人教版初中数学三角形技巧及练习题附解析

人教版初中数学八年级上册三角形典型例题及答题技巧单选题1、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B解析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°答案：D解析：根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．小提示：本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．3、将一副直角三角尺的按照如图所示方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝∠D＝45°），若AB∥CD，则∠AOC等于（）A．75°B．90°C．100°D．105°答案：D解析：连接AC，根据平行线的性质得到∠BAC+∠DCA＝180°，进而得到∠CAO+∠ACO =75°，根据三角形内角和定理即可求得∠AOC.解：如图，连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA＝180°，即∠BAO+∠CAO+∠ACO+∠DCO＝180°，∵∠BAO＝60°，∠DCO＝45°，∴∠CAO+∠ACO＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵∠CAO+∠ACO+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠CAO+∠ACO＝180°﹣75°＝105°，故选：D．小提示：本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解决问题的关键．4、如图，三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B解析：根据三角形的定义可直接进行解答．解：由图可得：三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个；小提示：本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键．5、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C解析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．6、已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（）A．B．C．D．答案：A根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-4<a<8+4，根据不等式组解集的表示方法即可得答案．∵三角形的三边长分别为4，a，8，∴8−4<a<8+4，即4<a<12，∴在数轴上表示为A选项．故选：A．小提示：此题主要考查了三角形的三边关系及不等式组的解集的表示方法，三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边；根据三角形的三边关系列出不等式组是解题关键．7、如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°答案：C解析：由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．【小提示】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．8、一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°答案：C解析：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°=72°．5故选C．小提示：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．填空题9、在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为_______________度.答案：60°或10°解析：当ΔACD为直角三角形时，有两种情况∠ADC=90°或∠ACD=90°，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可.解：分两种情况：①如图1，当∠ADC=90°时，∵∠B=30°，∴∠BCD=90°−30°=60°；②如图2，当∠ACD=90°时，∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=180°−30°−50°=100°，∴∠BCD=100°−90°=10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为60°或10°；小提示：本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键.10、如图，∠1，∠2，∠3是多边形的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3=225°，那么∠DFE的度数是______.答案：45°解析：利用多边形的外角和为360°以及三角形内角和为180°，然后通过计算即可求解.解：∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠DEF+∠EDF=360°，又∵∠1+∠2+∠3=225°，∴∠DEF+∠EDF=135°，∵∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°-135°=45°．故答案是为45°.小提示：本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．11、如图，将三角尺ABC和三角尺DFF (其中∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°)摆放在一起，使得点A、D、B、E在同一条直线上，BC交DF于点M，那么∠CMF度数等于_____．答案：105°解析：利用直角三角形的两个锐角互余求得∠ABC与∠FDE的度数，然后在△MDB中，利用三角形内角和定理求得∠DMB，再依据对顶角相等即可求解．解：∵∠ABC＝90°−∠C＝90°−60°＝30°，∠FDE＝90°−∠F＝90°−45°＝45°，∴∠DMB＝180°−∠ABC−∠FDE＝180°−30°−45°＝105°，∴∠CMF＝∠DMB＝105°．所以答案是：105°．小提示：本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形的内角和定理以及对顶角的性质，正确求得∠DMB的度数是关键．12、如果一个多边形的边数恰好是从—个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为__________．答案：6解析：设此多边形有n条边，则一个顶点可以引出(n－3)条对角线，根据题意得n＝2(n－3)，解的n=6.设此多边形有n条边，根据题意得:n＝2(n－3)，解得n=6.