数轴知识讲解及经典例题

祖π数学
新人教 七年级上册
之精讲精练 1
【知识点】数轴的概念
知识要点：（1）规定了 、 、 的直线叫做数轴.
（2）数轴上的点与有理数之间的关系：一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示a 的点在原点的 ，与原点的距离是 个单位长度；表示－a 的点在原点的 ，与原点的距离是 个单位长度．
（3）数轴上的点表示的有理数，沿着数轴正方向越往右，数越 .
【典型例题】
1．如图，数轴上点A 表示的数是 .
2．如图，数轴上表示－2.75的点是 .
3．在数轴上表示－2，0，6.3，15
的点中，在原点右边的点有 . 4．在数轴上，表示－1与－4两点之间有理数的点有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无数个
5．数轴上的点A 对应的数为－1，那么与A 点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 ．
6.数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________.
7.数轴上的点A 对应数为-2，与B 点对应数为-7,则AB 的长度为______；点A 为 -2，那么与B 点对应数为7,则AB 的长度为___ ___.
8.在数轴上A 点表示－31，B 点表示2
1，则离原点较近的点是 点． 9．指出数轴上点A ，B ，C ，D 表示的数．
10．画数轴，并在数轴上表示下列各数：2，－2.5，0，13
，－4.
11.画出数轴并表示下列有理数： -5，+3 ，0 ，3
2 ，4
12.画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：-5，212，0，4，
2
9，-1.5。

七年级数轴动点的经典例题
题目：在数轴上，点A、B、C分别表示-20、-10、10，甲、乙、丙三个动点同时从A、B、C三点出发，沿数轴负方向运动，已知甲的速度是每秒1个单位长度，乙的速度是每秒2个单位长度，丙的速度是每秒3个单位长度，当丙追上乙时，甲是否追上了乙？为什么？
解析：
确定初始位置：首先明确三个点的初始位置，A在-20，B在-10，C在10。

