第二章 误差理论与平差原则

limD(X)0 X为X~的严格一致性估计
n
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
有效性：若 的无偏估计量不唯一，若D(ˆ1)D(ˆ2) 则 ˆ1 比 ˆ2 有效，若 D(ˆ) min 则ˆ 为 的最有效估计量—称 为最优无偏估计量 在测量平差中，参数的最佳估值要求是最优无偏 估计量 最小二乘估计与极大似然估计是最优无偏估计， 因为他们的估计原则是使 的估计量V VTPVmin
情况、数字特征、误差的传播规律。用一个公式表示 即
（1） （2）
XK LK0
测量平差：就是按一定的平差原则处理一个几何—物
理关系模型中由于观测误差引起的不闭合问题，估计 关系模型中观测值和未知量的值，评价它们的精度
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
平差原则和任务 平差的原则：
①估计的无偏性、有效性、一致性； ②最大概率原则； ③最小二乘法则。 平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验， 按一定的准则——最小二乘原理，求出数学模型中待 定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
二、参数估计方法 （1）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样
函数的估计。 子样样均的值一x阶 1n原in1点xi是矩母。体数学期望的最优无偏估计，它是子 矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参 数估计方法。 设母体的分布函数为f（x;θ），θ为未知参数， 对χ 抽 得 到 的 子 样 为 （ x1，x2，…xn）， 则 χ 落 在 χi（1≤i≤n） 邻域dx上的概率为f（xi;θ）dx，因子样观测值互相独 立，所以子样观测值同时出现的概率为

一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2

参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10

16 15 7
P2
B
18
17 14 13 8
9
3
1
P1
12
10 4
6
D
2 11 5
A
如图： 条件平差：
2
6
1
n6
t 244 4
34
5
c r 642
其中：
1236180
其它条件如何列？
设未知参数X1
n6
2 1
t 244 4
u 1
L X
Q F T Q L L F F T Q L X F x F x T Q X L F F x T Q X X F x T
四、附有参数的条件平差的计算步骤
完毕
第 六 章 附有参数的条件平差
第一节 附有参数的条件平差原理 第二节 精度评定
一、测量平差方法回顾
（1）条件平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t， 条件方程个数c。
AVW0
cnn1 c1
在最小二乘原则下有：
AT Q K W A 0K (AT Q ) 1 W A

x(BTNa1aB)1BTNa1W a Nb1bBTNa1W a

V QATNa1a(WBx)


X X0 x
第二节 精度评定
一、计算单位权中误差

0
VT PV r
二、协因数阵
三、平差值函数的协因数


(L, X) 线性化：
ddL dX )F TdL F x TdX
误差理论与测量平差基础
山东科技大学 资源与土木工程系
误差理论教与材测内量容平差基础

《测量平差》教学大纲课程名称(英文)：测量平差（Survey Adjust）课程代码：0806605课程类别：专业基础课程学时：48学时学分：3学分考核方式：考试适用对象：2009级摄影测量与遥感科专业一、课程简介本课程是普通高等专科学校摄影测量与遥感专业的一门专业基础课程，同时也是一门主干专业课程。

其主要内容包括：误差理论的基本知识和基本思想；误差理论与平差原则；条件平差、间接平差、误差椭圆等。

通过学习培养学生具有对一般平差问题进行计算和应用计算机软件进行控制网平差的能力。

提高学生对测量数据的处理能力，加深学生对测量误差和精度概念的理解与应用，本课程第二学期授课，每周3学时，共48学时。

二、教学目的及要求要求学生掌握测量误差的基本知识以及误差分布与精度指标的基本概念；掌握误差传播律并能进行一般应用；掌握权的概念以及常见控制网的定权方法；掌握中误差的概念及计算方法；掌握条件平差和间接平差以及精度评定的方法；掌握三角网、导线网的平差方法；理解GPS网的平差；掌握误差椭圆的理论和计算方法。

为建立整体的测量观念和形成职业技能打下基础；同时注意渗透思想教育，逐步培养学生的辩证思维方法和工程意识，加强职业道德观念。

三、教学重点及难点教学重点：观测误差的概念、分类及作用。

教学难点测量平差的原则。

四、与其它课程的关系先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《测量学》、后续课程有《计算机基础》等。

五、教学内容第1章绪论（2学时）本章主要教学内容：1.1观测误差1.2测量平差的任务本章教学目的及要求：介绍测量平差的概念，测量平差的任务及基本原则。

；了解测量平差学的研究内容、分支学科及其应用；了解课程开设目的与要求。

本章教学重点及难点：教学重点：观测误差的概念、分类及作用；教学难点测量平差的原则。

第2章误差理论与平差原则（8学时）本章主要教学内容：1.1偶然误差的统计规律1.2衡量精度的指标1.3观测向量的精度1.4误差传播律1.5误差传播律在测量中的应用1.6权与定权的常用方法1.7由真误差计算测角中误差的实际应用1.8测量平差的原则本章教学目的及要求：讲解误差分布与精度指标，复习巩固正态分布概率知识，分析偶然误差特性，掌握评定精度的指标。