故答案为6.13、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边是4和2012，则满足上述条件的三角形的个数是_______个．答案：3解析：根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围后，根据周长是偶数舍去不合题意的值即可．设第三边是x，则2008＜x＜2016．而三角形的周长是偶数，故x为偶数，因而x=2010或2012或2014，满足条件的三角形共有3个．所以答案是：3个．小提示：本题考查了三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．解答题14、如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？答案：他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．解析：根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．解：1140°÷180°＝6…60°，则边数是：6+1+2＝9；他们在求九边形的内角和；180°﹣60°＝120°，少加的那个内角为120度．小提示：本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．15、如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上(不与A、D、G重合)，连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．答案：（1）见解析；（2）2∠AHB−∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，证明见解析；（3）不成立，存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB−∠CBG=270°，理由见解析解析：(1)根据MN//PQ，内错角相等∠MAG=∠BDG，根据BG⊥AD，可得∠AGB=90°，根据三角形外角性质得出∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，可得∠MAG+∠PBG=90°；(2) 过H作HK∥MN，由MN//PQ，∠MAC=∠BDC，由三角形外角性质可得∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，根据AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，可得∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，得出∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)，由HK∥MN，MN//PQ，可得HK∥MN∥PQ，可得∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，得出∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)=2∠AHB，根据点C的位置分两种情况①如图，当点C在AG上时，利用三角形外角性质∠ACB=∠CBG+90°，②如图，当点C在DG上时，根据Rt△BCG中，∠ACB=90°−∠CBG即可；(3)过H作HK∥MN，根据MN//PQ，可得HK∥MN∥PQ，利用平行线性质可得∠MAH=∠AHK，∠PBH=∠KHB，可推得∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，根据角平分线得出∠MAH=∠CAH，∠PBH=∠CBH，根据四边形内角和∠ACB+∠HAC+∠AHB+∠HBC=360°，得出∠ACB=360°-2∠AHB，根据点C的位置分两种情况①如图，当点C在AG上时，根据外角性质∠ACB=90°+∠CBG，②如图，当C在DG上时，根据直角三角形两锐角互余可得，∠ACB=90°−∠CBG即可．解：(1)如图1，∵MN//PQ，∴∠MAG=∠BDG，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°∵∠AGB是△BDG的外角，∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，∴∠MAG+∠PBG=90°；(2)2∠AHB−∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，证明：过H作HK∥MN，∵MN//PQ，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)，∵HK∥MN，MN//PQ，∴HK∥MN∥PQ，∴∠MAH=∠AHK，∠PBH=∠KHB，∴∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)=2∠AHB，①如图，当点C在AG上时，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB−∠CBG=90°；②如图，当点C在DG上时，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°−∠CBG，∴2∠AHB=90°−∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；(3)(2)中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB−∠CBG=270°．过H作HK∥MN，∵HK∥MN，MN//PQ，∴HK∥MN∥PQ，∴∠MAH=∠AHK，∠PBH=∠KHB，∴∠AHB=∠AHK+∠KHB=∠MAH+∠DBH，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAH=∠CAH，∠PBH=∠CBH，∵∠ACB+∠HAC+∠AHB+∠HBC=360°，∴∠ACB+2∠AHB =360°，∴∠ACB=360°-2∠AHB，①如图，当点C在AG上时，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=90°+∠CBG，∴360°−2∠AHB=90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=270°；②如图，当C在DG上时，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°−∠CBG，∴360°−2∠AHB=90°−∠CBG，∴2∠AHB−∠CBG=270°．小提示：本题考查平行线性质，三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，四边形内角和，本题有一定难度，特别分类讨论思想的运用，使问题复杂化，掌握相关知识是解题关键．。

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

