第五节 数列的综合应用
题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用
[典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则此人第4天和第5天共走了( )
A .60里
B .48里
C .36里
D .24里
(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会,小明打算从2018年起,每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄,若年利率为p ,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回________元.
[解析] (1)由题意知,此人每天走的里数构成公比为1
2的等比数列{a n },
设等比数列的首项为a 1,则a 1()
1-1
26
1-
12=378,
解得a 1=192,所以a 4=192×18=24,a 5=24×1
2=12,
则a 4+a 5=24+12=36,即此人第4天和第5天共走了36里. (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1+p )4+a (1+p )3+a (1+p )2+a (1+p ) =a ·(1+p )[1-(1+p )4]
1-(1+p )
=a
p [(1+p )5-(1+p )] =a
p
[(1+p )5-1-p ]. [答案] (1)C (2)a
p [(1+p )5-1-p ]
[方法技巧]
1.数列与数学文化解题3步骤
1.在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )
A .9日
B .8日
C .16日
D .12日
解析:选A 由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n },其中a 1=103,d =13;驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n },其中b 1=97,d =-0.5.设第m 天相逢,则a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+…+b m =103m +
m (m -1)×13
2
+97m +
m (m -1)×(-0.5)
2
=2×1 125,解得m 1=9或m 2=-40(舍去),故选A.
2.(2018·江西金溪一中月考)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t 倍.下列选项中,与t 值最接近的是( )
A .11
B .13
C .15
D .17
解析:选B 设鱼原来的质量为a ,饲养n 年后鱼的质量为a n ,q =200%=2,则a 1=a (1+q ),a 2=a 1()
1+q
2=a (1+q )()1+q 2,…,a 5=a (1+2)×(1+1)×()1+12×()1+122×()
1+123=405
32a ≈12.7a ,即5年后,鱼的质量预计为原
来的12.7倍,故选B.
题型二 数列中的新定义问题
[典例] 若数列{a n }满足1a n +1-1
a n
=d (n ∈N *,d 为常数),则称数列{a n }为“调和数列”,已知正项数列{}
1b n 为“调
和数列”,且b 1+b 2+…+b 2 019=20 190,则b 2b 2 018的最大值是________.
[解析] 因为数列{}
1
b n 是“调和数列”,
所以b n +1-b n =d ,即数列{b n }是等差数列, 所以b 1+b 2+…+b 2 019=2 019(b 1+b 2 019)2=2 019(b 2+b 2 018)
2
=20 190,
所以b 2+b 2 018=20.
又1
b n >0,所以b 2>0,b 2 018>0, 所以b 2+b 2 018=20≥2b 2b 2 018,
即b 2b 2 018≤100(当且仅当b 2=b 2 018时等号成立), 因此b 2b 2 018的最大值为100. [答案] 100 [方法技巧]
新定义数列问题的特点及解题思路
新定义数列题的特点是:通过给出一个新的数列的概论,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.
[针对训练]
1.定义一种运算“※”,对于任意n ∈N *均满足以下运算性质:(1)2※2 019=1;(2)(2n +2)※2 019=(2n )※2 019+3,则2 018※2 019=________.
解析:设a n =(2n )※2 019,则由运算性质(1)知a 1=1, 由运算性质(2)知a n +1=a n +3,即a n +1-a n =3. 所以数列{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,
故2 018※2 019=(2×1 009)※2 019=a 1 009=1+1 008×3=3 025. 答案:3 025
2.定义各项为正数的数列{p n }的“美数”为n
p 1+p 2+…+p n (n ∈N *).若各项为正数的数列{a n }的“美数”为12n +1,
且b n =
a n +14,则1
b 1b 2+1b 2b 3+…+1
b 2 018b 2 019
=________. 解析:因为各项为正数的数列{a n }的“美数”为1
2n +1
,
所以
n
a 1+a 2+…+a n =12n +1
.
设数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n =n (2n +1), S n -1=(n -1)[2(n -1)+1]=2n 2-3n +1(n ≥2), 所以a n =S n -S n -1=4n -1(n ≥2).
