2…a 20=(e 5)10=e 50,lna 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)=ln e 50=50.]12.(2014·某某,7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是________.12.4 [设等比数列{a n }的公比为q ,q >0.则a 8=a 6+2a 4即为a 4q 4=a 4q 2+2a 4,解得q 2=2(负值舍去),又a 2=1,所以a 6=a 2q 4=4.]13.(2014·新课标全国Ⅱ,17)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.13.证明 (1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +12又a 1+12=32,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是首项为32,公比为3的等比数列.a n +12=3n 2,因此{a n }的通项公式为a n =3n-12.(2)由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n-1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n -1.于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n <32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.考点4 数列的综合应用1.(2015·某某,8)若a ,b 是函数f (x )=x 2-px +q (p >0,q >0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p +q 的值等于( ) A.6B.7C.8D.91.D [由题意知:a +b =p ,ab =q ,∵p >0,q >0,∴a >0,b >0.在a ,b ,-2这三个数的6种排序中,成等差数列的情况有a ,b ,-2;b ,a ,-2;-2,a ,b ;-2,b ,a ;成等比数列的情况有:a ,-2,b ;b ,-2,a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ab =4,2b =a -2或⎩⎪⎨⎪⎧ab =4,2a =b -2解之得:⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =4. ∴p =5,q =4,∴p +q =9,故选D.]2.(2015·某某,3)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( )A.a 1d >0,dS 4>0B.a 1d <0,dS 4<0C.a 1d >0,dS 4<0D.a 1d <0,dS 4>02.B [∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ),整理得a 1=-53d ,∴a 1d =-53d 2<0,又S 4=4a 1+4×32d =-2d 3,∴dS 4=-2d23<0,故选B.]3.(2016·,20)设数列A :a 1,a 2,…,a N (N ≥2).如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k <a n ,则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列A :-2,2,-1,1,3,写出G (A )的所有元素; (2)证明:若数列A 中存在a n 使得a n >a 1,则G (A )≠∅;(3)证明:若数列A 满足a n -a n -1≤1(n =2,3,…,N ),则G (A )的元素个数不小于a N -a 1. 3.(1)解 G (A )的元素为2和5.(2)证明 因为存在a n 使得a n >a 1,所以{i ∈N *|2≤i ≤N ,a i >a 1}≠∅.记m =min{i ∈N *|2≤i ≤N ,a i >a 1},则m ≥2,且对任意正整数k ,m ,a k ≤a 1<a m . 因此m ∈G (A ).从而G (A )≠∅.(3)证明 当a N ≤a 1时,结论成立.以下设a N >a 1.由(2)知G (A )≠∅.设G (A )={n 1,n 2,…,n p },n 1<n 2<…<n p .记n 0=1.则a n 0<a n 1<a n 2<…<a n p , 对i =0,1,…,p ,记G i ={k ∈N *|n i <k ≤N ,a k >an i }. 如果G i ≠∅,取m i =min G i ,则对任何1≤k <m i ,a k ≤a n i <a m i . 从而m i ∈G (A )且m i =n i +1.又因为n p 是G (A )中的最大元素,所以G p =∅. 从而对任意n p ≤k ≤N ,a k ≤a n p ,特别地,a N ≤a n p .对i =0,1,…,p -1,a n i +1-1≤a n i .因此a n i +1=a n i +1-1+(a n i +1-a n i +1-1)≤an i +1. 所以a N -a 1≤a n p -a 1=(a n i -a n i -1)≤p .因此G (A )的元素个数p 不小于a N -a 1.4.(2016·某某,19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +1=qS n +1,其中q >0,n ∈N *.(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求a n 的通项公式;(2)设双曲线x 2-y 2a 2n =1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4n -3n3n -1.4.(1)解 由已知,S n +1=qS n +1,S n +2=qS n +1+1,两式相减得到a n +2=qa n +1,n ≥1.又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n +1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列.从而a n =qn -1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,可得2a 3=3a 2+2,即2q 2=3q +2,则(2q +1)(q -2)=0, 由已知,q >0,故q =2.所以a n =2n -1(n ∈N *).(2)证明 由(1)可知,a n =q n -1.所以双曲线x 2-y 2a 2n=1的离心率e n =1+a 2n =1+q 2(n -1).由e 2=1+q 2=53,解得q =43.因为1+q2(k -1)>q2(k -1),所以1+q2(k -1)>qk -1(k ∈N *).于是e 1+e 2+…+e n >1+q +…+q n -1=q n -1q -1.故e 1+e 2+…+e n >4n -3n3n -1.5.(2016·某某,18)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)令=(a n +1)n +1(b n +2)n ,求数列{}的前n 项和T n .5.解 (1)由题意知,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=6n +5, 当n =1时,a 1=S 1=11,所以a n =6n +5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即⎩⎪⎨⎪⎧11=2b 1+d ,17=2b 1+3d ,可解得b 1=4,d =3,所以b n =3n +1. (2)由(1)知,=(6n +6)n +1(3n +3)n =3(n +1)·2n +1. 又T n =c 1+c 2+…+,得T n =3×[2×22+3×23+…+(n +1)×2n +1],2T n =3×[2×23+3×24+…+(n +1)×2n +2].两式作差,得-T n =3×[2×22+23+24+…+2n +1-(n +1)×2n +2]=3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4+4(1-2n)1-2-(n +1)×2n +2 =-3n ·2n +2,所以T n =3n ·2n +2.6.(2015·新课标全国Ⅱ,16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n +1,则S n =____________.6.-1n[由题意,得S 1=a 1=-1,又由a n +1=S n S n +1,得S n +1-S n =S n S n +1,所以S n ≠0,所以S n +1-S n S n S n +1=1,即1S n +1-1S n =-1,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1=-1为首项,-1为公差的等差数列,得1S n =-1-(n -1)=-n ,所以S n =-1n.]7.(2015·某某,18)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n+3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n . 7.解 (1)因为2S n =3n+3,所以2a 1=3+3,故a 1=3, 当n >1时,2S n -1=3n -1+3,此时2a n =2S n -2S n -1=3n -3n -1=2×3n -1,即a n =3n -1,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =1,3n -1,n >1.(2)因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13,当n >1时,b n =31-nlog 33n -1=(n -1)·31-n.所以T 1=b 1=13;当n >1时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+(1×3-1+2×3-2+…+(n -1)×31-n),所以3T n =1+(1×30+2×3-1+…+(n -1)×32-n),两式相减,得2T n =23+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n -1)×31-n=23+1-31-n1-3-1-(n -1)×31-n =136-6n +32×3n ,所以T n =1312-6n +34×3n , 经检验,n =1时也适合. 综上可得T n =1312-6n +34×3n .8.(2015·某某,18)已知数列{a n }满足a n +2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a 2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.8.解 (1)由已知,有(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3, 所以a 2(q -1)=a 3(q -1),又因为q ≠1,故a 3=a 2=2,由a 3=a 1q ,得q =2. 当n =2k -1(k ∈N *)时,a n =a 2k -1=2k -1=2n -12;当n =2k (k ∈N *)时,a n =a 2k =2k=2n2.所以,{a n}的通项公式为a n=⎩⎪⎨⎪⎧2n -12,n 为奇数,2n 2,n 为偶数.(2)由(1)得b n =log 2a 2n a 2n -1=n2n -1.设{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1×120+2×121+3×122+…+(n -1)×12n -2+n ×12n -1,12S n =1×121+2×122+3×123+…+(n -1)×12n -1+n ×12n . 上述两式相减得:12S n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =1-12n1-12-n 2n =2-22n -n2n ,整理得,S n =4-n +22n -1,n ∈N *.所以,数列{b n }的前n 项和为4-n +22n -1,n ∈N *.9.(2015·某某,21)数列{a n }满足:a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n -1,n ∈N *.(1)求a 3的值;(2)求数列{a n }前n 项和T n ; (3)令b 1=a 1,b n =T n -1n +⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12+13+…+1n a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n . 9. .10.(2015·某某,20)已知数列{a n }满足a 1=12且a n +1=a n -a 2n (n ∈N *).(1) 证明:1≤a n a n +1≤2(n ∈N *); (2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ,证明:12n +2≤S nn ≤12n +1(n ∈N *). 10.证明 (1)由题意得a n +1-a n =-a 2n ≤0,即a n +1≤a n ,故a n ≤12.由a n =(1-a n -1)a n -1得a n =(1-a n -1)(1-a n -2)…(1-a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n +1=a n a n -a 2n =11-a n ∈[1,2],即1≤a na n +1≤2 (2)由题意得a 2n =a n -a n +1,所以S n =a 1-a n +1①由1a n +1-1a n =a n a n +1和1≤a n a n +1≤2得1≤1a n +1-1a n ≤2,所以n ≤1a n +1-1a 1≤2n ,因此12(n +1)≤a n +1≤1n +2(n ∈N *).②由①②得12(n +2)≤S n n ≤12(n +1)(n ∈N *).11.(2014·某某,19)已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =(-1)n -14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .11.