新人教版初中数学——解直角三角形知识点归纳及中考典型题解析一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sin A=cos B=ac，cos A=sin B=bc，tan A=ab；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1．仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=hl．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．考向一求三角函数的值（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．典例1 2sin45 的值为A．22B3C2D．1【答案】C【解析】把sin45°=22代入原式得：原式=2×222．故选C．1．如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sin A的值为A．23B．53C．255D．52考向二利用特殊角的三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.典例2 已知∠A为锐角，且sin A=32，那么∠A等于A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】D【解析】∵sin A=32，∴∠A=60°．故选D．2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于A．30°B．45°C．60°D．不能确定考向三解直角三角形的应用解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.典例3 某山的山顶B 处有一个观光塔，已知该山的山坡面与水平面的夹角∠BDC 为30°，山高BC 为100米，点E 距山脚D 处150米，在点E 处测得观光塔顶端A 的仰角为60°，则观光塔AB 的高度是A ．50米B ．100米C ．125米D ．150米【答案】A【解析】如图，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥DC 于G ，在Rt △DEG 中，EG =12DE =75， ∴BF =BC -CF =BC -CE =100-75=25，EF =tan tan30BF BFBEF =∠︒=253， ∵∠AEF =60°， ∴∠A =30°，∴AF =253tan 33EF A ==75，∴AB =AF -BF =50（米），故观光塔AB 的高度为50米， 故选A ．3．如图，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一棵树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45︒方向上，测得树B 在北偏东36︒方向上，又测得B 、C 之间的距离等于200米，求A 、B 之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414≈，sin360.588︒≈，cos360.809︒≈，tan360.727︒≈，cot36 1.376︒≈）1．如图，在△ABC 中，若∠C =90°，则A ．sin A =a cB ．sin A =b c C ．cos A =abD ．cos A =ba212sin45cos602︒-︒的值为 A ．(1132B ．(1132-C ．14D ．343．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，53B ∠=︒，若BC m =，则AB 的长为 A ．cos53m︒B ．cos53m ⋅︒C ．sin53m ⋅︒D ．tan53m ⋅︒4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，13AC AB =，则cos A 等于A ．223B ．13C ．22D ．245．菱形ABCD 的对角线AC =10cm ，BD =6cm ，那么tan2B 为 A ．53B ．54C ．534D ．3346．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A ，B ，C 均为格点，则sin ∠BAC 为A ．22B ．55C ．105D ．10107．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =10，sin A =35，则斜边上的高等于 A ．5B ．4.8C ．4.6D ．48．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为A ．35B ．34C ．105D ．19．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB 的坡度是1:3，堤坝高为40m ，则迎水坡面的是A ．80mB 3m ．C 40m ．D 3m ．10．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B 处，海轮航行的距离AB 长是A．2海里B．2sin55︒海里C．2cos55︒海里D．2tan55︒海里11．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1∶2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（参考数据：3≈1.732）A．1.732米B．1.754米C．1.766米D．1.823米12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tan A=125，则sin B=___________．13．在△ABC中，AB=25，AC=5，tan∠B=12，则BC的长度为__________．14．已知相邻的两根电线杆AB与CD高度相同，且相距50mBC=．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45︒、23︒，已知测角仪EF高1.5m，则电线杆的高度约为________m．（精确到0.1m，参考数据：sin230.39︒≈，cos230.92︒≈，tan230.43︒≈）15．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=12．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．16．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强的身高为166cm，其中下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面成80°角(∠FGK=80°)，身体前倾成125°角(∠EFG=125°)，脚与洗漱台的距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．（1）此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)1． 60sin 2的值等于 A ．1 B ．2 C ．3D ．