又1a 1=1
3,所以a 1=3,满足式子a n =4n -1, 所以a n =4n -1(n ∈N *). 又b n =a n +1
4,所以b n =n ,
所以1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b 2 018b 2 019=11×2+12×3+…+12 018×2 019
=1-12+12-13+…+12 018-12 019=1-12 019=2 018
2 019
. 答案:
2 018
2 019
题型三 数列与函数的综合问题
[典例] (1)(2019·重庆模拟)已知f (x )=x 2+a ln x 在点(1,f (1))处的切线方程为4x -y -3=0,a n =1
2f ′(n )-n (n ≥1,
n ∈N *),{a n }的前n 项和为S n ,则下列选项正确的是( )
A .S 2 018-1 B .S 2 018>ln 2 018+1 C .ln 2 018 D .ln 2 018>S 2 017 (2)(2019·昆明模拟)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且满足f (3-x )=f (x ),f (-1)=3,数列{a n }满足a 1=1且a n =n (a n +1-a n )(n ∈N *),则f (a 36)+f (a 37)=________. [解析] (1)由题意得f ′(x )=2x +a x ,∴f ′(1)=2+a =4,解得a =2.∴a n =12f ′(n )-n =12() 2n +2n -n =1n (n ≥1,n ∈N *).设g (x )=ln(x +1)-x ,则当x ∈(0,1)时,g ′(x )= 1 x +1-1=-x x +1 <0,∴g (x )在(0,1)上单调递减,∴g (x ) 1n +1=ln n +1n <1n ,∴ln 21+ln 32+ln 43+…+ln n +1n <1+12+13+…+1 n ,故ln(n +1) 设h (x )=ln x +1x -1,则当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )=1x -1 x 2>0,∴h (x )在(1,+∞)上单调递增, ∴h (x )>h (1)=0, 即ln x >1-1x ,x ∈(1,+∞).令x =1+1n ,则ln () 1n +1=ln n +1n >1n +1,∴ln 21+ln 32+ln 4 3+…+ln n +1n >12+13+… +1n +1 n +1 ,故ln(n +1)>S n +1-1.故选A. (2)因为函数f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x ),又因为f (3-x )=f (x ),所以f (3+x )=f (-x )=-f (x )=-f (3-x )=f (x -3),即f (x +6)=f (x ),所以f (x )是以6为周期的周期函数.由a n =n (a n +1-a n )可得a n +1a n =n +1n ,则a n =a n a n -1·a n -1a n -2·a n -2 a n -3 ·…·a 2a 1·a 1= n n -1·n -1n -2·n -2n -3·n -3 n -4 ·…·21×1=n ,即a n =n ,所以a 36=36,a 37=37,又因为f (-1)=3,f (0)=0,所以f (a 36)+f (a 37)= f (0)+f (1)=f (1)=-f (-1)=-3. [答案] (1)A (2)-3 [方法技巧] 数列与函数综合问题的类型及注意点 1.(2019·玉溪模拟)函数y =x 2(x >0)的图象在点(a k ,a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k +1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=( ) A .18 B .21 C .24 D .30 解析:选B ∵函数y =x 2(x >0)的导函数为y ′=2x ,∴函数y =x 2(x >0)的图象在点(a k ,a 2k )处的切线方程为y -a 2k = 2a k (x -a k ).令y =0,可得x =12a k ,即a k +1=1 2a k ,∴数列{a n }为等比数列,a n =16×() 12 n -1 ,∴a 1+a 3+a 5=16+4+1= 21.故选B. 2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n +3)(n ∈N *)在函数y =3×2x 的图象上,等比数列{b n }满足b n +b n +1=a n (n ∈N *),其前n 项和为T n ,则下列结论正确的是( ) A .S n =2T n B .T n =2b n +1 C .T n >a n D .T n 解析:选D 因为点(n ,S n +3)在函数y =3×2x 的图象上, 所以S n +3=3×2n ,即S n =3×2n -3. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3×2n -3-(3×2n -1-3)=3×2n -1, 又当n =1时,a 1=S 1=3,所以a n =3×2n -1. 