解 (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2,S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12,由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1,所以a n =2n -1. (2)b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n -14n (2n -1)(2n +1)=(-1)n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1. 当n 为偶数时,T n =⎝⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…+⎝⎛⎭⎪⎫12n -3+12n -1-⎝⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1-12n +1=2n 2n +1.当n 为奇数时,T n =⎝⎛⎭⎪⎫1+13-⎝ ⎛⎭⎪⎫13+15+…-⎝⎛⎭⎪⎫12n -3+12n -1+⎝⎛⎭⎪⎫12n -1+12n +1=1+12n +1=2n +22n +1. 所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧2n +22n +1,n 为奇数,2n2n +1,n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n=2n +1+(-1)n -12n +112.(2014·某某,17)已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1-a n +1b n+2b n +1b n =0.(1)令=a n b n,求数列{}的通项公式; (2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .12.解 (1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *), 所以a n +1b n +1-a nb n=2,即+1-=2. 所以数列{}是以1为首项,2为公差的等差数列,故=2n -1. (2)由b n =3n -1知a n =b n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)·3n,相减得-2S n =1+2·(31+32+…+3n -1)-(2n -1)·3n=-2-(2n -2)3n,所以S n =(n -1)3n+1.13.(2014·某某,19)设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x的图象上(n ∈N *).(1)若a 1=-2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上,求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)若a 1=1,函数f (x )的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .13.解 (1)由已知得,b 7=2a 7,b 8=2a 8=4b 7,有2a 8=4×2a 7=2a 7+2.解得d =a 8-a 7=2. 所以,S n =na 1+n (n -1)2d =-2n +n (n -1)=n 2-3n .(2)函数f (x )=2x在(a 2,b 2)处的切线方程为y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2), 它在x 轴上的截距为a 2-1ln 2. 由题意得,a 2-1ln 2=2-1ln 2,解得a 2=2.所以d =a 2-a 1=1. 从而a n =n ,b n =2n.所以T n =12+222+323+…+n -12n -1+n 2n ,2T n =11+22+322+…+n2n -1.因此,2T n -T n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =2-12n -1-n 2n =2n +1-n -22n. 所以,T n =2n +1-n -22n.14.(2014·某某,18)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.14.解(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ), 化简得d 2-4d =0,解得d =0或d =4. 当d =0时,a n =2;当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2, 从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2. (2)当a n =2时,S n =2n .显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立. 当a n =4n -2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2.令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0, 解得n >40或n <-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41.word综上,当a n=2时,不存在满足题意的n;当a n=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.。
第五章 平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ,7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则( ) A.AD →=-13AB →+43AC → B.AD →=13AB →-43AC →C.AD →=43AB →+13AC →D.AD →=43AB →-13AC →1.A [∵BC →=3CD →,∴AC →-AB →=3(AD →-AC →),即4AC →-AB →=3AD →, ∴AD →=-13AB →+43AC →.]2.(2015·某某,8)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0),则|PA →+PB →+PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故PA →+PC →=2PO →=(-4,0),设B (x ,y ),则x 2+y 2=1且x ∈[-1,1],PB →=(x -2,y ),所以PA →+PB →+PC →=(x -6,y ).故|PA →+PB →+PC →|=-12x +37,∴x =-1时有最大值49=7,故选B.]3.(2014·某某,8)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3)3.B [法一 若e 1=(0,0),e 2=(1,2),则e 1∥e 2,而a 不能由e 1,e 2表示,排除A ;若e 1=(-1,2),e 2=(5,-2),因为-15≠2-2,所以e 1,e 2不共线,根据共面向量的基本定理,可以把向量a =(3,2)表示出来,故选B.法二 因为a =(3,2),若e 1=(0,0),e 2=(1,2),不存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,排除A ;若e 1=(-1,2),e 2=(5,-2),设存在实数λ,μ,使得a =λe 1+μe 2,则(3,2)=(-λ+5μ,2λ-2μ),所以⎩⎪⎨⎪⎧3=-λ+5μ,2=2λ-2μ,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=2,μ=1.所以a =2e 1+e 2,故选B.]4.(2014·某某,10)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a ,b ,|a |=|b |=1,a ·b =0,点Q 满足OQ →=2(a +b ).曲线C ={P |OP →=a cos θ+b cos θ,0≤θ<2π},区域Ω={P |0<r ≤|PQ →|≤R ,r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线,则( ) A.1<r <R <3 B.1<r <3≤R C.r ≤1<R <3 D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →=a =(1,0),OB →=b =(0,1),P (x ,y ),则OQ →=(2,2),曲线C ={P |OP →=(cos θ,sin θ),0≤θ<2π},即C :x 2+y 2=1,区域Ω={P |0<r ≤|PQ →|≤R ,r <R }表示圆P 1:(x -2)2+(y -2)2=r 2与圆P 2:(x -2)2+(y -2)2=R 2所形成的圆环,如图所示,要使C ∩Ω为两段分离的曲线,只有1<r <R <3.]5.(2016·全国Ⅰ,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =________. 5.-2[由|a +b |2=|a |2+|b |2,得a ⊥b ,所以m ×1+1×2=0,得m =-2.]6.(2015·新课标全国Ⅱ,13)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=____________.6.12[∵向量a ,b 不平行,∴a +2b ≠0,又向量λa +b 与a +2b 平行,则存在唯一的实数μ,使λa +b =μ(a +2b )成立,即λa +b =μa +2μb ,则得⎩⎪⎨⎪⎧λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=12.]7.(2015·,13)在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =________;y =________.7.12 -16 [MN →=MC →+→=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →, ∴x =12,y =-16.]8.(2015·某某,6)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m -n 的值为________.8.-3 [∵a =(2,1),b =(1,-2),∴m a +n b =(2m +n ,m -2n )=(9,-8),即⎩⎪⎨⎪⎧2m +n =9,m -2n =-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5,故m -n =2-5=-3.]9.(2014·新课标全国Ⅰ,15)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB →与AC →的夹角为________.9.90°[由AO →=12(AB →+AC →)可知O 为BC 的中点,即BC 为圆O 的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC =90°,所以AB →与AC →的夹角为90.]10.(2014·某某,16)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足|CD →|=1,则|OA →+OB →+OD →|的最大值是________.10.1+7 [设D (x ,y ),由|CD →|=1,得(x -3)2+y 2=1,向量OA →+OB →+OD →=(x -1,y +3),故|OA →+OB →+OD →|=(x -1)2+(y +3)2的最大值为圆(x -3)2+y 2=1上的动点到点(1,-3)距离的最大值,其最大值为圆(x -3)2+y 2=1的圆心(3,0)到点(1,-3)的距离加上圆的半径,即(3-1)2+(0+3)2+1=1+7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.(2016·某某,10)在平面内,定点A ,B ,C ,D 满足|DA →|=|DB →|=|DC →|,DA →·DB →=DB →·DC →=DC →·DA →=-2,动点P ,M 满足|AP →|=1,PM →=MC →,则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494C.37+634 D.37+23341.B[由题意,|DA →|=|DB →|=|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心; DA →·DB →=DB →·DC →=DC →·DA →=-2⇒DA →·DB →-DB →·DC →=DB →·(DA →-DC →)=DB →·CA →=0,所以DB ⊥AC ,同理可得,DA ⊥BC ,DC ⊥AB ,从而D 是△ABC 的垂心,∴△ABC 的外心与垂心重合,因此△ABC 是正三角形,且D 是△ABC 的中心.DA →·DB →=|DA →||DB →|cos ∠ADB =|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-2⇒|DA →|=2,所以正三角形ABC 的边长为23;我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,-3),C (3,3),D (2,0),由|AP →|=1,设P 点的坐标为(cos θ,sin θ),其中θ∈[0,2π),而PM →=MC →,即M 是PC 的中点,可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3+cos θ2,3+sin θ2 则|BM →|2=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ-322+⎝ ⎛⎭⎪⎫33+sin θ22=37+12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π64≤37+124=494, 当θ=23π时,||2取得最大值494.故选B.2.(2016·某某,8)已知非零向量m ,n 满足4|m |=3|n |,cos 〈m ,n 〉=13.若n ⊥(t m +n ),则实数t 的值为( )A.4B.-4C.94D.-942.B[∵n ⊥(t m +n ),∴n ·(t m +n )=0,即t ·m ·n +n 2=0,∴t |m ||n |cos 〈m ,n 〉+|n |2=0,由已知得t ×34|n |2×13+|n |2=0,解得t =-4,故选B.]3.(2016·全国Ⅲ,3)已知向量BA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,12,则∠ABC =( )A.30°B.45°C.60°D.120°3.A [|BA →|=1,|BC →|=1,cos ∠ABC =BA →·BC →|BA →|·|BC →|=32.]4.