2020年广东省高考数学二模试卷(文科)

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<

B ．{|24}x x -<<

C ．{|33}x x -<<

D ．{|23}x x -<<

2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈

，若||z =(a = ) A ．4

B ．2

C ．2±

D ．2-

3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )

A ．13

B ．

23

C ．

16

D ．

12

4．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪

--⎨⎪+⎩

„„…，则2z y x =-的最大值是( )

A ．9

B ．7

C ．3

D ．6

5．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺

B ．2.5尺

C ．3.5尺

D ．4.5尺

6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆

，则该圆锥的体积为( ) A

．

B

C

D

7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-

B ．(2,4)-

C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞

D ．(4,2)-

8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐

近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u r

g ，则该双曲线的离心率为( )

A

B ．2 C

D

9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1n

n n

a a n N a +=∈+，且11a =，设1n n n

b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．

2018

2019

B ．

2019

2020

C ．2019

D ．

1

2019

10．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3

π

个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π

=-；③函数

()g x 在[3π，]2

π

④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正

确的个数是( ) A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心

，且112PF F F ⊥，△12PF F

，则椭圆C 的方程为( ) A ．22

12x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=

D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21

()cos 1()2

f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范

围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，

)+∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =

，37

8

S =，则公比q = ． 14．（5

分）已知向量a =r ，||1b =r ，且向量a r

与b r 的夹角为3π，则|2|a b -=r r ．

15．（5分）对于任意实数a ，b ，

定义{min a ，,},a a b

b b a b

⎧=⎨>⎩…，函数()2f x ex e =-+，()x g x e =，(){()h x min f x =，()}g x ，若函数()()Q x h x k =-有两个零点，则k 的取值范围为 ．

16．（5分）如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ，连接1A C ．若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接球的体积为

82

3

π，则a = ．

三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知

2

(22cos 2)cos cos 2

A

a b C c B -=+g g ． （1）求角A 的大小；

（2）若62c =，且AB 边上的高等于1

3

AB ，求sin C 的值．

18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PA PC =，BD PA ⊥，

E 是BC 上一点，且1BE =，设AC BD O =I ．

（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；

（2）若60BAD ∠=︒，PA PE ⊥，求三棱锥P AOE -的体积．

19．（12分）为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15，45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15，30]的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．

质量指标

频数