设b n =b 1q n -1,则b 1q n -1+b 1q n =3×2n -1,可得b 1=1,q =2, 所以数列{b n }的通项公式为b n =2n -1. 由等比数列前n 项和公式可得T n =2n -1. 综合选项可知,只有D 正确. 3.(2019·抚顺模拟)已知函数f (x )=ax 2+bx 的图象经过(-1,0)点,且在x =-1处的切线斜率为-1.设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列 { } 1 a n ·a n +1前n 项的和T n . 解:(1)函数f (x )=ax 2+bx 的图象经过(-1,0)点, 则a -b =0,即a =b .① 因为f ′(x )=2ax +b ,函数f (x )=ax 2+bx 在x =-1处的切线斜率为-1, 所以-2a +b =-1.② 由①②得a =1,b =1, 所以数列{a n }的前n 项和S n =f (n )=n 2+n . 当n ≥2时,S n -1=(n -1)2+(n -1), 所以a n =S n -S n -1=2n . 当n =1时,a 1=2符合上式,则a n =2n . (2)由于a n =2n , 则 1a n ·a n +1=12n (2n +2)=14 () 1 n -1n +1, 则T n =14()1-12+12-13+…+1n -1n +1=14() 1-1n +1=n 4n +4 . 题型四 数列与不等式的综合问题 [典例] (2019·福州八校联考)数列{a n }中,a 1=3,a n +1=2a n +2(n ∈N *). (1)求证:{a n +2}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)设b n = n a n +2 ,S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,证明:对任意n ∈N *,都有15≤S n <45. [证明] (1)∵a n +1=2a n +2,∴a n +1+2=2(a n +2).∵{a n +2}是以a 1+2=5为首项,公比q =2的等比数列,∴a n =5×2n -1-2. (2)由(1)可得b n =n 5×2n -1 , ∴S n = 1 5 () 1+22+322+…+n 2n -1,① 12S n =15 ( ) 12+222+3 23+…+n 2n ,② ①-②可得S n =2 5() 1+12+122+…+12n -1-n 2n =25? ?? ???1-1 2 n 1-12-n 2n =25( ) 2- 2+n 2n <4 5 . ∴S n <4 5,又∵S n +1-S n =b n +1=n +15×2n >0, ∴数列{S n }单调递增,S n ≥S 1=15, ∴对任意n ∈N *,都有15≤S n <4 5. [方法技巧] 数列中不等式证明问题的解题策略 数列型不等式的证明常用到“放缩法”,一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”;二是求和后再“放缩”. 放缩法常见的放缩技巧有: (1)1k 2<1k 2-1=1 2() 1k -1-1k +1. (2)1k -1k +1<1k 2<1k -1-1k . (3)2(n +1-n )<1 n <2(n -n -1). [针对训练] (2019·广安模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且S n +1=S n +a n +n +1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{} 1a n 的前n 项和为T n ,求满足不等式T n ≥19 10的最小正整数n . 解:(1)由S n +1=S n +a n +n +1(n ∈N *),得a n +1-a n =n +1,又a 1=1, 所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=n +(n -1)+…+2+1=(1+n )n 2 . 所以数列{a n }的通项公式为a n = (1+n )n 2 . (2)由(1)知1a n =2 (1+n )n =2()1n -1n +1, 所以T n =2[ ()1- 12+()12-1 3+…+( )1n -1n +1 ]=2()1-1 n +1=2n n +1 . 令 2n n +1≥19 10 ,解得n ≥19, 所以满足不等式T n ≥ 19 10 的最小正整数n 为19. [课时跟踪检测] 1.(2019·深圳模拟)设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则数列{} 1 f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A. n n +1 B .n +2n +1 C.n n -1 D . n +1 n 解析:选A ∵f ′(x )=mx m -1+a =2x +1,∴a =1,m =2, ∴f (x )=x (x +1),则 1f (n )=1n (n +1)=1n -1n +1 ,用裂项法求和得S n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=n n +1. 