(2016·全国Ⅱ,3)已知向量a =(1,m ),b =(3,-2),且(a +b )⊥b ,则m =( ) A.-8B.-6 C.6 D.84.D[由题知a +b =(4,m -2),因为(a +b )⊥b ,所以(a +b )·b =0, 即4×3+(-2)×(m -2)=0,解之得m =8,故选D.]5.(2015·某某,4)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60° ,则BD →·CD →=( ) A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a25.D [如图所示,由题意,得BC =a ,CD =a ,∠BCD =120°.BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos 120°=a 2+a 2-2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=3a 2,∴BD =3a .∴BD →·CD →=|BD →|·|CD →|cos 30°=3a 2×32=32a 2.]6.(2015·某某,8)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →=2a ,AC →=2a +b ,则下列结论正确的是( )A.|b |=1B.a ⊥bC.a ·b =1D.(4a +b )⊥BC →6.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形;∴(AB →+AC →)·(AB →-AC →)=0,即(AB →+AC →)·CB →=0,∴(4a +b )⊥CB →,即(4a +b )⊥BC →,故选D.]7.(2015·某某,7)设四边形ABCD 为平行四边形,|AB →|=6,|AD →|=4,若点M ,N 满足BM →=3MC →,DN →=2NC →,则AM →·NM →=( ) A.20 B. 15 C.9 D.67.C[AM →=AB →+34AD →,NM →=CM →-→=-14AD →+13AB →∴AM →·NM →=14(4AB →+3AD →)·112(4AB →-3AD →)=148(16AB →2-9AD →2)=148(16×62-9×42)=9,选C.]8.(2015·某某,9)已知AB →⊥AC →,|AB →|=1t,|AC →|=t ,若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP →=AB →|AB →|+4AC →|AC →|,则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.218.A [建立如图所示坐标系,则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ,0,C (0,t ),AB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ,0,AC →=(0,t ),AP →=AB →|AB →|+4AC →|AC →|=t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ,0+4t (0,t )=(1,4),∴P (1,4),PB →·PC→=⎝ ⎛⎭⎪⎫1t-1,-4·(-1,t -4)=17-⎝ ⎛⎭⎪⎫1t+4t ≤17-21t·4t =13,故选A.]9.(2015·某某,6)若非零向量a ,b 满足|a |=223|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D.π 9.A [由题意(a -b )·(3a +2b )=3a 2-a·b -2b 2=0,即3|a |2-|a |·|b |cos θ-2|b |2=0,所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232-223cos θ-2=0,cos θ=22,θ=π4,选A.]10.(2015·某某,7)对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a -b |≤||a |-|b ||C.(a +b )2=|a +b |2D.(a +b )(a -b )=a 2-b210.B [对于A ,由|a ·b |=||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立;对于B ,当a ,b 均为非零向量且方向相反时不成立;对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]11.(2014·新课标全国Ⅱ,3)设向量a ,b 满足|a +b |=10,|a -b |=6,则a ·b =( ) A.1 B.2 C.3 D.511.A [由向量的数量积运算可知,∵|a +b |=10,∴(a +b )2=10,∴a 2+b 2+2a ·b =10,① 同理a 2+b 2-2a ·b =6,② ①-②得4a ·b =4,∴a ·b =1.]12.(2014·大纲全国,4)若向量a 、b 满足:|a |=1,(a +b )⊥a ,(2a +b )⊥b ,则|b |=( ) A.2 B.2C.1 D.2212.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a +b )·a =a 2+a ·b =0,(2a +b )·b =2a ·b +b 2=0⇒-2a 2+b 2=0,即-2|a |2+|b |2=0,又|a |=1,∴|b |= 2.故选B.]13.(2014·某某,8)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BE =λBC ,DF =μDC .若AE →·AF →=1,CE →·CF →=-23,则λ+μ=( )A.12B.23C.56D.71213.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0,-1),B (-3,0),C (0,1),D (3,0),由题意得CE →=(1-λ)·CB →=(3λ-3,λ-1),CF →=(1-μ)CD →=(3-3μ,μ-1).因为CE →·CF →=-23,所以3(λ-1)·(1-μ)+(λ-1)(μ-1)=-23,即(λ-1)(μ-1)=13.因为AE →=AC →+CE →=(3λ-3,λ+1).AF →=AC →+CF →=(3-3μ,μ+1),又AE →·AF →=1,所以(λ+1)(μ+1)=2.由⎩⎪⎨⎪⎧(λ-1)(μ-1)=13.(λ+1)(μ+1)=2,整理得λ+μ=56.选C.]14.(2016·某某,15)已知向量a ,b ,|a |=1,|b |=2.若对任意单位向量e ,均有|a ·e |+|b ·e |≤6,则a ·b 的最大值是________.14.12 [由已知可得:6≥|a ·e |+|b ·e |≥|a ·e +b ·e |=|(a +b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a +b |成立.∴6≥(a +b )2=a 2+b 2+2a ·b =12+22+2a ·b .即6≥5+2a ·b ,∴a ·b ≤12.]15.(2015·某某,14)在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则|AE →|·|AF →|的最小值为________.15.2918 [在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD →+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →·19λDC →=2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ19λ×cos 120°=29λ+λ2+1718≥229λ·λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918.]16.(2015·某某,15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2=12,若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意x ,y ∈R ,|b -(x e 1+ye 2)|≥|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0=________,y 0=________,|b |=________.16.1 2 2 2 [∵e 1·e 2=|e 1|·|e 2|cos 〈e 1,e 2〉=12,∴〈e 1,e 2〉=π3.不妨设e 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,0,e 2=(1,0,0),b =(m ,n ,t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1=12m +32n =2,b ·e 2=m =52,解得n =32,m =52,∴b =⎝ ⎛⎭⎪⎫52,32,t .∵b -(x e 1+y e 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫52-12x -y ,32-32x ,t ,∴|b -(x e 1+y e 2)|2=⎝ ⎛⎭⎪⎫52-x 2-y 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32-32x 2+t 2=x 2+xy +y 2-4x -5y +t 2+7=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y -422+34(y -2)2+t 2.由题意知,当x =x 0=1,y =y 0=2时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x +y -422+34(y -2)2+t 2取到最小值.此时t 2=1,故|b |=⎝ ⎛⎭⎪⎫522+⎝ ⎛⎭⎪⎫322+t 2=2 2.]17.(2015·某某,16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m =⎝⎛⎭⎪⎫22,-22,n =(sin x ,cosx ),x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2.(1)若m ⊥n ,求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3,求x 的值.17.解 (1)因为m =⎝⎛⎭⎪⎫22,-22,n =(sin x ,cos x ),m ⊥n .所以m ·n =0,即22sin x -22cos x =0,所以sin x =cos x ,所以tan x =1. (2)因为|m |=|n |=1,所以m ·n =cos π3=12,即22sin x -22cos x =12,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4=12, 因为0<x <π2,所以-π4<x -π4<π4,所以x -π4=π6,即x =5π12.18.(2014·,10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|=________.18. 5 [∵|a |=1,∴可令a =(cos θ,sin θ),∵λa +b =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ+2=0,λsin θ+1=0,即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ=-2λ,sin θ=-1λ,由sin 2θ+cos 2θ=1得λ2=5,得|λ|= 5.]19.(2014·某某,14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=13,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β,则cos β=________. 19.223[因为a 2=(3e 1-2e 2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a |=3,b 2=(3e 1-e 2)2=9-2×3×1×cos α+1=8,所以|b |=22,a ·b =(3e 1-2e 2)·(3e 1-e 2)=9e 21-9e 1·e 2+2e 22=9-9×1×1×13+2=8,所以cos β=a ·b |a |·|b |=83×22=223.]20.(2014·某某,11)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=________.20.±3 [(a +λb )⊥(a -λb )⇒(a +λb )·(a -λb )=a 2-λ2b 2=0⇒18-2λ2=0⇒λ=±3.]21.(2014·某某,12)如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP →=3PD →,AP →·BP →=2,则AB →·AD →的值是________.21.22 [因为AP →=AD →+DP →=AD →+14AB →,BP →=BC →+CP →=AD →-34AB →,所以AP →·BP →=(AD →+14AB →)·(AD→-34AB →)=|AD →|2-316|AB →|2-12AD →·AB →=2,将AB =8,AD =5代入解得AB →·AD →=22.]。