22．已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α= A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为A ．43 B ．34C ．35D ．454．如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若 tan ∠BAC =25，则此斜坡的水平距离AC 为A ．75 mB ．50 mC ．30 mD ．12 m5．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30，则教学楼的高度是30°CD ABA ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m6．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米7．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内），已知AB =a ，AD =b ，∠BCO =x ，则点A 到OC 的距离等于A ．a sin x +b sin xB ．a cos x +b cos xC ．a sin x +b cos xD ．a cos x +b sin x8．在△ABC 中，∠C =90°，tan A =33，则cos B =__________． 9．在直角三角形ABC 中，若2AB =AC ，则cos C =__________．10．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A 处测得正东方向上一座灯塔的最高点C 的仰角为31°，再向东继续航行30m 到达B 处，测得该灯塔的最高点C 的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．11．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）．12．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，3≈1.73）13．为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）14．图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B–A–O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE．①填空：∠BAO=__________．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）16．如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB=OP=100cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA=OB．（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB=67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留小数点后一位）（2=1.41，sin67.5°=0.92，cos67.5°=0.38，tan67.5°=2.41，sin22.5°=0.38，cos22.5°=0.92，tan22.5°=0.41）1．【答案】A【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，AB =3，BC =2，∴sin A =BC AB =23，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵sin α=cos60°=12，∴α=30°．故选A ． 3．【解析】如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，由题意，得45ACH ∠=︒，36BCH ∠=︒，200BC =， 在Rt △BHC 中，sin BH BCH BC ∠=，∴sin36200BH︒=， ∵sin360.588︒≈，∴117.6BH ≈， 又cos HC BCH BC ∠=，∴cos36200HC︒=， ∵cos360.809︒≈，∴161.8HC ≈， 在Rt △AHC 中，tan AHACH HC∠=， ∵45ACH ∠=︒，∴AH HC =，∴161.8AH ≈， 又AB AH BH =+，∴279.4AB ≈，∴279AB ≈（米）． 答：A 、B 之间的距离为279米．1．【答案】A 【解析】A 、sin A =ac，此选项正确； 考点冲关变式拓展B 、sin A =ac ，此选项错误； C 、cos A =bc ，此选项错误；D 、cos A =bc，此选项错误；故选A ． 2．【答案】D【解析】原式=2112222⨯-⨯=1–14=34，故选D ． 3．【答案】A 【解析】如图，∵cos53°=BC AB ， ∴AB =cos53m︒，故选A ． 4．【答案】B【解析】如图所示：∵13AC AB =，∴cos A =1133ABAC AB AB ==．故选B ．5．【答案】A【解析】如图，由题意得，AO ⊥BO ，AO =12AC =5cm ，BO =12BD =3cm ，则tan2B=tan ∠OBA 53AO BO ==.故选A.6．【答案】D【解析】如图所示：连接BD ，交AC 于点E ，由正方形的性质可得：BD ⊥AC ，故BD =2，AB =5，则sin ∠BAC =2102105EB AB ==．故选D ． 7．【答案】B【解析】如图所示，CD ⊥AB ，CD 即为斜边上的高，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =35， ∴sin A =10BC BC AB ==35，即BC =6， 根据勾股定理得：AC 22AB BC -=8，∵S △ABC =12AC •BC =12CD •AB ， ∴CD =6810AC BC AB ⋅⨯==4．8， 故选B ． 8．【答案】B【解析】∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4， 所以，tan ∠ABC =34． 故选B ． 9．【答案】A【解析】∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，∴13BC AC =， ∵BC =40m ，∴AC =403m ，∴AB =22AC BC +=80m ，故选A ．10．【答案】C【解析】记灯塔P 的正北方向为射线PC 的方向.根据题意可知∠APC =55°，PC ∥AB ，AP =2海里. ∵PC ∥AB ，∠APC =55°，∴∠P AB =55°. ∵在Rt △ABP 中，AP =2海里，∠P AB =55°， ∴AB =AP ·cos ∠P AB =2cos55°（海里）. 故选C. 11．【答案】C【解析】如图，延长CA 交DB 延长线与点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，则∠CED =60°， ∵AB 的坡比为1∶2.4， ∴152.412AF BF ==，则设AF =5x ，BF =12x ， ∵AB =3.9米，∴在直角△ABF 中，由勾股定理知，3.92=25x 2+144x 2．