高二数学圆锥曲线双曲线练习

1 第三章 3.2 3.2.2

A级——基础过关练

1．双曲线x216－y233＝1的焦点坐标是( )

A．(±17,0) B．(0,±17)

C．(±7,0) D．(0,±7)

【答案】C

【解析】由题意可知c2＝16＋33＝49,所以c＝7．由双曲线方程可知焦点在x轴上．故选C．

2．与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是( )

A．x23－y212＝1 B．x212－y23＝1

C．x24－y216＝1 D．x212－y248＝1

【答案】A

【解析】依题意设双曲线的方程为x2－y24＝λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ＝3,所以所求双曲线的标准方程为x23－y212＝1．

3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于( )

A．－14 B．－4

C．4 D．14

【答案】A

【解析】双曲线方程化为标准形式y2－x2－1m＝1,则有a2＝1,b2＝－1m,由题设条件知2＝－1m,所以m＝－14．

4．设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为( )

A．4 B．3

C．2 D．1 2 【答案】C

【解析】双曲线x2a2－y29＝1的渐近线方程为3x±ay＝0,对比3x±2y＝0得a＝2．

5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切,则双曲线的方程为( )

A．x29－y213＝1 B．x213－y29＝1

C．x23－y2＝1 D．x2－y23＝1

【答案】D

【解析】由双曲线的渐近线bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知2ba2＋b2＝3,又因为c＝a2＋b2＝2,所以有a＝1,b＝3,故双曲线的方程为x2－y23＝1．

6．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为14,则双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为(

第三章　3.2　3.2.3

A级——基础过关练

1．直线l过点(，0)且与双曲线x2

－y2

＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )

A．1条B．2条

C．3条D．4条

【答案】C

【解析】点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双

曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点，故这样

的直线只有3条．

2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B

两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为( )

A．－＝1B．－＝1

C．－＝1D．－＝1

【答案】B

【解析】由c＝3，设双曲线方程为－＝1，k

AB＝＝1，设A(x

1，y

1)，B(x

2，y

2)，则

－＝1①，－＝1②，由①－②，得－＝0．又因为N(－12，－15)为AB中点，所以x

1＋

x

2＝－24，y

1＋y

2＝－30．所以＝．所以＝＝1．所以a2

＝4．所以双曲线方程为－＝1．

3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围为( )

A．B．(－1,1)

C．(－2,2)D．－，

【答案】A

【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得

k∈．

4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两

点，|AB|为C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为( )

A．B．

C．2D．3

【答案】B

【解析】由题意不妨设l：x＝－c，则|AB|＝，又因为|AB|＝2×2a，故b2

＝2a2

，所

以e＝＝＝．

5．已知直线l：y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支交于点M，OM(O

是坐

1标原点)的垂直平分线经过C的右焦点，则双曲线C的离心率为( )

A．B．＋1

C．D．

【答案】C

【解析】如图，依题意可得∠MOF＝∠OMF＝30°，OF＝MF＝c，所以M，所以－＝

1，结合c2

＝a2

＋b2

，可得9c4

－16a2c2

＋4a4

＝0，所以9e4

－16e2

高二圆锥曲线基础练习题及答案

一、选择题

1. 下列关于椭圆的说法，正确的是：

A. 所有椭圆都是对称图形。

B. 椭圆的离心率大于1。

C. 椭圆的长轴和短轴相等。

D. 椭圆的焦点个数与离心率有关。

答案：D

2. 设椭圆的长轴长度为10，短轴长度为6，则该椭圆的离心率为：

A. 3/5

B. 1/2

C. 2/3

D. 5/6

答案：C

3. 下列关于双曲线的说法，正确的是：

A. 所有双曲线都是开口向上的图形。

B. 双曲线的离心率等于1。

C. 双曲线的长轴和短轴相等。 D. 双曲线的焦点个数与离心率有关。

答案：D

4. 设双曲线的长轴长度为8，短轴长度为4，则该双曲线的离心率为：

A. 2

B. 3/2

C. 4/3

D. 5/4

答案：B

5. 下列关于抛物线的说法，正确的是：

A. 抛物线的焦点位于抛物线的顶点上。

B. 抛物线的离心率等于1。

C. 抛物线的长轴和短轴相等。

D. 抛物线的焦点个数与离心率有关。

答案：A

二、填空题

1. 设椭圆的长轴长度为12，短轴长度为8，则该椭圆的离心率为__________。 答案：2/3

2. 设直角双曲线的焦点到中心的距离为3，焦点到顶点的距离为5，则该直角双曲线的离心率为__________。

答案：4/5

3. 设抛物线的焦距为6，顶点到焦点的距离为4，则该抛物线的离心率为__________。

答案：3/2

三、解答题

1. 某椭圆的长轴长度为10，焦距为6，求离心率和短轴的长度。

解：设椭圆的离心率为e，短轴长度为b。

根据椭圆的定义，焦距的长度为ae，即6 = ae。

由此可以解得椭圆的离心率为e = 6/a。

又已知长轴长度为10，即2a = 10，解得a = 5。

将a = 5代入离心率的公式，可得e = 6/5。

由椭圆的定义可知，离心率e = √(1 - b²/a²)，代入已知的离心率和a的值，可得√(1 - b²/25) = 6/5。

高中生圆锥曲线练习题及讲解

圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，通常包括椭圆、双曲线和抛物线。下面是一些圆锥曲线的练习题以及相应的讲解。

### 练习题1：椭圆的标准方程

给定一个椭圆的两个焦点距离为2c，且长轴长度为2a，求椭圆的标准方程。

解答步骤：

1. 根据椭圆的性质，我们知道长轴和短轴的关系为 \( a^2 = b^2 +

c^2 \)。

2. 题目给出 \( 2c \) 和 \( 2a \)，可以求出 \( c \) 和 \( a \)

的值。

3. 将 \( c \) 和 \( a \) 的值代入上述公式，求出 \( b \) 的值。

4. 最终，椭圆的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}

= 1 \)。

### 练习题2：双曲线的渐近线

已知双曲线的方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

\)，求其渐近线方程。

解答步骤：

1. 双曲线的渐近线方程可以通过 \( \frac{x^2}{a^2} -

\frac{y^2}{b^2} = 0 \) 得到。

2. 将上述方程简化，得到 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。

3. 这就是双曲线的渐近线方程。

### 练习题3：抛物线的焦点和准线 给定抛物线的方程 \( y^2 = 4ax \)，求其焦点和准线。

解答步骤：

1. 抛物线的焦点位于 \( (a, 0) \)。

2. 准线方程为 \( x = -a \)。

3. 焦点和准线是抛物线的重要特征，可以通过方程直接得出。

### 练习题4：圆锥曲线的参数方程

已知椭圆的参数方程为 \( x = a \cos(\theta) \) 和 \( y = b

\sin(\theta) \)，求其标准方程。

解答步骤：

1. 将参数方程中的 \( \cos(\theta) \) 和 \( \sin(\theta) \) 替换为 \( x/a \) 和 \( y/b \)。