第十五章推理与证明1.(2014·,8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人1.B [学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存在的情况是,最多有3人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B.]2.(2014·某某,4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.A [至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.]3.(2016·全国Ⅱ,15)有三X卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一X卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.3.1和3[由丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”.]4.(2015·某某,11)观察下列各式:C01=40;C03+C13=41;C 05+C 15+C 25=42; C 07+C 17+C 27+C 37=43; ……照此规律,当n ∈N *时,C 02n -1+C 12n -1+ C 22n -1+…+ C n -12n -1=________. 4.4n -1[观察等式,第1个等式右边为40=41-1,第2个等式右边为41=42-1,第3个等式右边为42=43-1, 第4个等式右边为43=44-1,所以第n 个等式右边为4n -1.]5.(2015·某某,15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k =1,2,…,n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算定义为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于________.5.5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=1⊕1⊕0⊕1=1,(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1⊕0⊕0⊕1=0;(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=1⊕0⊕1⊕1=1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5,x 7有一个错误,(ⅱ)中没有错误, ∴x 5错误,故k 等于5.]6.(2015·某某,23)已知集合X ={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n },令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明. 6.解 (1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n 3,n =6t ,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n -13,n =6t +1,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n -23,n =6t +2,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n 3,n =6t +3,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n -13,n =6t +4,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n -23,n =6t +5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明:①当n =6时,f (6)=6+2+62+63=13,结论成立;②假设n =k (k ≥6)时结论成立,那么n =k +1时,S k +1在S k 的基础上新增加的元素在(1,k +1),(2,k +1),(3,k +1)中产生,分以下情形讨论: 1)若k +1=6t ,则k =6(t -1)+5,此时有f (k +1)=f (k )+3=k +2+k -12+k -23+3=(k +1)+2+k +12+k +13,结论成立;2)若k +1=6t +1,则k =6t ,此时有f (k +1)=f (k )+1=k +2+k 2+k 3+1=(k +1)+2+(k +1)-12+(k +1)-13,结论成立;3)若k +1=6t +2,则k =6t +1,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k -12+k -13+2=(k +1)+2+k +12+(k +1)-23,结论成立;4)若k +1=6t +3,则k =6t +2,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k 2+k -23+2=(k +1)+2+(k +1)-12+k +13,结论成立;5)若k +1=6t +4,则k =6t +3,此时有f (k +1)=f (x )+2=k +2+k -12+k3+2=(k +1)+2+k +12+(k +1)-13,结论成立; 6)若k +1=6t +5,则k =6t +4,此时有f (k +1)=f (k )+1=k +2+k 2+k -13+1=(k +1)+2+(k +1)-12+(k +1)-23,结论成立.综上所述,结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.7.(2014·某某,14)观察分析下表中的数据:7.F +V -E =2[三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F +V -E =2.]8.(2014·某某,21)设函数f (x )=ln (1+x ),g (x )=xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )=g (x ),g n +1(x )=g (g n (x )),n ∈N *,求g n (x )的表达式; (2)若f (x )≥ag (x )恒成立,某某数a 的取值X 围;(3)设n ∈N *,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明. 8.由题设得,g (x )=x1+x(x ≥0). (1)由已知,g 1(x )=x1+x ,g 2(x )=g (g 1(x ))=x1+x 1+x 1+x=x 1+2x ,g 3(x )=x1+3x,…, 可得g n (x )=x1+nx .下面用数学归纳法证明.①当n =1时,g 1(x )=x1+x,结论成立.②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x1+kx.那么,当n =k +1时,g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x1+kx 1+x 1+kx=x 1+(k +1)x,即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N *成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln (1+x )≥ax1+x恒成立.设φ(x )=ln (1+x )-ax1+x (x ≥0),则φ′(x )=11+x -a (1+x )2=x +1-a(1+x )2, 当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x =0,a =1时等号成立),∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立, ∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax1+x恒成立(仅当x =0时等号成立). 当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )<0,∴φ(x )在(0,a -1]上单调递减, ∴φ(a -1)<φ(0)=0,即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0, 故知ln (1+x )≥ax1+x 不恒成立.综上可知,a 的取值X 围是(-∞,1].(3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+nn +1,n -f (n )=n -ln (n +1),比较结果为g (1)+g (2)+…+g (n )>n -ln (n +1). 证明如下:法一 上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln (n +1),在(2)中取a =1,可得ln (1+x )>x1+x ,x >0.令x =1n ,n ∈N *,则1n +1<ln n +1n .下面用数学归纳法证明.①当n =1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n =k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln (k +1).那么,当n =k +1时,12+13+…+1k +1+1k +2<ln (k +1)+1k +2<ln (k +1)+ln k +2k +1=ln (k +2), 即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N *成立.法二 上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln (n +1),在(2)中取a =1,可得ln (1+x )>x1+x,x >0.令x =1n ,n ∈N *,则ln n +1n >1n +1.故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,……ln(n +1)-ln n >1n +1, 上述各式相加可得ln (n +1)>12+13+…+1n +1,结论得证.法三 如图,n⎰xx +1d x 是由曲线y =x x +1,x =n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积,而12+23+…+nn +1是图中所示各矩形的面积和. ∴12+23+…+n n +1>0n⎰xx +1d x =0n⎰(1-1x +1)d x =n -ln (n +1), 结论得证.9.(2014·某某,22)设a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +2+b (n ∈N *). (1)若b =1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式;(2)若b =-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n +1对所有n ∈N *成立?证明你的结论. 9.解 (1)法一 a 2=2,a 3=2+1,再由题设条件知(a n +1-1)2=(a n -1)2+1.从而{(a n -1)2}是首项为0公差为1的等差数列,故(a n -1)2=n -1,即a n =n -1+1(n ∈N *). 法二 a 2=2,a 3=2+1,可写为a 1=1-1+1,a 2=2-1+1,a 3=3-1+1.因此猜想a n =n -1+1. 下面用数学归纳法证明上式: 当n =1时结论显然成立.假设n =k 时结论成立,即a k =k -1+1.则a k +1=(a k -1)2+1+1=(k -1)+1+1=(k +1)-1+1.这就是说,当n =k +1时结论成立.所以a n =n -1+1(n ∈N *). (2)法一 设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ). 令c =f (c ),即c =(c -1)2+1-1,解得c =14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n +1<1.当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立.假设n =k 时结论成立,即a 2k <c <a 2k +1<1.易知f (x )在(-∞,1]上为减函数, 从而c =f (c )>f (a 2k +1)>f (1)=a 2,即1>c >a 2k +2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上为减函数得c =f (c )<f (a 2k +2)<f (a 2)=a 3<1. 故c <a 2k +3<1,因此a 2(k +1)<c <a 2(k +1)+1<1.这就是说,当n =k +1时结论成立. 综上,符合条件的c 存在,其中一个值为c =14.法二 设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ). 先证:0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n =1时,结论明显成立.假设n =k 时结论成立,即0≤a k ≤1.易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而0=f (1)≤f (a k )≤f (0)=2-1<1.即0≤a k +1≤1.这就是说,当n =k +1时结论成立,故①成立.再证:a 2n <a 2n +1(n ∈N *).② 当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (a 2)=f (0)=2-1,有a 2<a 3,即n =1时②成立. 假设n =k 时,结论成立,即a 2k <a 2k +1,由①及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得a 2k +1=f (a 2k )>f (a 2k +1)=a 2k +2,a 2(k +1)=f (a 2k +1)<f (a 2k +2)=a 2(k +1)+1.这就是说,当n =k +1时②成立,所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n -2a 2n +2-1,即(a 2n +1)2<a 22n -2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①、②及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得f (a 2n )>f (a 2n +1),即a 2n +1>a 2n +2, 所以a 2n +1>a 22n +1-2a 2n +1+2-1.解得a 2n +1>14.④综上,由②、③、④知存在c =14使a 2n <c <a 2n +1对一切n ∈N *成立.。