解得x =310． ∴AF =5x =32，BF =12x =185，∴EF =333223tan 602sin 6033AF AFAE =====︒︒， ∵∠C =∠CED =60°， ∴△CDE 是等边三角形， ∵AC =4.5米，∴DE =CE =AC +AE 3 则BD =DE ﹣EF ﹣BF 33185≈1.766（米）， 答：浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为1.766米． 故选C ． 12．【答案】513【解析】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =12，tan A =125，得125BC AC =，即12125AC =， ∴AC =5．由勾股定理，得AB 22AC BC +．所以sin B =513AC AB =，故答案为：513． 13．【答案】5【解析】如图，过点A 作AD ⊥BC 交于D ．∵1tan 2AD B BD ∠==， 设AD =x ，则BD =2x ， ∵AB =25，∴在△ABD 中，由勾股定理得（25）2=x 2+（2x ）2， 解得，x 1=2，x 2=﹣2（不符合，舍去）， ∴BD =4，同理，在△ACD 中，由勾股定理得，22541DC AC AD =-=-=，∴BC =DC +BD =4+1=5， 故答案为：5． 14．【答案】16.5【解析】过点F 作AB 、CD 的垂线，垂足为点G 、H ，如图所示：设AG =x m ，则有DH =x m ， ∵tan45tan23AG AG BC +=︒︒，∴tan23°=50xx-，解得x ≈15.0， ∴AB =x +1.5=16.5．电线杆的高度约为16.5 m ．故答案是：16.5． 15．【解析】（1）连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BO =12BD =4，∵Rt △BOC 中，tan ∠CBD =OC OB =12，∴OC =2， ∴AB =BC =22BO CO +=2242+=25；（2）∵AE ⊥BC ，∴S 菱形ABCD =BC ·AE =12BD ·AC ， ∵AC =2OC =4，∴25AE =12×8×4，∴AE =855，∴BE =22AB AE -=()2285255⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=655， ∴cos ∠ABE =BE AB =65525=35．16．【解析】（1）如图，过点F 作FN ⊥DK 于N ，过点E 作EM ⊥FN 于M ．∵EF +FG =166，FG =100，∴EF =66， ∵∠FGK =80°，∴FN =100sin80°≈98，∵∠EFG =125°，∴∠EFM =180°–125°–10°=45°， ∴FM =66cos45°=332≈46.53，∴MN =FN +FM ≈144.5， ∴此时小强头部E 点与地面DK 相距约为144.5 cm ．（2）如图，过点E 作EP ⊥AB 于点P ，延长OB 交MN 于H ． ∵AB =48，O 为AB 中点，∴AO =BO =24，∵EM =66sin45°≈46.53， ∴PH ≈46.53，∵GN =100cos80°≈17，CG =15，∴OH =24+15+17=56，OP =OH –PH =56–46.53=9.47≈9.5， ∴他应向前9.5cm ．1．【答案】B【解析】锐角三角函数计算，︒60sin 2=2×23=3，故选A ． 2．【答案】A【解析】∵∠α为锐角，且sin α=12，∴∠α=30°．故选A ． 3．【答案】D【解析】如图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC =90°，∴AC =22AD CD +=2234+=5．∴sin ∠BAC =CD AC =45．故选D ．4．【答案】A【解析】∵∠BCA =90°，tan ∠BAC =25，BC =30m ，∴tan ∠BAC =25＝BC AC ＝30AC，解得AC =75， 故选A ． 5．【答案】C【解析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，183DE BC ==Rt ADE △中，tan30AEDE=， 318318(m)AE ∴==，18 1.519.5(m)AB ∴=+=，故选C ． 30°CAE6．【答案】C【解析】如图，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，直通中考设DF =x ，∵tan65°=OFDF ，∴OF =x tan65°，∴BF =3+x ， ∵tan35°=OFBF，∴OF =（3+x ）tan35°，∴2.1x =0.7（3+x ），∴x =1.5，∴OF =1.5×2.1=3.15，∴OE =3.15+1.5=4.65≈4.7，故选C ． 7．【答案】D【解析】如图，过点A 作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°， ∵∠ABC =∠AEC ，∠BCO =x ，∴∠EAB =x ，∴∠FBA =x ，∵AB =a ，AD =b ，∴FO =FB +BO =a •cos x +b •sin x ， 故选D ．8．【答案】12【解析】∵tan A =33，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =60°，∴cos B =cos60°=12．故答案为：12． 9．【答案】32或255【解析】若∠B =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)x x -=3x ，所以cos C =3322BC x AC x ==； 若∠A =90°，设AB =x ，则AC =2x ，所以BC =22(2)5x x x +=， 所以cos C =22555AC x BC x==；综上所述，cos C 的值为32或255． 故答案为：32或255． 10．【解析】在Rt △CAD 中，tan ∠CAD =CDAD， 则AD =tan 31CD ︒≈53CD ，在Rt △CBD 中，∠CBD =45°，∴BD =CD ， ∵AD =AB +BD ，∴53CD =CD +30，解得CD =45， 答：这座灯塔的高度CD 约为45 m ．11．【解析】如图，在Rt △ABD 中，AB =AD =600，作EM ⊥AC 于M ，则AM =DE =500，∴BM =100， 在Rt △CEM 中，tan53°=CM EM =600CM =43，∴CM =800， ∴BC =CM –BM =800–100=700（米）． 答：隧道BC 长为700米．12．【解析】∵∠ACE =90°，∠CAE =34°，CE =55m ，∴tan ∠CAE =CE AC ，∴AC =tan 34CE ︒=550.67≈82.1（m ），∵AB =21m ，∴BC =AC –AB =61.1（m ）， 在Rt △BCD 中，tan60°=CDBC=3， ∴CD =3BC ≈1.73×61.1≈105.7（m ）， ∴DE =CD –EC =105.7–55≈51（m ）. 