计算丙追上乙的时间：
丙和乙的相对速度是 3−2=1 个单位长度/秒（因为两者都是向数轴的负方向运动）。

丙和乙的初始距离是 10−(−10)=20 个单位长度。

所以丙追上乙所需的时间是 120=20 秒。

计算在20秒内甲和乙的移动距离：
甲在20秒内移动了 1imes20=20 个单位长度。

乙在20秒内移动了 2imes20=40 个单位长度。

确定20秒后甲和乙的位置：
甲的新位置是−20−20=−40。

乙的新位置是−10−40=−50。

判断甲是否追上了乙：
比较甲和乙的新位置，发现它们并不相同（−40=−50）。

因此，甲没有追上乙。

答案：甲没有追上乙。

在丙追上乙的20秒内，甲移动了20个单位长度到达-40，而乙移动了40个单位长度到达-50。

因此，甲和乙的位置仍然不同。

解题思路总结：
确定动点的初始位置和速度。

根据相对速度和初始距离计算追及时间。

使用追及时间计算各动点的移动距离。

更新动点的位置并比较是否追及。

本题考查了数轴上动点的追及问题，需要灵活运用速度、时间和距离之间的关系进行计算。

《数轴》例题讲解为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型．数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象．数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来． 数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题， 这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想．利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：1. 运用数轴直观地表示有理数；2. 运用数轴形象地解释相反数；3. 运用数轴准确地比较有理数的大小；4. 运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题．例题讲解【例 1】(1)数轴上有 A 、 B 两点，如果点 A 对应的数是- 2 ，且 A 、 B 两点的距离为 3， 那么点 B 对应的数是 ． (江苏省竞赛题)(2)在 数轴上， 点 A 、 B 分别表示 - 11和 ， 则线段 AB 的中点所表示的数35是．(江苏省竞赛题)（3）点 A 、B 分别是数- 3 ， - 1在数轴上对应的点，使线段 AB 沿数轴向右移动到 A 'B ' ，2且线段 A 'B ' 的中点对应的数是 3，则点 A ' 对应的数是 ，点 A 移动的距离是 ． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)确定 B 点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系；（3）在平移的过程中，线段 AB 的长度不变，即 AB = A 'B ' ．【例 2】 如图，在数轴上有六个点，且 AB = BC = CD = DE = EF ，则与点C 所表示的数最接近的整数是 ． 思路点拨 利用数轴提供的信息，求出 AF 的长度． 1【例 3】比较 a 与 的大小．a 思路点拨 因为 a 表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由 a =a = 1，- 1，0 ，据此 3 个数把数轴分为 6 个部分．【例 4】阅读下面材料并回答问题．(1) 阅读下面材料：1 1、 无意义得出 a a点 A 、 B 在数轴上分别表示实数 a 、b ， A 、 B 两点之间的距离表示为 AB ．当 A 、 B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1，AB = OB = b = a - b当 A 、 B 两点都不在原点时，①如图 2，点A 、B 都在原点的右边AB =OB -OA =b -a =b -a =a -b ；②如图 3，点A 、B 都在原点的左边，AB =OB -OA =b -a =b -a =a -b ；③如图 4，点A 、B 在原点的两边，AB =OB -OA =b -a =-b - (-a) =a -b ；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离AB =a -b ．(2)回答下列问题：①数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是，数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是，数轴上表示1 和－3 的两点之间的距离是；= 2 那么x 为②数轴上表示x 和－1 的两点A 和B 之间的距离是,如果AB；③当代数式x +1 +x - 2 取最小值时，相应的x 的取值范围是．(南京市中考题) 思路点拨阅读理解从数轴上看，a -b 的意义．链接：有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求．从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括：①数轴上诸点所表示的数的正负性；②数轴上的点到原点的距离．(1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予字母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程．(2)纯粹的代数方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化．【例5】试求｜x-1｜十｜x－2｜+｜x－3｜+…｜x－1997｜的最小值．(天津市竞赛题)思路点拨由于x 的任意性、无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助【例4】的结论解题．【例 6】 (1)工作流水线上顺次排列 5 个工作台A 、B 、C 、D 、E ，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?(2)如果工作台由 5 个改为 6 个，那么工具箱应如何放置能使 6 个操作机器的人取工具所走的路程之和最短?(3)当流水线上有n 个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?思路点拨把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例的模型——数轴，将问题转化为【例4】的形式求解．链接：设a1 、a2 、a3 、… a n 是数轴上依次排列的点表示的有理数．nn ①当 n 为偶数时，若a ≤ x ≤ a ，则 x - a 1 +1 + x - a 2 + + x - a n 的值最小； 2 2②当 n 为奇数时，若 x = a n +1 ，则 x - a 1 2+ x - a 2 + + x - a n 的值最小．基础训练一、基础夯实： 1. 在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为,则 a-3=.1112. a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则、、中最大的是 .a b ca a - bc 1c - ba - cB（第 2 题） （第 3 题） （第 4 题） 3. (第 12 届“希望杯”邀请赛试题)有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,若 m=│a+b│- │b -1│-│a -c│-│1-c│,则 1000m= . 4. 如图,工作流程线上 A 、B 、C 、D 处各有 1 名工人,且 AB=BC=CD=1,现在工作流程线上安放一个工具箱,使 4 个人到工具箱的距离之和为最短, 则工具箱的安放位置是 . 5. 有理数 a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简│a+b│-│c -b│的结果为( )A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-ccaA D C B（第 5 题） （第 6 题） （第 8 题） 6. (第 15 届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距 1 个单位,点A 、B 、C 、D对应的数分别是整数 a,b,c,d,且 d-2a=10,那么数轴的原点应是( ). A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点7.│x+1│+│x -1│的最小值是( ).A.2B.0C.1D.-18. (第 18 届江苏省竞赛题)数 a 、b 、c 、d 所对应的点 A 、B 、C 、D 在数轴上的位置如图所示, 那么 a+c 与 b+d 的大小关系是( ). A.a+c<b+d B.a+c=b+d C.a+c>b+d D.不确定的 9. (北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有 A 、B 两点，A 、B 之间的距离为 1,点 A 与原点 O 的距离为 3,求所有满足条件的点 B 与原点 O 的距离的和.10. 已知两数 a 、b,如果 a 比 b 大,试判断│a│与│b│的大小.二、能力拓展 11. 有理数 a 、b 满足 a>0,b<0,│a│<│b│,用“〈”将 a 、b 、-a 、-b 连接起来.12.│x+1│+│x-2│+│x-3│的最小值是.13.已知数轴上表示负有理数m 的点是点M,那么在数轴上与点M 相距│m│个单位的点中,与原点距离较远的点对应的数是. (2001 年山东省竞赛题)14.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b 成立的x 的取值范围是.(武汉市选拔赛题)15.如图,A、B、C、D、E 为数轴上的五个点,且AB=BC=CD=DE,则图中与P 点表示的数比较接近的一个数是( ).A.-1B.1C.3D.516.设y=│x-1│+│x+1│,则下面四个结论中正确的是( ).A.y 没有最小值B.只有一个x 使y 取最小值C.有限个x(不止一个)使y 取最小值； D.有无穷多个x 使y 取最小值17.不相等的有理数a、b、c 在数轴上对应点分别为A、B、C,若│a-b│+│b- c│=│a-c│, 那么点B( ).A.在A、C 点右边；B.在A、C 点左边；C.在A、C 点之间；D.以上均有可能18.试求│x-2│+│x-4│+…+│x-6│+│x-2000│的最小值.19.电子跳蚤落在数轴上的某点 K0,第一步从 K0向左跳 1 个单位到 K1,第二步由 K1向右跳 2 个单位到K2,第三步由K2向左跳 3 个单位到K3,第四步由K3向右跳 4 个单位到K4…, 按以上规律跳了 100 步时,电子跳蚤落在数轴上的点 K100所表示的数恰是 19.94, 试求电子跳蚤的初始位置 K0点所表示的数.三、综合创新20.如图,在数轴上(未标出原点及单位长度)点 A 为线段 BC 的中点,已知点 A、B、C 对应的三个数 a、b、c 之积是负数，这三个数之和与其中一数相等，设 p 为 a、b、c 三数中两数的比值，求 p 的最大值和最小值。