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ考点1 函数的概念1.(2015·某某,7)设x ∈R ,定义符号函数x sgn =⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A .|x |=x |x sgn |B .|x |=x x sgnC .|x |= sgn x xD .|x |=sgn x1.解析 对于选项A ,右边=xx sgn =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≠0,0,x =0,而左边=|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,显然不正确; 对于选项B ,右边=xx sgn =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≠0,0,x =0,而左边=|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,显然不正确; 对于选项C ,右边=sgn x x =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x >00,x =0x ,x <0,而左边=|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,显然不正确;对于选项D ,右边=sgn x =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x >0,0,x =0,-x ,x <0,而左边=|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,显然正确.故应选D.答案 D2.(2015·某某,3)函数f (x )=log 2(x 2+2x -3)的定义域为( ) A .[-3,1]B .(-3,1)C .(-∞,-3]∪[1,+∞)D .(-∞,-3)∪(1,+∞)2.解析 需满足x 2+2x -3>0,解得x >1或x <-3,所以f (x )的定义域为(-∞,-3)∪ (1,+∞). 答案 D3.(2015·某某,6)函数f (x )=4-|x |+lg x 2-5x +6x -3的定义域为( )A .(2,3)B .(2,4]C .(2,3)∪(3,4]D .(-1,3)∪(3,6]3.解析 依题意,有4-|x |≥0,解得-4≤x ≤4; ①且x 2-5x +6x -3>0,解得x >2且x ≠3, ②由①②求交集得函数的定义域为(2,3)∪(3,4].故选C. 答案 C4.(2015·新课标全国Ⅰ,10)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1-2,x ≤1,-log 2x +1,x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( ) A .-74B .-54C .-34D .-144.解析 若a ≤1,f (a )=2a -1-2=-3,2a -1=-1(无解);若a >1,f (a )=-log 2(a +1)=-3,a =7,f (6-a )=f (-1)=2-2-2=14-2=-74.答案 A5.(2015·某某,10)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -b ,x <1,2x,x ≥1.若⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛65f f =4,则b =( )A .1 B.78C.34D.125.解析 由题意,得⎪⎭⎫⎝⎛65f =3×56-b =52-b .若52-b ≥1,即b ≤32时,522=4b -,解得b =12. 若52-b <1,即b >32时,3×⎪⎭⎫⎝⎛-b 25-b =4,解得b =78(舍去). 所以b =12.答案 D6.(2015·某某,4)设f (x )=⎩⎨⎧1-x ,x ≥0,2x,x <0,则f (f (-2))=( )A .-1 B.14C.12D.326.解析 ∵f (-2)=2-2=14>0,则f (f (-2))=⎪⎭⎫ ⎝⎛41f =1-41=1-12=12,故选C.答案 C7.(2014·某某,3)函数f (x )=1log 2x -1的定义域为( )A .(0,2)B .(0,2]C .(2,+∞)D .[2,+∞)7.解析 由题意可知x 满足log 2x -1>0,即log 2x >log 22,根据对数函数的性质得x >2, 即函数f (x )的定义域是(2,+∞). 答案 C8.(2014·某某,4)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x,x ≥02-x,x <0(a ∈R ),若f [f (-1)]=1,则a =( )A.14B.12C .1D .2 8.解析 因为-1<0,所以f (-1)=(1)2--=2,又2>0,所以f [f (-1)]=f (2)=a ·22=1,解得a =14.答案 A9.(2015·新课标全国Ⅱ,13)已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a =________. 9.解析 由函数f (x )=ax 3-2x 过点(-1,4),得4=a (-1)3-2×(-1),解得a =-2. 答案 -2考点2 函数的基本性质1.(2016·某某,9)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,f (x )=x 3-1;当-1≤x ≤1时,f (-x )=-f (x ),当x >12时,⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x f .则f (6)=( ) A.-2 B.-1 C.0D.21.解析 当x >12时,⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x f ,即f (x )=f (x +1),∴T =1,∴f (6)=f (1).当x <0时,f (x )=x 3-1且-1≤x ≤1,f (-x )=-f (x ), ∴f (6)=f (1)=-f (-1)-[(-1)3-1]=2,故选D. 答案D2.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数f (x )=ln(1+|x |)-11+x 2,则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值X 围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31B.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,13∪(1,+∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞ 2.解析 由f (x )=ln(1+|x |)-11+x 2 知f (x )为R 上的偶函数,于是f (x )>f (2x -1)即为f (|x |)>f (|2x -1|).当x >0时,f (x )=ln(1+x )-11+x 2,得f ′(x )=11+x +2x(1+x 2)2>0,所以f (x )为[0,+∞)上的增函数, 则由f (|x |)>f (|2x -1|)得|x |>|2x -1|, 平方得3x 2-4x +1<0,解得13<x <1,故选A.答案 A3.(2015·,3)下列函数中为偶函数的是( ) A .y =x 2sin x B .y =x 2cos x C .y =|ln x |D .y =2x3.解析 由f (-x )=f (x ),且定义域关于原点对称,可知A 为奇函数,B 为偶函数,C 定义域不关于原点对称,D 为非奇非偶函数. 答案B4.(2015·某某,3)下列函数中为奇函数的是( )A.y=x B.y=e xC.y=cos x D.y=e x-e-x4.解析由奇函数定义易知y=e x-e-x为奇函数,故选D.答案 D5.(2015·某某,3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos xC.y=2x+12xD.y=x2+sin x5.解析对于A,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),为奇函数;对于B,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),为偶函数;对于C,f(-x)=2-x+12-x =2x+12x=f(x),为偶函数;对于D,y=x2+sin x既不是偶函数也不是奇函数,故选D.答案D6.(2015·新课标全国Ⅰ,12)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )A.-1 B.1 C.2 D.46.解析设f(x)上任意一点为(x,y),该点关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),将(-y,-x)代入y=2x+a,所以y=a-log2(-x),由f(-2)+f(-4)=1,得a-1+a-2=1,2a=4,a=2.答案 C7.(2014·,2)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )A.y=e-x B.y=x3C.y=ln x D.y=|x|7.解析分别画出四个函数的图象,如图所示:因为对数函数y=ln x的定义域不是R,故首先排除C;因为指数函数y=e-x在定义域内单调递减,故排除A;对于函数y=|x|,当x∈(-∞,0)时,函数变为y=-x,在其定义域内单调递减,故排除D;而函数y=x3在定义域R上为增函数.故选B.答案 B8.(2014·某某,4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1 C.f(x)=x3D.f(x)=2x8.解析因为y=x2在(-∞,0)上是单调递减的,故y=1x2在(-∞,0)上是单调递增的,又y=1x2为偶函数,故A对;y=x2+1在(-∞,0)上是单调递减的,故B错;y=x3为奇函数,故C错;y=2-x为非奇非偶函数,故D错.所以选A.答案 A9.(2014·新课标全国Ⅰ,5)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数9.解析f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选C.答案 C10.(2014·某某,5)下列函数为奇函数的是( )A.y=2x-12xB.y=x3sin xC.y=2cos x+1 D.y=x2+2x10.解析选项B中的函数是偶函数;选项C中的函数也是偶函数;选项D中的函数是非奇非偶函数,根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数. 答案 A11.(2014·某某,4)下列函数为偶函数的是( ) A .f (x )=x -1 B .f (x )=x 2+x C .f (x )=2x -2xD .f (x )=2x+2x11.解析 函数f (x )=x -1和f (x )=x 2+x 既不是偶函数也不是奇函数,排除选项A 和选项B ;选项C 中f (x )=2x -2-x ,则f (-x )=2-x -2x =-(2x -2-x )=-f (x ),所以f (x )=2x -2-x为奇函数,排除选项C ;选项D 中f (x )=2x+2x,则f (-x )=2x+2x =f (x ),所以f (x )=2x +2x为偶函数,故选D. 答案 D12.(2016·,10)函数f (x )=xx -1(x ≥2)的最大值为________.12.解析 f (x )=xx -1=1+1x -1,所以f (x )在[2,+∞)上单调递减, 则f (x )最大值为f (2)=22-1=2.答案 213.(2016·某某,14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=4x,则⎪⎭⎫⎝⎛25f +f (2)=________.13.解析 ∵f (x )周期为2,且为奇函数,已知(0,1)内f (x )=4x, 则可大致画出(-1,1)内图象如图,∴f (0)=0,∴⎪⎭⎫ ⎝⎛25f +f (2)=-⎪⎭⎫ ⎝⎛25f +f (2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f +f (0)=-2+0=-2. 答案 -214.(2015·某某,5)若函数f (x )=2|x -a |(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x ),且f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则实数m 的最小值为________.14.解析 ∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴x =1,∴a =1,f(x)=2|x -1|,∴f(x)的增区间为[1,+∞).∵[m ,+∞)⊆[1,+∞),∴m≥1.∴m 的最小值为1.答案 115.(2014·新课标全国Ⅱ,15)偶函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称,f (3)=3,则f (-1)=________.15.解析 因为函数f (x )的图象关于直线x =2对称,所以f (x )=f (4-x ),f (-x )=f (4+x ), 又f (-x )=f (x ),所以f (x )=f (4+x ),则f (-1)=f (4-1)=f (3)=3. 答案 316.(2014·某某,14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 1-x ,0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则⎪⎭⎫⎝⎛429f +⎪⎭⎫⎝⎛641f =________. 16.解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数, 所以⎪⎭⎫⎝⎛429f +⎪⎭⎫ ⎝⎛641f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯4342f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯6742f=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-67f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-43f -⎪⎭⎫⎝⎛67f =-316+sin π6=516.答案 51617.(2014·某某,13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1,则⎪⎭⎫⎝⎛23f =________.17.解析 由已知易得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f =-4×221⎪⎭⎫⎝⎛+2=1,又由函数的周期为2,可得⎪⎭⎫⎝⎛23f =⎪⎭⎫⎝⎛-21f =1. 答案 1考点3 二次函数与幂函数1.(2014·某某,9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 2-3x .则函数g (x )=f (x )-x +3的零点的集合为( )A .{1,3}B .{-3,-1,1,3}C .{2-7,1,3}D .{-2-7,1,3}1.解析 当x ≥0时,函数g (x )的零点即方程f (x )=x -3的根, 由x 2-3x =x -3,解得x =1或3;当x <0时,由f (x )是奇函数得-f (x )=f (-x )=x 2-3(-x ),即f (x )=-x 2-3x . 由f (x )=x -3得x =-2-7(正根舍去).