答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ．13．【解析】如图，连接BD ，作DM ⊥AB 于点M ，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．14．【解析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG=∠ABC=70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO=∠AOE=90°，∴∠BAO=90°+70°=160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF=AB•sin∠ABF=30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+AO–CD=28.2+6.8–8=27（cm）；（2）过点DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA=70°，AF=28.2cm，DH=6cm，BC=35cm，CD=8cm，∴CM=AF+AO–DH–CD=28.2+6.8–6–8=21（cm），∴sin∠MBC=CMBC=2135=0.6，∴∠MBC=36.8°，∴∠ABC=∠ABM–∠MBC=33.2°．15．【解析】如图，连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=12AB=3（米），在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=ADOA，即OA=3cos41.3=30.75=4（米），tan41.3°=ODAD，即OD=AD•tan41.3°=3×0.88=2.64（米），则CD=CO+OD=4+2.64=6.64（米）．16．【解析】（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°；（2）如图，∵∠CAB=67.5°，∴∠BAO=22.5°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=22.5°，∴∠BOP=45°，∵OB=100，∴OE=22OB=502，∴PE=OP–OE=100–502≈29.5cm，答：此时下水道内水的深度约为29.5cm．。

(文末附解析)人教版初中数学八年级上册三角形必须掌握的类型题解题思路单选题1、三角形的三条高所在直线的交点一定在A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的内部或外部D．三角形的内部、外部或顶点2、如图所示的图形中具有稳定性的是（）A．①②③④B．①③C．②④D．①②③3、下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A．5cm 2cm 3cmB．5cm 2cm 2cmC．5cm 2cm 4cmD．5cm 12cm 6cm4、下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定，如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（）个螺栓A．1B．2C．3D．45、下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．6、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．110°7、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°8、如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（）A．15°B．55°C．65°D．75°填空题9、如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________10、如图，AB∥CD，则∠1+∠3—∠2的度数等于 __________．11、如图，在△ ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ ABC的面积为4m2，则阴影部分的面积为 _________ cm212、如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以连___________条对角线．13、在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为_________．解答题14、探究题：（1）已知：三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠ACB=180°；小明同学经过认真思考，他过点C作CE//AB，利用添加辅助线的方法成功解决了这个问题．你能说出小明是怎么解决这个问题的吗？写出论证过程．（2）利用以上结论或方法，解决如下问题：已知：六边形ABCDEF，满足∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F，求证：AF//CD．15、已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．(文末附解析)人教版初中数学八年级上册三角形_017参考答案1、答案：D解析：根据高的概念知：不同形状的三角形的高所在直线的交点位置不同．锐角三角形的三条高都在内部，交点在其内部；直角三角形的三条高中，两条就是直角边，第三条在内部，交点是直角顶点；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，所在直线的交点在外部．A. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的内部，错误；B. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的外部，错误；C. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，既不在三角形的内部，又不在三角形的外部，错误；D. 锐角三角形的三条高的交点在其内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在其外部，正确.故选D.小提示：此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握其性质定义性质.2、答案：B解析：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，一个多边形从一个顶点出发引出的对角线将其分成(n−2)个三角形，此时这个多边形就具有稳定性了，图①③便具有稳定性，故选B．小提示：此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．3、答案：C解析：根据三角形的三边关系进行分析判断．