2.已知函数f (n )=??? n 2 ,n 为奇数, -n 2,n 为偶数, 且a n =f (n )+f (n +1),则a 1+a 2+a 3+…+a 2 018=( ) A .-2 017 B .-2 018 C .2 017 D .2 018 解析:选D 当n 为奇数时,n +1为偶数,则a n =n 2-(n +1)2=-2n -1,所以a 1+a 3+a 5+…+a 2 017=-(3+7+11+…+4 035).当n 为偶数时,n +1为奇数,则a n =-n 2+(n +1)2=2n +1,所以a 2+a 4+a 6+…+a 2 018=5+9+13+…+4 037.所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 018=(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(4 037-4 035)=2×1 009=2 018,故选D. 3.(2017·四川乐山模拟)对于数列{a n },定义H 0=a 1+2a 2+…+2n -1a n n 为{a n }的“优值”.现已知某数列的“优值”H 0 =2n +1,记数列{a n -20}的前n 项和为S n ,则S n 的最小值为( ) A .-64 B .-68 C .-70 D .-72 解析:选D 由题意可知:H 0=a 1+2a 2+…+2n -1a n n =2n +1 , 则a 1+2a 2+…+2n -1·a n =n ·2n +1. 当n ≥2时,a 1+2a 2+…+2n -2·a n -1=(n -1)·2n , 两式相减得2n -1·a n =n ·2n +1-(n -1)·2n ,a n =2(n +1), 当n =1时成立,∴a n -20=2n -18,显然{a n -20}为等差数列. 令a n -20≤0,解得n ≤9, 故当n =8或9时,{a n -20}的前n 项和S n 取最小值, 最小值为S 8=S 9= 9×(-16+0) 2 =-72,故选D. 4.(2019·湖北襄阳联考)已知函数f ()x +12为奇函数,g (x )=f (x )+1,若a n =g () n 2 019,则数列{a n }的前2 018项和为( ) A .2 017 B .2 018 C .2 019 D .2 020 解析:选B ∵函数f ()x +12为奇函数,∴其图象关于原点对称,∴函数f (x )的图象关于点()1 2,0对称,∴函数 g (x )=f (x )+1的图象关于点()12,1对称,∴g (x )+g (1-x )=2, ∵a n =g ()n 2 019,∴数列的前 2 018项之和为 g ()12 019+g ()22 019+g ()32 019+…+g ()2 0172 019+g ()2 018 2 019=2 018.故选B. 5.(2019·林州一中调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=5,a n +1=-1 2a n +6,若对任意的n ∈N *,1≤p (S n - 4n )≤3恒成立,则实数p 的取值范围为( ) A .(2,3] B .[2,3] C .(2,4] D .[2,4] 解析:选B 由数列的递推关系式可得a n +1-4=-12(a n -4),则数列{a n -4}是首项为a 1-4=1,公比为-1 2的等比 数列,∴a n -4=1×() -1 2 n -1 ,∴a n =() -1 2 n -1 +4,∴S n = 2 3 [] 1-()-12n +4n ,∴不等式1≤p (S n -4n )≤3恒 成立,即1≤p ×2 3 []1-()-12 n ≤3恒成立.当n 为偶数时,可得1≤p ×2 3 [] 1-()12 n ≤3,可得2≤p ≤9 2 ,当n 为奇 数时,可得1≤p ×2 3 [] 1+()12 n ≤3,可得3 2 ≤p ≤3,故实数p 的取值范围为[2,3]. 6.(2019·昆明适应性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =4n ,若不等式S n +8≥λn 对任意的n ∈N *都成立,则实数λ的取值范围为________. 解析:因为a n =4n ,所以S n =2n 2+2n ,不等式S n +8≥λn 对任意的n ∈N *恒成立,即λ≤2n 2+2n +8n ,又 2n 2+2n +8 n =2n +8 n +2≥10(当且仅当n =2时取等号),所以实数λ的取值范围为(-∞,10]. 答案:(-∞,10] 7.(2019·济宁模拟)若数列{a n }满足:只要a p =a q (p ,q ∈N *),必有a p +1=a q +1,那么就称数列{a n }具有性质P .已知数列{a n }具有性质P ,且a 1=1,a 2=2,a 3=3,a 5=2,a 6+a 7+a 8=21,则a 2 020=____________. 解析:根据题意,数列{a n }具有性质P ,且a 2=a 5=2, 则有a 3=a 6=3,a 4=a 7,a 5=a 8=2. 由a 6+a 7+a 8=21,可得a 3+a 4+a 5=21, 则a 4=21-3-2=16, 进而分析可得a 3=a 6=a 9=…=a 3n =3,a 4=a 7=a 10=…=a 3n +1=16,a 5=a 8=…= a 3n +2=2(n ≥1), 则a 2 020=a 3×673+1=16. 