故选D. 答案 D2.(2014·,8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p =at 2+bt +c (a ,b ,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A .3.50分钟B .3.75分钟C .4.00分钟D .4.25分钟2.解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a +3b +c =0.7,16a +4b +c =0.8,25a +5b +c =0.5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-0.2,b =1.5,c =-2,∴p =-0.2t 2+1.5t -2=-15⎝⎛⎭⎪⎫t -1542+1316,∴当t =154=3.75时p 最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.答案 B3.(2014·某某,9)设θ为两个非零向量a ,b 的夹角.已知对任意实数t ,|b +t a |的最小值为( )A .若θ确定,则|a |唯一确定B .若θ确定,则|b |唯一确定C .若|a |确定,则θ唯一确定D .若|b |确定,则θ唯一确定3.解析 |b +t a |2=|a |2t 2+2a·b ·t +|b |2=|a |2t 2+2|a||b|cos θ·t +|b |2, 设f (t )=|a |2t 2+2|a||b|cos θ·t +|b |2, 则二次函数f (t )的最小值为1,即4|a|2|b|2-4|a|2|b|2cos 2θ4|a|2=1,化简得|b |2sin 2θ=1. ∵|b |>0,0≤θ≤π,∴|b |sin θ=1,若θ确定,则|b |唯一确定,而|b|确定,θ不确定,故选B. 答案 B考点4 指数与指数函数1.(2016·新课标全国Ⅲ,7)已知a =243,b =323,c =2513,则( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b1.解析 a =243=316,b =323=39,c =2513=325,所以b <a <c .答案 A2.(2015·某某,7)已知定义在R 上的函数f (x )=2|x -m |-1(m 为实数)为偶函数,记a =f (log 0.53),b =f (log 25),c =f (2m ),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a <b <cB .c <a <bC .a <c <bD .c <b <a2.解析 由函数f (x )=2|x -m |-1为偶函数,得m =0,所以f (x )=2|x |-1,当x >0时,f (x )为增函数,log 0.53=-log 23, ∴log 25>|-log 23|>0,∴b =f (log 25)>a =f (log 0.53)>c =f (2m )=f (0),故选B.答案 B3.(2015·某某,3)设a =0.60.6,b =0.61.5,c =1.50.6,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <cD .b <c <a3.解析 根据指数函数y =0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60=1, 根据指数函数y =1.5x在R 上单调递增可得1.50.6>1.50=1, ∴b <a <c . 答案 C4.(2015·某某,8)某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y =e kx +b (e =2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A .16小时 B .20小时 C .24小时D .28小时4.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧192=e b,48=e22k +b,∴e 22k =48192=14,∴e 11k =12, ∴x =33时,y =e 33k +b=(e 11k )3·e b=⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192=24. 答案 C5.(2014·某某,5)已知实数x ,y 满足a x <a y(0<a <1),则下列关系式恒成立的是( ) A .x 3>y 3B .sin x >sin yC .ln(x 2+1)>ln(y 2+1)D.1x 2+1>1y 2+15.解析 根据指数函数的性质得x >y ,此时,x 2,y 2的大小不确定,故选项C 、D 中的不等式不恒成立;根据三角函数的性质知选项B 中的不等式不恒成立; 根据不等式的性质知选项A 中的不等式恒成立. 答案 A6.(2014·某某,7)下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 3B .f (x )=3xC .f (x )=x 12D .f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x6.解析 根据和的函数值等于函数值的积的特征,其典型代表函数为指数函数,又所求函数为单调递增函数,故选B. 答案 B7.(2015·,10)2-3,123,log 25三个数中最大的数是________.7.解析 2-3=18<1,又因为23<22<5,所以log223<log222<log 25,即3<log 25. 所以最大值为log 25. 答案 log 25考点5 对数与对数函数1.(2016·新课标全国卷Ⅱ,10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是( ) A.y =x B.y =lg x C.y =2xD.y =1x1.解析 函数y =10lg x的定义域为{x |x >0},值域为{y |y >0},所以与其定义域和值域分别相同的函数为y =1x,故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅰ,8)若a >b >0,0<c <1,则( ) A.c a log <c b log B a c log <b c log C.a c<b cD.c a>cb2.解析 对A :c a log =lg c lg a ,c b log =lg clg b,∵0<c <1,∴lg c <0,而a >b >0,所以lg a >lg b ,但不能确定lg a 、lg b 的正负,所以它们的大小不能确定,所以A 错;对于B :a c log =lg a lg c ,b c log =lg b lg c ,而lg a >lg b ,两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向,所以选项B 正确;对C :由y =x c 在第一象限内是增函数,即可得到a c >b c,所以C 错; 对D :由y =c x在R 上为减函数,得c a<c b,所以D 错.故选B. 答案 B3.(2015·某某,4)设a ,b 为正实数,则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件3.解析 若a >b >1,那么log 2a >log 2b >0; 若log 2a >log 2b >0,那么a >b >1,故选A. 答案 A4.(2015·某某,8)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( ) A .奇函数,且在(0,1)上是增函数 B .奇函数,且在(0,1)上是减函数 C .偶函数,且在(0,1)上是增函数 D .偶函数,且在(0,1)上是减函数4.解析 易知函数定义域为(-1,1),又f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),故函数f (x )为奇函数,又f (x )=ln ⎝⎛⎭⎪⎫-1-2x -1,由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上是增函数.答案 A5.(2014·某某,8)若函数y =log a x ( a >0,且a ≠1)的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是( )5.解析 因为函数y =log a x 过点(3,1),所以1=log a 3,解得a =3.y =3-x不可能过点(1,3),排除A ;y =(-x )3=-x 3不可能过点(1,1),排除C; y =log 3(-x )不可能过点(-3,-1), 排除D ,故选B.答案 B6.(2014·某某,6)已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A .a >1,c >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <16解析 由对数函数的性质得0<a <1,因为函数y =log a (x +c )的图象在c >0时是由函数y =log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c <1.答案 D7.(2014·某某,4)设a =log 2 π,b =log 12π,c =π-2,则( )A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >b >a解析 利用中间量比较大小.因为a =log 2π∈(1,2),b =log 12π<0,c =π-2∈(0,1),所以a >c >b . 答案 C8.(2014·某某,3)已知a =213,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .c >a >b8 解析 a =2-13<20=1,所以0<a <1,b =log 213<log 21=0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b . 答案 D9.(2014·某某,7)已知b >0,log 5b =a ,lg b =c,5d=10,则下列等式一定成立的是( ) A .d =ac B .a =cd C .c =adD .d =a +c9 解析 由已知得5a=b ,10c=b ,∴5a=10c,∵5d=10,∴5dc=10c,则5dc=5a,∴dc =a , 答案 B10.(2015·某某,12)lg 0.01+log 216=________. 10解析 lg 0.01+log 216=lg 1100+log 224=-2+4=2.答案 211.(2015·某某,11)lg 52+2lg 2-121-⎪⎭⎫⎝⎛=________.11解析 lg 52+2lg 2-121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=lg 52+lg 22-2=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4-2=1-2=-1.答案 -112.(2015·某某,9)计算:log 222=________,24log 3log 32+=________. 12.解析 log 222=1-22log 2=-12,24log 3log 32+=221log 3log 322+=322log 32=3 3.答案 -12 3 313.(2014·某某,12)已知4a=2,lg x =a ,则x =________.13.解析 由已知4a =2⇒a =log 42=12,又lg x =a ⇒x =10a =1012=10.答案 101.(2016·新课标全国Ⅰ,9)函数y =2x 2-e |x |在[-2,2]的图象大致为( )1.解析 f (2)=8-e 2>8-2.82>0,排除A ;f (2)=8-e 2<8-2.72<1,排除B ;在x >0时,f (x )=2x 2-e x ,f ′(x )=4x -e x ,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14时,f ′(x )<14×4-e 0=0,因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14上单调递减,排除C ,故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ,12)已知函数f (x ) (x ∈R)满足f (x )= f (2-x ),若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则x i =( )A. 0B. mC. 2mD. 4m 2.解析函数f (x ) (x ∈R)满足f (x ) = f (2-x ), 故函数f (x )的图象关于直线x =1对称,函数y =|x 2-2x -3|的图象也关于直线x =1对称,故函数y =|x 2-2x -3|与y= f (x )图象的交点也关于直线x =1对称, 故x i =×2=m,故选B.答案 B3.(2016·某某,3)函数y =sin x 2的图象是( )3.解析 y =sin x 2为偶函数,其图象关于y 轴对称,排除A 、C. 又当x 2=π2,即x =±π2时,y max =1,排除B ,故选D. 答案 D4.(2015·新课标全国Ⅱ,11)如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP =x .将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y =f (x )的图象大致为( )4.解析 当点P 沿着边BC 运动,即0≤x≤π4时,在Rt△POB 中,|PB|=|OB|tan ∠POB =tanx ,在Rt△PAB 中,|PA|=22PB AB +=4+tan2x ,则f(x)=|PA|+|PB|=4+tan2x+tan x ,它不是关于x 的一次函数,图象不是线段,故排除A 和C ; 当点P 与点C 重合,即x =π4时,由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=4+tan2π4+tan π4=5+1,又当点P与边CD 的中点重合,即x =π2时,△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=|PA|+|PB|=2+2=22,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,故又可排除D.故选B. 答案 B5.(2015·某某,5)函数f (x )=⎝⎛⎭⎪⎫x -1x cos x (-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )5.解析 ∵f (x )=(x -1x)cos x ,∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数,排除A ,B ;当x →π时,f (x )<0,排除C.