【知识衔接】【新课导学】知识点一 数轴的概念及画法【知识梳理】 数轴的概念(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；(0是正数和负数的分界点；原点是数轴的“基准点”.) (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…. 数轴定义的三层含义第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层含义是说数轴有三要素(原点、正方向、单位长度)，三者缺一不可；第三层含义是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的.【例题精讲】典例1以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．变式1．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二 数轴上点表示的数【知识梳理】（1）正数用数轴原点右边的数表示，负数用数轴原点左边的数表示，0用原点表示。

数轴第二讲专题02ZHUAN TI ER小学阶段：用直线上的点表示小数、分数和整数 初中阶段：用数轴上的点表示正数、和负数；0的左边表示负数，0的右边表示正数（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点也可以表示无理数。

【例题精讲】典例2下列说法正确的是（ ）A ．在数轴上表示﹣5的点与表示+3的点的距离为2B ．数轴上右边的点表示正数，左边的点表示负数C ．距离原点越远的点表示的数就越大D ．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来变式2．下列语句：①数轴上的点仅能表示整数：②数轴是一条直线：③数轴上的一个点只能表示一个数：④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点：⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个知识点三 利用数轴比较有理数的大小【知识梳理】数轴上的点表示的数，右边的数总是大于左边的数 【例题精讲】典例3在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来． −12，0，﹣2.5，﹣3，112．变式3．在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来． 0，﹣4.2，312，﹣2，+7，113．知识点四 借助数轴确定位置【例题精讲】典例4 某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）． （2）聪聪家与刚刚家相距多远？（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？变式4．如图，数轴上点M，P，N分别表示数m，m+n，n，那么原点的位置是（）A．在线段MP上B．在线段PN上C．在点M的左侧D．在点N的右侧变式5．小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B），书店（记为C）依次座落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西面150米处，书店位于学校东面60米处，小明从学校沿这条向东走了30米，接着又向西走了80米到达D处，以学校为原点，试用数轴表示上述A、B、C、D的位置．【课后练习】一、精心选一选（每题6分，共36分）1．下列所画数轴正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个的点是（）2．如图，在数轴上表示−14A．点A B．点B C．点C D．点D3．如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数为﹣2，那么点B表示的数是（）A．﹣1 B．0 C．3 D．44．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3和x，则x表示的数为（）A．15 B．12 C．7.5 D．以上都不对5．数轴上一点A，一只蚂蚁从A出发爬了4个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（）A．4 B．﹣4 C．±8 D．±46．若将四个数−√3、√7、√11、2√3表示在数轴上，其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A．−√3B．√7C．√11D．2√3二、细心填一填（，每题6分，共30分）7．数轴上的A 点与表示﹣2的点距离3个单位长度，则A 点表示的数为 ． 8．在数轴上到原点距离等于2.4的点表示的数是 ．9．小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，若数轴上A ，B 两点之间的距离为10，且A ，B 两点经上述折叠后重合，则B 点表示的数为 ． 10．（1）画出数轴，并表示下列有理数：﹣2，13，1.5；（2）在（1）的条件下，点O 表示0，点A 表示﹣2，点B 表示13，点C 表示1.5，点D 表示数a ，﹣1＜a ＜0，下列结论：①AO ＞DO ，②BO ＞DO ，③CO ＞DO ，其中一定正确的是 （只需填写结论序号）． 11．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则a b ．（填“＞”、“＜”或“＝”）三、耐心做一做（共34分）12．（10分）画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数相反数的点：2，﹣312，0，14，﹣1，412，﹣512，并用“＜”把这些相反数连接起来．13．（10分）快递小哥骑车从快递公司出发，先向西骑行2km 到达A 小区，继续向西骑行3km ，到达B 小区，然后向东骑行9km 到达C 小区，最后回到快递公司．（1）以快递公司为原点，向东方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示A 、B 、C 三个小区的位置；（2）C 小区离A 小区有多远？ （3）快递小哥一共骑行了多少千米？14．（14分）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A 、B 、C ，其中AB ＝4cm ，BC ＝2cm ．以这条直线为基础建立数轴、设点A 、B 、C 所表示数的和是p ． （1）如果规定向右为正方向；①若以BC 的中点为原点O ，以1cm 为单位长度建立数轴，则p ＝ ；②若单位长度不变，改变原点O 的位置，使原点O 在点C 的右边，且CO ＝30cm ，求p 的值；并说明原点每向右移动1cm ，p 值将如何变化？③若单位长度不变，使p ＝64，则应将①中的原点O 沿数轴向 方向移动 cm ； ④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm 建立数轴，则p ＝ ． （2）如果以1cm 为单位长度，点A 表示的数是﹣1，则点C 表示的数是 .。