答案:16 8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天长高3尺,莞草第一天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第________天时,蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0). 解析:由题意得,蒲草的高度组成首项为a 1=3,公比为1 2的等比数列{a n },设其前n 项和为A n ;莞草的高度组成首 项为b 1=1,公比为2的等比数列{b n },设其前n 项和为B n .则A n =3()1-12n 1-12,B n =2n -12-1,令3() 1-12n 1-12=2n -1 2-1,化简 得2n +62n =7(n ∈N *),解得2n =6,所以n =lg 6lg 2=1+lg 3 lg 2 ≈3,即第3天时蒲草和莞草高度相同. 答案:3 9.(2019·安阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )在函数f (x )=x 2+Bx +C -1(B ,C ∈R)的图象上,且a 1=C . (1)求数列{a n }的通项公式; (2)记数列b n =a n (a 2n -1+1),求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d , 则S n =na 1+ n (n -1)2d =d 2 n 2+() a 1-d 2n . 又S n =n 2+Bn +C -1, 两式比较得d 2=1,B =a 1-d 2,C -1=0.又a 1=C , 解得d =2,C =1=a 1,B =0, ∴a n =1+2(n -1)=2n -1. (2)∵b n =a n (a 2n -1+1)=(2n -1)(2×2n -1-1+1)=(2n -1)×2n , ∴数列{b n }的前n 项和T n =2+3×22+5×23+…+(2n -1)×2n , ∴2T n =22+3×23+…+(2n -3)×2n +(2n -1)×2n +1, ∴-T n =2+2×(22+23+…+2n )-(2n -1)×2n +1 =2+2×4(2n -1-1) 2-1-(2n -1)×2n +1=(3-2n )×2n +1-6, 故T n =(2n -3)×2n +1+6. 10.2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某新能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增. (1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n ),试写出f (n )的表达式; (2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少),年平均费用的最小值是多少? 解:(1)由题意得f (n )=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n )+0.9n =14.4+0.2n (n +1) 2 +0.9n =0.1n 2+n +14.4. (2)设该车的年平均费用为S 万元,则有 S =1n f (n )=1n (0.1n 2+n +14.4)=n 10+14.4n +1≥2 1.44+1=3.4. 当且仅当n 10=14.4n ,即n =12时,等号成立,即S 取最小值3.4万元.所以这种新能源汽车使用12年报废最合算, 年平均费用的最小值是3.4万元. 11.(2018·淮南一模)若数列{a n }的前n 项和为S n ,点(a n ,S n )在y =16-1 3x 的图象上(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若c 1=0,且对任意正整数n 都有c n +1-c n =log 12a n .求证:对任意正整数n ≥2,总有13≤1c 2+1c 3+1c 4+…+1c n <3 4. 解:(1)∵S n =16-1 3 a n , ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=13a n -1-1 3a n , ∴a n =1 4 a n -1. 又∵S 1=16-13a 1,∴a 1=1 8, ∴a n =1 8 ×()14 n -1 =() 12 2n +1 . (2)证明:由c n +1-c n =log 1 2a n =2n +1,得当n ≥2时,c n =c 1+(c 2-c 1)+(c 3-c 2)+…+(c n -c n -1)=0+3+5+…+(2n -1)=n 2-1=(n +1)(n -1). ∴1c 2+1c 3+1c 4+…+1c n =122-1+132-1+142-1+…+1n 2-1 =12×[ ()1-13+()12-14+()13-1 5+…+()1 n -1-1 n +1 ] = 12??? ?()1+12-()1n + 1n +1=34-12() 1n +1n +1<3 4 . 又∵1c 2+1c 3+1c 4+…+1c n ≥1c 2=1 3 ,∴原式得证.