故选D. 答案 D6.(2014·某某,8)在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a(x >0),g (x )=log a x 的图象可能是( )6.解析 根据对数函数性质知,a >0,所以幂函数是增函数,排除A(利用(1,1)点也可以排除);选项B 从对数函数图象看a <1,与幂函数图象矛盾;选项C 从对数函数图象看a >1,与幂函数图象矛盾.故选D. 答案 D7.(2014·某某,10)已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧c os πx ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12,2x -1,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞,则不等式f (x -1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43,74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-34,-13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43,74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-34,-13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,347.解析 当0≤x ≤12时,令f (x )=cos πx ≤12,解得13≤x ≤12;当x >12时,令f (x )=2x -1≤12,解得12<x ≤34,故有13≤x ≤34.因为函数f (x )是偶函数,所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-34,-13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,34,故f (x -1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43,74.故选A.答案 A考点6 函数与方程1.(2015·某某,8)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-|x |,x ≤2,x -22,x >2,函数g (x )=3-f (2-x ),则函数y =f (x )-g (x )的零点个数为( )A .2B .3C .4D .5 1.解析函数y =f (x )-g (x )的零点个数即为函数f (x )与g (x )图象的交点个数,记h (x )=-f (2-x ),在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )与h (x )的图象,如图所示,g (x )的图象为h (x )的图象向上平移3个单位,可知f (x )与g (x )的图象有两个交点,故选A. 答案 A2.(2015·某某,4)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A .y =ln x B .y =x 2+1 C .y =sin xD .y =cos x2.解析 对数函数y =ln x 是非奇非偶函数;y =x 2+1为偶函数但没有零点;y =sin x 是奇函数;y =cos x 是偶函数且有零点,故选D.答案 D3.(2014·某某,10)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x +1-3,x ∈-1,0],x ,x ∈0,1],且g (x )=f (x )-mx -m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-94,-2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-114,-2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-94,-2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0,23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤-114,-2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0,23 3.解析 g (x )=f (x )-mx -m 在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y =f (x )的图象与函数y =m (x +1)的图象有两个交点,在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x +1-3,x ∈(-1,0],x ,x ∈(0,1]和函数y =m (x +1)的图象,如图所示,当直线y =m (x +1)与y =1x +1-3,x ∈(-1,0]和y =x ,x ∈(0,1]都相交时,0<m ≤12;当直线y =m (x +1)与y =1x +1-4,x ∈(-1,0]有两个交点时,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =m (x +1),y =1x +1-3,消元得1x +1-3=m (x +1),即m (x +1)2+3(x +1)-1=0,化简得mx 2+(2m +3)x +m +2=0,当Δ=9+4m =0,m =-94时,直线y =m (x +1)与y =1x +1-3相切,当直线y =m (x +1)过点(0,-2)时,m =-2, 所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-94,-2. 综上所述,实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-94,-2∪(0,12],选择A.答案 A4.(2014·,6)已知函数f (x )=6x-log 2x .在下列区间中,包含f (x )零点的区间是( )A .(0,1)B .(1,2)C .(2,4)D .(4,+∞)4.解析 因为f (1)=6-log 21=6>0,f (2)=3-log 22=2>0,f (4)=32-log 24=-12<0,所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4),故选C. 答案 C5.(2016·某某,15)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值X 围是________. 5.解析 如图,当x ≤m 时,f (x )=|x |.当x >m 时,f (x )=x 2-2mx +4m ,在(m ,+∞)为增函数.若存在实数b ,使方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 2-2m ·m +4m <|m |. ∵m >0,∴m 2-3m >0,解得m >3. 答案 (3,+∞)6.(2015·某某,13)已知函数f (x )=|ln x |,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0,0<x ≤1,|x 2-4|-2,x >1,则方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为________.6.解析 令h (x )=f (x )+g (x ),则h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-ln x ,0<x ≤1,-x 2+ln x +2,1<x <2,x 2+ln x -6,x ≥2,当1<x <2时,h ′(x )=-2x +1x =1-2x2x<0,故当1<x <2时h (x )单调递减,在同一坐标系中画出y =|h (x )|和y =1的图象如图所示.由图象可知|f (x )+g (x )|=1的实根的个数为4. 答案47.(2015·某某,13)函数f (x )=2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2-x 2的零点个数为________.7.解析 f (x )=2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2-x 2=2sin x cos x -x 2=sin 2x -x 2.令f (x )=0,则sin 2x =x 2,则函数f (x )的零点个数即为函数y =sin 2x 与函数y =x 2的图象的交点个数. 作出函数图象知,两函数交点有2个,即函数f (x )的零点个数为2.答案 28.(2014·某某,14)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|x 2+5x +4|,x ≤0,2|x -2|,x >0.若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点,则实数a 的取值X 围为________.8.解析 由题意,函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点,得函数y 1=f (x )与y 2=a |x |的图象有4个不同的交点.在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a 显然大于0).由图知,当y 2=-ax (x <0)与y 1=-x 2-5x -4(-4<x <-1)相切时,x 2+(5-a )x +4=0有两个相等的实数根,则(5-a )2-16=0,解得a =1(a =9舍去).所以当x <0时,y 1与y 2的图象恰有3个不同的交点.显然,当1<a <2时,两个函数的图象恰有4个不同的交点,即函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点.答案 (1,2)9.(2014·某某,15))函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x ≤0,2x -6+ln x ,x >0的零点个数为________.9.解析 当x ≤0时,令x 2-2=0,解得x =-2;当x >0时,f (x )=2x -6+ln x ,因为f ′(x )=2+1x>0,所以函数f (x )=2x -6+ln x 在(0,+∞)上单调递增,因为f (1)=2-6+ln 1=-4<0,f (3)=ln 3>0,所以函数f (x )=2x -6+ln x 在(0,+∞)上有且只有一个零点. 综上所述,函数f (x )的零点个数为2. 答案 2考点7 函数模型及其应用1.(2016·某某,7)某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30) A.2018年 B.2019年C.2020年D.2021年1.解析 设第x 年的研发奖金为200万元,则由题意可得130×(1+12%)x=200, ∴1.12x=2013,∴x =log 1.122013=log 1.1220-log 1.1213=lg 20lg 1.12-lg 13lg 1.12=(lg 2+lg 10)-(lg 1.3+lg 10)lg 1.12=0.3+1-0.11-10.05=3.8.即3年后不到200万元,第4年超过200万元,即2019年超过200万元. 答案 B2.(2014·某某,9)对于函数f (x ),若存在常数a ≠0,使得x 取定义域内的每一个值,都有f (x )=f (2a -x ),则称f (x )为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A .f (x )=xB .f (x )=x 2C .f (x )=tan xD .f (x )=cos(x +1)2.解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线x =a (a ≠0)对称,即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴.选项A 、C 中函数的图象不存在对称轴,选项B 中函数的图象的对称轴为y轴,只有选项D 中函数的图象存在不是y 轴的对称轴. 答案 D3.(2014·某某,16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为F =76 000vv 2+18v +20l.(1)如果不限定车型,l =6.05,则最大车流量为______辆/时;(2)如果限定车型,l =5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 3.解析 (1)F =76 000v +20×6.05v+18≤76 0002121+18=1 900,当且仅当v =11时等号成立.(2)F =76 000v +20×5v+18≤76 0002100+18=2 000,当且仅当v =10时等号成立,2 000-1 900=100.答案 (1)1 900 (2)1004.(2014·某某,15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M ,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M ,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A ,φ2(x)∈B ,现有如下命题: ①设函数f(x)的定义域为D ,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f(a)=b”; ②若函数f(x)∈B ,则f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A ,g(x)∈B ,则f(x)+g(x)∉B ; ④若函数f(x)=aln(x +2)+xx2+1(x >-2,a ∈R)有最大值,则f(x)∈B. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 4.解析 ①显然正确;②反例:函数y =12x +1的值域为(0,1),存在M =1符合题意,但此函数没有最值;③当f (x )趋于+∞时,无论g (x )在[-M ,M ]内如何取值,f (x )+g (x )都趋于+∞,所以f (x )+g (x )不可能有最大值,此命题正确; ④由于ln(x +2)的值域为R ,xx 2+1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12,由③知如果a ≠0,则函数f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1的值域为R ,无最大值,与已知矛盾,所以a =0,所以此命题正确.答案 ①③④。
