专训6 三角函数在学科内的综合应用

1专训6三角函数在学科内的综合应用名师点金：1.三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解．

3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数.

三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝12.

(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．

(第1题)2

三角函数与二次函数的综合应用2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线x＝1交x轴于点B，连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；

(第2题)

(2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？3

三角函数与反比例函数的综合应用3．如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x

轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB＝32.

(1)求k的值；(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小

关系，写出你的结论，并说明理由．

(第3题)

三角函数与方程的综合应用4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.已知a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25asinA.(1)试判断△ABC的形状；(2)△ABC的三边长分别是多少？4

5．已知关于x的方程5x2

－10xcosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10

cm且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．

三角函数与圆的综合应用6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EFFD＝43.(1)求证：点F是AD的中点；(2)求cos∠AED的值；(3)如果BD＝10，求半径CD的长．

(第6题)5

7．【中考·遂宁】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2

＝AM·AB；

(3)若AM＝185，sin∠ABD＝35，求线段BN的长．

(第7题)6

三角函数与相似三角形的综合应用8．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.(1)求证：BF＝BG；(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．

(第8题)7答案1．解：(1)把x＝0代入y＝kx－1，得y＝－1，∴点C的坐标是(0，－1)，∴OC＝1.在Rt△OBC中，∵tan∠OCB＝OBOC＝12，∴OB＝12.

∴点B的坐标是12，0.

把B12，0的坐标代入y＝kx－1，得12k－1＝0.解得k＝2.

(2)由(1)知直线AB对应的函数关系式为y＝2x－1，所以△AOB的面积S与x的函数关系式是S＝12OB·y＝12×12(2x－1)＝12x－14.

2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A在DE上，∴点A坐标为(1，4)，设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)2＋4，把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a＝－1.故抛物线对应的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.(2)依题意有OC＝3，OE＝4，

∴CE＝OC2＋OE2＝32＋42＝5.当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝PCCQ＝OCCE，

∴3－t2t＝35，解得t＝1511；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝CQPC＝OCCE，∴2t3－t＝35，解得t＝913.∴当t＝1511或t＝913时，△PCQ为直角三角形．3．解：(1)易知A点的坐标为(2，3)，∴k＝6.

(2)易知点E纵坐标为32，由点E在反比例函数y＝6x的图象上，求出点E的坐标为4，32，结合A点坐标为(2，3)，求出直线AE对应的函数解析式为y＝－34x＋92.

(3)结论：AN＝ME.理由：在解析式y＝－34x＋92中，令y＝0可得x＝6，令x＝0可得y

＝92.8

∴点M(6，0)，N0，92.∴OM＝6，ON＝92.

(第3题)方法一：如图，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，OF＝3，∴NF＝ON－OF＝32.根据勾股定理可得AN＝52.

∵CM＝6－4＝2，EC＝32，∴根据勾股定理可得EM＝52，∴AN＝ME.方法二：如图，连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，

∵S△EOM＝12OM·EC＝12×6×32＝92，S△AON＝12ON·AF＝12×92×2＝92，∴S△EOM＝S△AON

.

又∵△AON中AN边上的高和△EOM中ME边上的高相等，∴AN＝ME.4．解：(1)∵a，b是关于x的方程x2

－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，∴a＋b＝c＋4，

ab＝4c＋8.

∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)＝c2.∴△ABC为直角三角形．(2)∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴sinA＝ac.

将其代入9c＝25asinA，得9c＝25a·ac，9c2＝25a2，3c＝5a.

∴c＝53a.∴b＝c2－a2＝53a2－a2＝43a.

将b＝43a，c＝53a代入a＋b＝c＋4，

解得a＝6.∴b＝43×6＝8，c＝53×6＝10，即△ABC的三边长分别是6，8，10.5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，9

∴(－10cosα)2－20(－7cosα＋6)＝0，解得cosα＝－2(舍去)或cosα＝35.

设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k＞0)，∴斜边长为5k，则α的对边长为（5k）2－（3k）2＝4k，∴sinα＝45，则菱形一边上的高为10sinα＝8cm，∴S菱形＝10×8＝80(cm2)．6．(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠CAD＋∠CAE，且∠B＝∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA.∵ED为⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点．(2)解：如图，连接DM，则DM⊥AE.设EF＝4k，DF＝3k，

则ED＝EF2＋DF2＝5k.∵12AD·EF＝12AE·DM，

∴DM＝AD·EFAE＝6k·4k5k＝245k，

∴ME＝DE2－DM2＝75k，∴cos∠AED＝MEDE＝725.

(3)解：∵∠CAE＝∠B，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AEBE＝CEAE，∴AE2＝CE·BE，

∴(5k)2＝52k·(10＋5k)．∵k＞0，

∴k＝2，∴CD＝52k＝5.

(第6题)(第7题)7．(1)证明：如图，连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°.∵AB为⊙O10

的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠4，即∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝90°＝∠ADB.∵∠1＝∠4，

∴△ADM∽△ABD，∴AMAD＝ADAB，∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝35，∴sin∠1＝35.∵AM＝185，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝

AB2－AD2

＝8.∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，

∴∠DBN＝∠1，

∴sin∠NBD＝35，∴DN＝245，∴BN＝BD2－DN2＝325.

8．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°.∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.又∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tanG＝3，设CG＝x，则CE＝

3x，∴S△CGE＝32x2

＝63，解得x＝23(负值舍去)，

∴CG＝23，CE＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC·CG，∴BC＝63，∴AD＝63.