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A、3＋2＝5，不能组成三角形，不符合题意；B、2＋2＝4＜5，不能组成三角形，不符合题意；C、4＋2＝6＞5，能够组成三角形，符合题意；D、5＋6＝11＜12，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．4、答案：A解析：用木条交叉点打孔加装螺栓的办法去达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．如图，A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边所以答案是：A．小提示：本题考查了三角形的稳定性的问题，掌握三角形的稳定性是解题的关键．5、答案：D解析：根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．解：A、是一个三角形，其内角和为180°；B、是一个四边形，其内角和为360°；C、是一个五边形，其内角和为540°；D、是一个六边形，其内角和为720°；∴内角和最大的是六边形；故选D．小提示：本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．6、答案：C解析：在△ABC中，利用三角形内角和为180°求∠ACB，再利用CD平分∠ACB，求出∠ACD的度数，再在△ACD利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数．∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°．∴∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−30°−50°=100°．∵CD平分∠ACB．∴∠ACD=12∠ACB=12×100°=50°．∴∠ADC=180°−∠A−∠ACD=180°−30°−50°=100°．故选C．小提示：本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键．7、答案：B解析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．8、答案：D解析：根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．小提示：本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．9、答案：10<L<16解析：根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．设第三边长为x，∵有两条边分别为3和5，∴5-3<x<5+3,解得2<x<8，∴2+3+5<x+3+5<8+3+5，∵周长L=x+3+5,∴10<L<16,故答案为: 10<L<16．小提示：此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．10、答案：180°解析：解：∵AB ∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3∠EFD=180°-∠EFC∴∠1+∠3—∠2=180°所以答案是：180°11、答案：1解析：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．解：∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝12S △ADC ， ∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2， ∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×4＝2cm 2， ∵点F 是CE 的中点，∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12×2＝1cm 2． 所以答案是：1．小提示：本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．12、答案：6解析：首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．解：设此多边形的边数为n，由题意得：（n-2）×180=1260，解得；n=9，从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，所以答案是：6．小提示：此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．13、答案：10°解析：∠BAC，而∠BAD=90°-∠B，先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE=12然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算即可．解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，∵AE是的角平分线∠BAC=40°，∴∠BAE=12∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．故答案为10°小提示：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，关键是利用三角形内角和定理求解．14、答案：（1）见解析；（2）见解析解析：（1）根据平行线的性质及平角的性质即可求解；（2）连结AC,FC,FD，利用三角形内角和将∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F转化为∠AFC=∠DCF，从而得出AF//CD．（1）∵CE//AB∴∠A=∠1，∠B=∠2∵B、C、D在同一直线上∴∠ACB+∠1+∠2=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°；（2）如图，连结AC,FC,FD，得到△ABC、△ACF、△CDF、△DEF∴∠B+∠BAC+∠ACB=∠ACF+∠AFC+∠CAF=∠FCD+∠CDF+∠CFD=∠E+∠EDF+∠DFE=180°∵∠BAF+∠B+∠BCD=∠CDE+∠E+∠EFA∴∠BAC+∠CAF+∠B+∠ACB+∠ACF+∠FCD=∠CDF+∠EDF+∠E+∠EFD+∠CFD+∠AFC 化解得360°-∠AFC+∠FCD=360°-∠FCD+∠AFC∴2∠FCD=2∠AFC则∠FCD=∠AFC∴AF//CD．小提示：此题主要考查平行线的判断与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．15、答案：8＜c＜14解析：试题分析：根据算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平方根与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得答案．试题解析：∵（a﹣6）2+|b﹣8|=0，∴a﹣6=0，b﹣8=0，∴a=6，b=8，b﹣a＜c＜a+b，这个三角形的最长边c，c＞b=8，8＜c＜14 .。