第十五章推理与证明1.(2014·北京,8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人1.B [学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存在的情况是,最多有3人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B.]2.(2014·山东,4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.A [至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.]3.(2016·全国Ⅱ,15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.3.1和3 [由丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”,又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”,所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,所以甲只能为“1和3”.]4.(2015·山东,11)观察下列各式:C01=40;C03+C13=41;C05+C15+C25=42;C07+C17+C27+C37=43;……照此规律,当n ∈N *时,C 02n -1+C 12n -1+ C 22n -1+…+ C n -12n -1=________. 4.4n -1[观察等式,第1个等式右边为40=41-1,第2个等式右边为41=42-1,第3个等式右边为42=43-1, 第4个等式右边为43=44-1,所以第n 个等式右边为4n -1.]5.(2015·福建,15)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k =1,2,…,n )称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算定义为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于________.5.5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=1⊕1⊕0⊕1=1,(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=1⊕0⊕0⊕1=0;(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=1⊕0⊕1⊕1=1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5,x 7有一个错误,(ⅱ)中没有错误, ∴x 5错误,故k 等于5.]6.(2015·江苏,23)已知集合X ={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n },令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明. 6.解 (1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n 3,n =6t ,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n -13,n =6t +1,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n -23,n =6t +2,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n 3,n =6t +3,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2+n -13,n =6t +4,n +2+⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12+n -23,n =6t +5(t ∈N *).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2+62+63=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k +1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+k-12+k-23+3=(k+1)+2+k+12+k+13,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+k2+k3+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-13,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-12+k-13+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-23,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k2+k-23+2=(k+1)+2+(k+1)-12+k+13,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(x)+2=k+2+k-12+k3+2=(k+1)+2+k+12+(k+1)-13,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+k2+k-13+1=(k+1)+2+(k+1)-12+(k+1)-23,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.7.(2014·陕西,14)观察分析下表中的数据:7.F+V-E=2 [三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;立方体中6+8-12=2,由此归纳可得F+V-E=2.]8.(2014·陕西,21)设函数f(x)=ln (1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g 1(x )=g (x ),g n +1(x )=g (g n (x )),n ∈N *,求g n (x )的表达式; (2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n ∈N *,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明. 8.由题设得,g (x )=x1+x(x ≥0). (1)由已知,g 1(x )=x1+x ,g 2(x )=g (g 1(x ))=x1+x 1+x 1+x=x 1+2x ,g 3(x )=x1+3x,…, 可得g n (x )=x1+nx .下面用数学归纳法证明.①当n =1时,g 1(x )=x1+x,结论成立.②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x1+kx.那么,当n =k +1时,g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x1+kx 1+x 1+kx=x 1+(k +1)x,即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N *成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln (1+x )≥ax1+x 恒成立.设φ(x )=ln (1+x )-ax1+x (x ≥0),则φ′(x )=11+x -a (1+x )2=x +1-a(1+x )2, 当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x =0,a =1时等号成立),∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立, ∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax1+x恒成立(仅当x =0时等号成立). 当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )<0,∴φ(x )在(0,a -1]上单调递减, ∴φ(a -1)<φ(0)=0,即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0, 故知ln (1+x )≥ax1+x 不恒成立.综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+nn +1,n -f (n )=n -ln (n +1),比较结果为g (1)+g (2)+…+g (n )>n -ln (n +1). 证明如下:法一 上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln (n +1),在(2)中取a =1,可得ln (1+x )>x1+x ,x >0.令x =1n ,n ∈N *,则1n +1<ln n +1n .下面用数学归纳法证明.①当n =1时,12<ln 2,结论成立.②假设当n =k 时结论成立,即12+13+…+1k +1<ln (k +1).那么,当n =k +1时,12+13+…+1k +1+1k +2<ln (k +1)+1k +2<ln (k +1)+ln k +2k +1=ln (k +2), 即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N *成立.法二 上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln (n +1),在(2)中取a =1,可得ln (1+x )>x1+x ,x >0.令x =1n ,n ∈N *,则ln n +1n >1n +1.故有ln 2-ln 1>12,ln 3-ln 2>13,……ln(n +1)-ln n >1n +1, 上述各式相加可得ln (n +1)>12+13+…+1n +1,结论得证.法三 如图,nxx +1d x 是由曲线y =x x +1,x =n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积,而12+23+…+nn +1是图中所示各矩形的面积和.∴12+23+…+n n +1>0n⎰xx +1d x =0n ⎰(1-1x +1)d x =n -ln (n +1), 结论得证.9.(2014·重庆,22)设a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +2+b (n ∈N *). (1)若b =1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式;(2)若b =-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n +1对所有n ∈N *成立?证明你的结论. 9.解 (1)法一 a 2=2,a 3=2+1,再由题设条件知(a n +1-1)2=(a n -1)2+1.从而{(a n -1)2}是首项为0公差为1的等差数列,故(a n -1)2=n -1,即a n =n -1+1(n ∈N *). 法二 a 2=2,a 3=2+1,可写为a 1=1-1+1,a 2=2-1+1,a 3=3-1+1.因此猜想a n =n -1+1. 下面用数学归纳法证明上式: 当n =1时结论显然成立.假设n =k 时结论成立,即a k =k -1+1.则a k +1=(a k -1)2+1+1 =(k -1)+1+1=(k +1)-1+1.这就是说,当n =k +1时结论成立.所以a n =n -1+1(n ∈N *). (2)法一 设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ). 令c =f (c ),即c =(c -1)2+1-1,解得c =14.下面用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n +1<1.当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立.假设n =k 时结论成立,即a 2k <c <a 2k +1<1.易知f (x )在(-∞,1]上为减函数, 从而c =f (c )>f (a 2k +1)>f (1)=a 2,即1>c >a 2k +2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上为减函数得c =f (c )<f (a 2k +2)<f (a 2)=a 3<1. 故c <a 2k +3<1,因此a 2(k +1)<c <a 2(k +1)+1<1.这就是说,当n =k +1时结论成立. 综上,符合条件的c 存在,其中一个值为c =14.法二 设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ). 先证:0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n =1时,结论明显成立.假设n =k 时结论成立,即0≤a k ≤1.易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而0=f (1)≤f (a k )≤f (0)=2-1<1.即0≤a k +1≤1.这就是说,当n =k +1时结论成立,故①成立.再证:a 2n <a 2n +1(n ∈N *).②当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (a 2)=f (0)=2-1,有a 2<a 3,即n =1时②成立. 假设n =k 时,结论成立,即a 2k <a 2k +1,由①及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得a 2k +1=f (a 2k )>f (a 2k +1)=a 2k +2,a 2(k +1)=f (a 2k +1)<f (a 2k +2)=a 2(k +1)+1.这就是说,当n =k +1时②成立,所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <a 22n -2a 2n +2-1,即(a 2n +1)2<a 22n -2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①、②及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得f (a 2n )>f (a 2n +1),即a 2n +1>a 2n +2, 所以a 2n +1>a 22n +1-2a 2n +1+2-1.解得a 2n +1>14.④综上,由②、③、④知存在c =14使a 2n <c <a 2n +1对一切n ∈N *成立.。