函数的基本性质之一——单调性
【基本概念】
1.函数单调性
①正向结论：若()y f x =在给定区间上是增函数，则当12x x <时，12()()f x f x <；当12x x >，12()()f x f x >；
②逆向结论：若()y f x =在给定区间上是增函数，则当12()()f x f x <时，_________；当12()()f x f x >时，_________。
当()y f x =在给定区间上是减函数时，也有相应的结论。
2.函数最值的求解
求函数最值的常用方法有单调性与求导法。此处重点讲解二次函数的最值。
求二次函数的最值有两种类型：一是函数定义域为R ，可用配方法求出最值；二是函数定义域为某一区间，此时应该考虑对称轴是否在给定的区间内。
3.易混淆点：对单调性和在区间上单调两个概念理解错误
【考点一】单调性的判断与证明
1.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，当12x x <时，都有12()()f x f x >”的是（ ）
A ．1()f x x
= B. 2()(1)f x x =- C. ()x f x e = D. ln(1)y x =+ 2.给定函数①1
2y x =;②12
log (1)y x =+;③1y x =-;④12x y +=,其中在区间（0,1）上单调
递减的函数的序号是（）
A .①② B.②③ C.③④ D.①④
3.证明y x =
在[0,)+∞是增函数
4.证明4y x x
=+
在[2,)+∞是增函数。
【学案编号】数学总复习 学案5 【编辑】韩晶飞 【审核】马省珍
【
主题】 函数的基本性质
【考点二】利用单调性求参数与解不等式
3.已知函数(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤?=?
>?.若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为________________
4.已知()f x 为R 上的减函数，则满足1
()(1)f f x
>的实数x 的取值范围是（ ） .(,1)A -∞ B. (1,)+∞ C. (,0)(0,1)-∞? D. (,0)(1,)-∞?+∞
5.若函数()f x 的定义域为R,并且在(0,)+∞上是减函数，则下列不等式成立的是（ ） A 23()(1)4
f f a a >-+ B. 2
3()(1)4
f f a a ≥-+ C. 23()(1)4f f a a <-+ D. 23()(1)4f f a a ≤-+ 6.已知函数224,0()4,0
x x x f x x x x ?+≥?=?-，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)(2,)-∞-?+∞ B.(1,2) C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-?+∞
【考点三】区分单调性和在区间上单调这两个概念
7.若函数2
()2(1)2f x x a x =+-+的单调区间是(,4]-∞，则实数a 的取值范围是_________.
8. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_______.
【考点四】二次函数的单调性与最值（注意：常常需要分情况讨论）
9.已知函数2()22,[1,1]f x x ax x =-+∈-，求函数()f x 的最小值。
10.设函数2()22,[,1],f x x x x t t t R =-+∈+∈,求函数()f x 的最小值。
11.已知函数22
()1266,f x x tx t x R =+-∈其中0t ≠，求()f x 的单调区间。
B 级 11.已知函数21,0()1,0
x x f x x ?+≥=?的x 的取值范围是
_____________.
12.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义。对于给定的正数K ，定义函数
(),()(),()K f x f x K f x K f x K
≤?=?>?。取函数()2x f x -=。当12
K =时，函数()K f x 的单调递增区间为（ ） A.(,0)-∞ B. (0,)+∞ C. (,1)-∞- D (1,)+∞.
13.用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值。设{}
()min 2,2,10(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
函数的基本性质之二——奇偶性与周期性
【基本概念】
1. 函数奇偶性的判断步骤：
（1） 定义域是否关于原点对称：若定义域不关于原点对称，则函数是__________函数；
若关于原点对称，进行第二步。
（2） 判断()f x -与()f x 的关系：如果()f x -=()f x ，则函数为偶函数；如果
________________，则函数为奇函数；如果()f x -=()f x =()f x -，则函数既是奇函数又是偶函数；
2. 函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 去定义域内的每
一个值时，都有()()f x T f x +=,则称()f x 为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期。
【考点一】判别奇偶性
1.若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则()f x 为___________,()g x 为______________。（填奇函数或者偶函数）
2.设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A ．()()f x g x -是奇函数 B.()()f x g x +是偶函数
C ．()()f x g x -是奇函数 D.()()f x g x +是偶函数
3.若函数()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，则a=（ ）A. 12 B. 23 C. 34
D.1 【考点二】利用奇偶性求参数与求值（注意：对于奇函数，若在x=0处有定义，则(0)0f =）
4.若函数2
()(2)f x x b x =+-是偶函数，则b=_________. 5.若1()21
x f x a =+-是奇函数，则a=_________. 6.设()f x 是定义在R 上的奇函数。当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则
(1)f -=______________
7.若函数2
()f x x x a =-+为偶函数，则实数a=_____________
8.已知()f x 为奇函数，()()9g x f x =+，(2)3g -=，则(2)f =_____________
9.函数3()sin 1f x x x =++，若()2f a =，则()f a -=_____________
【考点三】奇偶性与单调性的综合（注意奇函数对应区间上的单调性相同，偶函数对应区间上的单调性相反）
10.定义在R 上的偶函数()f x 的部分图像如图所示，则在(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）
A ．2
1y x =+ B.1y x =+ C. 321,01,0x x y x x +≥?=?+
x e x y e x -?≥?=?
11.已知定义在R 上的奇函数满足2()2(0)f x x x x =+≥，若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_____________
12.已知偶函数在区间(0,)+∞单调增加，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是________
13.设偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-≥，则{}(2)0x f x ->=（ ） A {}24x x x <->或B {}04x x x <>或 C.{}06x x x <>或 D.{}22x x x <->或
14.设偶函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，并且(2)0f =，则不等式
()()0f x f x x +->的解集为（ ）
A ．(2,0)(2,)-?+∞ B. (,2)(0,2)-∞-?
C. (,2)(2,)-∞-?+∞
D. (2,0)(0,2)-?
【考点四】奇偶性与周期性的综合
15.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=__________
16.设()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，则(3)(4)f f -=______
17.已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当02x ≤<时，2()log (1)f x x =+，则(2008)(2009)f f -+=__________
18.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意的x R ∈有()(2)f x f x =-成立，则(2010)f =__________
19.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）
A. (25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<<
20.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）
A ．()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C ．()(2)f x f x =+ D. (3)f x +是奇函数
【考点5】抽象函数与单调性奇偶性相结合
21.已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，求证()f x 在R 上是增函数。
22.设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+。若(3)1f =，且()(1)2f a f a >-+，求实数a 的取值范围。
23.已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，试判断()f x 的奇偶性。
24.函数()f x 的定义域为D={}
0x x ≠，且满足对于任意,x y D ∈，有()()()f xy f x f y =+
（1）求(1)f 的值。
（2）判断()f x 的奇偶性并证明。
（3）如果(4)1f =，(31)(26)6f x f x ++-≤，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，求x 的取值范围。