【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编 (第1期)专题06 数列

朱桂林09

1 专题06 数列

1.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】

已知定义在R上的函数)(xf是奇函数且满足)()23(xfxf，3)2(f，数列na满足11a，且naSnn2，（其中nS为na的前n项和）。则)()(65afaf A．3 B．2 C．3 D．2

2.【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】

在数列{}na中，如果对任意的*nN，都有211nnnnaaaa（为常数），则称数列{}na为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：①若数列{}nF满足11F，21F，12nnnFFF（3n），则该数列不是比等差数列；②若数列{}na满足1(1)2nnan，则数列{}na是比等差数列，且比公差2；③等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；④若{}na是等差数列，{}nb是等比数列，则数列{}nnab是比等差数列．

其中所有真命题的序号是_________________．

3.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】

已知等差数列na首项为a，公差为b，等比数列nb首项为b，公比为a，其中,ab 都

是大于1的正整数，且1123,abba，对于任意的*nN，总存在*mN，使得3mnab

成立，则na ．

4．【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】

已知数列{}na是公比为q的等比数列，且1a，3a，2a成等差数列，则q＝

A．1或12 B．1 C．12 D．－2

5.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】

(本题满分12分) 已知等差数列{an}的首项a1为a(,0)aRa．设数列的前n项和为Sn ，且对任意正整数n都有24121nnanan．

(1) 求数列{an}的通项公式及Sn ；

(2) 是否存在正整数n和k，使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．

6．【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】

（本小题满分14分）已知数列na满足11a，且nnnaa221（n2且n∈N*）．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）设数列na的前n项之和nS，求nS,并证明：322nSnn＞．

7．【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】

（本小题满分12分） 已知等差数列{}na的前n项和为nS，且23a，15225S．

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；

（Ⅱ）设22nanbn，求数列{}nb的前n项和nT．

8．【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】

（本小题满分12分） 设11(,)Axy、22(,)Bxy是函数32()222xfx图象上任意两点，且121xx．

（Ⅰ）求12yy的值；

（Ⅱ）若12(0)()()()nnTffffnnn（其中*nN），求nT；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2nnaT（*nN），若不等式2nnnnaaaa121＞1log(12)2aa对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

9.【山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考】（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列na前n项和为nS，首项为1a，且nnSa,,21等差数列.

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）若nbna)21(2，设nnnabc，求数列nc的前n项和nT.

10. 【浙江省温州八校2013届高三9月期初联考】（本题满分14分）等差数列na的首项为1a，公差1d，前n项和为nS 朱桂林09

2 （Ⅰ）若55S，求1a的值；

（Ⅱ）若nnaS对任意正整数n均成立，求1a的取值范围。

本题满分14分）

19.【北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试】

给定一个n项的实数列12,,,(N)naaan，任意选取一个实数c，变换()Tc将数列12,,,naaa变换为数列12||,||,,||nacacac，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第(N)kk次变换记为()kkTc，其中kc为第k次变换时选择的实数.如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称11()Tc， 22()Tc，„，()kkTc为 “k次归零变换”.

（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k次归零变换”，其中4k；

（Ⅱ）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；

（Ⅲ）不存在“1n次归零变换”. „„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

20. 【浙江省绍兴一中2013届高三10月学习质量诊断】）试题在等比数列}{na中，*)(0Nnan，公比)1,0(q，且252825351aaaaaa，

又2是3a与5a的等比中项。设nnab2log5．

(Ⅰ) 求数列}{nb的通项公式；

(Ⅱ) 已知数列}{nb的前n项和为nS,nnSSST11121，求nT．

21.【河南省南阳市2012届高中三年级期终质量评估】

数列{na}的前n项和记为nS，a1＝t，1na＋＝2nS＋1（n∈N＋）．

（Ⅰ）当t为何值时，数列{na}是等比数列；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若等差数列{nb}的前n项和nT有最大值，且3T＝15，又

a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求nT．

22.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝S2b2．

（Ⅰ）求{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）证明：13≤1S1＋1S2＋„＋1Sn＜23．

23.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】(本小题满分14分)

已知数列{}na,122aa,112(2)nnnaaan

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式na；

（Ⅱ）当2n时,求证:12111...3naaa

（Ⅲ）若函数()fx满足：2*1(1),(1)()().()fafnfnfnnN

求证：111.()12nkfk

24【湖北省孝感高中2013届高三9月调研考试】国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款（即无利息贷款），旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生小飞在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清.

签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元.小飞计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元.

（Ⅰ）用x和n表示小飞第n个月的还款额na；

（Ⅱ）若小飞恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；

（Ⅱ）当40x时，小飞将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？（参考数据：201.052.653） 朱桂林09

3 专题06 数列

1.【答案】A

2.⑴③

3. 5n-34．A． 5.

6．7．．

【答案】（Ⅰ）设数列{}na的公差为d，依题意得：

113,151415225,2adad解得11,2,ad∴数列{}na的通项公式21nan． ······ 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得1422nnbn，

∴12nnTbbb21(444)2(12)2nn ··········· 6分

12446nnn222433nnn． ··················· 12分 朱桂林09

4 8．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，221nnaTn，不等式2log(2)nnnnaaaaaa121112即为2221log(12)1222aannn，设nHnnn222212，

则 1nH222222322122nnnnn，

∴1222220212(1)12122nnHHnnnnn，

∴数列{}nH是单调递增数列，∴min1()1nHT， ············ 10分

要使不等式恒成立，只需1log(12)12aa，即2log(12)logaaaa，

∴201,120,12aaaa或21,120,12,aaaa解得120a.

故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是)12,0(. ····· 12分

9.

111122816)211442816211)2112184nnnnnn（（

nn24.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 朱桂林09

5 .28nnnT„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

10. 11.解：

（Ⅰ）a1＝S1＝ 2

7(81－1)＝2． „1分

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 2

7(8n－1)－ 2

7(8n－1－1)＝23n－2．

当n＝1时上式也成立，所以an＝23n－2（n∈N*）． „6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝log223n－2＝3n－2， „7分

所以

1b1b2＋1b2b3＋„＋1bnbn＋1＝11×4＋14×7＋„＋1(3n－2)(3n＋1)

＝ 1

3[(1－ 1

4)＋( 1

4－ 1

7)＋„＋(13n－2－13n＋1)]

＝ 1

3(1－13n＋1)＝n3n＋1． „12分

19.

（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k次归零变换”，其中4k；

（Ⅱ）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；

（Ⅲ）不存在“1n次归零变换”. „„„„„„„„„„„„„„„„„„10分