2020北京四中高三(上)12月月考数学(教师版)

2020北京四中高三（上）12月月考

数 学

（2020.12.07）

（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.若全集R U =，{}1A x =<，{}

1B x x =>-，则（ ）

A.A B ⊆

B.B A ⊆

C.U

B A ⊆

D.

U

A B ⊆

2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）

A.1y x =+

B.y x x =-

C.1y x

=

D.2

y x =-

3.已知角θ的终边经过点12P ⎫-⎪⎪⎝⎭

，则角θ可以为（ ） A.

56

π

B.

23

π C.

116

π

D.

53

π 4.圆22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）

A.43

-

B.34

-

D.2

5.函数1

sin

12x y x

π=-+在区间()6,6-内的零点个数为（ ） A.2

B.3

C.4

D.6

6.在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1A ，点B 在圆22

4x y +=上，则OA OB -的最大值为（ ）

A.3

B.1

C.2

D.4

7.设R α∈，则“α是第一象限角”是“sin cos 1αα+>”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.设0a >，0b >.3a 与3b 的等比中项，则

13

a b

+的最小值为（ ）

A.

B.4+

C.4+

D.8

9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，min t 后物体的温度θ℃可由公式

()0.24010t e θθθθ-=+-求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却min t 后，物体的温度是40℃，

若ln 3取1.099，则t 的值约等于（ ） A.6.61

B.4.58

C.2.89

D.1.69

10.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M ，

那么下列命题正确的是（ ） A.若{}n a M ，则数列{}n a 各项均不小于M B.若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M +

C.若{}n a M ，则{}2

2n a M

D.{}

n a M ，则{}2121n a M ++

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.若直线250x y --=与直线30x ay ++=相互平行，则实数a 等于______；这两条平行直线间的距离为______.

12.已知双曲线2

2

:14

y C x -=，则渐近线方程为______；离心率e 为______. 13.已知函数()2

ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：

①010x e <<

；②01

x e

>；③()000f x x +<；④()000f x x +>， 其中正确命题的序号是______.

14.能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为______.

15.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为______；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为______.

三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.（本小题满分14分）

已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设4log n n b a =.证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S .

17.（本小题满分14分）

已知椭圆2

2:14

x W y +=，直线l 过点()0,2-与椭圆W 交于两点A ，B ，O 为坐标原点. （Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为

3

2

时，求线段OC 的长； （Ⅱ）当OAB △面积等于1时，求直线l 的斜率.

已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫

⎪⎝

=+>⎭

<满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π；

②6

x π

=

是函数()f x 的对称轴；

③04f π⎛⎫=

⎪⎝⎭

且在区间,62ππ⎛⎫

⎪⎝⎭上单调；

（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）若0,3x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，求函数()f x 的最值.

19.（本小题满分14分）

已知抛物线2

2C y px =：过点()1,1P .过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，

过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.